初等因子的定義

初等因子的定義第八章λ－矩陣§5初等因子第1頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日第八章λ－矩陣§5初等因子一次因式的方冪（相同的必須按出現(xiàn)的次數(shù)計(jì)算）把矩陣的每個次數(shù)大于零的不變因子稱為A的初等因子.

分解成互不相同的一次因式方冪的乘積，所有這些一、初等因子的定義第2頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日第八章λ－矩陣§5初等因子9個

則A的初等因子有7個，它們是例1、若12級復(fù)矩陣A的不變因子是:第3頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日第八章λ－矩陣§5初等因子①

設(shè)n級矩陣A的不變因子為已知：將分解成互不相同的一次因式二、初等因子與不變因子的關(guān)系的方冪的乘積:分析:第4頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日第八章λ－矩陣§5初等因子則其中對應(yīng)于的那些方冪

:就是A的全部初等因子.

②

注意到不變因子滿足從而有因此有,第5頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日第八章λ－矩陣§5初等因子即同一個一次因式的方冪作成的初等因子中，方次最高的必出現(xiàn)在的分解式中，次高的必出現(xiàn)在的分解式中.

如此順推下去，可知屬于同一個一次因式的方冪的初等因子，在不變因子的分解式中出現(xiàn)的位置是唯一確定的.第6頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日第八章λ－矩陣§5初等因子③

設(shè)級矩陣的全部初等因子為已知.在全部初等因子中，將同一個一次因式

的方冪的那些初等因子按降冪排列，而且當(dāng)這種初等因子的個數(shù)不足n個時，則在后面補(bǔ)上適當(dāng)個數(shù)的1，使其湊成n個，設(shè)所得排列為第7頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日第八章λ－矩陣§5初等因子于是令則就是A的不變因子.

第8頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日第八章λ－矩陣§5初等因子例1、已知3級矩陣A的初等因子為：

求A的不變因子.

解：作排列得A的不變因子為：第9頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日第八章λ－矩陣§5初等因子結(jié)論1、若兩個同級數(shù)字矩陣有相同的不變因子，則它們就有相同的初等因子；反之，若它們有相同的初等因子，則它們就有結(jié)論2、兩個同級數(shù)字矩陣相似可見：初等因子和不變因子都是矩陣的相似不變量.相同的不變因子.它們有相同的初等因子.第10頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日第八章λ－矩陣§5初等因子1、(引理1)若多項(xiàng)式都與互素，則三、初等因子的求法證：令顯然，第11頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日第八章λ－矩陣§5初等因子由于故

因而

另一方面，由于可令其中又由又得第12頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日第八章λ－矩陣§5初等因子同理可得即

故第13頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日第八章λ－矩陣§5初等因子如果多項(xiàng)式都與互素，2、(引理2)設(shè)則與等價.第14頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日第八章λ－矩陣§5初等因子證：首先，從而二階行列式因子相同.其次，由引理1，有從而的一階行列式因子相同.所以，與等價.第15頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日第八章λ－矩陣§5初等因子3、(定理9)設(shè)將特征矩陣進(jìn)行初等變換化成對角形然后將主對角線上的元素分解成互不相同的一次因式的方冪的乘積，則所有這些一次因式的方冪（相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計(jì)算）就是A的全部初等因子.

第16頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日第八章λ－矩陣§5初等因子證：設(shè)經(jīng)過初等變換化成對角形其中皆為首1多項(xiàng)式，將分解成互不相同的一次因式的方冪的乘積:第17頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日第八章λ－矩陣§5初等因子下證，對于每個相同的一次因式的方冪在的主對角線上按升冪排列后，得到的新對角矩陣與等價.此時就是的且所有不為1的就是A的全部初等因子.標(biāo)準(zhǔn)形，第18頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日第八章λ－矩陣§5初等因子為了方便起見，先對的方冪進(jìn)行討論.于是

且每一個都與互素.如果相鄰的一對指數(shù)

則在中將與對調(diào)位置，而其余因式保持不動，令由引理2第19頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日第八章λ－矩陣§5初等因子與

等價.

第20頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日第八章λ－矩陣§5初等因子等價.

然后對重復(fù)上述討論.從而與對角矩陣第21頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日第八章λ－矩陣§5初等因子如此繼續(xù)進(jìn)行，直到對角矩陣主對角線上元素所含的方冪是按逆升冪次排列為止.再依次對作同樣處理.最后便得到與等價的對角陣都是按升冪排列的，的主對角線上所含每個相同的一次因式的方冪即為的標(biāo)準(zhǔn)形.

第22頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日第八章λ－矩陣§5初等因子例2、求矩陣A的初等因子解：對作初等變換第23頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日