基礎(chǔ)力學(xué)第八章節(jié)

基礎(chǔ)力學(xué)第八章節(jié)第1頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一3、剪切及其實用計算剪切的力學(xué)模型：受力特征，變形特征；剪切面；剪切的實用計算及剪切強(qiáng)度條件。4、擠壓及其實用計算擠壓的概念；擠壓面與擠壓面的面積計算；平均擠壓應(yīng)力及強(qiáng)度計算。前課回顧第2頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一第8章扭轉(zhuǎn)返回§8—4受扭圓桿的強(qiáng)度條件和剛度條件§8—6矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)§8—2薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形§8—3圓桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形§8—5等圓截面直桿在扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)變能§8—1扭矩和扭矩圖第3頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一內(nèi)容提要8-1扭矩和扭矩圖8-2薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形8-3圓桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形第4頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一扭轉(zhuǎn)變形特征：桿件的任意兩個橫截面發(fā)生繞軸線的相對轉(zhuǎn)動。受力特征：由大小相等、轉(zhuǎn)向相反、作用面都垂直于桿軸的兩個力偶引起。MeMe第5頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一一、工程實例1、螺絲刀桿工作時受扭。2、汽車方向盤的轉(zhuǎn)動軸工作時受扭。工程實例MMFFM第6頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一3、機(jī)器中的傳動軸工作時受扭。4、鉆井中的鉆桿工作時受扭。Mm第7頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一第8頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一MeMeOO’AB§8-1扭矩和扭矩圖一、桿件在橫向平面內(nèi)的外力偶作用下發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形b’ab在兩個轉(zhuǎn)向相反的外力偶作用下發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形時，表面上原有直線ab變?yōu)槁菪€ab’。諸橫截面繞桿的軸線相對轉(zhuǎn)動。第9頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一nnmm?xm?x在n—n截面處假想將軸截開，取左側(cè)為研究對象分析圖示圓軸任一橫截面n—n上的內(nèi)力。仍用

截面法。二、扭矩和扭矩圖第10頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一nnMeMe?xMe?xT橫截面上的內(nèi)力應(yīng)是一個力偶稱為該橫截面上扭矩。Mex??T取右側(cè)為研究對象，其扭矩與取左側(cè)為研究對象時數(shù)值相同但轉(zhuǎn)向相反。統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)第11頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一右手螺旋法則：使卷曲右手的四指轉(zhuǎn)向與扭矩轉(zhuǎn)向相同,若大拇指的指向離開橫截面則該扭矩為正;反之為負(fù)。扭矩符號的規(guī)定++nnMeMe?xMe?xTMe?x?T第12頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一用平行于桿軸線的x坐標(biāo)表示橫截面的位置，用垂直于桿軸線的縱坐標(biāo)表示橫截面上的扭矩，從而繪制出表示扭矩與截面位置關(guān)系的圖線，稱為扭矩圖。

第13頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一例題:作用在傳動軸上的外力矩的大小分別為:MA=2KN.m,MB=3.5KN.m,MC=1KN.m,MD=0.5KN.m,試作該軸的扭矩圖.ABCDMAMBMCMD解:分別求出AB,BC,CD段任一橫截面上的扭矩第14頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一ABCDMAMBMCMDAB段:(假設(shè)扭矩為正)11AMAT1第15頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一ABCDMAMBMCMDBC段:(假設(shè)扭矩為正)22AMAMBBT2第16頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一ABCDMAMBMCMDCD段:(假設(shè)扭矩為正)33DMDT3第17頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一ABCDMAMBMCMD21.50.5++-單位：KN.m第18頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一R0

是薄壁圓筒的厚度，

R0是平均半徑?！?—2薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形一、橫截面上的切應(yīng)力第19頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一用截面法求任一橫截面n—n上的內(nèi)力MMlnn第20頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一MnnMMlnnT薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時其任一橫截面n-n上的內(nèi)力為扭矩T。第21頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一實驗→變形規(guī)律→應(yīng)力的分布規(guī)律→應(yīng)力的計算公式。1、實驗：預(yù)先在圓筒的表面畫上等間距的縱向線和圓周線，從而形成一系列的正方格子。第22頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一2、變形規(guī)律：圓周線——形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉(zhuǎn)動了一個不同的角度。縱向線——傾斜了同一個角度，小方格變成了平行四邊形。第23頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一3、切應(yīng)變（角應(yīng)變、剪應(yīng)變）：直角角度的改變量。第24頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一4、定性分析橫截面上的應(yīng)力（1）（2）因為同一圓周上切應(yīng)變相同，所以同一圓周上切應(yīng)力大小相等，方向必與圓周相切。

⑶因為壁厚遠(yuǎn)小于直徑，所以可以認(rèn)為切應(yīng)力沿壁厚均勻分布,而且方向垂直于其半徑方向。第25頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一MM圓筒兩端截面之間相對轉(zhuǎn)動的角位移，稱為相對扭轉(zhuǎn)角

，用表示。第26頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一Mnnxr5、推導(dǎo)公式由上述分析，就可得出薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時，橫截面上任一點處的切應(yīng)力都是相等的，而其方向與圓周相切。T第27頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一R0為薄壁圓筒平均半徑MnnxrT第28頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一上式為薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時橫截面上切應(yīng)力的計算公式。MnnxrT第29頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力均勻分布，與半徑垂直，指向與扭矩的轉(zhuǎn)向一致。T第30頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一二、剪切胡克定律MABCDlM第31頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一MABCDlR為薄壁圓筒的外半徑M薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)試驗發(fā)現(xiàn)，當(dāng)外力偶M

在某一范圍內(nèi)時，與M（在數(shù)值上等于T）成正比

第32頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一To從T與之間的線性關(guān)系，可推出

與

間的線性關(guān)系。該式稱為材料的

剪切胡克定律oP薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)試驗發(fā)現(xiàn)，當(dāng)外力偶M

在某一范圍內(nèi)時，與M（在數(shù)值上等于T）成正比

第33頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一G稱為材料的

剪切彈性模量

。其單位是Pa。剪切胡克定律只有在切應(yīng)力不超過材料的剪切屈服極限P時才適用。即材料在線彈性范圍內(nèi)工作。第34頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一拉(壓)、剪切彈性模量與泊松比的關(guān)系第35頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一§8—3圓桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形一、橫截面上的應(yīng)力

第36頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一預(yù)先在圓桿的表面畫上等間距的縱向線和圓周線，從而形成一系列的正方格子。實驗→變形規(guī)律→應(yīng)力的分布規(guī)律→應(yīng)力的計算公式。第37頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一MM兩圓周線繞桿件的軸線相對旋轉(zhuǎn)了一個角度，圓周線的形狀和大小均未改變;實驗結(jié)果：在變形微小的情況下，縱向線則傾斜了一個相同的角度。第38頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一MM剛性平面假設(shè)：變形前垂直于軸的圓形橫截面，在變形后仍保持為同樣大小的圓形平面。且半徑仍為直線。第39頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一導(dǎo)出這類桿件橫截面上切應(yīng)力計算公式的關(guān)鍵在于確定切應(yīng)力在橫截面上的變化規(guī)律，即與的關(guān)系?！渺o力學(xué)關(guān)系得出的計算公式。為確定切應(yīng)力在橫截面上的變化規(guī)律，需首先觀察圓截面桿受扭時表面的變形情況，據(jù)此作出涉及桿件內(nèi)部變形情況的假設(shè)，推斷桿件內(nèi)任意處圓柱面上的切應(yīng)變，最后還要利用切應(yīng)力與切應(yīng)變的物理關(guān)系。下面按照問題中的幾何關(guān)系、物理關(guān)系以及靜力學(xué)關(guān)系這三個方面來具體分析圓桿受扭時橫截面上的應(yīng)力。第40頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一aabTTdxb1、幾何方面DA傾角

是橫截面圓周上任一點A處的切應(yīng)變D1桿件內(nèi)任意點處圓柱面上的切應(yīng)變第41頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一aabTTdxbDAD1d

是b—b截面相對于a—a截面象剛性平面一樣繞桿軸轉(zhuǎn)動的一個角度。第42頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一aabTTdxbDAD1經(jīng)過半徑O1A上任一點E的縱向線EG。GE第43頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一aabTTdxbDAD1EG也傾斜了一個角度

EG1是橫截面半徑上任一點

E

處的切應(yīng)變。G第44頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一此式說明：同一半徑圓周上各點切應(yīng)變

均相同，且其值與成正比。第45頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一2、物理方面由剪切胡克定律第46頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一同一圓周上各點應(yīng)力

均相同

，且其值與成正比，垂直于半徑。第47頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一3、靜力學(xué)方面oTdA每個微元力對圓心的矩為所有微元力對圓心的矩之和等于橫截面上的扭矩T。第48頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一oTdA第49頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一oTdA上式為圓軸在扭轉(zhuǎn)時橫截面上任一點處的切應(yīng)力計算公式第50頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一稱為橫截面對圓心的

極慣性矩式中：T為橫截面上的扭矩；

為求應(yīng)力的點到圓心的距離：第51頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一oT橫截面周邊各點處，切應(yīng)力將達(dá)到最大值。說明：切應(yīng)力與成正比。且垂直于半徑。指向與T的轉(zhuǎn)向一致。圓心處的切應(yīng)力為零。第52頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一WP稱作抗扭截面系數(shù)，單位為mm3

或m3。第53頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一抗扭截面系數(shù)公式二、極慣性矩及抗扭截面系數(shù)極慣性矩公式第54頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一do實心圓截面

第55頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一Ddo空心圓截面第56頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一

應(yīng)力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（實心截面）（空心截面）第57頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形是用相對扭轉(zhuǎn)角來度量的是計算等直圓桿相對扭轉(zhuǎn)角的依據(jù)。三、扭轉(zhuǎn)角其中d

代表相距為dx的兩橫截面間的相對扭轉(zhuǎn)角。第58頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一長為l的一段桿兩端面間的相對扭轉(zhuǎn)角

可按下式計算對于同一材料制成的等直圓軸（G，Ip為常量），當(dāng)只在兩端受一對外力偶作用時（T為常量）

，從上式可得GIP

稱作抗扭剛度。第59頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一例題：圖示實心圓軸外徑d=60mm，在橫截面上分別受外力矩mB=3.8KN.m,mC=1.27KN.m作用，已知材料的剪切彈性模量G=8104MPa。求B截面對于A截面的相對扭轉(zhuǎn)角BA，C截面對于B截面的相對扭轉(zhuǎn)角CB，C截面對于A截面的相對扭轉(zhuǎn)角CA，并求C截面的絕對扭轉(zhuǎn)角C。mBmCABC0.7m1m第60頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一mBmCABC0.7m1m解：由截面法得知需分段計算相對扭轉(zhuǎn)角mB=3.8KN.m,mC=1.27KN.m第61頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一mBmCABC0.7m1m第62頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一mBmCABC0.7m1m第63頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一mBmCABC0.7m1m因A截面固定，C截面的絕對扭轉(zhuǎn)角C

，等于C截面相對于A截面的相對扭轉(zhuǎn)角CA

。第64頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一例題：一水輪機(jī)的功率為P=7350KW，其豎軸是直徑為d=650mm而長度為l=6000mm的等截面實心鋼軸，材料的切變模量為G=0.8105MPa，求當(dāng)水輪機(jī)以轉(zhuǎn)速n=57.7r/min勻速轉(zhuǎn)動時，軸內(nèi)的最大切應(yīng)力及軸的兩個端面間的相對扭轉(zhuǎn)角。解：將軸傳遞功率換算為功它應(yīng)等于作用在軸上的外力偶在每分鐘作的功。M第65頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一M外力偶在每分鐘作的功等于外力偶矩M與軸在每分鐘轉(zhuǎn)動的角度的乘積，即與角速度的乘積。所以注意公式中M，P，n的單位第66頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一本題中最大切應(yīng)力相對扭轉(zhuǎn)角第67頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一低碳鋼試件：沿橫截面斷開。鑄鐵試件：沿與軸線約成45的螺旋線斷開。因此還需要研究斜截面上的應(yīng)力。四、斜截面上的應(yīng)力第68頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一xxAxxdabc從受扭桿件A點處取一單元體單元體的左、右兩側(cè)面屬于桿的橫截面，頂面和底面屬于桿的徑向截面，單元體的前后面屬于桿的切向平面。第69頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一xxAxxdabc由切應(yīng)力互等定理，單元體的左、右、上、下四個側(cè)面作用著相等的切應(yīng)力，單元體的前、后面上沒有切應(yīng)力。單元體屬于純剪切應(yīng)力狀態(tài)第70頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一xxdabc與單元體前、后面垂直的任意斜截面上的應(yīng)力dabcnx也是斜截面的外法線n與x軸的夾角。第71頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一假設(shè)de的面積為dAdc的面積為dAcosce的面積為dAsin

dabcnxedcetnx第72頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一