小學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)于推理和證明的理解偏差

小學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)于推理和證明的理解偏差

東北師范大學(xué)史寧中教授在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂工作介紹時(shí)，曾提出教師要處理好合情推理與演繹推理之間的關(guān)系.要處理好它們之間的關(guān)系，就必須理解推理和證明相關(guān)內(nèi)容，因?yàn)楹锨橥评砼c演繹推理都屬于推理與證明的范疇，通過這幾年對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的觀察與研究，我發(fā)現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)推理和證明的理解存在偏差，因此也很難處理好合情推理與演繹推理之間的關(guān)系.一、小學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)“推理和證明”內(nèi)容理解有偏差有一些小學(xué)數(shù)學(xué)老師一看到“推理和證明”，就會(huì)聯(lián)想到初中和高中的幾何證明題.事實(shí)上，我們看到下面關(guān)于“推理和證明”的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)（如圖1所示）以后，就會(huì)比較清晰地了解推理和證明所包含的主要內(nèi)容.這里要強(qiáng)調(diào)的是：演繹推理與直接證明有所區(qū)別，演繹推理又稱三段論推理，由兩個(gè)前提和一個(gè)結(jié)論組成，大前提是一般原理（規(guī)律），即抽象得出一般性、統(tǒng)一性的成果；小前提是指?jìng)€(gè)別對(duì)象，這是從一般到個(gè)別的推理，從這個(gè)推理，然后得出結(jié)論.演繹推理是“結(jié)論，可從叫做前提的已知事實(shí)，‘必然’得出的推理”.如果前提為真，則結(jié)論必然為真.直接證明，是相對(duì)于間接證明，是完全利用已知的公理進(jìn)行推導(dǎo)，邏輯上是嚴(yán)絲合縫的，沒有一點(diǎn)瑕疵，推導(dǎo)得出的結(jié)論的正確性是毋庸置疑的.可以用下面的例子說明它們的區(qū)別：演繹推理：（大前提）所有金屬都能導(dǎo)電（小前提）銅是金屬（結(jié)論）銅能導(dǎo)電直接證明：用導(dǎo)電實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證銅能導(dǎo)電小學(xué)數(shù)學(xué)中的推理與證明以合情推理為主，當(dāng)然也包括邏輯推理的滲透.如當(dāng)我們學(xué)習(xí)了梯形的面積計(jì)算公式以后，在求一個(gè)直角梯形的面積時(shí)，學(xué)生自然想到用梯形的面積計(jì)算公式來計(jì)算，這就滲透了三段論的思想.二、小學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)“推理和證明”意義理解有偏差雖然數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)：“推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中.”但我們分析數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中第一、第二學(xué)段目標(biāo)不難發(fā)現(xiàn)，課程標(biāo)準(zhǔn)并沒有把證明與推理納入小學(xué)數(shù)學(xué)課程的要求.我們只強(qiáng)調(diào)通過合情推理發(fā)現(xiàn)新關(guān)系、新結(jié)論，而沒有反問“為什么”，給學(xué)生提供說理的機(jī)會(huì)，說服自己、說服同學(xué).我想通過下面的案例更好地說明這個(gè)問題.問題：用20塊方磚（邊長(zhǎng)為10cm的正方形）拼擺出長(zhǎng)方形圖形.要求必須用上所有的20塊磚.數(shù)出并記錄每一個(gè)長(zhǎng)方形的面積和周長(zhǎng)，然后找一找并描述你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.（見表1）我們有些教師只滿足于學(xué)生得到這樣的規(guī)律：“瘦長(zhǎng)”的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)最大，“胖”長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)最小.我們的教師不會(huì)讓學(xué)生解釋其中原因，因?yàn)榻處熤肋@個(gè)理由要到高中才會(huì)接觸到，其實(shí)學(xué)生有他們自己的理由：瘦長(zhǎng)的長(zhǎng)方形中，有些磚的一些邊在外面，把瘦長(zhǎng)的長(zhǎng)方形變胖以后，原來的一些邊就到了里面，這樣周長(zhǎng)就變小了.學(xué)生的理由說服了所有人，包括老師.三、小學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)“推理和證明”培養(yǎng)理解有偏差因?yàn)閷?duì)推理與證明的意義理解存在偏差，導(dǎo)致小學(xué)數(shù)學(xué)在培養(yǎng)小學(xué)生推理與證明能力方面存在偏差：1.注重歸納推理，而忽視類比推理歸納推理利于發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論，同樣類比推理也是一種尋找真理和發(fā)現(xiàn)真理的基本而重要的手段.波利亞曾高度評(píng)價(jià)類比的作用和意義，說：“類比是提出新命題和獲得發(fā)現(xiàn)取之不竭的源泉.”通過強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)中的類比，我們可以幫助學(xué)生形成應(yīng)用聯(lián)系解決數(shù)學(xué)問題的態(tài)度，而不是把數(shù)學(xué)看成一些毫無聯(lián)系的概念和技能.筆者參加一次市級(jí)教學(xué)觀摩活動(dòng)，課題是五年級(jí)的《梯形的面積》.其中一位教師這樣引入課題：先給出一個(gè)上底是3厘米，下底是5厘米，高是2厘米的梯形，讓學(xué)生求出它的面積，學(xué)生通過分割、對(duì)折等多種方法求出了面積.教師利用這些求解方法，在不化簡(jiǎn)的情況下，通過歸納推理得到一個(gè)關(guān)于梯形面積公式的猜想.筆者覺得這樣的設(shè)計(jì)完全忽視類比推理，割斷了知識(shí)的聯(lián)系.梯形面積公式推導(dǎo)的生長(zhǎng)點(diǎn)是平行四邊形面積和三角形面積的推導(dǎo)，即使類似于平行四邊形面積的割補(bǔ)法不能推導(dǎo)出梯形的面積，作為教師也要讓學(xué)生去試一試，有時(shí)候，不能證實(shí)一個(gè)方法是錯(cuò)的，就不能證實(shí)另一個(gè)方法是對(duì)的.2.注重?cái)?shù)字驗(yàn)證，而忽視學(xué)生的理性思考當(dāng)我們通過合情推理得到一個(gè)猜想以后，我們應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生在他們已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上進(jìn)行推理，而不是一味用數(shù)字驗(yàn)證，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生在他們已知的基礎(chǔ)上進(jìn)行推理.下面是《一個(gè)小數(shù)乘十、百、千引起小數(shù)變化的規(guī)律》教學(xué)片斷：師：知道了一個(gè)小數(shù)乘10的規(guī)律，那么我們推想一下，一個(gè)小數(shù)乘100、乘1000，小數(shù)點(diǎn)又會(huì)怎樣變化呢？（板書）生：乘100小數(shù)點(diǎn)會(huì)向右移動(dòng)兩位，乘1000小數(shù)點(diǎn)會(huì)向右移動(dòng)三位.師：這只是我們的推想，（在板書上打上問號(hào)）還需要驗(yàn)證.你打算怎樣驗(yàn)證？生：想個(gè)小數(shù)，再算一算乘100、乘1000的結(jié)果，比較一下.師：他是這樣驗(yàn)證的，你們呢？老師驗(yàn)證的方法有點(diǎn)不同，我也先選一個(gè)小數(shù)，先猜出結(jié)果，再用計(jì)算器驗(yàn)證是否正確，可以嗎？那我們就來試一試.師：以5.08為例，經(jīng)過研究，5.08乘100、乘1000，小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)和我們的猜想一樣，其他小數(shù)呢？生：還要驗(yàn)證.有了猜想，怎樣說明猜想正確呢？除了數(shù)字驗(yàn)證還是數(shù)字驗(yàn)證，教師有沒有問學(xué)生這樣一個(gè)問題：乘10小數(shù)點(diǎn)會(huì)向右移動(dòng)一位，為什么乘100小數(shù)點(diǎn)會(huì)向右移動(dòng)兩位呢？學(xué)生的回答很可能是：乘10小數(shù)點(diǎn)會(huì)向右移動(dòng)一位，小數(shù)乘100就是小數(shù)乘10再乘10，乘10把小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位，再乘10再把小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位.學(xué)生在學(xué)習(xí)乘法分配律時(shí)，通過歸納推理得到猜想：（a+b）×c=a×c+b×c，在驗(yàn)證這個(gè)猜想是否正確時(shí)，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生通過幾何模型驗(yàn)證猜想，不能過分依賴數(shù)字驗(yàn)證.由a×c和b×c聯(lián)想到長(zhǎng)方形的面積，能不能用長(zhǎng)方形的面積來驗(yàn)證這個(gè)猜想的正確性呢？可以先計(jì)算大的長(zhǎng)方形面積，再計(jì)算兩個(gè)小長(zhǎng)方形面積的和，下面這個(gè)圖（圖2）直觀地顯示了乘法的分配律（a+b）×c=a×c+b×c確實(shí)成立，借助這個(gè)幾何模型也使得該規(guī)律更加容易被記住.3.注重練習(xí)的正確性，而忽視拓展推理的空間推理與證明即使對(duì)大學(xué)本科生來說也是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，何況是小學(xué)生？這種觀念導(dǎo)致一些人認(rèn)為小學(xué)生不需要學(xué)習(xí)推理與證明，只注重習(xí)題的正確性，而不會(huì)拓展推理的空間.比如在蘇教版五年級(jí)下冊(cè)《公倍數(shù)與最小公倍數(shù)》的練習(xí)四第2題：4和5的最小公倍數(shù)是20，等于它們的乘積.5和6的最小公倍數(shù)是30，也等于它們的乘積.學(xué)生很容易得到下列兩個(gè)猜想：（1）任何兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)等于它們的乘積我們要讓學(xué)生意識(shí)到，說明猜想的正確需要嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，而要說明這個(gè)猜想不正確，只要用一個(gè)反例就可以推翻.這個(gè)猜想馬上就能證明是錯(cuò)誤的，因?yàn)?和6的最小公倍數(shù)是12，不等于它們的乘積24.當(dāng)然教師也不要忽視這些“錯(cuò)誤”的猜想，因?yàn)樗纸o學(xué)生提供了更多的重要的發(fā)現(xiàn)機(jī)會(huì)：兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)什么情況下等于兩個(gè)數(shù)的乘積，什么情況下不等于這兩個(gè)數(shù)的乘積？（2）任意相鄰的兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)等于它們的乘積學(xué)生用比較小的相鄰兩個(gè)數(shù)來驗(yàn)證這個(gè)猜想時(shí)，還可以比較自信地確認(rèn)，當(dāng)用比較大的數(shù)目驗(yàn)證時(shí)，他們就沒有那么自信了，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用計(jì)算器來解決驗(yàn)證問題，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個(gè)猜想仍然是成立的.雖然學(xué)生此時(shí)還不能用已