期末考試試題分類匯編統(tǒng)計與概率

廣東省各地2014屆高三上學期期末考試數(shù)學理試題分類匯編

統(tǒng)計與概率

一、選擇題

1、（惠州市2014屆高三第三次調(diào)研考）某商場在國慶黃金周的促銷活動中，對10月2日9

時到14時的銷售額進行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖

如圖所示，已知9時至10時的銷售額為2.5萬元,

則11時到12時的銷售額為（）

A.6萬元

8.8萬元

C.10萬元

D.12萬元

答案：C

2、（珠海市2014屆高三上學期期末）學校為了解學生課外讀物方面的支出情況，抽取了n

個同學進行調(diào)查，結(jié)果顯示這些同學的支出都在口0,50）（單位：

元），其中支出在［10,30）（單位：元）的同學有33人，其頻率分

布直方圖如右圖所示，則支出在［40,50）（單位：元）的同學人數(shù)

是（）

A、100

B、120

C、30

D、300

答案：C

二、填空題（第4題圖）

1、（佛山市2014屆高三教學質(zhì)量檢測（一））一個總體分為甲、乙兩層，用分層抽樣方法從

總體中抽取一個容量為20的樣本.已知乙層中每個個體被抽到的概率都為工，則總體中的

9

個體數(shù)為

答案：180

2、（廣州市2014屆高三1月調(diào)研測試）如圖3,設(shè)。是圖中邊長為4的正方形

區(qū)域，E是。內(nèi)函數(shù)y=/圖象下方的點構(gòu)成的區(qū)域.在。內(nèi)隨機取一點，則

該點落在E中的概率為

答案：一

3

3、（廣東省華附、省實、廣雅、深中四校2014屆高三上學期期末）某學校高一、

高二、高三年級的學生人數(shù)之比為3：3：4,現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個

年級的學生中抽取容量為50的樣本，則應(yīng)從高二年級抽取名學生

答案：15

4、（揭陽市2014屆高三學業(yè)水平考試）圖（2）是甲、乙兩人在5次綜合

2109.9

圖（2）

測評中成績的莖葉圖，其中一個數(shù)字被污損；則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率為.

答案:

5、（中山市2014屆高三上學期期末考試）如圖，一不規(guī)則區(qū)域內(nèi)，有一邊長為1米的正方

形，向

區(qū)域內(nèi)隨機地撒1000顆黃豆，數(shù)得落在正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）/I

的黃豆數(shù)為375顆，以此實驗數(shù)據(jù)為依據(jù)可以估計出該不規(guī)則圖形（L

的面積為平方米.（用分數(shù)作答）

1、（佛山市2014屆高三教學質(zhì)量檢測（-））

佛山某中學高三（1）班排球隊和籃球隊各有10名同學,現(xiàn)測得排球隊10人的身高（單

位：cm）分別是：162、170、171、182、163、158、179、168、183、168,籃球隊10

人的身高（單位：cm）分別是：170、159、162、173、181、165、176、168、178、179.

（I）請把兩隊身高數(shù)據(jù)記錄在如圖4所示的莖葉圖中，并指出哪個隊的身高數(shù)據(jù)方差較

?。o需計算）；

（II）利用簡單隨機抽樣的方法，分別在兩支球隊身高超過170cm的隊員中各抽取一人

做代表,設(shè)抽取的兩人中身高超過178cm的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.

排球隊籃球隊

【解析】（I）莖葉圖如圖所示，籃球隊的身高數(shù)據(jù)方差較小.

（注：寫對莖葉圖2分，方差結(jié)論正確2分）排球隊籃球隊

（II）排球隊中超過170cm的有4人,超過178cm的有3人,03689

籃球隊中超過170cm的有5人,超過178cm的有2人，883216258

（注：正確描述人數(shù)各2分，共計4分）8159

所以X的所有可能取值為0,1,2則

（注：正確寫出X的值1分）

C'C'3

0)==—

C\C\20

C\C\+C\C\_11

P(X=1)

C?=6

P（X=2）=10分

CC20

（注：正確寫出概率表達式各1分，概率計算全部正確1分，共計4分，若概率計算錯

誤超過兩個，扣1,共計3分）

所以X的分布列為

X012

3116

p

202020

................................11分

所以X的數(shù)學期望EX=0x2+lxU+2x￡=”......................................12分

20202020

2、（廣州市2014屆高三1月調(diào)研測試）

空氣質(zhì)量指數(shù)PM2.5（單位：4g/n?）表示每立方米空氣中可入肺顆粒物的含量，這

個值越高，代表空氣污染越嚴重.PM2.5的濃度與空氣質(zhì)量類別的關(guān)系如下表所示：

PM2.5日均濃度0-3535?7575?115115?150150?250>250

空氣質(zhì)量類別優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染

從甲城市2013年9月份的30天中隨機抽取15天的PM2.5日均濃度指數(shù)數(shù)據(jù)莖葉圖如

圖5所示.

（1）試估計甲城市在2013年9月份30天的空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù)；

3204

（2）在甲城市這15個監(jiān)測數(shù)據(jù)中任取2個，設(shè)X為空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良55

的天數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望.64

7697

8807

91809

解：（1）由莖葉圖可知，甲城市在2013年9月份隨機抽取的15天中的空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或圖5

良的天數(shù)為5天..........................................1分

所以可估計甲城市在2013年9月份30天的空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù)為10天.…2

分

（2）X的取值為0,1,2,.......................................................................................3分

r°C23

因為尸（X=0）=-4^=—,..............................................................................5分

Cie7

CC。jo

P（X=1）7分

C1521

尸(X=2)="r2四C0=已2

9分

\)C；521

所以X的分布列為:

X012

3102

P

72121

所以數(shù)學期望碇=0乂±3+以1上0+2乂2e=42.

721213

3、（增城市2014屆高三上學期調(diào)研）

在一個盒子里裝有6枝圓珠筆，其中3枝一等品，2枝二等品，1枝三等品.

（1）從盒子里任取3枝恰有1枝三等品的概率多大？；

（2）從盒子里任取3枝，設(shè)J為取出的3枝里一等品的枝數(shù)，求J的分布列及數(shù)學期望.

C2

解.⑴P2分

c3

5x4

1

2XT=4分

6x5x42

3x2x1

(2)J=0,1,2,3,5分

￡=_L9工xC：9

P(J=0)=P(J=1)=—,P(J=0)?----,

C：20'凌20燎20

￡=_L

P(J=0)=（各1分）9分

C；20

所以J的分布列是

0123

4

P1991

20202020

10分

1,9c13

E(J)=0X--+1X—+2X—+3X—二一12分

20-----2020202

4、（省華附、省實、廣雅、深中四校2014屆高三上學期期末）

盒子中裝有四張大小形狀均相同的卡片，卡片上分別標有數(shù)-i,i,-2,2,其中i是虛

數(shù)單位.稱“從盒中隨機抽取一張，記下卡片上的數(shù)后并放回”為一次試驗（設(shè)每次試

驗的結(jié)果互不影響）.

（1）求事件A”在一次試驗中，得到的數(shù)為虛數(shù)”的概率與事件5“在四次試驗中,

至少有兩次得到虛數(shù)”的概率;

（2）在兩次試驗中，記兩次得到的數(shù)分別為“力，求隨機變量彳=卜力|的分布列與數(shù)學

期望

解：⑴P（4）=2=L........................................2

42

P⑻=1"⑧=1一1嗎）。夕+明）夕＞1-……5

（2）。力，的可能取值如下左表所示：

^\a-ii-22

418141

由表可知：P(J=1)=—=—,P(J=2)=—=—,P(J=4)=———.9

164162164

分

所以隨機變量X的分布列為(如上右表).............................10

1J19

所以E（J）=lx-+2x-+4x-=—................................12

4244

分

5、（惠州市2014屆高三第三次調(diào)研考）

甲、乙兩隊參加奧運知識競賽，每隊3人，每人回答一個問題，答對為本隊贏得一分,

2221

答錯得零分.假設(shè)甲隊中每人答對的概率均為士，乙隊中3人答對的概率分別為±，

3332

且各人回答正確與否相互之間沒有影響.用J表示甲隊的總得分.

（1）求隨機變量4的分布列和數(shù)學期望；

（2）用A表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊總得分大于

乙隊總得分”這一事件,求隊（A8）.

解：（1）解法一：由題意知，J的可能取值為0,1,2,3,且........1分

P(g=O)=C；x1—11=/尸e=l)=C；xgx(l—,)=',.......3分

P(L即『|卜。P?=3)=C>(|J=A.……5分

所以4的分布列為

0123

1248

P

279927

片的數(shù)學期望為EJ=0xA+lxg+2x[+3x5=2........7分

解法二：根據(jù)題設(shè)可知，.......3分

因此4的分布列為

p4=k)=c；義|)x(l—g)=C：X1rz=0,l,2,3.……5分

因為4所以EJ=3xg=2........7分

(2)解法一：用C表示“甲得2分乙得1分”這一事件，用。表示“甲得3分

乙得。分”這一事件，所以A8=CU。，且C，D互斥,又........8分

_1043434

由互斥事件的概率公式得尸(A8)=P(C)+P(。)=%+三=,

2431

12分

6、(揭陽市2014屆高三學業(yè)水平考試)

根據(jù)空氣質(zhì)量指數(shù)A。/(為整數(shù))的不同，可將空氣質(zhì)量分級如下表:

AQI（數(shù)值）05051100101150151200201300>300

空氣質(zhì)量級別一級二級三級四級五級六級

空氣質(zhì)量類別優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染

空氣質(zhì)量類別顏

綠色黃色橙色紅色紫色褐紅色

色

某市2013年10月1日—10月30日，對空氣質(zhì)量指數(shù)AQI進行監(jiān)測,獲得數(shù)據(jù)后得到

如圖（4）的條形圖:

（1）估計該城市本月（按30天計）空氣質(zhì)量類別為中

度污染的概率；

（2）在上述30個監(jiān)測數(shù)據(jù)中任取2個，設(shè)J為空氣

質(zhì)量類別顏色為紫色的天數(shù)，求J的分布列.解：（1）由

條形統(tǒng)計圖可知,空氣質(zhì)量類別為中度污染的天數(shù)為6,

--------------------1分

所以該城市本月空氣質(zhì)量類別為中度污染的概率

（2）隨機變量g的可能取值為

0,1,2.-5分

則

%=。)=3嚕，----------------------------------------------

~7分

%=1)=里―,-----------------------------------------

''435

---------9分

尸律=2)=：=2----------------------------------------------------

1)或145

11分

所以J的分布列為:

012

651042

P

87435145

------------------------------------------------------------12分

7、（汕頭市2014屆高三上學期期末教學質(zhì)量監(jiān)測）

2013年2月20日，針對房價過高,國務(wù)院常務(wù)會議確定五條措施（簡稱“國五條”）.為此，記者對

某城市的工薪階層關(guān)于“國五條”態(tài)度進行了調(diào)查，隨機抽取了60人，作出了他們的月收

入的頻率分布直方圖（如圖），同時得到了他們的月收入情況與“國五條”贊成人數(shù)統(tǒng)計

表（如下表）:

月收入（百贊成人

[15,25)8

[25,35)7

[35,45)10

[45,55)6

[55,65)2

[65,75)1

Q）試根據(jù)頻率分布直方圖估計這60人的平均月收入；

（II）若從月收入（單位：百元）在[15,25）,[25,35）的被調(diào)查者中各隨機選取3人進行追蹤調(diào)

查，記選中的6人中不贊成“國五條”的人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望.解：（I）

這60人的月平均收入為：

（20x0.015+30x0.015+40x0.025+50x0.02+60x0.01）x10=43.5（百元）（5分）

（II）根據(jù)頻率分布直方圖可知道:

[15,25）的人數(shù)為10x0915x60=9人

[25,35）的人數(shù)為10x0.015x60=9人

（7分）

文的所有取值可能為

PXO)44=-噂=】)=善3+4冬上

(=，qq18ciqqq36

P(X2、G吟G用2

P(x=2)=彳耳+落丁=§

（12分）

1836936（14分）

（正確寫出分布列1分，正確算出期望值1分）

8、（肇慶市2014屆高三上學期期末質(zhì)量評估）

一次考試中，5名同學的語文、英語成績?nèi)缦卤硭?

學生S?S?S4Ss

語文（X分）8790919295

英語（y分）8689899294

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求英語分y對語文分x的線性回歸方程；

（2）要從4名語文成績在90分（含90分）以上的同學中選出2名參加一項活動，以自表

示選中的同學的英語成績高于90分的人數(shù)，求隨機變量J的分布列及數(shù)學期望上三

￡（七一君（%—歹）

（附:線性回歸方程$=加+A中，b=^1-------------------,3=反—加，其中元區(qū)為樣本平

Eu-x）2

均值，3,4的值的結(jié)果保留二位小數(shù).）

_87+90+91+92+95?

【解析】⑴x=---------------------=91,（1分）

_86+89+89+92+942

y=---------------------=90,（2分）

52

Z(Xj—亍)=(-4)2+(-1)2+02+1+42=34,

/=1

5

^(x,.-x)(y,-y)=(-4)x(-4)+(-l)x(-l)+0x(-l)+1x2+4x4=35,

<=i

-35、

/,=三=1.03,a=90-1.03x91=3.73

故回歸直線方程為$=1.03x-3.73(6分)

（2）隨機變量J的可能取值為0,1,2.

C21ClCl2

年=。）=商=（7分）=言方（8分）

C21

3)=百=了（9分）

故X的分布列為

012

P22

636

171

￡^=0X-+1X-+2X-=1.（12分）

9、（中山后2014屆高三上學期期末考試）

某校從參加高二年級學業(yè)水平測試的學生中抽出80名學生，其數(shù)學成績（均為整數(shù)）

的頻率分布直方圖如圖所示.

（I）估計這次測試數(shù)學成績的平均分；

（口）假設(shè)在［90,100］段的學生的數(shù)學成績都不相同，且都超

過94分.若將頻率視為概率，現(xiàn)用簡單隨機抽樣的方法，從95,

96,97,98,99,100這6個數(shù)中任意抽取2個數(shù)，有放回地抽取

了3次，記這3次抽取中，恰好是兩個學生的數(shù)學成績的次數(shù)為

求彳的分布列及數(shù)學期望

解：（D利用中值估算抽樣學生的平均分：

45X0.05+55X0.15+65X0.2+75X0.3+85X0.25+95X0.05

=72.（3分）

眾數(shù)的估計值為75分（5分）

所以，估計這次考試的平均分是72分.（6分）

（注：這里的眾數(shù)、平均值為估計量，若遺漏估計或大約等詞語扣一分）

（II）從95,96,97,98,99,100中抽2個數(shù)的全部可能的基本結(jié)果數(shù)是C；=15,

有15種結(jié)果，學生的成績在［90,100］段的人數(shù)是0.005X10X80=4（人），

這兩個數(shù)恰好是兩個學生的數(shù)學成績的基本結(jié)果數(shù)是C：=6,

兩個數(shù)恰好是兩個學生的數(shù)學成績的概率p=g=2

（8分）

155

隨機變量g的可能取值為0、1、2、3,則有.

23

P^=k）=C^-）k（^-k,k=0,1,2,3

???變量g的分布列為：

0123

8365427

P

125125125125

（10分）

且+以曳+2x叁+3x與J

（12分）

1251251251255

2

解法二.隨機變量自滿足獨立重復(fù)試驗,所以為二項分布，即J~8（3,（）（10分）

￡^=np=3x|=|

（12分）11、（珠海市2014屆高三上學期期末）

答案：

10、（珠海市2014屆高三上學期期末）

PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可吸入肺顆粒物。我國PM2.5

標準采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級;

在35微克/立方米~75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75

PZ2.S日均值《微克/立方米）

微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標。某試點城市環(huán)保局從該市市區(qū)

285

2013年上半年每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機的抽取15天的數(shù)據(jù)作37143

445

638

79

863

925

為樣本，監(jiān)測值如右下圖莖葉圖所示(十位為莖，個位為葉)。

(1)在這15天的PM2.5日均監(jiān)測數(shù)據(jù)中，求其中位數(shù)；

(2)從這15天的數(shù)據(jù)中任取2天數(shù)據(jù)，記J表示抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)

據(jù)超標的天數(shù)，求J的分布列及數(shù)學期望：

(3)以這15天的PM2.5日均值來估計一年的空氣質(zhì)量情況，則一年

(按360天計算)中平均有多少天的空氣質(zhì)量達到一級或二級.

解：(1)由莖葉圖可得中位數(shù)是45

(2)依據(jù)條件，J服從超幾何分布：

其中N=15,M=5,〃=3,J的可能值為0,1,2

Ck.C2T

由7A，

°15

得MJ=o)=與￡=/

(2)依題意可知，一年中每天空氣質(zhì)量達到級或二級的概率為〃in='=*2

153

2

一年中空氣質(zhì)量達到一級或二級的天數(shù)為r/,則〃?5(360,-)

2

.?㈤7=360X§=240

一年中平均有240天的空氣質(zhì)量達到一級或二級

11、(珠海一中等六校2014屆高三第三次聯(lián)考)

平安汽車租賃公司擁有汽車100輛.當每輛車的月租金為3000元時，可全部租出.當每輛車

的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛.租出的車每輛每月需要維護費150元，

未租出的車每輛每月需要維護費50元.

(I)當每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？

(H)當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？

解：(1)當每輛車的月租金定為3600元時，未租出的車輛數(shù)為：360°-300°=12；

50

所以這時租出了88輛車......................................................4

分

(2)設(shè)每輛車的月租金定為x元，...............................................5

分

則租賃公司的月收益為：=(100-^-3000)(x-150)-~3000X50,……8

5050

分

X21

整理得：f(x)=-----+162萬一21000=--------(x-4050).307050.

5050

所以,當下4050時,f(x)最大,其最大值為/'(40