對臺灣中學生基本學力測驗數(shù)學測驗的思考

對臺灣“中學生基本學力測驗”數(shù)學測驗的思考

臺灣“中學生基本學力測驗”（下文簡稱“基測”）是為九年級學生所舉辦的能力測驗，目的在于評價、測量學生經(jīng)過三年初中學習后，所獲得的基本知識與能力，以作為學生進入高中（高職）或五專，參加推薦、甄選、分發(fā)入學的依據(jù)之一.本文對基測中的數(shù)學測驗做些解讀.結合2010年基測的兩分數(shù)學測驗卷，我們一起來感受臺灣數(shù)學試題的特點：試題整體布局合理有序，題目陳述準確、精練、簡潔，圖形、圖像規(guī)范，總體設計和諧融洽，能給予學生解決問題的信心與動力.試題關注數(shù)學核心內(nèi)容，尤其注重對數(shù)學思維方式、數(shù)學基本能力和基本思想方法的考查；試題體現(xiàn)著對過程的考查（獲取數(shù)學知識過程和參與數(shù)學活動過程）；試題注重對學生的數(shù)學語言、數(shù)感、空間觀念、統(tǒng)計觀念、應用意識的考查.一、對基測數(shù)學測試的介紹1.考查的數(shù)學知識面廣，涉及的內(nèi)容多考查內(nèi)容涉及數(shù)與量、幾何、代數(shù)、統(tǒng)計與幾率、連接等五大主題，其中連接這一主題可分為數(shù)學內(nèi)部、外部的連接：數(shù)學內(nèi)部的連接貫穿數(shù)與量、幾何、統(tǒng)計與幾率、代數(shù)四個主題，強調(diào)解題能力的培養(yǎng)；數(shù)學外部的連接則強調(diào)生活經(jīng)驗及其他領域中數(shù)學問題的察覺、轉(zhuǎn)化、解題、溝通、評析等能力的培養(yǎng).具體考查目標有：理解坐標的表示；熟練代數(shù)的運算及數(shù)的四則運算；理解三角形及圓的基本幾何性質(zhì)，并學習簡單的幾何推理；理解統(tǒng)計、幾率的意義，認識各種簡易統(tǒng)計方法.2.對基礎內(nèi)容的考查偏重于數(shù)學核心知識在取材方面，命題者依據(jù)“中學數(shù)學科課程標準”，大部分素材取自教材；在設計方面，命題者避開冷僻、艱深的數(shù)學材料，同時避開了過于繁雜的演算；在導向方面，命題者努力呈現(xiàn)數(shù)學核心內(nèi)容，試題偏重考查對學生未來學習、生活有幫助的基礎、核心知識與能力.從基測題中，筆者挑選了幾道，供評鑒.例1（第一次測驗第3題）：下列選項中，哪一段時間最長？A.15分B.小時C.0.3小時D.1020秒例2（第一次測驗第19題）：自連續(xù)正整數(shù)10～99中選出一個數(shù)，其中每個數(shù)被選出的機會相等.求選出的數(shù)其十位數(shù)字與個位數(shù)字的和為9的幾率為何？例3（第二次測驗第19題）：如圖1，一正方形木板上剛好可畫分成36個邊長均為2公分的正方形.若重新將此木板畫分成數(shù)個大小相同的長方形，則此長方形的長與寬不可能為下列哪一組？A.長為3公分，寬為2公分B.長為6公分，寬為4公分C.長為9公分，寬為6公分D.長為12公分，寬為4公分例1～3都是基礎題，能較好地體現(xiàn)基測數(shù)學測驗的基本要求.從中，我們也可看出了這一考試的定位：注重對重點知識的考查，關注學生的數(shù)感、符號感、統(tǒng)計觀念的形成.命題時（在未組卷時）就注意控制難度、考慮學生的實際情況，這是對“扎扎實實地開展好基礎性教學工作”的鼓勵，也是對學生全面、可持續(xù)發(fā)展的承諾.3.試題設計活潑、有趣，突出對數(shù)學活動過程的考查試題設計時注意貼近學生的生活實際、心理特征和思維特點，這不但增加了試卷的親和力，而且在一定程度上能激發(fā)學生的解題欲望.命題者希望學生透過快樂、有趣的課程參與后，自然而然地將所學到的知識與技能應用到日常生活中.例4（第一次測驗第29題）：如圖2，扇形AOB中，OA=10，∠AOB=36°.若固定B點，將此扇形依順時針方向旋轉(zhuǎn)，得一新扇形A’O'B，其中A點在O'B上，如圖3所示，則O點旋轉(zhuǎn)至O’點所經(jīng)過的軌跡長度為何？A.πB.2πC.3πD.4π例5（第二次測驗第16題）：圖4為三角形紙片ABC，AB上有一點P.已知將A、B、C往內(nèi)折至P時，出現(xiàn)折線SR、TQ、QR，其中Q、R、S、T四點會分別在BC、AC、AP、BP上，如圖5所示.若△ABC、四邊形PTQR的面積分別為16、5，則△PRS面積為何？A.1B2C3D4例6（第二次測驗第25題）：如圖6，將正五邊形ABCDE的C點固定，并依順時針方向旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)幾度，可使得新五邊形A'B'CD'E’的頂點D’落在直線BC上？A.108B.72C.54D.36例7（第二次測驗第29題）：將圖7正方體的相鄰兩面上各畫分成九個全等的小正方形，并分別標上○、×兩符號.若下列有一圖形為此正方體的展開圖，則此圖為何？例4～7，要求學生通過平移、旋轉(zhuǎn)等操作，探索、尋找圖形變化前后的位置、數(shù)量關系，從而解決問題.這些試題，不僅為考生創(chuàng)造了探索、思考的空間，也提醒后續(xù)考生須加深對數(shù)學本質(zhì)的理解，有利于促進學生的數(shù)學思維、數(shù)學觀念與數(shù)學素養(yǎng)的全面提升.4.試題設計強調(diào)數(shù)學思堆，體現(xiàn)可帶著走的知識、能力試題注重對數(shù)學思維的考查，問題的呈現(xiàn)上也頗費心思，如此，使測驗題既體現(xiàn)章節(jié)學習的內(nèi)容要求，又體現(xiàn)著初中系統(tǒng)學習后的各種能力要求（可帶著走的生活基本知識、能力）.例8（第一次測驗第24題）：已知有大、小兩種紙杯與甲、乙兩桶果汁，其中小紙杯與大紙杯的容量比為2∶3，甲桶果汁與乙桶果汁的體積比為4∶5，若甲桶內(nèi)的果汁剛好裝滿小紙杯120個，則乙桶內(nèi)的果汁最多可裝滿幾個大紙杯？A.64B.100C.144D.225例8的設問，展現(xiàn)了基測試題重視考查知識形成過程的特點，對考生數(shù)學建模能力、分析概括能力、信息構建能力要求較高.此外，由數(shù)思形、以形促數(shù)，開辟了多角度、多層次的解題路徑，考查了考生的數(shù)形結合能力、運算能力、根據(jù)題意畫圖的能力和空間想象能力.二、對基測數(shù)學測試的思考臺灣教育人士認為，“數(shù)學是人類思考能力由實物觀察邁向抽象概念的發(fā)展史.經(jīng)過中學階段系統(tǒng)的數(shù)學學習后，學生應具有一些基本的、核心的、廣泛的知識.因而要求學生在數(shù)學學習上能達到以下的目標：基本數(shù)學概念與數(shù)學大致輪廓的了解；諸多數(shù)學定義、定理、性質(zhì)的認識及運用；在數(shù)學訓練的過程中，解決問題能力的獲得.”在數(shù)學學習的過程中，除了理解概念之外，臺灣學生一般也做相當數(shù)量的練習題，透過不同的問題、不同的條件等，多方面地、深刻地認識數(shù)學對象.經(jīng)過一連串命題給定、推論、回答問題的數(shù)學活動，學生可得到適當?shù)臄?shù)學能力訓練，而“記住并應用若干數(shù)學定理”，是臺灣學生的一項重要任務，這也已成為基本學力要求的一部分.有趣的是，在完成學習后，即使學生們遺忘了教材瑣碎的內(nèi)容，在面對不同題材、不同設問的問題時，也具有類似的解決問題的能力與模式.這些凌駕于數(shù)學問題之上、獨立于教材之外、可廣泛運用于諸多領域與生活層面上的能力，是臺灣學生最寶貴的學習成果與資產(chǎn)，這也正是基測追求的目標.臺灣教育主管部門對中學階段數(shù)學教師教學的要求是：認識基本學力的基本精神，重視概念理解教學，增加師生互動，多鼓勵刺激學生主動學習.不要以宣告式的教學局限學生的想象空間，要適時停下來聽聽學生學習中的問題，調(diào)整教學的方式，讓數(shù)學知識的成形不會在繁雜、刁鉆或大量的解題訓練下扭曲.注重學生對于學科基本面的了解.三、兩岸“數(shù)學中考”的比較1.課程目的的比較臺灣數(shù)學課程強調(diào)以學習者為主體，以知識的完整面為教育的主軸，以終身學習為教育的目標，要求：（1）數(shù)學能力是民眾素質(zhì)的一個重要指標；（2）培養(yǎng)學生正向的數(shù)學態(tài)度，了解數(shù)學是推進人類文明的要素；（3）數(shù)學教學（含教材、教法）應配合學生不同階段的需求，協(xié)助學生數(shù)學智能的發(fā)展；（4）數(shù)學作為基礎科學，肩負培養(yǎng)學生的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力的任務.學生學習應用問題的解決方法，養(yǎng)成欣賞數(shù)學的態(tài)度及能力，奠定下一階段學習的數(shù)學基礎.大陸義務教育階段的數(shù)學課程突出體現(xiàn)基礎性、普及性和發(fā)展性，使數(shù)學教育面向全體學生，實現(xiàn)人人學有價值的數(shù)學；人人都能獲得必需的數(shù)學；不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展.臺灣把數(shù)學能力和態(tài)度看做民眾素質(zhì)的指標和要素，除了培養(yǎng)問題解決能力外，還注重培養(yǎng)學生欣賞數(shù)學的態(tài)度和能力.大陸數(shù)學課程強調(diào)人文，強調(diào)不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展，要求學生在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到發(fā)展.2.考試內(nèi)容的比較基測數(shù)學測試具體的考試內(nèi)容：（1）在“數(shù)與量”（從數(shù)字角度）中，要求能理解等差數(shù)列的樣式、規(guī)則及未知量，能辨識等差級數(shù)的樣式、規(guī)則及理解未知量求法.（2）在“幾何”中，要求能理解多邊形的幾何性質(zhì)，能辨識一個敘述及其與逆敘述間的不同，能理解圓的幾何性質(zhì)，能利用三角形及圓的性質(zhì)作推理.（3）在“代數(shù)”（從變量角度）中，能熟練多項式的因式分解，能熟練一元二次整系數(shù)方程式的解法.（4）在“統(tǒng)計與幾率”中，要求能將資料作分類與整理，并說明其理由.能讀懂生活中常見的直接對應表格，能認識生活中資料的統(tǒng)計圖，能讀懂較復雜的長條圖，能整理生活中的資料并制成長條圖，能整理有序資料并繪制成折線圖，能整理生活中的資料并制成餅圖.能報讀百分位數(shù)，并認識個體在群體中相對地位的情形.能利用統(tǒng)計量（如平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)等）來認識數(shù)據(jù)的集中情況，能利用統(tǒng)計量（全距、四分位距等）來認識資料分散的情形，能在具體情境中認識幾率的概念.這里，有幾點值得關注.第一，將代數(shù)部分分為“數(shù)與量”（從數(shù)字角度）和“代數(shù)”（從變量角度），體現(xiàn)了臺灣教育者對于數(shù)字和變量的區(qū)別理解.第二，幾何部分的題量，臺灣比大陸多很多，體現(xiàn)了臺灣教育者對學生空間想象能力和邏輯推理能力的重視（2010年基測數(shù)學測試中，幾何題量占總考題量的比例為：第一次測試35％，第二次測試44％）.第三，統(tǒng)計與概率（臺灣稱幾率）部分，基測引用了大量現(xiàn)實情境，對學生制作各種圖表的能力提出了很高的要求，這是為考生繼續(xù)學習高一級課程或參與社會工作打基礎，很值得我們思考.第四，擁有現(xiàn)實情境試題的比例，臺灣比大陸高不少.粗略統(tǒng)計，2010年基測數(shù)學測試題中擁有現(xiàn)實情境的試題比例為：第一次測試32％，第二次測試29％.而大陸中考，這一比例一般在20％以內(nèi).3.考試內(nèi)涵的比較臺灣成立了專門的考試中心，專門負責基測試題的命制工作，其每道數(shù)學題的命制成本數(shù)倍于我們，走的是高投入、高產(chǎn)出的路線.從基測數(shù)學測試題中我們發(fā)現(xiàn)，大部分在我們看來“中檔”的或“中檔以上”的試題，命制時是朝著同一難度目標去的，即預設的難度值相同，我想，有兩點原因：一是題量大，考試時間有限.學生要在70分鐘內(nèi)完成30～35道題，每道題的解答時間不過2