利用期望與方差的性質(zhì)求期望或方差

利用期望與方差的性質(zhì)求期望或方差2023/4/27第1頁，共15頁，2023年，2月20日，星期日2E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(XY)=E(X)E(Y).數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)E(aX)=aE(X)

E(C)=C

當(dāng)X,Y相互獨(dú)立時(shí)，第2頁，共15頁，2023年，2月20日，星期日3性質(zhì)

4的逆命題不成立，即若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定相互獨(dú)立.反例XYpij-101-1010p?jpi?注第3頁，共15頁，2023年，2月20日，星期日4XY

P-101但第4頁，共15頁，2023年，2月20日，星期日5若X≥0，且EX存在，則EX≥0。推論:

若X≤Y，則EX≤EY。證明：設(shè)

X為連續(xù)型，密度函數(shù)為f(x),

則由X≥0得：所以證明：由已知Y-X≥0，則E(Y-X)≥0。而E(Y-X)=E(Y)-E(X),所以，E(X)≤E(Y)。第5頁，共15頁，2023年，2月20日，星期日6性質(zhì)2和3性質(zhì)4例1.設(shè)X～N(10,4)，Y～U[1,5]，且X與Y相互獨(dú)立，求E(3X＋2XY－Y＋5)。解：由已知，有E(X)＝10,E(Y)＝3.第6頁，共15頁，2023年，2月20日，星期日7例2.(二項(xiàng)分布

B(n,p))

設(shè)單次實(shí)驗(yàn)成功的概率是p，問n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，期望幾次成功？解:引入則X＝X1+X2+…+Xn

是n次試驗(yàn)中的成功次數(shù)。因此，這里，X～B(n,p)。第7頁，共15頁，2023年，2月20日，星期日8例3.將4個可區(qū)分的球隨機(jī)地放入4個盒子中,每盒容納的球數(shù)無限,求空著的盒子數(shù)的數(shù)學(xué)期望.解一:設(shè)

X為空著的盒子數(shù),則

X的概率分布為XP0123第8頁，共15頁，2023年，2月20日，星期日9解二:

再引入Xi,i=

1,2,3,4.Xi

P10第9頁，共15頁，2023年，2月20日，星期日10若X的取值比較分散，則方差較大.刻劃了隨機(jī)變量的取值相對于其數(shù)學(xué)期望的離散程度。若X的取值比較集中，則方差較??；Var(X)=E[X-E(X)]2

方差第10頁，共15頁，2023年，2月20日，星期日11注意：

1)Var(X)0，即方差是一個非負(fù)實(shí)數(shù)。2）當(dāng)X服從某分布時(shí)，我們也稱某分布的方差為Var(X)。方差是刻劃隨機(jī)變量取值的分散程度的一個特征。第11頁，共15頁，2023年，2月20日，星期日12方差的計(jì)算公式常用的公式：證明:第12頁，共15頁，2023年，2月20日，星期日13例1.

已知X的密度函數(shù)為其中A，B

是常數(shù)，且E(X)=0.5.

求A，B.(2)設(shè)Y=X2,

求E(Y),D(Y).第13頁，共15頁，2023年，2月20日，星期日14解:(1)