有理數(shù)的乘除法（解析版）

考點05.有理數(shù)的乘除法

知識框架

'（有理數(shù)的乘法法則

有理數(shù)乘法的運算律

基礎知識點,倒數(shù)的概念

有理數(shù)的除法法則

有理數(shù)四則混合運算

'有理數(shù)乘除法與絕對值的綜合應用

重點題型，定義新運算

±1賦值問題

基礎知識點

知識點6.1有理數(shù)的乘法法則

規(guī)律：①幾個非零數(shù)相乘，值為絕對值相乘，符號由負號個數(shù)確定（奇數(shù)個為負，偶數(shù)個為正）

②任何數(shù)乘0,積為0

例1.（2020四川綿陽初一月考）計算：

2)

(2)-|-2.5|x--

25>

⑷jx(T.2)

(6)(-5)x(-8)x(-10)x(-15)x0.

7

(8)(-5)xx—x0x(-325).

30

7

(4)

36

【分析】（1）小括號內(nèi)小數(shù)先化成分數(shù)并確定符號，再相乘即可:

（2）先按法則去掉絕對值符號和括號，確定符號，再相乘即可；

（3）先確?定符號，再相乘即可；

（4）先把小數(shù)化成分數(shù)并確定符號，再相乘即可.

(5)(-8)x(-5)x(-2)x—=-25；(6)(-5)x(-8)x(-10)x(-15)x00.

16

x=x

(7)H)-

7

(8)(-5)xx—x0x(-325)=0

30

【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘法，解題的關鍵是明確有理數(shù)乘法運算的法則.

例2.(2019?安徽省肥東三中初一期中)填在下面各正方形中的四個數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律,

D.74

【答案】D

【分析】仔細觀察圖形，找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律求出m的值即可.

【解析】通過觀察圖形，該題四個數(shù)有以下規(guī)律：前三個數(shù)是連續(xù)偶數(shù)，最后一個數(shù)是第二個數(shù)與第三個

數(shù)的乘積再與第一個數(shù)的差，故m=8xl0-6=74.故選D.

【點睛】本題屬于規(guī)律探索題，細心觀察圖形找出規(guī)律是解答此類題目的關鍵.

例3.(2020?湖北省初一月考)如圖，A、B、C三點在數(shù)軸上所表示的數(shù)分別為a、b、c,根據(jù)圖中各點位

置，下列各式正確的是()

~~c~0~a1%

A.(。一1)(。-1)>0B.(c-l)(Z?-l)>0C.(?+l)(Z?+l)<0D.(c+l)(Z?+l)<0

【答案】D

【分析】根據(jù)數(shù)軸得出c<-l<OVc/<l<b,求出a-l<0,b-1>O,c-l<0,?+l>0,b+l>0,c+l<

0,再根據(jù)有理數(shù)的運算法則判斷即可.

【解析】解：；從數(shù)軸可知：c<T<0<a<l<3,

.'.a-KO,b-l>0,c-1<0,a+l>0,ft+l>0,c+l<0,

A(a-1)(Z>-I)<0,(c-1)(/>-1)<0,(a+1)31)>0,(c+1)(b+1)<0,

???只有選項。正確；選項A、B、C都錯誤，故選：D.

【點睛】本題考查了數(shù)軸和有理數(shù)的運算法則，能根據(jù)數(shù)軸得出c<-1<0<。<1<人是解此題的關鍵.

例4.(2020?全國初一課時練習)六個整數(shù)的積=-36,a、b、c、d、e、/互不相等，則

a+b+c+d+e+f=().

A.0B.4C.6D.8

【答案】A

【解析】解：?.?-36=(-l)xlx(-2)x2x(-3)x3,.,.這六個互不相等的整數(shù)是-1、l、-2、2、-3、3,...a+加Gd+e4戶

(-1)+1+(-2)+2+(-3)+3=0.故選A.

點睛：本題考查了有理數(shù)的乘法，有理數(shù)的加法，難點在于確定出這六個互不相等的整數(shù)的值.

例5.(2019?山西省初一月考)已知。為有理數(shù)，且出?>0,a+b<0,則下列說法正確的是()

A.a,匕中一正一負B.a,匕都為正數(shù)C.”的絕對值更大D.a,力都為負數(shù)

【答案】D

【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減乘除運算法則判斷出a和b的正負即可得出答案

【解析】：刈>0，a+b<0.?.a和b同為負故答案選擇D.

【點睛】本題考查的是有理數(shù)的運算，比較簡單，需要熟練掌握有理數(shù)的運算法則.

例6.(2020?北京初一期末)閱讀下面材料：兩位同學在用標有數(shù)字1,2,....9的9張卡片做游戲.

甲同學：“你先從這9張卡片中隨意抽取兩張(按抽取的先后順序分別稱為“卡片A”和“卡片5”)，別告訴我

卡片上是什么數(shù)字，然后你把卡片A上的數(shù)字乘以5,加上7,再乘以2,再加上卡片3上的數(shù)字，把最后

得到的數(shù)M的值告訴我，我就能猜出你抽出的是哪兩張卡片啦！”

乙同學：”這么神奇？我不信

試驗一下:

（1）如果乙同學抽出的卡片A上的數(shù)字為2,卡片3上的數(shù)字為5,他最后得到的數(shù)M等于多少；

（2）若乙同學最后得到的數(shù)M=57,則卡片A上的數(shù)字為多少，卡片5上的數(shù)字為多少.

解密：

請你說明：對任意告知的數(shù)M，甲同學是如何猜到卡片的.

解：（1）M等于多少.（2）若M=57,則卡片A上的數(shù)字為多少，卡片8上的數(shù)字為多少.

解密：

【答案】（1）39：（2）4,3.解密：見解析.

【分析】（1）根據(jù)游戲規(guī)則計算M的值即可；（2）根據(jù)游戲規(guī)則表示M,為一個二元一次方程，取整數(shù)解

即可;解密：設卡片A上的數(shù)字為X,卡片B上的數(shù)字為y,則M=2（5x+7）+y=（10x+y）+14,M-14=10x+y,

可得結論.

【解析】⑴由題意得，［（2x5）+7卜2+5=39；故M為39；

（2）4,3；解密：預設方法1：學生任意再舉具體數(shù)說明，說得正確只得1分.

預設方法2：學生用字母表示數(shù)來說明一般情況，如：

設卡片A上的數(shù)字為卡片B上的數(shù)字為b,（其中a,b為1,2,....9這9個數(shù)字）

根據(jù)游戲規(guī)則可得：M=2（5a+7）+b=（10a+b）+14.

可得M-14=10a+b，其中十位數(shù)字為個位數(shù)字為b.

所以由給出的M的值減去14,所得兩位數(shù)H立上的數(shù)字為卡片A上的數(shù)字個位上的數(shù)字為卡片B上

的數(shù)字b.57—14=43；故卡片A上的數(shù)字是4,卡片B上的數(shù)字是3.

【點睛】本題是閱讀型問題，考查學生有理數(shù)的加法和乘法，及規(guī)律計算問題，注意理解材料中M的由來.

知識點6.2有理數(shù)乘法的運算律

I）正數(shù)乘法運算定律可推廣到有理數(shù)中：

①交換律：axb=bxa②結合律：axbxc=ax（bxc）③分配律：ax（b+c）=axt>+axc

注：運用運算律時，因數(shù)作為一個整體，符號要與因數(shù)一同變換

2）運用運算律的一些技巧（先當作正數(shù)計算出有理數(shù)的數(shù)值，最后在判斷符號）

①運用結合律，將能約分的先結合計算。如：-xlxlO

35

3

②小數(shù)與分數(shù)相乘，一般先將小數(shù)化為分數(shù)。$n：i.2x-

7

52

③帶分數(shù)應先化為假分數(shù)的形式。如：1-x-

73

1234

④幾個分數(shù)相乘，先約分，在相乘。如；-x-x-x-

2345

⑤一個數(shù)與幾個數(shù)的和相乘，通常用分配律可簡化計算。如：12x+1+

234

例1.(2020?浙江初一期中)計算下列各式：

1、53

(1)(-4——)xl.25x(-8)；(2)-x(-2.4)x-；

6

18

(3)(-14)x(-100)x(-6)x(0.01)；(4)9—xl5；

19

(5)-100xi-0.125x35.5+14.5x(-12.5%)；

8

(6)(1-2)x(2-3)x(3-4)x(4-5)x...(19-20).

【答案】(1)—；(2)-1.2；(3)-84；(4)149—；(5)----；(6)-1

2194

【分析】(1)把帶分數(shù)化為假分數(shù)，小數(shù)化為分數(shù)，然后根據(jù)有理數(shù)的乘法法則進行計算即可得解;

(2)根據(jù)有理數(shù)的乘法運算法則進行計算即可得解；

(3)利用乘法交換結合律進行計算即可得解；

(4)把寫成(10-R),然后利用乘法分配律進行計算即可得解；

(5)逆運用乘法分配律進行計算即可得解；

(6)先算小括號里面的，再根據(jù)有理數(shù)的乘法運算法則進行計算即可得解.

【解析(-44)創(chuàng).25(-8)=(-4)倉((_8)=/倉號8=—；

(2)5-?(243)?-5海.43-=-1.2；

6565

(3)(-14)?(100)?(6)?(0.01)=(-100)創(chuàng)0.01)(-14)?(6)=-1?84=-84；

(4)9—'15=(10-—)?15=10?15—?15=150--=149—；

1919191919

(5)-100x1-0.125x35.5+14.5x(—12.5%)=-100?0.1250.125?35.514.5?(0.125)

=0.125?(100-35.5-14.5)=0.125?(150)=-

(6)(1-2)?(23)?(34)?(45)醇？(1920)=(-1)?(1)?(1)?(1)醇？(1)=-1.

【點睛】本題考查有理數(shù)的乘法，利用運算定律可以使計算更加簡便，計算時要注意運算符號的處理.

例2.(2020?河北省初三學業(yè)考試)利用運算律有時能進行簡便計算.

例198x12=(1(X)-2)x12=1200-12=1176

例2—16x233+17x233=(—16+17)x233=233

計算：（1）-19—x8；(2)—x23-—x(-23)--x23

16171717

【答案】(1)-159-；(2)23

2

將原式變形為1-20+，）X8,再利用乘法分配律計算即可；（2）逆用乘法分配律即可求解.

【分析】(1)

【解析】(1)-19—x8=(-20+—1x8=-160+-=-159-；

16I16)22

(2)—x23-—x(-23)--x23=—x23+—x23-—x23x23=1x23=23.

171717171717171717J

【點睛】本題主要考查乘法分配律，考查學生的計算能力，解題的關鍵是熟練運用乘法分配律.

例3.(2019?全國初一課時練習)用簡便方法計算：

，、,1513、，、，、-997-,、，11、，11、11,

(1)(------11—)X(-12)；(2)999X998；(3)-5X(--)+13X(--)-3X(z--).

4632998555

【答案】(1)-15；(2)997999；(3)-II

【分析】(1)利用乘法的分配律計算即可；

(2)把999總997寫成1(1000—亞)，然后利用分配律計算即可；

998998

(3)逆用乘法的分配律，提出(-分)進行計算.

15131513

【解析1(1)(------1--1—)X(-12)=(-12)X—H(-12)X(—)+(-12)X—F(-12)X—

46324632

=-3+10-4-18=-15；

、997,1、1

(2)999——X998=(1000-——)X998=1000X998-——X998=998000-1=997999：

998998998

,11、，11、，11、，、，11、，11、

(3)-5X(--)+13X(--)-3X(--)=(-5+13-3)X(--)=5X(--)=-]1.

55555

【點睛】本題考查了利用運算律進行有理數(shù)的簡便運算，熟記分配律法則，認真分析算式是解決此題的關

鍵，注意運用分配律時各項的符號不變.

例4.（2019?全國初一課時練習）用簡便方法計算:

【答案】（1）0;（2）0.

【分析】（1）先確定積的符號，再逆用乘法的分配律計算即可;

（2）小數(shù)轉化成分數(shù)，再逆用乘法的分配律計算即可.

(4444

+6x---|、=3.59x—+2.41x——6x—

【解析】（1）（-3.59）x

I7；777

44

=-x(3.59+2.41-6)=-xO=O；

77

【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則和乘法運算律是解本題的關鍵.

<20192021

XI______x_______

例5.（202（）?全國初一課時練習）計算:I20202020

2021

【答案】

4040

【分析】先去括號寫成乘法的形式，再約分計算即可.

<20192021

【解析】x_____x_____

(20202020

13243520192021120212021

=——X——X——X—X——X——XX-----------X------------=—X-----------=------------

22334420202020220204040

【點睛】本題考查有歷史的乘法，根據(jù)式子特點，去括號后約分是解題的關鍵.

知識點6.3倒數(shù)的概念

1）倒數(shù)：乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，0無倒數(shù)。即axb=l",人HO）

注：正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負數(shù)的倒數(shù)是負數(shù)，0無倒數(shù)。

例1.（2020?全國初一課時練習）下列說法：①如果兩個數(shù)的和為1,那么這兩個數(shù)互為倒數(shù)；

②如果兩個數(shù)積為0,那么至少有一個數(shù)為0；③絕對值是其本身的有理數(shù)只有0；

④倒數(shù)是其本身的數(shù)是-1，0,1；⑤一個數(shù)乘-1就是它的相反數(shù)：⑥任何一個有理數(shù)a的倒數(shù)是

a

其中錯誤的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4-

【答案】D

【分析】根據(jù)倒數(shù)的概念、有理數(shù)乘法法則、絕對值的概念，相反數(shù)的概念進行判斷即可.

【解析】解：如果兩個數(shù)的積為I,那么這兩個數(shù)互為倒數(shù)，①錯誤；如果兩個數(shù)積為0,那么至少有一個

數(shù)為0,②正確；絕對值等于其本身的有理數(shù)是0和正有理數(shù)，③錯誤；倒數(shù)等于其本身的有理數(shù)只有1和

-1,④錯誤；因為一個數(shù)乘一1后就得到與其本身只有符號不同的另一個數(shù)，所以一個數(shù)乘一1就是它的相

反數(shù)，⑤正確；0沒有倒數(shù)，⑥錯誤.錯誤的有①③④⑥，共4個.故選D.

【點睛】本題主要考查了倒數(shù)的概念，有理數(shù)乘法法則和絕對值的概念，相反數(shù)的概念，熟記概念和法則是

解決此題的關鍵.

例2.（2019?商水縣希望中學初一月考）-7的相反數(shù)的倒數(shù)是.

【答案】；

【分析】再根據(jù)相反數(shù)、倒數(shù)的定義，即可解答.

【解析】-7的相反數(shù)為7,7的倒數(shù)是,，故答案為：

77

【點睛】本題考查了相反數(shù)、倒數(shù)，解決本題的關鍵是熟記相反數(shù)、倒數(shù)的定義.

例3.（2020?全國初一課時練習）-（+5）的倒數(shù)是,-2；的倒數(shù)是.

17

【答案】一二y

【分析】先化簡，再根據(jù)倒數(shù)的定義計算即可.

【解析】：一（+5）=-5,.-.-（+5）的倒數(shù)是一」.-2；=1,??.-2；的倒數(shù)是

52225

12

故答案為：①一《；②].

【點睛】本題考查倒數(shù)的定義，熟知倒數(shù)的定義是解題的關犍.

例4.（2020?北京四中初三月考）如圖，數(shù)軸上A,B兩點所表示的數(shù)互為倒數(shù)，則關于原點的說法正確的

是（）

4B

A.一定在點A的左側B.一定與線段AB的中點重合

C.可能在點B的右側D.一定與點A或點B重合

【答案】C

【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義可知4,8兩點所表示的數(shù)符號相同，依此求解即可.

【解析】???數(shù)軸上A，8兩點所表示的數(shù)互為倒數(shù)，

...A，B兩點所表示的數(shù)符號相同，如果A,8兩點所表示的數(shù)都是正數(shù)，那么原點在點A的左側；

如果4,8兩點所表示的數(shù)都是負數(shù)，那么原點在點8的右側，.?.原點可能在點A的左側或點8的右側.故

選C.

【點睛】本題考查了數(shù)軸，倒數(shù)的定義，由題意得到48兩點所表示的數(shù)符號相同是解題的關鍵.

例5.（2019?沐陽縣修遠中學初一月考）已知a、b互為相反數(shù)且a￥0,c、d互為倒數(shù)，m的絕對值是最小

的正整數(shù)，則加H-------------cd的值為-

2008

【答案】0或-2

【分析】b互為相反數(shù)且a#0,c、d互為倒數(shù)，m的絕對值是最小的正整數(shù)，可分別求得a+b=O,cd=l,

m=±l,代入求值即可.

【解析】：a、b互為相反數(shù)且a#為.?.a+b=O,

又「c、d互為倒數(shù)，m的絕對值是最小的正整數(shù)，；.cd=l,m=±l,

：.m+2。。7（〃十①一d=±1+o一1.?.原式=o或-2.故填0或-2.

2008

【點睛】本題考查代數(shù)式求值，相反數(shù)，絕對值，倒數(shù).能根據(jù)互為相反數(shù)的數(shù)和為0,互為倒數(shù)的兩個數(shù)積

為1,得出a+b=O,cd=\,能根據(jù)絕對值的定義求出“是解決本題的關鍵.

知識點6.4有理數(shù)的除法法則

1）有理數(shù)除法法則：①除以一個不為0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)；②符號的判定看負號的數(shù)量，奇為負，

偶為正。

2）有理數(shù)乘除法運算步驟：①根據(jù)負號個數(shù)的奇偶判斷符號；②絕對值運算數(shù)值。

例1.（2020?浙江初一期中）

(1}“2”1

(1)(-1)4-5x--(2)-4--T—3—

73

(3)-209-4-19.

39

fill

(6)60\i-5+3

192273600

【答案】(1)—:(2)一：(3)-II—；(4)5；(5)(6)

257396423

【分析】(1)先把除法運算轉化成乘法運算，確定符號，按從左到右順序計算即可;

(2)先絕對值化簡，再把除法運算轉化成乘法運算，計算即可；

(3)把除法運算轉化成乘法運算，再運用乘法分配律計算即可：

(4)把除法運算轉化成乘法運算，再運用乘法分配律計算即可；

(5)先把除法運算轉化成乘法運算，確定符號，按從左到右順序計算即可；

(6)括號內(nèi)先通分化簡，再把除法運算轉化成乘法運算，計算即可.

【解析】(1)(-1)+5x(—：]=-1x]x(-：)=+

25

30,103039

(2)---；---——X———

737107

38381209x±^111+2

(3)-209-4-19--209一X——+x^=-11—；

39391919391939

13

(4)X(-12)=-X(-12)——X(-12)=-4+9=5；

34

1(151220、233600

(6)

53)<606060；6023

【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘除混合運算，熟練掌握有理數(shù)的乘除運算法則和運算順序是解題的關鍵.

例2.(2020?成都市初一期末)I+7+

\23o43

【答案】1

【分析】原式利用除法法則變形，再利用乘法分配律計算即可得到結果.

1153

=——x(—12)+—x(—12)+—x(—12)——x(—12)=6—4—10+9=15-14=1.

點睛：此題考查了有理數(shù)的除法，熟練掌握除法法則是解本題的關鍵.

例3.(2020?四川省北師大錦江區(qū)一月考)閱讀下列材料：計算5+(!—1+-!-)

3412

解法一,：原式=5：--5-r——

3412

=5x3-5x4+5x12

=55

431

解法二：原式=5：(--------1---)

121212

1

=5-

6

=5x6

=30

解法三：原式的倒數(shù)=(---+—)-5

3412

[11111

(3412J5

111111

=-X----------X—HX—

3545125

1

-30

原式=30

(1)上述的三種解法中有錯誤的解法，你認為解法是錯誤的

1門323、

(2)通過上述解題過程，請你根據(jù)解法三計算(一瓦)十(k—立一§+

【答案】(1)(2)上

12

【分析】(1)根據(jù)運算律即可判斷；(2)類比解法三計算可得.

【解析】(1)由于除法沒有分配律，所以解法一是錯誤的，故答案為：一;

13231

(2)原式的倒數(shù)=(----------1—)-r(----)

6143742

1323

=(----------F—)x(-42)

61437

1323

=-x(-42)——x(-42)——x(-42)+-x(-42)

61437

=-7+9+28-18

=12,

原式=—?

12

【點睛】此題主要考查了有理數(shù)的混合運算，要熟練掌握，注意明確有理數(shù)混合運算順序：先算乘方，再

算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算.

知識點6.5有理數(shù)四則混合運算

正數(shù)四則混合運算法則可推廣到有理數(shù)中，先算括號里的，再算乘除，最后加減，同級之間從.左往右依次

計算。

例1.（2020?全國初一課時練習）計算:

(2)I-13-U5-1--5+13X-L.

I3J35

2

【答案】（1）16（2）-y

【分析】（1）利用乘法分配律進行計算即可；（2）將除法轉化為乘法，再利用乘法分配律逆運算進行計算

即可.

【解析】（1）

(-x(_105)+x(-105)-[-g]x(-105)=30+21-35=16.

(2)原式=(_13』]乂1_12乂2+13乂1=(_131_12+13]*』=_2*，=_2.

I3)5355(33)555

【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，解題的關鍵是掌握有理數(shù)的乘法運算律進行計算.

例2.（2020?日照市新營中學初一月考）計算：

（l）（-8）x（-12）x（-0.125）xL|jx（-0.001）；

【答案】⑴-（）.（XM；（2）0.

分析：（1）原式變形后，約分即可得到結果；

（2）原式先計算乘除運算，再計算加減運算即可得到結果.

【解析】（1）原式=—8xl2x"x'x^—=-0.004；

g5

⑵原式=-]X]X

點睛：此題考查了有理數(shù)的除法，，以及有理數(shù)的乘法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

例3.（2020?全國初一課時練習）計算：

2215

(2)-13x——0.34x-+-x(-13)--x0.34.

3737

7

【答案】（1）一一;（2）-13.34；（3）27；（4）11.

13

【分析】（1）先去括號，再算乘法即可.（2）先去括號，再算乘法，再算加法即可.

（3）先轉換成假分數(shù)的形式，再算乘法即可.（4）根據(jù)乘法分配律求解即可.

5(4337

[解析](1)原式=式、----1-

?1D\JDD13

(2)原式=(-13)X(3+§]+0.34X(_,_,]=(-13)x1+0.34x(—l)=—13—0.34=—13.34.

709319

(3)--X-X---X-=27.

317152

(4)腎-1卜HO?6。）/xTO）+（一|卜（一60）一（一看卜（一60）

=^1+50-35=11.

【點睛】本題考查了有理數(shù)混合運算問題,掌握有理數(shù)混合運算法則是解題的關鍵.

例4.（2019?全國初一課時練習）計算:

14

⑴一2.5。信｝(2)-27-2-x--(-24)；

⑶翦fl+；x2；

214

【答案】(1)1；(2)—；(3)---；(4)8；(5)-1：(6)1

925

【分析】(1)把小數(shù)化為分數(shù)，把除法轉化為乘法，再根據(jù)乘法法則計算；

(2)(3)(5)把帶分數(shù)化為假分數(shù)，把除法轉化為乘法，再根據(jù)乘法法則計算;

(4)把除法轉化為乘法，再根據(jù)乘法法則計算；

(6)先算絕對值，再算乘除法.

【解析】(1)原式二-一]]二i；442

(2)原式=-27x§x§x

25I4；9

(4)原式=Tx/x(-2)x2=8：

9441

(6)原式=-x—x—x—=1.

8332

【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘除混合運算，熟練掌握混合運算的順序及運算法則是解答本題的關鍵.

例5.(2020?四川省初一期末)在學習了有理數(shù)的混合運算后，小明和小剛玩算“24點”游戲.游戲規(guī)則:

從一副撲克牌(去掉大，小王)中任意抽取4張，根據(jù)牌面上的數(shù)字進行混合運算(每張牌必須用一次且只能

用一次，可以加括號)，使得運算結果為24或-24.其中紅色撲克牌代表負數(shù)，黑色撲克代表正數(shù)，J,Q,

K分別代表11,12,13.小明抽到的四張牌分別是黑桃1,黑桃3,梅花4,梅花6(都是黑色撲克牌).小明

湊成的等式為6+(1-3+4)=24,小亮抽到的四張牌分別是黑桃7、黑桃3、梅花7、梅花3(都是黑色撲克牌)：

請寫出小亮湊成的“24點”等式—.

【答案】7X(3+34-7)=24

【分析】利用“24點”游戲規(guī)則列出等式即可.

【解析】根據(jù)題意得:7x(3+3v7)=24.故答案為：7x(3+3+7)=24.

【點睛】此題考查了有理數(shù)的混合運算，弄清“24點”游戲規(guī)則是解本題的關鍵.

重難點題型

題型1有理數(shù)乘除法與絕對值的綜合應用

性質(zhì)：時=0,0=0解題技巧：回=1'"°八

-a,a<0

首先判斷絕對值內(nèi)算式的正負，利用絕對值的性.質(zhì)去絕對值。若絕對值內(nèi)為正，則直接去絕對值；若絕對

值內(nèi)為負，則去絕對值，并對整體添號。當絕對值內(nèi)為正時，則除以它本身結果為1;若絕對值內(nèi)為負

時，則除以它本身結果為-1.

例1.（2019?江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)初一一模）如果a,b,c是非零實數(shù)，且a+b+c=0,那么

ahcabc

肅西+西+國的所有可能的值為（）

A.0B.1或一1C.2或一2D.0或一2

【答案】A

【分析】根據(jù)a、b、c是非零實數(shù)，且a+b+c=0可知a,b,c為兩正一負或兩負一正，按兩種情況分別討論

代數(shù)式的可能的取值，再求所有可能的值即可.

【解析】由已知可得：a,b,c為兩正一負或兩負一正.

cibccibccibccibc

①當a,b,c為兩正-負時：同+丁曾=L網(wǎng)=T，所以同+網(wǎng)+甲網(wǎng)的=。；

abcabcabcabc

②當a,b,c為兩負一正時:：同+網(wǎng)+甲“,同=1；所以同+囚+中網(wǎng)的=。；

abcabc

由①②知:\a\+\b\+\c\+\abc\所有可能的值都為0.故選A.

【點睛】本題考查了分式的化簡求值、絕對值及非零實數(shù)的性質(zhì)等知識點，注意分情況討論未知數(shù)的取值,

不要漏解.

例2.（2019?四川省初一期中）若質(zhì)c|=一"c,且必存0,WJ—+U+—=（）

abc

A.1或一3B.-1或一3C.±1或±3D.無法判斷

【答案】A

【分析】利用絕對值的代數(shù)意義判斷得到a,b,c中負數(shù)有一個或三個，即可得到原式的值.

【解析】：|abc|=-abc,且abc/）,abc中負數(shù)有一個或三個，

則原式=1或-3,故選A.

【點睛】本題考查了絕對值、有理數(shù)的乘法以及有理數(shù)的除法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

例3.(2020?四川省初一期末)如圖，點A、B、C在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為a、b、c,且0A+0B=0C,則下列

結論中：①abcVO；②a(b+c)>0；③a-c=b；+~-=1.其中正確的個數(shù)有()

a\b\c

CAOB

????~>

ca0b

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】根據(jù)圖示，可得cVaVO,b>0,同+|gc|,據(jù)此逐項判定即可.

【解析】Vc<?<0,b>0,?,?a〃c>0,???選項①不符合題意.

'：c<a<0,b>0,\a\^-\b\=\c\9：.b+c<0,：.a(b+c)>0,，選項②符合題意.

?；cV〃V0,/?>0,間+網(wǎng)=|c|,，-〃+b=?c,:?a-c=b,，選項③符合題意.

|a|bId

,??二+可+U=?1+1/=1,.??選項④不符合題意，.??正確的個數(shù)有2個：②、③.故選B.

a\b\c

【點睛】此題主要考查了數(shù)軸的特征和應用，有理數(shù)的運算法則以及絕對值的含義和求法，要熟練掌握.

例4.(2019?深圳市龍崗區(qū)布初一月考)已知出七>(),則式子：回+@+0=()

abc

A.3B.-3或1C.一1或3D.1

【答案】C

【分析】不妨設a<b<c,分類討論：①“<b<O<c,②a>0,6>0,c>0,根據(jù)絕對值的定義即可得到

結論.

【解析】不妨設。<6<c.?.力歷>0,.?.分兩種情況：

①a<b<O<c,則@+也+@=-1+(—1)+1=—1；

abc

@a>0,b>0,c>0,則國+也LE1=1+1+1=3.故選C.

abc

【點睛】本題考查了絕對值，有理數(shù)的混合運算，解題的關鍵是討論字母的取值情況.

題型2定義新運算

解題技巧：該類題型會定義一種我們未學習過的運算規(guī)則，我們只需要照定義的運算規(guī)則，將題干寫成有

理數(shù)之間的運算即可。然后在直接按照有理數(shù)的運算法則求解最終答案。

例1.（2019?湖北省初一期中）在快速計算法中，法國的“小九九”從“一一得一”到“五五二十五”和我國的“小

九九”算法是完全一樣的，而后面"六到九''的運算就改用手勢了.如計算8x9時，左手伸出3根手指，右手

伸出4根手指，兩只手伸出手指數(shù)的和為7,未伸出手指數(shù)的積為2,則8x9=10x7+2=72.那么在計算6x7

時，左、右手伸出的手指數(shù)應該分別為（）

A.1,2B.1,3C.4,2D.4,3

【答案】A

分析：通過猜想得出數(shù)據(jù)，再代入看看是否符合即可.

【解析】一只手伸出1,未伸出4,另一只手伸出2,未伸出3,

伸出的和為3x10=30,30+4x3=42,故選A.

點評：此題是定義新運算題型.通過閱讀規(guī)則，得出一般結論.解題關鍵是對號入座不要找錯對應關系.

1。G1

例2.（2020?常州市第二十四中學初三月考）定義一種新的運算：a*b=-——，如2?1=-~—=2,貝lj（2?3）

a2

?1=()

53919

A.一B.一C.一D.—

2248

【答案】B

a+2b

【分析】根據(jù)a/二-,可以求得所求式子的值，本題得以解決.

,a+2b2+2x34+2x13,…

【解析】解：-：ab=---------,（2?3）?1=-------------1=47=------------=-,故選B.

a242

【點睛】本題考查有理數(shù)的混合運算，解答本題的關鍵是明確有理數(shù)混合運算的計算方法.

例3.（2019?沈陽市第一二六中學初一月考）定義新運算：對有理數(shù)。、b,有。③〃=a（，-,），如

ah

334=3xd-3=2，那么（一2）（2）5的值是（）

344

3377

A.--B.-C.----D.—

5555

【答案】D

【分析】根據(jù)新定義列出算式，再利用乘法分配律計算即可.

1127

【解析】（-2）05=-2X（----------）=1H—=—.故選D.

2555

【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握有理數(shù)的混合運算的順序和法則是解題的關鍵.

例4.（2020?河南省初一月考）“！”是一種運算符號，并且1!=1,2!=1><2,3!=1>2>3,4!=1乂2><3><4,..........

)

B.2016C.2017D.2018

【答案】D

2018!_lx2x3xx2017x2018

【解析】由題意可知:=2018.故選D.

2017!Ix2x3xx2017

【點睛】此題考查有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解?題的關鍵.

例5.(2019?吉林省東北師大附中初一月考)已知。、匕為有理數(shù)，現(xiàn)規(guī)定一種新運算十，滿足

a@b-ay.b-a.(1)(一2)十4=；(2)求Q?4)十(2的值.(3)新運算a十Z?=ax/?—a

是否滿足加法交換律，若滿足請說明理由：若不滿足，，請舉出一個反例.

【答案】(1)6(2)-10-；(3)不滿足,舉例見解析

2

【分析】(1)根據(jù)新定義列式計算即可；(2)根據(jù)新定義分兩步列式計算即可；

(3)根據(jù)新運算可知運用交換律出的結果和原來的結果不同，所以不滿足，舉例說明即可.

【解析】(1)(-2)?4=(-2)X4-(-2)=-8+2=-6

(2)(1十4)十［一2萬

555

(3):新運算=二運用加法加法交換律可得：b?a-by<a-b

假設a=3,0=4,則。十/?=axZ?-a=3X4-