北師大版必修五數(shù)列1數(shù)列數(shù)列的概念微課

《數(shù)列的概念》學(xué)案一、基本知識體系1．?dāng)?shù)列是特殊的函數(shù)，是建立在N*或N*的子集上的函數(shù)，所以，處理數(shù)列問題時，要注意運(yùn)用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)。2．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與n之間的一個函數(shù)關(guān)系表達(dá)式。3．求數(shù)列的通項(xiàng)公式①Sn與an之間的相互轉(zhuǎn)化：an=要特別注意討論n=1的情況。②由數(shù)列的遞推關(guān)系式去求通項(xiàng)公式：（1）形如an+1=an+（n)時常用累加法去解決：例如在數(shù)列{an}中，a1=1；an+1=an+2n；（答案為an=2n-1);（2）形如an+1=（n)·an時常用累乘法去解決：例如在數(shù)列{an}中，a1=4；an+1=EQ\f(n+2,n)an；（答案為an=2n(n+1)；（3）形如an+1=c·an+d（c、d為常數(shù)時）常構(gòu)造轉(zhuǎn)化為一個等比數(shù)列去解決：如在數(shù)列{an}中，a1=3；an+1=2an+1；（答案為an=2n+1-1);（4）形如an+1=p·anr(p、r為常數(shù)時）常用兩邊取對數(shù)的方法去解決：例如在數(shù)列{an}中，a1=3；an+1=3an2；（答案為an=);二、典例剖析題1：已知數(shù)列滿足，則=（） A．0 B． C． D．解析:由a1=0,得a2=-由此可知:數(shù)列{an}是周期變化的,且三個一循環(huán),所以可得:a20=a2=-故選B.題2：在數(shù)列中，若，，則該數(shù)列的通項(xiàng)2n-1。解：由可得數(shù)列為公差為2的等差數(shù)列，又，所以2n－1題3：已知數(shù)列{an}，滿足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，則{an1,n=1,an=,n≥2.(答案:)題4：已知數(shù)列，且a2k=a2k－1+(－1)k,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…….求a3,a5；（II）求{an}的通項(xiàng)公式.解：（I）a2=a1+(－1)1=0,a3=a2+31=3.a4=a3+(－1)2=4,a5=a4+32=13,所以，a3=3,a5=13.(II)a2k+1=a2k+3k;=a2k－1+(－1)k+3k,所以a2k+1－a2k－1=3k+(－1)k,同理a2k－1－a2k－3=3k－1+(－1)k－1,……a3－a1=3+(－1).所以(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+…+(a3－a1)=(3k+3k－1+…+3)+[(－1)k+(－1)k－1+…+(－1)],由此得a2k+1－a1=(3k－1)+[(－1)k－1],于是a2k+1=a2k=a2k－1+(－1)k=(－1)k－1－1+(－1)k=(－1)k=1.{an}的通項(xiàng)公式為：當(dāng)n為奇數(shù)時，an=當(dāng)n為偶數(shù)時，題5：設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn=(對于所有n≥1)，且a4=54，則a1的數(shù)值是____________________2___.題6：設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)y＝3x－2的圖像上。（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求使得對所有都成立的最小正整數(shù)m。解：（I）依題意得，即。當(dāng)n≥2時，;當(dāng)n=1時，×-2×1-1-6×1-5所以。（II）由（I）得，故=。因此，使得﹤成立的m必須滿足≤，即m≥10,故滿足要求的最小整數(shù)m為10。題7：在等差數(shù)列中，，前項(xiàng)和滿足條件，（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和。解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為,由得：，所以，即，又＝，所以。（Ⅱ）由，得。所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，，即。題8：已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，滿足：，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，，求，并確定最小正整數(shù)，使為整數(shù)．解：（1）條件可化為，因此｛｝為一個等比數(shù)列，其公比為2，首項(xiàng)為，所以＝…………1;因an0，由1式解出an＝…………2;（2）由1式有Sn＋Tn＝＝＝為使Sn＋Tn＝為整數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)為整數(shù).當(dāng)n＝1,2時，顯然Sn＋Tn不為整數(shù)，當(dāng)n3時，＝＝;∴只需＝為整數(shù)，因?yàn)?n－1與3互質(zhì)，所以為9的整數(shù)倍.當(dāng)n＝9時，＝13為整數(shù)，故n的最小值為9.題9：在數(shù)列中，若a1，a2是正整數(shù)，且,3，4，5，…，則稱為“絕對差數(shù)列”.（Ⅰ）舉出一個前五項(xiàng)不為零的“絕對差數(shù)列”（只要求寫出前十項(xiàng)）；（Ⅱ）若“絕對差數(shù)列”中，,，數(shù)列滿足；n=1，2，3，…，判斷當(dāng)時,與的極限是否存在，如果存在，求出其極限值；（Ⅲ）證明：任何“絕對差數(shù)列”中總含有無窮多個為零的項(xiàng).（Ⅰ）解：,（答案不惟一）（Ⅱ）解：因?yàn)樵诮^對差數(shù)列中,.所以自第20項(xiàng)開始，該數(shù)列是,,即自第20項(xiàng)開始。每三個相鄰的項(xiàng)周期地取值3，0，3.所以當(dāng)時，的極限；不存在.當(dāng)時,,所以（Ⅲ）證明：根據(jù)定義，數(shù)列必在有限項(xiàng)后出現(xiàn)零項(xiàng).證明如下：假設(shè)中沒有零項(xiàng)，由于,所以對于任意的n，都有,從而當(dāng)時,;當(dāng)時,；即的值要么比至少小1，要么比至少小1.令則由于是確定的正整數(shù)，這樣減少下去，必然存在某項(xiàng)，這與();矛盾.從而必有零項(xiàng).若第一次出現(xiàn)的零項(xiàng)為第項(xiàng)，記，則自第項(xiàng)開始，每三個相鄰的項(xiàng)周期地取值0，,,即所以絕對差數(shù)列中有無窮多個為零的項(xiàng).26．（安徽卷）數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知（Ⅰ）寫出與的遞推關(guān)系式，并求關(guān)于的表達(dá)式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和。解：由得：，即，所以，對成立。由，，…，相加得：，又，所以，當(dāng)時，也成立。（Ⅱ）由，得。而，，30．（福建卷）已知數(shù)列｛a｝滿足a=1,a=2a+1(n∈N)（Ⅰ）求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足4k1-14k2-1…4k-1=(an+1)km(n∈N*),證明:{bn}是等差數(shù)列;（Ⅲ）證明:(n∈N*).解析：本小題主要考查