高考專題專題15三角函數(shù)與向量綜合大題(解析版)

例1【2013江蘇高考】，.（1）若，求證：；（2）設(shè)，若，求，的值.[答案]（1）詳見解析（2），例2【2012江蘇高考】在中，已知．（1）求證：；（2）若求A的值．【答案】（1）詳見解析.（2）由（1），得，解得?！?，∴?！?例3【2011江蘇高考】在中，角的對邊分別為。(1)若，求的值;（2）若，求的值;.從近幾年的高考試題來看，正弦定理、余弦定理是高考的熱點，主要考查利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形的度量問題，常與同角三角函數(shù)的關(guān)系、誘導(dǎo)公式、和差角公式，甚至三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)等交匯命題，多以解答題的形式出現(xiàn)，屬解答題中的低檔題．向量中的數(shù)量積為考查的重點內(nèi)容，僅作為溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，向量思想少有觸及.1.預(yù)測2014年高考仍將以正弦定理、余弦定理，尤其是兩個定理的綜合應(yīng)用為主要考點，重點考查計算能力以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析和解決問題的能力．2.利用正弦定理與余弦定理解題，經(jīng)常利用轉(zhuǎn)化思想，一個是邊轉(zhuǎn)化為角，另一個是角轉(zhuǎn)化為邊.具體情況應(yīng)根據(jù)題目給定的表達(dá)式進(jìn)行確定，不管哪個途徑，最終轉(zhuǎn)化為角的統(tǒng)一或邊的統(tǒng)一，也是我們利用正余弦定理化簡式子的最終目的.對于兩個定理都能用的題目，應(yīng)優(yōu)先考慮利用正弦定理，會給計算帶來相對的簡便.根據(jù)已知條件中邊的大小來確定角的大小，此時利用正弦定理去計算較小邊所對的角，可避免分類討論；利用余弦定理的推論，可根據(jù)角的余弦值的正負(fù)直接確定所求角是銳角還是鈍角，但是計算麻煩.3.處理三角問題強(qiáng)調(diào)“變”為主線，變角、變名、變次、變結(jié)構(gòu)特別要強(qiáng)化變角的訓(xùn)練.注意三角函數(shù)與向量等內(nèi)容的結(jié)合，重視三角函數(shù)的應(yīng)用問題.1..【江蘇省灌云高級中學(xué)2013-2014學(xué)年度高三第一學(xué)期期中考試】已知向量．(1)若，求；(2)求的最大值．【答案】(1)(2)【解析】2．【江蘇省灌云高級中學(xué)2013-2014學(xué)年度高三第一學(xué)期期中考試】已知的周長為，且（1）求邊的長；（2）若的面積為，求角.【答案】（1）;(2)【解析】試題分析：（1）由題中所給三角形周長,即為已知,又由結(jié)合正弦定,…………（14分）．3.【江蘇省灌云高級中學(xué)2013-2014學(xué)年度高三第一學(xué)期期中考試】如圖，兩座建筑物AB，CD的底部都在同一個水平面上，且均與水平面垂直，它們的高度分別是9m和15m，從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的張角(1)求BC的長度；(2)在線段BC上取一點P(點P與點B，C不重合)，從點P看這兩座建筑物的張角分別為，，問點P在何處時，最??？【答案】(1);(2)在距離時,最小【解析】化簡整理得，解得．4.【南京市、鹽城市2014屆高三第一次模擬考試】在中，角，，所對的邊分別是，，，已知，.（1）若的面積等于，求，；（2）若，求的面積.【答案】（1），；（2）【解析】試題分析：（1）利用余弦定理及面積公式列方程組就可求出，；（2）先根據(jù)誘導(dǎo)公式將化為再利用兩角和與差的正弦公式及二倍角公式化簡，最后在約分時注意討論.5.【江蘇省通州高級中學(xué)2013-2014學(xué)年度秋學(xué)期期中考試】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，＝8，∠BAC＝θ，a＝4，(1)求b·c的最大值及θ的取值范圍；(2)求函數(shù)f(θ)＝2eq\r(3)sin2(eq\f(π,4)＋θ)＋2cos2θ－eq\r(3)的最值．【答案】(1)的最大值為,;(2)當(dāng)時，,當(dāng)時，.【解析】即.又，，即的最大值為.而.(2).當(dāng)，即時，.當(dāng)，即時，.6.【江蘇省揚州中學(xué)2013—2014學(xué)年第一學(xué)期月考】設(shè)向量，函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求使不等式成立的的取值集合．【答案】（1）；（2）．【解析】(2)由，得.由，得，則，即.∴使不等式成立的的取值集合為.……14′7.【蘇北四市2014屆高三第一次質(zhì)量檢測】已知向量，．(1)若，求的值；(2)若，，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）由易得，代入式子中可約去為求出其值；（2）先求8.【蘇州市2014屆高三調(diào)研測試】在△ABC中，設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求角A的大?。唬?）若，，求邊c的大?。敬鸢浮浚?）；（2）【解析】………6分………8分（2）用余弦定理，得即……12分則……14分.9.【江蘇省誠賢中學(xué)2014屆高三數(shù)學(xué)月考試題】在△，已知(1)求角值；(2)求的最大值.【答案】⑴;⑵．【解析】的值，這樣可得的關(guān)系，則，運用兩角差的余弦公式展開可化簡得的形式，再根據(jù)公式化簡，最后結(jié)合函數(shù)的圖象，結(jié)合的范圍，可求出的范圍，即可得到10.【江蘇省興化市安豐高級中學(xué)2014屆高三12月月考】已知．（1）若，求的值；（2）若，且，求的值．【答案】（1）；（2）7.【解析】（2）∵∴，，==7.11.【江蘇省興化市安豐高級中學(xué)2014屆高三12月月考】在銳角△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且（1）求角；（2）若，求面積S的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】12.【江蘇省誠賢中學(xué)2014屆高三數(shù)學(xué)月考試題】如圖，兩座建筑物的底部都在同一個水平面上，且均與水平面垂直，它們的高度分別是9和15，從建筑物的頂部看建筑物的視角.求的長度；在線段上取一點點與點不重合），從點看這兩座建筑物的視角分別為問點在何處時，最??？【答案】⑴;⑵當(dāng)為時，取得最小值．【解析】試題解析：⑴作，垂足為，則，，設(shè)，則…2分，化簡得，解之得，或（舍）增函數(shù)，所以，當(dāng)時，取得最小值，即取得最小值，………12分因為恒成立，所以，所以，，因為在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時，取得最小值．答：當(dāng)為時，取得最小值．……………14分13.【上海市黃浦區(qū)2014屆高三上學(xué)期期末考試（即一模）數(shù)學(xué)（理）試題】已知函數(shù)（，c是實數(shù)常數(shù)）的圖像上的一個最高點，與該最高點最近的一個最低點是，(1)求函數(shù)的解析式及其單調(diào)增區(qū)間；(2)在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為，且，角A的取值范圍是區(qū)間M，當(dāng)時，試求函數(shù)的取值范圍.【答案】（1），單調(diào)遞增區(qū)間是；（2）.【解析】∵和分別是函數(shù)圖像上相鄰的最高點和最低點，∴解得∴.由，解得.∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.14.【上海市嘉定區(qū)2014屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)研（一模）數(shù)學(xué)（理）試卷】已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在銳角三角形中，若，，求△的面積．【答案】（1）（）；（2）．【解析】，因此我們選面積公式，正好由已知條件可求出，也即求出，從而得面積．15.【虹口區(qū)2013學(xué)年度第一學(xué)期高三年級數(shù)學(xué)學(xué)科期終教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控測試題】已知．，其中、為銳角，且．（1）求的值；（2）若，求及的值．【答案】（1）；（2），．【解析】試題分析：（1）要求的值，由于，因此我們尋找這兩個積（或積的和），這只能學(xué)科網(wǎng)應(yīng)用唯一的已知條件，由兩點間距離公式可得；（2）已知，要求，可直接利用公式，而要求，要注意靈活應(yīng)用兩角和與差的正弦與余16.【上海市浦東新區(qū)2013—2014學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量抽測高三數(shù)學(xué)試卷（理卷）】如圖，設(shè)是單位圓上一點，一個動點從點出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，12秒旋轉(zhuǎn)一周.秒時，動點到達(dá)點，秒時動點到達(dá)點.設(shè)，其縱坐標(biāo)滿足.（1）求點的坐標(biāo)，并求；（2）若，求的取值范圍.【答案】(1)點B的坐標(biāo)是，；(2)．【解析】試題分析：(1)這是一個三角函數(shù)問題，要求點坐標(biāo)，我們只要求出，首先求出從到旋轉(zhuǎn)的角度是多少即可，在中是初始值，就是，旋轉(zhuǎn)速度又，，…………8分17.【2013學(xué)年第一學(xué)期十二校聯(lián)考高三數(shù)學(xué)（理）考試試卷】已知以角為鈍角的的三角形內(nèi)角的對邊分別為、、，，且與垂直．（1）求角的大?。唬?）求的取值范圍【答案】（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）觀察要求的結(jié)論，易知要列出的邊角之間的關(guān)系，題中只有與垂直提供的等量關(guān)系是，即，這正是我們需要的邊角關(guān)系．因為要求角，故把等式中的邊（2）（3分）由（1）知A∈（0，），,（4分），（6分）∴的取值范圍是（7分）18.【上海市普陀區(qū)2014屆高三上學(xué)期12月質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)（理）試題】已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最大值，并指出取到最大值時對應(yīng)的的值；（2）若，且，計算的值.【答案】(1)時，取得最大值2；（2）．【解析】（2）由（1）得，，即……………8分其中得………………10分所以……………11分………………13分………………14分19.【上海市長寧區(qū)2013—2014第一學(xué)期高三教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（理科）】在中,已知.(1)求證:;（2）若求角