常微分方程 全微分方程

常微分方程全微分方程1第1頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.全微分方程的定義設(shè)是一個(gè)連續(xù)可微的二元函數(shù),則若則有這是一大類可求解的微分方程.2第2頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期一則稱

為全微分方程。若連續(xù)可微的二元函數(shù)使得

此時(shí)，全微分方程的解為

3第3頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例如,下列方程都是全微分方程:因?yàn)楹瘮?shù)的全微分就分別是這三個(gè)方程的左端,他們的解分別是4第4頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期一但并不是所有的方程都能方便地找到對(duì)應(yīng)的的函數(shù),或者這樣的就不存在.所以我們有三個(gè)問(wèn)題需要解決:(1)方程是否就是全微分方程;(2)若方程是全微分方程,怎樣求它的解;(3)若方程不是全微分方程,有無(wú)可能將它轉(zhuǎn)化為一個(gè)全微分方程來(lái)求解?5第5頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期一是全微分方程的充要條件為:（2.3.3)證明：一.先證必要性2.方程為全微分方程的充要條件設(shè)是全微分方程,則有函數(shù)使得中連續(xù)且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則

定理2.1設(shè)函數(shù)和

在一個(gè)矩形區(qū)域6第6頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期一故

成立。

故有

計(jì)算的二階混合偏導(dǎo)數(shù):由于M(x,y)和N(x,y)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),從而有7第7頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二.再證充分性構(gòu)造函數(shù)滿足

設(shè)

滿足

取

待定，對(duì)上式關(guān)于y求偏導(dǎo)數(shù)得

在矩形R中取一點(diǎn)

令

是R的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，8第8頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期一令

所有與相差一個(gè)常數(shù)的函數(shù)都滿足

則找到一個(gè)滿足的函數(shù)

這種方法稱為線積分法.9第9頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例：驗(yàn)證方程是全微分方程，并求它的通解。3.全微分方程的積分由于

解：當(dāng)一個(gè)方程是全微分方程時(shí),我們有三種解法.(1)線積分法:或10第10頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期一故通解為其中為任意常數(shù)所以方程為全微分方程。11第11頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(2)偏積分法的通解.例：求方程由于解：假設(shè)所求全微分函數(shù)為,則有求12第12頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期一而即從而即13第13頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解:偏積分法原方程的通解:練習(xí)14第14頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例：驗(yàn)證方程是全微分方程，并求它滿足初始條件：的解。

所以方程為全微分方程。由于

解：由于(3)湊微分法15第15頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期一方程的通解為：

利用條件得最后得所求初值問(wèn)題得解為：根據(jù)二元函數(shù)微分的經(jīng)驗(yàn),原方程可寫為16第16頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期一通解：解:分組湊全微分法練習(xí)17第17頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解是全微分方程將左端重新組合原方程的通解：練習(xí)18第18頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期一一階線性方程解整理:法一法二整理:練習(xí)19第19頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（1）偏積分法原方程的通解:20第20頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（2）湊全微分法原方程的通解:21第21頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期一若一個(gè)方程不是全微分方程，我們可以用積分因子法將其變?yōu)槿⒎址匠獭?.積分因子例:求方程解：故該方程不是全微分方程,對(duì)該方程兩邊同時(shí)乘以后得:22第22頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期一由于利用湊微分的方法可得通解為:如果有函數(shù)使方程是全微分方程。則一個(gè)積分因子。稱為方程的23第23頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

觀察法憑觀察湊微分得到

常見的全微分表達(dá)式可選用積分因子24第24頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例:驗(yàn)證是方程

的積分因子,并求它的通解.解：對(duì)方程兩邊同乘以后得由于故該方程是全微分方程,是一個(gè)利用湊微分的方法可得通解為:積分因子,25第25頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例:驗(yàn)證是方程

的一個(gè)積分因子，并求其通解。解：對(duì)方程有對(duì)方程兩邊同乘以

后，再利用湊微分法∴通解為:26第26頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期一求方程解不是全微分方程.將方程兩端重新組合,觀察法,積分因子原方程練習(xí)27第27頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解將方程兩端重新組合,求方程不是全微分方程.積分因子,原方程的通解:練習(xí)28第28頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期一從上面的例子可看出,當(dāng)確定了積分因子后,很容易求出其通解,但問(wèn)題是:(1)積分因子是否一定存在?(2)如何求積分因子?這兩個(gè)問(wèn)題是十分困難的問(wèn)題,一般來(lái)說(shuō)無(wú)法給出答案,但對(duì)一些特殊的函數(shù)或方程是可以給出一些充分條件的.29第29頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定理2.2微分方程有一個(gè)僅依賴的積分因子得充要條件是:于有關(guān)；僅與因子得充要條件是同理，方程有一個(gè)僅依賴于的積分僅與有關(guān)。

30第30頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期一即上式左端只與有關(guān),故右端也只能是的函數(shù).反之,若方程的右端函數(shù)僅與有關(guān),我們?nèi)∽C明:僅證第一部分.不妨設(shè)上式就是方程的一個(gè)積分因子,故定理得證.31第31頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例：求微分方程

的通解。解：由于故它不是全微分方程。利用積分因子的表達(dá)式得

又因?yàn)?/p>

它與無(wú)關(guān)。

由定理知，方程有一個(gè)僅與有關(guān)的積分因子。32第32頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期一對(duì)方程兩邊同乘以積分因子

得

這是一個(gè)全微分方程。分組湊微分,得方程通解:33第33頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期一注:積分因子是求解微分方程的一個(gè)重要方法,絕大多數(shù)方程的求解都可以通過(guò)這種方法來(lái)解決.但是求一個(gè)微分方程的積分因子比較困難,需要靈活的方法和技巧.34第34頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期一熟練記住下面的幾個(gè)方程和其對(duì)應(yīng)的積分因子例如:當(dāng)一個(gè)微分方程中出現(xiàn)時(shí),函數(shù)都有可能成為其積分因子.35第35頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例.求微分方程的通解.解:因?yàn)樗苑匠滩皇侨⒎址匠?將方程的左端重新分組得:選擇作為方程的積分因子.方程兩邊同時(shí)乘以方程的通解為36第36頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期一設(shè)微分方程左端可以分為兩組,即其中第一組和第二組各有積分因子和使得由于對(duì)任意可微函數(shù)和是第一組的積分因子,是第二組的積分因子,37第37頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例：求微分方程的通解。解：將方程左端分組

前一組有積分因子和通積分

后一組有積分因子和通積分

如果能選取的和使得則就是方程的一個(gè)積分因子.38第38頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期一從而得原方程的積分因子為

用它乘原方程得

所