2023屆廣東省汕尾市高二數(shù)學第二學期期末綜合測試試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在某次試驗中，實數(shù)的取值如下表：013561.35.67.4若與之間具有較好的線性相關(guān)關(guān)系，且求得線性回歸方程為，則實數(shù)的值為（）A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.92．從名男生和名女生中選出人去參加辯論比賽，人中既有男生又有女生的不同選法共有（）A．種 B．種 C．種 D．種3．記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（）A．1440種 B．960種 C．720種 D．480種4．某運動隊有男運動員4名，女運動員3名，若選派2人外出參加比賽，且至少有1名女運動員入選，則不同的選法共有（）A．6種 B．12種 C．15種 D．21種5．已知．則（）A． B． C． D．6．古有蘇秦、張儀唇槍舌劍馳騁于亂世之秋，今看我一中學子論天、論地、指點江山．現(xiàn)在高二某班需從甲、乙、丙、丁、戊五位同學中，選出四位同學組成重慶一中“口才季”中的一個辯論隊，根據(jù)他們的文化、思維水平，分別擔任一辯、二辯、三辯、四辯，其中四辯必須由甲或乙擔任，而丙與丁不能擔任一辯，則不同組隊方式有（）A．14種 B．種 C．種 D．24種7．某次運動會中，主委會將甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到三個不同比賽項目中擔任服務工作，每個項目至少1人，若甲、乙兩人不能到同一個項目，則不同的安排方式有（）A．24種 B．30種 C．36種 D．72種8．若點是曲線上任意一點，則點到直線的距離的最小值為（）A． B． C． D．9．對于問題：“已知x,y,z是互不相同的正數(shù)，求證：三個數(shù)x+1A．x+1z,y+1C．x+1z,y+110．下列說法中，正確說法的個數(shù)是（）①在用列聯(lián)表分析兩個分類變量與之間的關(guān)系時，隨機變量的觀測值越大，說明“與有關(guān)系”的可信度越大②以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)，將其變換后得到線性方程，則的值分別是和0.3③已知兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程為，若，，則A．0 B．1 C．2 D．311．如圖，在正方體中，E為線段的中點，則異面直線DE與所成角的大小為（）A． B． C． D．12．若直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則直線的傾斜角為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，，若存在兩切點，，，使得直線與函數(shù)和的圖象均相切，則實數(shù)的取值范圍是_________.14．若，，，則_____.15．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成員先后搶4個不相同的紅包，每人最多搶一個紅包，且紅包全被搶光，則甲乙兩人都搶到紅包的情況有________種16．若曲線經(jīng)過T變換作用后縱坐標不變、橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，則T變換所對應的矩陣_____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)有兩個不同的零點，.（1）求的取值范圍；（2）求證：.18．（12分）已知某單位甲、乙、丙三個部門共有員工60人，為調(diào)查他們的睡眠情況，通過分層抽樣獲得部分員工每天睡眠的時間，數(shù)據(jù)如下表（單位：小時）甲部門678乙部門5.566.577.58丙部門55.566.578.5（1）求該單位乙部門的員工人數(shù)？（2）從甲部門和乙部門抽出的員工中，各隨機選取一人，甲部門選出的員工記為A，乙部門選出的員工記為B，假設(shè)所有員工睡眠的時間相互獨立，求A的睡眠時間不少于B的睡眠時間的概率；（3）若將每天睡眠時間不少于7小時視為睡眠充足，現(xiàn)從丙部門抽出的員工中隨機抽取3人做進一步的身體檢查．用X表示抽取的3人中睡眠充足的員工人數(shù)，求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望．19．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，單位圓上存在兩點，滿足均與軸垂直，設(shè)與的面積之和記為．若，求的值；若對任意的，存在，使得成立，且實數(shù)使得數(shù)列為遞增數(shù)列，其中求實數(shù)的取值范圍．20．（12分）如圖，等高的正三棱錐P-ABC與圓錐SO的底面都在平面M上，且圓O過點A，又圓O的直徑AD⊥BC，垂足為E，設(shè)圓錐SO的底面半徑為1，圓錐體積為．(1)求圓錐的側(cè)面積；(2)求異面直線AB與SD所成角的大?。?3)若平行于平面M的一個平面N截得三棱錐與圓錐的截面面積之比為，求三棱錐的側(cè)棱PA與底面ABC所成角的大小．21．（12分）如圖，在多面體中，四邊形是菱形，⊥平面且.(1)求證：平面⊥平面；(2)若設(shè)與平面所成夾角為，且，求二面角的余弦值.22．（10分）在長方體中，底面是邊長為2的正方形，是的中點，是的中點.（1）求證：平面；（2）若，求二面角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)表中數(shù)據(jù)求得，代入回歸直線方程即可求得結(jié)果.【詳解】由表中數(shù)據(jù)可知：，又，解得：本題正確選項：【點睛】本題考查利用回歸直線求解數(shù)據(jù)的問題，關(guān)鍵是明確回歸直線恒過點，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

在沒有任何限制的情況下減去全是男生和全是女生的選法種數(shù)，可得出所求結(jié)果.【詳解】全是男生的選法種數(shù)為種，全是女生的選法種數(shù)為種，因此，人中既有男生又有女生的不同選法為種，故選C.【點睛】本題考查排列組合問題，可以利用分類討論來求解，本題的關(guān)鍵在于利用間接法來求解，可避免分類討論，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.3、B【解析】5名志愿者先排成一排，有種方法，2位老人作一組插入其中，且兩位老人有左右順序，共有=960種不同的排法，選B．4、C【解析】

先求出所有的方法數(shù)，再求出沒有女生入選的方法數(shù)，相減可得至少有1位女生入選的方法數(shù).【詳解】解：從3位女生，4位男生中選2人參加比賽，所有的方法有種，

其中沒有女生入選的方法有種，

故至少有1位女生入選的方法有21?6＝15種.

故選：C.【點睛】本題主要考查排列組合的簡單應用，屬于中檔題.5、C【解析】

由二項式定理及利用賦值法即令和，兩式相加可得，結(jié)合最高次系數(shù)的值即可得結(jié)果.【詳解】中，取，得，取，得，所以，即，又，則，故選C．【點睛】本題主要考查了二項式定理及利用賦值法求二項式展開式的系數(shù)，屬于中檔題.6、D【解析】五人選四人有種選擇方法，分類討論：若所選四人為甲乙丙丁，有種；若所選四人為甲乙丙戊，有種；若所選四人為甲乙丁戊，有種；若所選四人為甲丙丁戊，有種；若所選四人為乙丙丁戊，有種；由加法原理：不同組隊方式有種.7、B【解析】

首先對甲、乙、丙、丁進行分組，減去甲、乙兩人在同一個項目一種情況，然后進行3個地方的全排列即可得到答案.【詳解】先將甲、乙、丙、丁分成三組（每組至少一人）人數(shù)分配是1,1,2共有種情況，又甲、乙兩人不能到同一個項目，故只有5種分組情況，然后分配到三個不同地方，所以不同的安排方式有種，故答案選B.【點睛】本題主要考查排列組合的相關(guān)計算，意在考查學生的分析能力，邏輯推理能力和計算能力，難度不大.8、C【解析】點是曲線上任意一點,所以當曲線在點P的切線與直線平行時，點P到直線的距離的最小，直線的斜率為1，由，解得或（舍）.所以曲線與直線的切點為.點到直線的距離最小值是.選C.9、C【解析】

找到要證命題的否定即得解.【詳解】“已知x，y，z是互不相同的正數(shù)，求證：三個數(shù)x+1z，y+1x，而它的反面為：三個數(shù)x+1z，y+1x，故選：C．【點睛】本題主要考查用反證法證明數(shù)學命題，命題的否定，屬于基礎(chǔ)題．10、D【解析】

①分類變量與的隨機變量越大,說明“A與B有關(guān)系”的可信度越大②對同取對數(shù)，再進行化簡，可進行判斷③根據(jù)線性回歸方程，將，代入可求出值【詳解】對于①,分類變量A與B的隨機變量越大,說明“A與B有關(guān)系”的可信度越大,正確;

對于②,,兩邊取對數(shù),可得,

令,可得,.即②正確;

對于③,根據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)所得的回歸直線方程為中,,,則.故

③正確因此，本題正確答案是:①②③答案選D【點睛】二聯(lián)表中越大，說明“A與B有關(guān)系”的可信度越大；將變量轉(zhuǎn)化成一般線性方程時，可根據(jù)系數(shù)對應關(guān)系對號入座進行求解；線性回歸方程的求解可根據(jù),代入求出值11、B【解析】

建立空間直角坐標系，先求得向量的夾角的余弦值，即可得到異面直線所成角的余弦值，得到答案.【詳解】分別以所在的直線為建立空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為2，可得,所以，所以，所以異面直線和所成的角的余弦值為，所以異面直線和所成的角為，故選B.【點睛】本題主要考查了異面直線所成角的求解，其中解答中建立適當?shù)目臻g直角坐標系，利用向量的夾角公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

將直線的參數(shù)方程化為普通方程，求出斜率，進而得到傾斜角?！驹斀狻吭O(shè)直線的傾斜角為，將直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）消去參數(shù)可得，即，所以直線的斜率所以直線的傾斜角，故選D.【點睛】本題考查參數(shù)方程和普通方程的互化以及直線的傾斜角，屬于簡單題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用導數(shù)求得點處的切線方程，聯(lián)立方程組，根據(jù)判別式，令，得，構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解．【詳解】由題意，點在函數(shù)的圖象上，令，則點，又由，則，所以切線方程為，即，聯(lián)立方程組，整理得，則，令，整理得，且，構(gòu)造函數(shù)，則，，可得當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即在上恒成立，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，又由，所以，解得．【點睛】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的綜合應用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點處的切線方程；(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性與，以及函數(shù)單調(diào)性，求解參數(shù)；(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．14、0.15【解析】由題意可得：，則：，.點睛：關(guān)于正態(tài)曲線在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率求法①熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.15、72【解析】第一步甲乙搶到紅包，有種，第二步其余三人搶剩下的兩個紅包，有種，所以甲乙兩人都搶到紅包的情況有種．16、【解析】

根據(jù)伸縮變換性質(zhì)即可得出【詳解】設(shè)在這個伸縮變換下，直角坐標系內(nèi)任意一點對應到點則從而對應的二階矩陣【點睛】本題主要考查了伸縮變換對應矩陣，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析【解析】分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出的范圍即可；（2）構(gòu)造函數(shù)，則可證當時，在上，有，即.將代入上面不等式中即可證明.詳解：（1），若，則，在上單調(diào)遞增，至多有一個零點，舍去；則必有，得在上遞減，在上遞增，要使有兩個不同的零點，則須有．（嚴格來講，還需補充兩處變化趨勢的說明：當時，；當時，）.（2）構(gòu)造函數(shù)，則.當時，，但因式的符號不容易看出，引出輔助函數(shù)，則，得在上，當時，，即，則，即，，得在上，有，即.將代入上面不等式中得，又，，在上，故，.點睛：本題考查了導數(shù)的綜合應用及恒成立問題，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想應用，屬于難題．18、(1)24人；(2)；(3)X的分布列見解析；數(shù)學期望為1【解析】

（1）分層抽樣共抽取：3+6+6＝15名員工，其中該單位乙部門抽取6名員工，由此能求出該單位乙部門的員工人數(shù)．（2）基本事件總數(shù)n18，利用列舉法求出A的睡眠時間不少于B的睡眠時間包含的基本事件個數(shù)，由此能求出A的睡眠時間不少于B的睡眠時間的概率．（3）X的可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學期望E（X）．【詳解】（1）由題意，得到分層抽樣共抽取：3+6+6＝15名員工，其中該單位乙部門抽取6名員工，∴該單位乙部門的員工人數(shù)為：624人．（2）由題意甲部門抽取3名員工，乙部門抽取6名員工，從甲部門和乙部門抽出的員工中，各隨機選取一人，基本事件總數(shù)n18，A的睡眠時間不少于B的睡眠時間包含的基本事件（a，b）有12個：（6，5.5），（6，6），（7，5.5），（7，6），（7，6.5），（7，7），（8，5.5），（8，6），（8，6.5），（8，7），（8，7.5），（8，8），∴A的睡眠時間不少于B的睡眠時間的概率p．（3）由題意從丙部門抽出的員工有6人，其中睡眠充足的員工人數(shù)有2人，從丙部門抽出的員工中隨機抽取3人做進一步的身體檢查．用X表示抽取的3人中睡眠充足的員工人數(shù)，則X的可能取值為0，1，2，P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2），∴X的分布列為：X012PE（X）1．【點睛】本題考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的求法，涉及到古典概型及分層抽樣的基本知識，考查運算求解能力，是中檔題．19、（1）或（2）【解析】

（1）運用三角形的面積公式和三角函數(shù)的和差公式，以及特殊角的函數(shù)值，可得所求角；（2）由正弦函數(shù)的值域可得的最大值，再由基本不等式可得的最大值，可得的范圍，再由數(shù)列的單調(diào)性，討論的范圍，即可得到的取值范圍．【詳解】依題意，可得，由，得，又，所以．由得因為，所以，所以，當時，，（當且僅當時，等號成立）又因為對任意，存在，使得成立，所以，即，解得，因為數(shù)列為遞增數(shù)列，且，所以，從而，又，所以，從而，又，①當時，，從而，此時與同號，又，即，②當時，由于趨向于正無窮大時，與趨向于相等，從而與趨向于相等，即存在正整數(shù)，使，從而，此時與異號，與數(shù)列為遞增數(shù)列矛盾，綜上，實數(shù)的取值范圍為．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)的恒等變換，以及不等式恒成立，存在性問題解法和數(shù)列的單調(diào)性的判斷和運用，試題綜合性強，屬于難題，著重考查了推理與運算能力，以及分析問題和解答問題的能力．20、(1)；(2)；(3)【解析】

（1）利用圓錐體積可求得圓錐的高，進而得到母線長，根據(jù)圓錐側(cè)面積公式可求得結(jié)果；（2）作交圓錐底面圓于點，則即為異面直線與所成角，在中，求解出三邊長，利用余弦定理可求得，從而得到結(jié)果；（3）根據(jù)截面面積之比可得底面積之比，求得，進而求得等邊三角形的邊長，利用正棱錐的特點可知若為的中心，則即為側(cè)棱與底面所成角，在中利用正切值求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)圓錐高為，母線長為由圓錐體積得：圓錐的側(cè)面積：（2）作交圓錐底面圓于點，連接，則即為異面直線與所成角由題意知：，，又即異面直線與所成角為：（3）平行于平面M的一個平面N截得三棱錐與圓錐的截面面積之比為又，即為邊長為的等邊三角形設(shè)為的中心，連接，則三棱錐為正三棱錐平面即為側(cè)棱與底面所成角即側(cè)棱與底面所成角為：【點睛】本題考查圓錐側(cè)面積的求解、異面直線所成角的求解、直線與平面所成角的求解.解決立體幾何中的角度問題的關(guān)鍵是能夠通過平移找到異面直線所成角、通過找到直線在平面內(nèi)的投影，得到線面角.21、(1)見解析;(2).【解析】

（1）根據(jù)已知可得和，由線面垂直判定定理可證平面，再由面面垂直判定定理證得平面⊥平面.（2）解法一：向量法，設(shè)，以為原點，作，以的方向分別為軸，軸的正方向，建空間直角坐標系，求得的坐標，運用向量的坐標表示和向量的垂直條件，求得平面和平面的的法向量，再由向量的夾角公式，計算即可得到所求的值.解法二：三垂線法，連接AC交BD于O，連接EO、FO，過點F做FM⊥EC于M，連OM，由已知可以證明FO⊥面AEC，∠FMO即為二面角A-EC-F的平面角，通過菱形的性質(zhì)、勾股定理和等面積法求得cos∠FMO，得到答案.解法三：射影面積法，連接AC交BD于O，連接EO、FO，根據(jù)已知條件計算，，二面角的余弦值cosθ=，即可求得答案.【詳解】（1）證明：連結(jié)四邊形是菱形，，⊥平面，平面，，，平面，平面，平面，平面⊥平面.（2）解：解法一：設(shè)，四邊形是菱形，，、為等邊三角形，，是的中點，，⊥平面，，在中有，，，以為原點，作，以的方向分別為軸，軸的正方向，建空間直角坐標系如圖所示，則所以，，設(shè)平面的法向量為，由得設(shè)，解得.設(shè)平面的法向量為，由得設(shè)，解得.設(shè)二面角的為，則結(jié)合圖可知，二面角的余弦值為.解法二：∵EB⊥面ABCD，∴∠EAB即為EA與平面ABCD所成的角在Rt△EAB中，cos∠EAB=又AB=2,∴AE=∴EB=DF=1連接AC交BD于O，連接EO、FO菱形ABCD中，∠BAD=60°，∴BD=AB=2矩形BEFD中，F(xiàn)O=EO=,EF=2,EO2+FO2=EF2,∴FO⊥EO又AC⊥面BEFD,FO?面BEFD,∴FO⊥AC,AC∩EO=O，AC、EO?面AEC,∴FO⊥面AEC又EC?面AEC,∴FO⊥EC過點F做FM⊥EC于M，連OM，又FO⊥EC,FM∩FO=F,FM、FO?面FMO,∴EC⊥面FMOOM?面F