4 培優(yōu)點2　曲線的切線問題

Illllll曲線的切線問題類型一曲線在某點處的切線問題曲IT(1)(2022?新高考卷II)寫出曲線y=ln|%|過坐標原點的切線方程為，?(2)設曲線y=e"在點(0,1)處的切線與直線％+2y+l=0垂直，則a=?【解析】(1)因為y=ln|x|,TOC\o"1-5"\h\z當尢＞0時，y=lnx,設切點為(xo,Inxo),由y=L所以y[x=xo='，所X JCO以切線方程為Inxo=~(x—xo),xo又切線過坐標原點，所以一Inxo=—(—xo),解得xo=e,所以切線方程為y—1=-(x—e),即y=L;當xVO時，y=ln(—x),設切點為(xi,ln(—xi)),由y'e e=一,所以yr\x=x\=—,所以切線方程為ln(—xi)=~(x-x\),JC X\ X1又切線過坐標原點，所以一ln(—?)=:(—xi),解得xi=-e,所以切線方程為'一1=±a+e),即y=—%.綜上，滿足條件的切線方程為y=4和y=-4.e e(2)令y=/(x),則曲線y=e6在點(0,1)處的切線的斜率為/(0),又切線與直線x+2y+l=0垂直,所以1(0)=2,因為"r)=e奴,所以了(工)=(守)'=守?(0￥)'=Ge"',所以/(0)=〃e°=。，故a=2.【答案】(i)y=§丁=一%(2)2感題技巧 求曲線y=/(x)在點P(xo,加o))處的切線方程的步驟(1)求出函數(shù)在X=X()處的導數(shù)/(X0)；(2)根據(jù)直線方程的點斜式，得切線方程為^-/xo)=/(xo)(x-xo).類型二曲線經過某點的切線問題由已知函數(shù)大幻=2—4/+5%—4.求經過點A(2,—2)的曲線/U)的切線方程.【解】設切點坐標為(xo,4x8+5xo—4).因為/(xo)=3x8—8xo+5,所以切線方程為y—(—2)=(3看-8xo+5)(x—2).又因為切線過點(xo,xg—4x8+5xo—4),所以 —4x6+5xo—2=(3x8—8xo+5)(xo—2),整理得(xo—2)2(xo—1)=0,解得xo=2或xo=1.當猶=2時，/(xo)=l,此時所求切線方程為x—y—4=0;當xo=l時，/(xo)=0,此時所求切線方程為y+2=0.故經過點42,—2)的曲線共幻的切線方程為x—y—4=0或y+2=0.圖題技巧 求曲線)，=於)過點P(xo,州)的切線方程的步驟(1)設切點為點'3,%')),求切線的斜率無=/3),寫出切線方程(含參);(2)把點P，(f,人￡))的坐標代入切線方程，建立關于V的方程，解得￡的值，進而求出切線方程.類型三兩曲線的公切線問題側13](1)已知曲線八])=%3+公+；在X=0處的切線與曲線g(%)=—In%相切，求。的值.(2)求曲線y=lnx+2和曲線y=ln(x+1)公切線的方程.【解】⑴由“^尸三+改+:，得了(%)=3/+。.因為了(0)=4,?0)4所以曲線y=/(x)在x=0處的切線方程為y—^=ax.設直線y—\=ax與曲線g(x)=—Inx相切于點(xo,—Inxo),g'(x)=——Injro—4=6zxo, ①所以《〃=一二，②< 4u3將②代入①得Inxo=不3所以xo=e”,”, 1 3所以a=——=—e—(2)函數(shù)y=lnx+2的導函數(shù)為/=-,函數(shù)y=ln(x+1)的導函數(shù)為丁'=47.x xI1設曲線y=lnx+2和曲線y=ln(x+1)公切線上的切點橫坐標分別為m,n,則切線方程可以寫成y='(x—刈)+lnm+2,也可以寫成九)+ln(〃+1).〃1_1mn+r整理后對比得＜幾Inm+1=ln(力+1)-—r~T,I 〃十1r1解得J ]、“=一》則公切線方程為y=2x+1—In2.感題技巧 解決兩曲線的公切線問題的兩種方法(1)利用其中一曲線在某點處的切線與另一曲線相切，列出關系式求解.(2)設公切線/在＞=/(%)上的切點。1(尤1,.危|)),在y=虱%)上的切點。2。2送(X2)),i f(XI)1g(X2)則/⑶)=g'3)=-.41人，＜嘗試訓練.已知曲線,九￥)=/在X=1處的切線與曲線g(?=^■相切，則實數(shù)4=()A.^/e B且^D.e^/e解析:選B.由危)=v得/(x)=2x,則/(1)=2.因為火1)=1,所以曲線?￥)=12在x=l處的切線方程為y—l=2(x—1),即y=2x—1.設直線y=2x—1與曲線g(x)=2相切于點(xo,yo),由由/（?=*可得V

Czt-由/（?=*可得V

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Czt-〃，/ 、exocg（%。）=:~=2,/ 、exoc1yo=g\Xo9==2xo-I,解得xo=.直線2)與曲線y=e'相切，則切點的橫坐標為.解析：設切點為(xo,yo),因為y=ev,所以k=exo,又因為yo=exo,泗=左(次一2),所以exo=exo(xo—2),解得xo=3.答案：3.已知函數(shù)兀外二^+工一16.(I)求曲線y=/(%)在點(2,—6)處的切線方程；(2)直線/為曲線y=?r)的切線，且經過原點，求直線/的方程及切點坐標.解：⑴可判定點(2,—6)在曲線>=於)上.因為了(x)=3/+l,所以凡x)在點(2,—6)處的切線的斜率為k=f(2)=l3,所以切線的方程為y+6=l3(x—2),即y=l3x—32.(2)設切點為(xo,yo),則直線/的斜率％=/(xo)=3x6+l,所以直線I的方程為y=(3jt3+l)(x—x())+君+x()—16