數(shù)學(xué)教師教學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)與特征

數(shù)學(xué)教師教學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)與特征

數(shù)學(xué)教師所需要的知識(shí)問題，已經(jīng)成為各國教師教育研究和教師培訓(xùn)工作者關(guān)心與討論的熱點(diǎn)。在過去的30年，對(duì)教學(xué)所需的知識(shí)的關(guān)注不斷增加，有些人的關(guān)心源自感覺，也有些人的關(guān)心隨著課程改革而變化。課改的進(jìn)展對(duì)教師的要求與日俱增。各國教師感受的壓力千差萬別，然而，如何界定數(shù)學(xué)教學(xué)所需要的知識(shí)，是普遍感到關(guān)切的問題。數(shù)學(xué)教師應(yīng)該知道什么，他們知道了什么，什么知識(shí)是可靠的，這些知識(shí)是否可以度量？如何度量？數(shù)學(xué)教師如何獲得知識(shí)，在什么時(shí)候獲得知識(shí)，在哪里獲得并且鞏固這些知識(shí)？都是當(dāng)前教師職業(yè)教育令人感興趣的問題。一、國際數(shù)學(xué)教育界關(guān)注的熱點(diǎn)問題近年已經(jīng)成立國際社團(tuán)，專門研究數(shù)學(xué)教師為教學(xué)的知識(shí)。在2008年召開的國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(ICME-11)上，成立了研究這個(gè)問題的專門小組（TSG27：教學(xué)所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)）。教師的數(shù)學(xué)知識(shí)以及作為數(shù)學(xué)職業(yè)工作者的知識(shí)，兩者有相似之處，也有重要差別。差別何在？既是知識(shí)量不同，也在于知識(shí)領(lǐng)域不同。差異不僅表現(xiàn)為數(shù)學(xué)知識(shí)的性質(zhì)，也表現(xiàn)為它的使用功能，人們對(duì)兩者之間的差異正在研討。一些研究以試驗(yàn)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，一些對(duì)教師的數(shù)學(xué)知識(shí)作理論思考，從而提供了教師數(shù)學(xué)教育的新想法。研究挑戰(zhàn)了現(xiàn)行數(shù)學(xué)教師教育：一些大學(xué)的數(shù)學(xué)教師教育強(qiáng)調(diào)學(xué)術(shù)型的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，與數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐缺乏聯(lián)系。然而，加拿大魁北克雙語區(qū)的數(shù)學(xué)教師教育令人感到興奮，那兒有數(shù)學(xué)教師知識(shí)研究的實(shí)體，教師教育工作者在其中發(fā)揮主要作用。本文以及所給的例子說明，這個(gè)雙語社團(tuán)這些年來得到了一批成果。職前數(shù)學(xué)教師教育取得各種各樣的發(fā)展，也受到一些干預(yù)。該團(tuán)體頒布了數(shù)學(xué)教師教育的基本原理，它不僅從理論上闡述原理，而且也界定了教師的數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)的范圍。利用教師合作研究的課例，可以更好地理解教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，在學(xué)習(xí)情境中所需要的知識(shí)。研究源于20世紀(jì)70年代，加拿大蒙特利爾大學(xué)頒布了中學(xué)數(shù)學(xué)教師教育大綱，提出了數(shù)學(xué)教師教學(xué)所需的數(shù)學(xué)知識(shí)的觀點(diǎn)，指出教師的知識(shí)由兩個(gè)相互補(bǔ)充的主軸構(gòu)成：(1)從理論上說明數(shù)學(xué)教師在其數(shù)學(xué)教學(xué)中所需要的知識(shí)；(2)從教師的專業(yè)發(fā)展的角度對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)成分和特點(diǎn)作出說明。這個(gè)大綱雖然幾經(jīng)修改，但是一直指導(dǎo)著數(shù)學(xué)教師的職業(yè)發(fā)展。二、數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)的四維結(jié)構(gòu)這里所提供的教學(xué)課例，是由合作研究中心提出的，有關(guān)學(xué)生探索數(shù)學(xué)問題的一些片段，其目的是發(fā)展一個(gè)模型的過程，我們從兩個(gè)資料來源進(jìn)行刻畫。論文引用了教師和研究者之間的交流，通過分析學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一些過程，說明教師進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)所需要的知識(shí)，它們的成分、結(jié)構(gòu)與特征。課例重（初三）數(shù)學(xué)課上，羅伊(Roy)老師提出一個(gè)問題，他交給學(xué)生一組形狀各異的紙片，讓學(xué)生把這組紙片放大到原來的125%。羅伊說明活動(dòng)的意義?！に寣W(xué)生提出完成任務(wù)的方案與檢驗(yàn)結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)，學(xué)生進(jìn)行交流，并就不同的紙片如何一一對(duì)應(yīng)取得共識(shí)。羅伊給學(xué)生說明任務(wù)，讓他們思考有關(guān)策略，并相互解釋他們放大一個(gè)紙片圖形的策略，找出共同認(rèn)可的策略?！そ處熞龑?dǎo)學(xué)生相互合作進(jìn)行工作。按照學(xué)習(xí)大綱的精神，學(xué)生個(gè)人能力和班級(jí)水平，指導(dǎo)學(xué)生“通過合作，實(shí)現(xiàn)每個(gè)人的潛力”。羅伊強(qiáng)調(diào)貫徹學(xué)習(xí)大綱及教學(xué)目標(biāo)。注意合作學(xué)習(xí)的重要性，突出了制度的維度?！W(xué)生記錄活動(dòng)的過程，數(shù)學(xué)的維度也隱藏在活動(dòng)中。就是：(1)在選擇中體現(xiàn)對(duì)放大系數(shù)（一個(gè)百分?jǐn)?shù)）的關(guān)注；(2)在活動(dòng)中要求學(xué)生進(jìn)行比例推理，包括需要理解位似中心、位似比和位似變換的知識(shí)；(3)在活動(dòng)過程中，學(xué)生關(guān)注各種圖形的幾何特征性質(zhì)，關(guān)注放大因子作為數(shù)的性質(zhì)。數(shù)學(xué)活動(dòng)的關(guān)鍵因素是教師對(duì)活動(dòng)的設(shè)計(jì)，它是教學(xué)計(jì)劃的核心。在教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師要調(diào)用四個(gè)維度的知識(shí)，即：(1)教學(xué)規(guī)定的維度：教學(xué)大綱，相應(yīng)的教材和教學(xué)參考書，這些文獻(xiàn)所涉及的知識(shí)；(2)教學(xué)目標(biāo)的維度：對(duì)活動(dòng)目標(biāo)的分析，關(guān)心它能夠推動(dòng)什么，思考學(xué)生在活動(dòng)中應(yīng)該得到哪些方面的發(fā)展；(3)數(shù)學(xué)的維度：與活動(dòng)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，如課例1，需要進(jìn)行數(shù)學(xué)推理，推理中所用的概念，定理與性質(zhì)，推理的數(shù)學(xué)表述，數(shù)學(xué)活動(dòng)過程的記錄；(4)教學(xué)法的維度：與他人一起學(xué)習(xí)，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，班級(jí)、小組構(gòu)成小社會(huì)，師生交流，相互爭論，教學(xué)相長。由課例1可見，教師要從多方面考慮設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)，需要把各種各樣的知識(shí)與能力有機(jī)結(jié)合起來，從而說明教師數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)的多樣性與綜合性。三、數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)的實(shí)踐性與綜合性以下提供的教學(xué)課例，用以說明教師對(duì)兩個(gè)不同學(xué)生小組的引領(lǐng)，看到教師對(duì)學(xué)習(xí)活動(dòng)的指導(dǎo)作用，在教學(xué)中教師對(duì)行動(dòng)作出各種調(diào)整。以下用不同年級(jí)、不同內(nèi)容的教學(xué)課例，說明數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)的特征。課例2（初一）教室里有兩堆不同顏色的單位小立方塊。教師讓學(xué)生小組考慮：利用這小立方塊可以堆砌高度一定的不同的塔。這些塔是用白色或黃色方塊構(gòu)建的，同顏色的兩個(gè)方塊不能堆疊在一起，每個(gè)小塔的底部只放一個(gè)方塊。學(xué)生使用方塊做嘗試、教師問：·如規(guī)定小塔有五個(gè)方塊高，可以構(gòu)建多少座不同構(gòu)成的小塔？如規(guī)定小塔有六個(gè)方塊高，可以構(gòu)建多少座不同構(gòu)成的小塔？·是否可以找到構(gòu)建塔數(shù)的規(guī)律和方法？解釋你是怎樣想到的。圖1小組A學(xué)生根據(jù)問題進(jìn)行工作，一些問題迅速呈現(xiàn)出來：(1)與任務(wù)相關(guān)問題的約束條件：羅伊推動(dòng)學(xué)生重述沒有同顏色的方塊能夠堆疊在一起（但是除去這個(gè)條件后，再讓學(xué)生說明約束條件對(duì)解題的限制），重新解決約束條件的問題。(2)提出有關(guān)塔的對(duì)稱性的相關(guān)問題：有學(xué)生問，如果塔的顏色依次為白白白白黃，是否等同于黃白白白白？羅伊建議想象一個(gè)真正的塔，其底層涂上黃色或白色，他問：“如果我們?cè)诿總€(gè)不同的水平上涂色，我們是否得到同樣的塔？如果你說是或否，說出你的理由?！?3)有關(guān)只用一種顏色構(gòu)建塔的可能性的問題，羅伊問他們：“如何看待這些塔要滿足題目的條件，即同顏色的方塊不能堆疊？”小組B有些學(xué)生欣賞從較小的塔入手的想法。某些小組開始明確敘述一個(gè)模式，并開始說明對(duì)于任意高度所能構(gòu)建的符合條件的塔的個(gè)數(shù)。經(jīng)過一段時(shí)間合作努力，小組得到較簡單情況下的結(jié)果，如下表。經(jīng)過討論，學(xué)生達(dá)成了一些共識(shí)：·當(dāng)高度是1到6時(shí)，所構(gòu)建的塔都有兩種模式；·當(dāng)高度是2以上時(shí)，塔的模式都是兩色相間的；·高度是3，5，7等奇數(shù)時(shí)，一種顏色方塊數(shù)目是奇數(shù)，另一顏色方塊數(shù)目是偶數(shù)；·高度是2，4，6等偶數(shù)時(shí)，構(gòu)成塔的兩種顏色的方塊數(shù)目相等。還有一些意見是非數(shù)學(xué)的，例如有學(xué)生指出，“塔不能太高，否則塔就站不穩(wěn)了?！遍_始時(shí)，學(xué)生對(duì)問題的處理是發(fā)散的，而教師的即時(shí)處理必須是根據(jù)課堂活動(dòng)的具體情況機(jī)靈而有創(chuàng)意。在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生傾向于注意約束條件，例如，規(guī)定從底層是一個(gè)方塊開始，這樣上面每一層也只放一個(gè)方塊。教師的教學(xué)處理不能預(yù)先設(shè)定，而要根據(jù)活動(dòng)的具體進(jìn)展“見機(jī)行事”，比較各組學(xué)生的情況，有針對(duì)性地進(jìn)行。什么是“見機(jī)行事”？沒有必要做具體的解釋，教師在教學(xué)中的現(xiàn)場(chǎng)扮演，是對(duì)學(xué)生在活動(dòng)中的具體處理的及時(shí)應(yīng)答?！み@種“在行動(dòng)中扮演”就好比下棋，看學(xué)生如何做，教師要先讀棋，再應(yīng)答。棋子支配著羅伊分析學(xué)生思維中的有關(guān)因素。例如，B組在開始概括模式時(shí)遇到困難，羅伊建議從簡單情況開始。又如出現(xiàn)同色兩方塊相鄰時(shí)，教師讓A組重述問題的約束條件。這種讀懂學(xué)生的思維表述，在一定的程度上，是羅伊回答學(xué)生問題的標(biāo)準(zhǔn)。學(xué)生的行動(dòng)是受一定的思維所支配的，教師應(yīng)該關(guān)注學(xué)生的問題、解法、困難以及應(yīng)對(duì)問題的途徑?！み@種“見機(jī)行事”，涉及做事的方式。例如羅伊應(yīng)答組A的關(guān)于塔的對(duì)稱性問題，他建議學(xué)生考慮顏色的順序，使得能夠按照相同標(biāo)準(zhǔn)處理?！み@種“見機(jī)行事”涉及教師教學(xué)的重要方面，這就意味著，教師通過適當(dāng)?shù)膯栴}，讓學(xué)生鑒別他們的解答。這里也隱含師生交流各自數(shù)學(xué)觀點(diǎn)以及解決問題的方法。從課例2可見，數(shù)學(xué)教師的教學(xué)知識(shí)，主要是在教學(xué)中產(chǎn)生，并在教學(xué)中得到檢驗(yàn)和強(qiáng)化。在教學(xué)中所用到的知識(shí)，往往不局限于某個(gè)章節(jié)的知識(shí)，而是與數(shù)學(xué)其他分支，其他學(xué)科的知識(shí)綜合交織在一起的。對(duì)于課例1，用到了四個(gè)維度的知識(shí)；對(duì)于課例2，教師要用到排列組合的準(zhǔn)備知識(shí)，數(shù)的奇偶性知識(shí)，重心與平衡的知識(shí)，模式與結(jié)構(gòu)的知識(shí)，等等。在教學(xué)中所用到的知識(shí)，也不局限于數(shù)學(xué)內(nèi)容的知識(shí)，還包括動(dòng)手實(shí)踐，探索發(fā)現(xiàn)，從簡單到復(fù)雜，從特殊到一般等科學(xué)認(rèn)識(shí)論和方法論的原理。四、對(duì)學(xué)生解答的感知與教學(xué)決策對(duì)學(xué)生的關(guān)心與理解，是正確教學(xué)決策的前提，也是課堂教學(xué)有魅力的保證。下課前二十來分鐘時(shí)，羅伊要求學(xué)生寫出他們的問題和解答，他在班內(nèi)巡視，看學(xué)生正在做什么，這涉及選取的策略和所用的理由。課后，他選出某些解答，第二天提供其他學(xué)生小組分享。這些選用的解答是對(duì)或者錯(cuò)？哪些解題策略能在類似的情況下優(yōu)先使用？迅速引起其他學(xué)生思考。他從中選出一個(gè)想法與眾不同的學(xué)生向全班介紹。事實(shí)上，羅伊傾向于請(qǐng)出不同學(xué)生，他認(rèn)為，如果所請(qǐng)的學(xué)生過于集中，有時(shí)會(huì)引起負(fù)面效果。這是教學(xué)決策另一個(gè)關(guān)鍵方面：讓人人享有平等的機(jī)會(huì)，讓機(jī)敏而新穎的見解得以傳播，讓誤解及時(shí)得到澄清；讓人人學(xué)有所得，為后續(xù)教學(xué)的再投資留下伏筆。課例3對(duì)學(xué)生問題的再投資（高二）在一個(gè)國際活動(dòng)中，來自不同國家的10位代表第一次見面，他們兩兩握手做自我介紹。試問：(a)在這次見面中有多少次不同的握手？(b)如果代表的人數(shù)多于10人，共有多少次握手？對(duì)于任意人數(shù)赴會(huì)，能否找出一種辦法計(jì)算不同的握手次數(shù)？（這問題和我國高中數(shù)學(xué)選修系列2-3課本第28頁例3實(shí)質(zhì)是一樣的。）教師讓學(xué)生回憶該問題，有學(xué)生說很容易，羅伊認(rèn)為這太好了，因?yàn)樗肟吹綄W(xué)生各種各樣的具體的思路，而不僅僅是答案。第一小組受邀上臺(tái)，卡拉與克羅蒂亞到講壇上出示答案，他的答案是。對(duì)于第二個(gè)問題，卡拉解釋說：例如，不妨設(shè)有20人，必須握手20×19次，再除以2。教師問為什么要除以27卡拉回答說：甲乙握手與乙甲握手是一樣的，故要除以2。問題似乎已經(jīng)解決，但教師還希望擴(kuò)大收獲，此時(shí)恰有另一個(gè)學(xué)生伯納發(fā)問：為什么10個(gè)人得到45次握手，20人得到190握手呢？羅伊發(fā)動(dòng)班里展開討論，并且問：“你們是怎樣想的？”兩個(gè)互相矛盾的觀點(diǎn)呈現(xiàn)在同學(xué)面前。伯納：“計(jì)算是錯(cuò)誤的，因?yàn)槿缤?0人的情況，你必須考慮到這樣的事實(shí)，握手的次數(shù)是隨著人數(shù)的減少而減少的?！卑涂枺骸皩?duì)于20人，應(yīng)該兩倍乘以10人的握手?jǐn)?shù)，因此答案是90而不是190?！绷_伊要求學(xué)生考慮5人的情況：“我們應(yīng)該如何處理？是不是該握手22.5次？”，有學(xué)生提出答案應(yīng)該是握手15次，卡拉提出握手次數(shù)不可能是22.5……問題源于組合計(jì)數(shù)的章節(jié)，伯納的見解含有正確的成分，就是“人數(shù)越少，握手次數(shù)也少”；然而，他把握手次數(shù)y與人數(shù)n的關(guān)系誤解為正比例關(guān)系，而實(shí)際不是如此。教師巧妙的設(shè)問以及所使用的反例，正是引導(dǎo)學(xué)生走出認(rèn)知誤區(qū)的亮點(diǎn)。有學(xué)生指出，而伯納誤以為y與n是正比例關(guān)系，這正是一種誤解。教師及時(shí)理解學(xué)生進(jìn)入數(shù)學(xué)誤區(qū)的原因，這是本課例取得成功的關(guān)鍵。教師要求學(xué)生們判斷伯納的想法是否正確，說出各自理由，把這個(gè)問題留到下一次課討論。在下一次課上，各組學(xué)生紛紛發(fā)表意見，第一組學(xué)生指出，按照伯納和巴卡爾的意見，握手次數(shù)y與會(huì)議人數(shù)n的關(guān)系應(yīng)該是正比例關(guān)系y=4.5n（圖2），而實(shí)際上y與n的關(guān)系應(yīng)該是，是二次函數(shù)關(guān)系（圖3）。第二組同學(xué)指出，握手的次數(shù)不可能是22.5，因?yàn)槲帐执螖?shù)是正整數(shù)，第一組所說的二次函數(shù)的定義域還應(yīng)該是離散型的集合（圖3），因?yàn)楦皶?huì)人數(shù)n也是正整數(shù)。教師及時(shí)作了總結(jié)，同學(xué)們通過合作學(xué)習(xí)，把組合問題與二次函數(shù)聯(lián)系起來，又把連續(xù)型函數(shù)與離散型函數(shù)區(qū)分開來，我們的學(xué)習(xí)有了新的收獲。這里可見到教師在教學(xué)中各種各樣的扮演，在教育的水平上，羅伊把學(xué)生的問題拋回給學(xué)生分享，引導(dǎo)他們負(fù)責(zé)任地提出有效的解答。（在這里我們?cè)俅慰吹剿麍?jiān)持讓學(xué)生進(jìn)行說理。）在數(shù)學(xué)的水平上，羅伊找出并提供反例，“如果是5人的情況，是否握手22.5次？”用這個(gè)反例，反擊“加倍”的策略。這種反例也是對(duì)學(xué)生引導(dǎo)的策略，這種策略具有教育的意圖，因?yàn)榱_伊的目的是引導(dǎo)學(xué)生反思自己的解答，推動(dòng)并激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生疑問。五、問題的突發(fā)性與應(yīng)答的機(jī)敏性前面的課例，討論了教師數(shù)學(xué)教學(xué)的知識(shí)有三個(gè)基本特點(diǎn)：(1)它的性質(zhì)接近于在行動(dòng)中的知識(shí)，一個(gè)“見機(jī)行事”更甚于實(shí)際的知識(shí)；(2)它的情境特點(diǎn)：它與課堂出現(xiàn)的問題，以及解決問題的思路緊密相連；(3)學(xué)生問題的出現(xiàn)具有不可預(yù)知性，新課程要求教師能及時(shí)跟蹤學(xué)生的想法，要恰當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生走出誤區(qū)，教師必須有較高的知識(shí)水平與較強(qiáng)的引領(lǐng)能力。數(shù)學(xué)教師在他們的教學(xué)中所從事的情境，在方法上與數(shù)學(xué)家大不相同。以上的課例說明了這些差異。在對(duì)問題的探索中（例如計(jì)算塔的個(gè)數(shù)問題），一個(gè)數(shù)學(xué)家肯定把注意力集中在組合模型，尋找一般的公式，找出所有可能的塔數(shù)。在其中要規(guī)定各種各樣的約束條件（不同的顏色，不同的安排，等等）。而教師在實(shí)際教學(xué)中處理這個(gè)問題時(shí)，就會(huì)從不同的視覺進(jìn)入。他會(huì)聯(lián)系到學(xué)生，聯(lián)系到學(xué)生各種各樣的策略，聯(lián)系到自然產(chǎn)生的模型，教師會(huì)根據(jù)這個(gè)模型，對(duì)問題及其各種解法進(jìn)行再投資。如同課例2，教師不僅對(duì)排列組合模型感興趣，更對(duì)學(xué)生自然產(chǎn)生的模型，他們所陳述的道理，這些理由的有效性，以及他們所取得的進(jìn)步感興趣。數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)總是在教與學(xué)的線索中得以建立，得到解釋。設(shè)計(jì)教學(xué)情境，同時(shí)用到了各種各樣的知識(shí)來源，包括教育的，教學(xué)法的，數(shù)學(xué)的，甚至是規(guī)定性的。這些維度不是一成不變的。數(shù)學(xué)思想方法的滲透是潛移默化的，關(guān)