圓的幾個重要定理

第二講-圓的幾個重要定理中考要求內(nèi)容基本要求略高要求較高要求圓的有關(guān)概念理解圓及其有關(guān)概念會過不在同一直線上的三點(diǎn)作［員b能利用圓的有關(guān)概念解決簡單問題圓的性質(zhì)知道圓的對稱性，了解弧、弦、圓心角的關(guān)系能用弧、弦、圓心角的關(guān)系解決簡單問題能運(yùn)用圓的性質(zhì)解決有關(guān)問題圓周角了解圓周角與圓心角的關(guān)系:了解直徑所對的圓周角是直角會求圓周角的度數(shù).能用圓周角的知識解決與角有關(guān)的簡單問題能綜合運(yùn)用幾何知識解決與圓周角有關(guān)的問題知識點(diǎn)睛—、圓周角定理圓心角和圓周角?圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角?將整個圓分為360等份，每一份的弧對應(yīng)1。的圓心角，我們也稱這樣的弧為1。的弧.圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等??圓周角：頂點(diǎn)在圓上,并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角?.圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.推論1:同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.推論2:半圓（或直徑）所對的圓周角是直角,90。的圓周角所對的弦是直徑?推論3:如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個三角形是直角三角形??圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理:在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等?推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量分別相等.圓是平面幾何中的一個重要內(nèi)容?由于圓與直線型圖形可組合成一些復(fù)雜的幾何問題，所以它經(jīng)常岀現(xiàn)在數(shù)學(xué)競賽中?圓的基本性質(zhì)有：⑴直徑所對的圓周角是直角.⑵同弧所對的圓周角相等?⑶經(jīng)過圓心及一弦中點(diǎn)的直線垂直平分該弦?二、 圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩條弦的弦心距中有一組量相等，其它各組量都相等。三、 相交弦定理（選講）相交弦定理:圓內(nèi)的兩條相交弦被交點(diǎn)分成的兩條線段長的乘積相等?如圖，弦初和CD交于OO內(nèi)—點(diǎn)P,則PAPB=PCPD.

p.相交弦定理的推論:如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項?重、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：圓周角的概念和圓周角定理教學(xué)難點(diǎn)：圓周角定理的證明中由”一般到特殊”的數(shù)學(xué)思想方法和完全歸納法的數(shù)學(xué)思想.例題精講—、圓周角定理【例1】（1）（08龍巖）如圖，量角器外沿上有A、B兩點(diǎn)，它們的度數(shù)分別是70。、40。，則Z1的度數(shù)為 ⑵如圖，△ABC的三個頂點(diǎn)都在上，ZC=30,AB=2cm，則07的半徑為cm? 【例2】（07年威海中考題）如圖，M是00的直徑，點(diǎn)C,D.E都在上，若ZC=ZD=ZE,求ZA+ZB.【例3】（08年濟(jì)寧改編）如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD9若ZCAD=76\ABDC=l^,則ZCBD= ,ZBAC= ?【例4】如圖，AB為OO的直徑，CD是OO的弦，AB、CD的延長線交于點(diǎn)廠若AB=2DE,ZE=18°,求ZAOC的度數(shù)?【例5】（07重慶）已知，如圖：初為OO的直徑，AB=AC9BC交0O于點(diǎn)D,AC交0O于點(diǎn)E,ZBAC=45°.給出以下五個結(jié)論：①ZEBC=22.5。，；②BD=DC；?AE=2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE=BC.其中正確結(jié)論的序號是 ?【例6】【例6】如圖是半圓O的直徑，點(diǎn)C、D在弧上，且AD平分ZC4B,已知AB=10,AC=6,求AD的長.【例7【例7】（08烏魯木齊）如圖所示的半圓中，AD是直徑，且AD=3.AC=29則sinB的值是 【例8】⑴（09河北）如下左圖，四個邊長為1的小正方形拼成一個大正方形，AB、O是小正方形頂點(diǎn)，0O的半徑為1,P是OO上的點(diǎn)，且位于右上方的小正方形內(nèi)，則Z4PB等于 .（2）（09四川成都）如上右圖，AA3C內(nèi)接于OO,AB=BC,Z4BC=120°,Q為OO的直徑，AD=69那么BD= ?⑶（09山東泰安）0?的半徑為1,初是OO的一條弦，且AB=*,則弦皿所對圓周角的度數(shù)為【例9】如圖，點(diǎn)A、B、C是OO上的三點(diǎn)，AB//OC.⑴求證：AC平分⑵過點(diǎn)0作OE丄A3于點(diǎn)巧交AC于點(diǎn)P?若AB=2,ZAOE=30°,求PE的長.【例10】⑴如圖，加是OO的宜徑，CD丄A3,設(shè)ZCOD=a,則広?sm2-= AD2⑵如圖，初是?O的直徑，弦PC交OA于點(diǎn)6弦PE交OB于點(diǎn)F,ROC=DC,OF=EF.若ZC=ZE,?)ZCP￡= pp⑶已知：如圖，MN是。O的直徑，點(diǎn)A是半圓上一個三等分點(diǎn)，點(diǎn)B是AN的中點(diǎn)，P是MN上一動點(diǎn)，OO的半徑為1,則PA+PB的最小值是 ?【例11】已知如圖，AACD【例11】已知如圖，AACD的外角平分線CB交其外接圓于連接8A、BD,求證:二、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系【例12】如圖所示在?O中，AB=2CD，那么（）A.AB〉2CDE?AB<2CD2010年?暑假?短期班 圓?第2講?學(xué)生版c.AB=2CDD.AB與2CD的大小關(guān)系不能確定【例13】如圖，過07的直徑初上兩點(diǎn)W分別作弦CD,EF,若CD//EF,AC=BF?求證：⑴BEC=ADF；（2）AM=BN?【例14】已知AB.AC是OO的弦，AD平分ZBAC交0O于D,弦DE//AB交AC于P,求證：OP平分ZAPD.【例15】（2008年廣州市數(shù)學(xué)中考試題）如圖，射線AM交一圓于點(diǎn)B,C,射線3交該圓于點(diǎn)D、E,且BC=DE?⑴求證：AC=AE⑵分別作線段CE的垂直平分線與ZMCE的平分線.兩線交于點(diǎn)F?求證：EF平分乙CEN.EEN三、相交弦定理（選講）相交弦定理:圓內(nèi)的兩條相交弦被交點(diǎn)分成的兩條線段長的乘積相等?如圖r弦初和CD交于OO內(nèi)一點(diǎn)P,則PAPB=PCPD?

【例16】（1）如下左圖，在OO中，弦初與CD相交于點(diǎn)P,已知PA=3cm,PB=4cm,PC=2cm,那么PD= cm.⑵如下中圖，在00*7弦初與半徑OC相交于點(diǎn)M,且QW=MC,若AM=l.S,BM=4,則OC的長為（）A.2>/6B.汞C.2忑 D.2^2⑶如下右圖，在OO中，P為弦AB上一點(diǎn),PO丄PC,PC交0O于C,那么（）A.OP~=PAPB B.PC2=PAPBC.PT=PBPC D.PB2=PAPC【例17】如圖，圓的半徑是5血,圓心的距離.【例17】如圖，圓的半徑是5血,圓心的距離.A、C兩點(diǎn)在圓上，點(diǎn)B在圓內(nèi)，AB=69BC=29ZABC=90。求點(diǎn)B到【例18】如圖，正方形ABCD內(nèi)接于?O,點(diǎn)P在劣弧A3上，連結(jié)DP交AC于點(diǎn)0.若QP=QO9則罕QA的值為 【習(xí)題1】（09浙江溫州）如圖，ZAOB=80°,則弧初所對圓周角Z4CB的度數(shù)是（）A.40°B.45°C.50°D.80°【習(xí)題2】（08山西太原）如圖，4B是OO的直徑，CQ是OO的弦，連接4GAD9若ZCAB=35\則ZADC的度數(shù)為 ?【習(xí)題3】 如圖，將圓沿初折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心，則為B等于 A.60° B.90°C.120°D.150°【習(xí)題4】（09四川涼山）如圖，OO是AA3C的外接圓，已知ZABO=50°9則Z4CB的大小為 ?【習(xí)題5】（09【習(xí)題5】（09四川南充）如圖，是?O的直徑，點(diǎn)C、。在OO上，ZZ?OC=110°,AD//OC9則ZAOD= 【習(xí)題6】如圖，AB為【習(xí)題6】如圖，AB為OO的直徑，AC交OO于E點(diǎn),BC交OO于D點(diǎn)，CD=BD,ZC=70°.現(xiàn)給出以下四個結(jié)論:?ZA=45°；出以下四個結(jié)論:?ZA=45°；?AC=AB；?AE=BE；其中正確結(jié)論的序號是（）④CEAB=2BD'?BB【習(xí)題7【習(xí)題7】 （07年棗莊中考題）如圖,AD=69貝!）BC= ?Z^4C=120°,AB=AC9 為?O的直徑,【習(xí)題8】 如圖，CD為OO的直徑，過點(diǎn)D的弦DE平行于半徑OA,若ZD的度數(shù)是50。，則ZC的度數(shù)是A.25°B?40°C.30°D.50°CC【習(xí)題9】I （08泰安）如圖，在OO中，ZAOB的度數(shù)為…C是ACB上一點(diǎn)，D、E是【習(xí)題9】（不與A、3