理論力學(xué)第十二章壓桿穩(wěn)定

(a)(b)(a):木桿的橫截面為矩形（12cm),

高為3cm，當(dāng)荷載重量為6kN

時桿還不致破壞。(b):木桿的橫截面與(a)相同，高為1.4m(細(xì)長壓桿），當(dāng)壓力為0.1KN時桿被壓彎，導(dǎo)致破壞。

(a)和(b)竟相差60倍，為什么？細(xì)長壓桿的破壞形式：突然產(chǎn)生顯著的彎曲變形而使結(jié)構(gòu)喪失工件能力，并非因強(qiáng)度不夠，而是由于壓桿不能保持原有直線平衡狀態(tài)所致。這種現(xiàn)象稱為穩(wěn)定性破壞。現(xiàn)在是1頁\一共有72頁\編輯于星期日

工程中有些構(gòu)件具有足夠的強(qiáng)度、剛度，卻不一定能安全可靠地工作.構(gòu)件的承載能力①強(qiáng)度②剛度③穩(wěn)定性現(xiàn)在是2頁\一共有72頁\編輯于星期日現(xiàn)在是3頁\一共有72頁\編輯于星期日二、工程實(shí)例翻斗車液壓桿現(xiàn)在是4頁\一共有72頁\編輯于星期日內(nèi)燃機(jī)、空氣壓縮機(jī)的連桿現(xiàn)在是5頁\一共有72頁\編輯于星期日高層建筑現(xiàn)在是6頁\一共有72頁\編輯于星期日高架鐵路橋現(xiàn)在是7頁\一共有72頁\編輯于星期日案例1上世紀(jì)初，享有盛譽(yù)的美國橋梁學(xué)家?guī)彀兀ㄔ谑趥愃购由辖ㄔ炜瓤舜髽?907年8月29日，發(fā)生穩(wěn)定性破壞，85位工人死亡，成為上世紀(jì)十大工程慘劇之一.三、失穩(wěn)破壞案例現(xiàn)在是8頁\一共有72頁\編輯于星期日案例22000年10月25日上午10時南京電視臺演播中心由于腳手架失穩(wěn)造成屋頂模板倒塌，死6人，傷34人.研究壓桿穩(wěn)定性問題尤為重要現(xiàn)在是9頁\一共有72頁\編輯于星期日四、平衡的穩(wěn)定性平衡物體在其原來平衡狀態(tài)下抵抗干擾的能力。穩(wěn)定平衡隨遇平衡不穩(wěn)定平衡（臨界狀態(tài)）1、小球平衡的三種狀態(tài)現(xiàn)在是10頁\一共有72頁\編輯于星期日穩(wěn)定平衡現(xiàn)在是11頁\一共有72頁\編輯于星期日不穩(wěn)定的平衡現(xiàn)在是12頁\一共有72頁\編輯于星期日臨界狀態(tài)現(xiàn)在是13頁\一共有72頁\編輯于星期日2、對于細(xì)長壓桿：（1）當(dāng)F小于某一臨界值Fcr，撤去橫向力后，桿的軸線將恢復(fù)其原來的直線平衡狀態(tài)，壓桿在直線狀態(tài)下的平衡是穩(wěn)定平衡。

現(xiàn)在是14頁\一共有72頁\編輯于星期日（2）當(dāng)F增大到一定的臨界值Fcr，撤去橫向力后，桿的軸線將保持微彎的平衡狀態(tài)，而不再恢復(fù)其原來的直線平衡狀態(tài)，壓桿在原來直線形態(tài)下的平衡是不穩(wěn)定平衡。現(xiàn)在是15頁\一共有72頁\編輯于星期日壓桿喪失其直線狀態(tài)下的平衡而過度為曲線平衡，稱為喪失穩(wěn)定，簡稱失穩(wěn)，也稱屈曲。

（3）當(dāng)軸向壓力超過臨界壓力時，壓桿將失穩(wěn)破壞?，F(xiàn)在是16頁\一共有72頁\編輯于星期日

穩(wěn)定平衡隨遇平衡不穩(wěn)定平衡（臨界狀態(tài)）受壓直桿平衡的三種形式現(xiàn)在是17頁\一共有72頁\編輯于星期日結(jié)論—穩(wěn)定平衡狀態(tài)

—臨界平衡狀態(tài)

—不穩(wěn)定平衡狀態(tài)

關(guān)鍵確定壓桿的臨界力

Fcr穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡臨界狀態(tài)臨界壓力:Fcr過度對應(yīng)的壓力現(xiàn)在是18頁\一共有72頁\編輯于星期日其它構(gòu)件失穩(wěn)現(xiàn)在是19頁\一共有72頁\編輯于星期日假定壓力以達(dá)到臨界值，桿已經(jīng)處于微彎狀態(tài)且服從虎克定律，如圖，從撓曲線入手，求臨界力。①、彎矩：②、撓曲線近似微分方程：EIFkcr=2:令xwFcrFcrMwxwFcrFcrL1、兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界力§12–1壓桿臨界荷載的歐拉公式現(xiàn)在是20頁\一共有72頁\編輯于星期日③、微分方程的解：④、確定微分方程常數(shù)：臨界力F

cr是微彎下的最小壓力，故，只能取n=1；且桿將繞慣性矩最小的軸彎曲。（n=0、1、2、3……）——兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界載荷的計(jì)算公式：歐拉公式現(xiàn)在是21頁\一共有72頁\編輯于星期日當(dāng)時，撓曲線方程為撓曲線為半波正弦曲線.現(xiàn)在是22頁\一共有72頁\編輯于星期日2其他支座條件下細(xì)長壓桿的臨界壓力兩端鉸支一端自由，一端固定一端鉸支，一端固定兩端固定其他約束類型：現(xiàn)在是23頁\一共有72頁\編輯于星期日Fcrl兩端鉸支現(xiàn)在是24頁\一共有72頁\編輯于星期日一端自由，一端固定lFcr2l現(xiàn)在是25頁\一共有72頁\編輯于星期日兩端固定lFcrl/4l/4l/2l現(xiàn)在是26頁\一共有72頁\編輯于星期日一端鉸支，一端固定Fcrl0.3l0.7l現(xiàn)在是27頁\一共有72頁\編輯于星期日臨界載荷歐拉公式的一般形式:一端自由，一端固定:＝2.0一端鉸支，一端固定:

＝0.7兩端固定:＝0.5兩端鉸支:＝1.0現(xiàn)在是28頁\一共有72頁\編輯于星期日兩端鉸支一端固定，另一端鉸支兩端固定一端固定，另一端自由表9-1各種支承約束條件下等截面細(xì)長壓桿臨界力的歐拉公式

支承情況臨界力的歐拉公式長度系數(shù)

=1=0.7=0.5=2現(xiàn)在是29頁\一共有72頁\編輯于星期日5.討論為長度系數(shù)

l為相當(dāng)長度（1）相當(dāng)長度l的物理意義壓桿失穩(wěn)時，撓曲線上兩拐點(diǎn)間的長度就是壓桿的相當(dāng)長度l.

l是各種支承條件下，細(xì)長壓桿失穩(wěn)時，撓曲線中相當(dāng)于半波正弦曲線的一段長度.綜上所述：其它桿端約束條件下細(xì)長壓桿的臨界壓力的一般形式:現(xiàn)在是30頁\一共有72頁\編輯于星期日zyx取Iy，Iz中小的一個計(jì)算臨界力.若桿端在各個方向的約束情況不同（如柱形鉸），應(yīng)分別計(jì)算桿在不同方向失穩(wěn)時的臨界壓力.I為其相應(yīng)中性軸的慣性矩.即分別用Iy，Iz

計(jì)算出兩個臨界壓力.然后取小的一個作為壓桿的臨界壓力.（2）橫截面對某一形心主慣性軸的慣性矩I若桿端在各個方向的約束情況相同（如球形鉸等），則I應(yīng)取最小的形心主慣性矩.現(xiàn)在是31頁\一共有72頁\編輯于星期日歐拉臨界力公式中的Imin

如何確定？現(xiàn)在是32頁\一共有72頁\編輯于星期日現(xiàn)在是33頁\一共有72頁\編輯于星期日現(xiàn)在是34頁\一共有72頁\編輯于星期日例圖示各桿材料和截面均相同，試問哪一根桿能承受的壓力最大，哪一根的最??？aP(1)P1.3a(2)P(3)1.6a因?yàn)橛挚芍?）桿承受的壓力最小，最先失穩(wěn)；（3）桿承受的壓力最大，最穩(wěn)定?，F(xiàn)在是35頁\一共有72頁\編輯于星期日例：圖示細(xì)長圓截面連桿，長度，直徑,材料為Q235鋼，E＝200GPa.試計(jì)算連桿的臨界載荷Fcr

.解：1、細(xì)長壓桿的臨界載荷2、從強(qiáng)度分析現(xiàn)在是36頁\一共有72頁\編輯于星期日壓桿受臨界力Fcr作用而仍在直線平衡形態(tài)下維持不穩(wěn)定平衡時，橫截面上的壓應(yīng)力可按=F/A計(jì)算.

§12-3臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖

一、臨界應(yīng)力歐拉公式臨界應(yīng)力按各種支承情況下壓桿臨界力的歐拉公式算出壓桿橫截面上的應(yīng)力為現(xiàn)在是37頁\一共有72頁\編輯于星期日i

為壓桿橫截面對中性軸的慣性半徑.稱為壓桿的柔度（長細(xì)比），集中地反映了壓桿的長度l和桿端約束條件、截面尺寸和形狀等因素對臨界應(yīng)力的影響.越大，相應(yīng)的cr越小，壓桿越容易失穩(wěn).令令則則若壓桿在不同平面內(nèi)失穩(wěn)時的支承約束條件不同，應(yīng)分別計(jì)算在各平面內(nèi)失穩(wěn)時的柔度，并按較大者計(jì)算壓桿的臨界應(yīng)力cr?，F(xiàn)在是38頁\一共有72頁\編輯于星期日（細(xì)長壓桿臨界柔度）例：Q235鋼，二、歐拉公式的適用范圍歐拉公式的適用范圍:，稱大柔度桿（細(xì)長壓桿）現(xiàn)在是39頁\一共有72頁\編輯于星期日1、大柔度桿（細(xì)長壓桿）采用歐拉公式計(jì)算。2：中柔度桿（中長壓桿）采用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算?！本€型經(jīng)驗(yàn)公式臨界壓力：臨界壓應(yīng)力：材料a(MPa)b(MPa)硅鋼5773.7410060鉻鉬鋼9805.29550硬鋁3722.14500鑄鐵331.91.453松木39.20.19959是與材料性能有關(guān)的常數(shù)。直線公式適合合金鋼、鋁合金、鑄鐵與松木等中柔度壓桿?，F(xiàn)在是40頁\一共有72頁\編輯于星期日3：小柔度桿（短粗壓桿）只需進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。三、臨界應(yīng)力總圖：臨界應(yīng)力與柔度之間的變化關(guān)系圖。slPl細(xì)長壓桿?！本€型經(jīng)驗(yàn)公式中柔度桿粗短桿大柔度桿現(xiàn)在是41頁\一共有72頁\編輯于星期日細(xì)長桿—發(fā)生彈性屈曲(p)中長桿—發(fā)生彈塑性屈曲(s<p)粗短桿—不發(fā)生屈曲，而發(fā)生屈服(<s)粗短桿中長桿細(xì)長桿現(xiàn)在是42頁\一共有72頁\編輯于星期日中柔度桿——拋物線型經(jīng)驗(yàn)公式是與材料性能有關(guān)的常數(shù)。拋物線公式適合于結(jié)構(gòu)鋼與低合金鋼等制做的中柔度壓桿。四、注意問題：1、計(jì)算臨界力、臨界應(yīng)力時，先計(jì)算柔度，判斷所用公式。2、對局部面積有削弱的壓桿，計(jì)算臨界力、臨界應(yīng)力時，其截面面積和慣性距按未削弱的尺寸計(jì)算。但進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算時需按削弱后的尺寸計(jì)算?，F(xiàn)在是43頁\一共有72頁\編輯于星期日例：如圖所示圓截面壓桿，E=210GPa，σp=200MPa，σs=235MPa,σcr=310-1.12λ(MPa)

1.分析哪一根壓桿的臨界載荷比較大；2.已知：d=160mm。求：二桿的臨界載荷

=l/i,a=（1×5）/（d/4）=20/d,b=（0.5×9）/（d/4）=18/d.解：1、判斷臨界荷載大小a＞bFcra

＜Fcrb9m現(xiàn)在是44頁\一共有72頁\編輯于星期日a=20/d＝20/0.16=125＞λp,屬于細(xì)長桿b=18/d＝18/0.16=112.5>λp，屬于細(xì)長桿2、計(jì)算各桿臨界力的大小現(xiàn)在是45頁\一共有72頁\編輯于星期日Fcr——壓桿的臨界壓力nst——壓桿的穩(wěn)定安全系數(shù)壓桿穩(wěn)定條件：

§12-4壓桿穩(wěn)定計(jì)算與合理設(shè)計(jì)F——實(shí)際工作壓力n—工作安全因數(shù)nst—規(guī)定安全因數(shù)1、安全系數(shù)法:壓桿的穩(wěn)定計(jì)算通常采用安全因數(shù)法和折減系數(shù)法。穩(wěn)定性校核和確定許可荷載用安全因數(shù)法比較方便，截面設(shè)計(jì)用折減系數(shù)法比較方便

現(xiàn)在是46頁\一共有72頁\編輯于星期日穩(wěn)定計(jì)算步驟（1）計(jì)算最大的柔度系數(shù)max；

（2）根據(jù)max選擇公式計(jì)算臨界應(yīng)力；（3）根據(jù)穩(wěn)定性條件，判斷壓桿的穩(wěn)定性或確定許可載荷.現(xiàn)在是47頁\一共有72頁\編輯于星期日例題9-4：空壓機(jī)活塞桿由45＃制成。s＝350MPa，p＝280MPa，E＝210GPa。L＝703mm，d＝45mm，F(xiàn)max＝41.6kN，規(guī)定安全系數(shù)nst＝8～10。試校核其穩(wěn)定性?！钊麠U兩端為鉸支，＝1?，F(xiàn)在是48頁\一共有72頁\編輯于星期日中柔度桿，所以用直線公式，查表a＝461MPa，b＝2.568MPa?，F(xiàn)在是49頁\一共有72頁\編輯于星期日現(xiàn)在是50頁\一共有72頁\編輯于星期日現(xiàn)在是51頁\一共有72頁\編輯于星期日現(xiàn)在是52頁\一共有72頁\編輯于星期日現(xiàn)在是53頁\一共有72頁\編輯于星期日2、折減系數(shù)法:－許用應(yīng)力；－折減系數(shù)，與壓桿的柔度和材料有關(guān)。此方法涉及規(guī)范較多，需查表。現(xiàn)在是54頁\一共有72頁\編輯于星期日例：一等直壓桿長L=3.4m，A=14.72cm2，I=79.95cm4，E=210GPa，F(xiàn)=60kN，材料為A3鋼，兩端為鉸支座。試進(jìn)行穩(wěn)定校核。1、nst=2；2、〔σ〕=140MPa解：1、安全系數(shù)法：現(xiàn)在是55頁\一共有72頁\編輯于星期日2、折減系數(shù)法查表——λ=140，φ=0.349；λ=150，φ=0.306?，F(xiàn)在是56頁\一共有72頁\編輯于星期日例：圖示起重機(jī)，AB桿為圓松木，長L=6m，[]=11MPa，直徑為：d=0.3m，試求此桿的許用壓力。（xy面兩端視為鉸支；xz

面一端視為固定，一端視為自由）解：折減系數(shù)法1、最大柔度xy面內(nèi)，z=1.0AF1BWF2xyzozy面內(nèi)，y

=2.0現(xiàn)在是57頁\一共有72頁\編輯于星期日2、求折減系數(shù)3、求許用壓力現(xiàn)在是58頁\一共有72頁\編輯于星期日例一連桿尺寸如圖，材料為A3鋼，承受的軸向壓力為P=120KN，取穩(wěn)定安全系數(shù)nw=2，校核連桿的穩(wěn)定性。在xy面內(nèi)失穩(wěn)連桿兩端為絞支，長度l=940。在xz面內(nèi)失穩(wěn)近似兩端固定，長度l1=880。zyxb=25h=60現(xiàn)在是59頁\一共有72頁\編輯于星期日在xy面內(nèi)失穩(wěn)連桿兩端為絞支，長度l=940。zyxb=25h=60解：(1)求柔度現(xiàn)在是60頁\一共有72頁\編輯于星期日在xz面內(nèi)失穩(wěn)近似兩端固定，長度l1=880。zyxb=25h=60桿在xz面內(nèi)先失穩(wěn)，應(yīng)用y計(jì)算臨界力?，F(xiàn)在是61頁\一共有72頁\編輯于星期日zyxb=25h=60（2）求臨界力，作穩(wěn)定校核因?yàn)?/p>