10個(gè)典型例題掌握初中數(shù)學(xué)最值問(wèn)題

個(gè)典型例題掌握初中數(shù)學(xué)最值問(wèn)題解決幾何最值問(wèn)題的通常思路兩點(diǎn)之間線段最短；直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線段中，垂線段最短；三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊（重合時(shí)取到最值）是解決幾何最值問(wèn)題的理論依據(jù)，根據(jù)不同特征轉(zhuǎn)化是解決最值問(wèn)題的關(guān)鍵．通過(guò)轉(zhuǎn)化減少變量，向三個(gè)定理靠攏進(jìn)而解決問(wèn)題；直接調(diào)用基本模型也是解決幾何最值問(wèn)題的高效手段．幾何最值問(wèn)題中的基本模型舉例軸對(duì)稱最值圖形原理兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短三角形三邊關(guān)系特征A，B為定點(diǎn)，l為定直線，P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AP+BP的最小值A(chǔ)，B為定點(diǎn)，l為定直線，MN為直線l上的一條動(dòng)線段，求AM+BN的最小值A(chǔ)，B為定點(diǎn)，l為定直線，P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求|AP-BP|的最大值轉(zhuǎn)化作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線l的對(duì)稱點(diǎn)先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線l的對(duì)稱點(diǎn)作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線l的對(duì)稱點(diǎn)折疊最值圖形原理兩點(diǎn)之間線段最短特征在△ABC中，M，N兩點(diǎn)分別是邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△BMN沿MN翻折，B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B'，連接AB'，求AB'的最小值．轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化成求AB'+B'N+NC的最小值二、典型題型1．如圖：點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上運(yùn)動(dòng)，若∠AOB=45°，OP=，則△PMN的周長(zhǎng)的最小值為．【分析】作P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)C，D．連接OC，OD．則當(dāng)M，N是CD與OA，OB的交點(diǎn)時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最短，最短的值是CD的長(zhǎng)．根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可以證得：△COD是等腰直角三角形，據(jù)此即可求解．【解答】解：作P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)C，D．連接OC，OD．則當(dāng)M，N是CD與OA，OB的交點(diǎn)時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最短，最短的值是CD的長(zhǎng)．∵PC關(guān)于OA對(duì)稱，∴∠COP=2∠AOP，OC=OP同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．∴△COD是等腰直角三角形．則CD=OC=×3=6．【題后思考】本題考查了對(duì)稱的性質(zhì)，正確作出圖形，理解△PMN周長(zhǎng)最小的條件是解題的關(guān)鍵．2．如圖，當(dāng)四邊形PABN的周長(zhǎng)最小時(shí)，a=．【分析】因?yàn)锳B，PN的長(zhǎng)度都是固定的，所以求出PA+NB的長(zhǎng)度就行了．問(wèn)題就是PA+NB什么時(shí)候最短．把B點(diǎn)向左平移2個(gè)單位到B′點(diǎn)；作B′關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B″，連接AB″，交x軸于P，從而確定N點(diǎn)位置，此時(shí)PA+NB最短．設(shè)直線AB″的解析式為y=kx+b，待定系數(shù)法求直線解析式．即可求得a的值．【解答】解：將N點(diǎn)向左平移2單位與P重合，點(diǎn)B向左平移2單位到B′（2，﹣1），作B′關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B″，根據(jù)作法知點(diǎn)B″（2，1），設(shè)直線AB″的解析式為y=kx+b，則，解得k=4，b=﹣7．∴y=4x﹣7．當(dāng)y=0時(shí)，x=，即P（，0），a=．故答案填：．【題后思考】考查關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)．∴當(dāng)OD過(guò)點(diǎn)E是最大，最大值為+1．故答案為：+1．【題后思考】本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，勾股定理，確定出OD過(guò)AB的中點(diǎn)時(shí)值最大是解題的關(guān)鍵．7．如圖，線段AB的長(zhǎng)為4，C為AB上一動(dòng)點(diǎn)，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，那么DE長(zhǎng)的最小值是．【分析】設(shè)AC=x，BC=4﹣x，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)，得出CD=x，CD′=（4﹣x），根據(jù)勾股定理然后用配方法即可求解．【解答】解：設(shè)AC=x，BC=4﹣x，∵△ABC，△BCD′均為等腰直角三角形，∴CD=x，CD′=（4﹣x），∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°，∴∠DCE=90°，∴DE2=CD2+CE2=x2+（4﹣x）2=x2﹣4x+8=（x﹣2）2+4，∵根據(jù)二次函數(shù)的最值，∴當(dāng)x取2時(shí)，DE取最小值，最小值為：4．故答案為：2．【題后思考】本題考查了二次函數(shù)最值及等腰直角三角形，難度不大，關(guān)鍵是掌握用配方法求二次函數(shù)最值．8．如圖，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，點(diǎn)P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，作點(diǎn)P關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)P′，連接P′Q與BD的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)K，然后根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線的所有連線中垂直線段最短的性質(zhì)可知P′Q⊥CD時(shí)PK+QK的最小值，然后求解即可．【解答】解：如圖，∵AB=2，∠A=120°，∴點(diǎn)P′到CD的距離為2×=，∴PK+QK的最小值為．故答案為：．【題后思考】本題考查了菱形的性質(zhì)，軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，熟記菱形的軸對(duì)稱性和利用軸對(duì)稱確定最短路線的方法是解題的關(guān)鍵．9．如圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P為邊BC上的任意一點(diǎn)（可與B、C重合），分別過(guò)B、C、D作射線AP的垂線，垂足分別為B′、C′、D′，則BB′+CC′+DD′的取值范圍是．【分析】首先連接AC，DP．由正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，即可得：S△ADP=S正方形ABCD=，S△ABP+S△ACP=S△ABC=S正方形ABCD=，繼而可得AP?（BB′+CC′+DD′）=1，又由1≤AP≤，即可求得答案．【解答】解：連接AC，DP．∵四邊形ABCD是正方形，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∴AB=CD，S正方形ABCD=1，∵S△ADP=S正方形ABCD=，S△ABP+S△ACP=S△ABC=S正方形ABCD=，∴S△ADP+S△ABP+S△ACP=1，∴AP?BB′+AP?CC′+AP?DD′=AP?（BB′+CC′+DD′）=1，則BB′+CC′+DD′=，∵1≤AP≤，∴當(dāng)P與B重合時(shí)，有最大值2；當(dāng)P與C重合時(shí)，有最小值．∴≤BB′+CC′+DD′≤2．故答案為：≤BB′+CC′+DD′≤2．【題后思考】此題考查了正方形的性質(zhì)、面積及等積變換問(wèn)題．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是連接AC，DP，根據(jù)題意得到S△ADP+S△ABP+S△ACP=1，繼而得到BB′+CC′+DD′=．10．如圖，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半徑分別為2和1，P、E、F分別是邊CD、⊙A和⊙B上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF的最小值是．【分析】利用菱形的性質(zhì)以及相切兩圓的性質(zhì)得出P與D重合時(shí)PE+PF的最小值，進(jìn)而求出即可．【解答】解：由題意可得出：當(dāng)P與D重合時(shí)，E點(diǎn)在AD上，F(xiàn)在BD上，此時(shí)PE+PF最小，連接