#廣東省肇慶2012屆高三畢業(yè)班第一次模擬數(shù)學(xué)試卷(理科)

肇慶市中小學(xué)教學(xué)質(zhì)量評估數(shù)學(xué)(理科)2012屆高中畢業(yè)班第一次模擬試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的..若復(fù)數(shù)Z=(x-5)+(3-X)，?在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，則實(shí)數(shù)X的取值范圍是A.(一-5)B.(3,+oo)C.(3,5)D.(5,+8).已知集合"二{0,1,2},集合N滿足N=則集合N的個數(shù)是A.6 B.7 C.8 D.9⑵,%>2.已知函數(shù)/(x)=lgx的定義域?yàn)镸,函數(shù)y=1。 1 1的定義域?yàn)镹,則=-3x+l,x<lA.(0,l)B.(2,+s)C.(0,+s)D.(0,l)U(2,+8).“刃<l”是“函數(shù)/(X)=X2+X+根有零點(diǎn)”的條件A.充分非必要 B.充要 C.必要非充分D.非充分必要.已知函數(shù)/(x)=(cos2xcosx+sin2xsinx)sinx,貝i|/(x)是A.最小正周期為兀的奇函數(shù) B.最小正周期為兀的偶函數(shù)兀 兀C.最小正周期為5的奇函數(shù) D.最小正周期為了的偶函數(shù).已知向量〃=(4,3),b=(-2,1),如果向量〃十九)與方垂直，貝iJIZz—九)I的值為.()A.1 B.6 C.5 D.575x<3,2y>x,7.已知羽y滿足<qc、么,則z=2x—y的最大值是().3x+2y>6,3y<x+9

15A.TD.28.設(shè)“為平面內(nèi)一些向量組成的集合,若對任意正實(shí)數(shù)九和向量〃￡^^都有九〃 ，則稱D.2為“點(diǎn)射域”則下列平面向量的集合為“點(diǎn)射域”的是x-y>0

x+y<0C.{(x,y)lx2+y2-2y>0}D.{(x,y)13x2+2y2-12<0}二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分.必做題（9?13題）x-y>0

x+y<0C.{(x,y)lx2+y2-2y>0}D.{(x,y)13x2+2y2-12<0}二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分.必做題（9?13題）9.I#2—21x1—15>。的解集是1°.在一10的展開式中常數(shù)項(xiàng)是,（用數(shù)字作答）.某中學(xué)舉行了一次田徑運(yùn)動會，其中有50名學(xué)生參加了一次百米比賽，他們的成績和頻率如圖所示.若將成績小于15秒作為獎勵的條件，則在這次百米比賽中獲獎的人數(shù)共有.短軸長為逐，離心率的橢圓的兩焦點(diǎn)為4勺過F作直線交橢圓于AB兩點(diǎn)，則AABF的周長為.如果實(shí)數(shù)羽y滿足等式（X-2）2+w=I，那么的取值范圍是 x-1（二）選做題:第14J5題為選做題，考生只能選做一題，請先用2B鉛筆填涂選做的試題號對應(yīng)的信息點(diǎn)，并將選做的題號填寫在括號內(nèi)再作答。114題口15題U.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，圓p=2上的點(diǎn)到直線phose+V^sine/=6的距離的最小值為.（幾何證明選講選做題）如圖2,點(diǎn)尸是。。外一點(diǎn)，尸。為。。的一切線，。是切點(diǎn)，割線經(jīng)過圓心0,若/EF￡>=30。，PD=2、/3,則尸E1=三、解答題本大題共小題，滿分分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟16.(本小題滿分12分)已知數(shù)列｛〃｝是一個等差數(shù)列，且〃=1,〃=-5. (I)求｛〃｝的通項(xiàng)〃；n 2 5 n n5—Q(II)設(shè)C= e,b=2c“，求T=logb+logb+logb++logb的值。n2 n 21 22 23 2n.(本小題滿分13分)2012年春節(jié)前，有超過20萬名廣西、四川等省籍的外來務(wù)工人員選擇駕乘摩托車沿321國道長途跋涉返鄉(xiāng)過年，為防止摩托車駕駛?cè)艘蜷L途疲勞駕駛，手腳僵硬影響駕駛操作而引發(fā)交事故，肇慶市公安交警部門在321國道沿線設(shè)立了多個長途行駛摩托車駕乘人員休息站，讓過往返鄉(xiāng)過年的摩托車駕駛?cè)擞幸粋€停車休息的場所。交警小李在某休息站連續(xù)5天對進(jìn)站休息的駕駛?cè)藛T每隔50輛摩托車就進(jìn)行省籍詢問一次，詢問結(jié)果如圖3所示：(I)問交警小李對進(jìn)站休息的駕駛?cè)藛T的省籍詢問采用的是什么抽樣方法？(II)用分層抽樣的方法對被詢問了省籍的駕駛?cè)藛T進(jìn)行抽樣，若廣西籍的有5名，則四川籍的應(yīng)抽取幾名？(III)在上述抽出的駕駛?cè)藛T中任取2名，求抽取的2名駕駛?cè)藛T中四川籍人數(shù)占的分布列及其均值(即數(shù)學(xué)期望)。.(本題滿分13分)已知△A5C的面積為2JI,內(nèi)角A,5,C的對邊分別為。，4c,已知。=3,/?=4,0<C<90^.(I)求sin(A+5)的值；(兀)(II)求cos2C+-的值；(III)求向量CB,AC的數(shù)量積I.(本小題滿分14分)如圖4,已知斜三棱柱(側(cè)棱不垂直于底面)ABC-ABC的側(cè)面AACC與底面A5C垂直,11111BC=2,AC=25AB=2&,AA=AC=J6.ii(I)求側(cè)棱在平面AACC上的正投影的長度. /嚇丁11 11 /1、、/(II)設(shè)AC的中點(diǎn)為D,證明4。，底面ABC； □一方工B(III)求側(cè)面々ABH］與底面A5C所成二面角的余弦值； 圖420.(本小題滿分14分)圓C的圓心軌跡方程為L,設(shè)L上已知圓C與兩圓心圓C的圓心軌跡方程為L,設(shè)L上的點(diǎn)與點(diǎn)〃(1?)的距離的最小值為根，點(diǎn)尸(。［)與點(diǎn)〃(1?)的距離為和(I)求圓C的圓心軌跡L的方程；(II)求滿足條件根=幾的點(diǎn)M的軌跡Q的方程；(III)試探究軌跡Q上是否存在點(diǎn)8(5,八)，使得過點(diǎn)B的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于若存在，請求出點(diǎn)5的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.21.(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)/(x)=x2+〃ln(x+l).(I)求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；(11)若函數(shù)/。)=/。)+1口，1有兩個極值點(diǎn)外元且x<x,求證/(x)>!.12 12 2 4肇慶市中小學(xué)教學(xué)質(zhì)量評估數(shù)學(xué)（理科）答題卡、選擇題號12345678答案、填空:9、10、11、12、13、]4、15、三、解答題：16.（本小題滿分12分）17.（本小題滿分13分）人數(shù)圖318.（本題滿分13分）19.（本小題滿分14分）圖420.（本小題滿分14分）21.（本小題滿分14分）肇慶市中小學(xué)教學(xué)質(zhì)量評估數(shù)學(xué)（理科）答案一、選擇:題號12345678答案CCDCADBB、填空:(9)、(9)、0r5f陰0(10)、45.(11)、11 (12)6 (13)-,+oo[3 J(14)1 (15)216解：（I）16解：（I）設(shè)%｝的公差為d

na+d-1'由已知條件'「+4〃=-5，（2分）解得4=3,d=-2.(4分)1所以q=a+（zz—V）d——2zz+5.（6分）n1_ 5—5-（~2幾+5）*.*a=—2n+5,c— = 二nTOC\o"1-5"\h\zn n2 2b=2cn=2n （8分）n...T=logb+logZ?+logZ?++logb

21 22 23 2n=log2+log22+log23+**+log2n2 2 2 21cc 〃（〃+l）…八=1+2+3++n- （12分）217解：（I）交警小李對進(jìn)站休息的駕駛?cè)藛T的省籍詢問采用的是系統(tǒng)抽樣方法（分）II從圖中可知，被詢問了省籍的駕駛?cè)藛T廣西籍的有：5+20+25+20+30=100人,四川籍的有：15+10+5+5+5=40人，（分）5x設(shè)四川籍的駕駛?cè)藛T應(yīng)抽取1名，依題意得—二R，解得％=210040即四川籍的應(yīng)抽取名（7分）（III）］的所有可能取值為0,1,2；（8分）

C1C110d。、。2 1 、P也=0）=S-=—,=1）=C221 C2己的分布列為:?匕、? 1°c1 4均值石（己）=1x——+2x——=—.18解：（I）由2P也=0）=S-=—,=1）=C221 C2己的分布列為:?匕、? 1°c1 4均值石（己）=1x——+2x——=—.18解：（I）由2〃Z?sinC=2,即』x2 2012p102110211217（H分）（13分）3x4sinC=20得sinC=4（2分）?：A+B=lS0o-C：.sin（A+B）=sin（180。一C）=sinC=（4分）（II）由（I）得sinC=*/0<C<90。，cosC=Jl—siruA二cos2C=2cos2C-l=2x2 5一1=§. （6分）：.sin2C=2sinCcosC=2xx3 3 9（7分）.?.小+3I4y7C■——■兀=cos2Ccos--sin2Csin—_5/2"72_5g-4幣9 2 9 2 18（III）,/CB-a-3,AC-b-4（9分）（10分）設(shè)向量cs與ci所成的角為e,則e=i8o0-c（n分）ACBeAC=|CB|J二Vx4x立二—4"

3（13分）ACACBeAC=|CB|J二Vx4x立二—4"

3（13分）19解：（方法一）（I）???45。—45。是斜三棱柱，.?.55〃平面44。。，iii i ii故側(cè)棱在平面AACC上的正投影的長度等于側(cè)棱55的長度.（2分）1111又BB「AA「#，故側(cè)棱BB在平面AACC的正投影的長度等于的.（3分）（II）證明：AC=2^/3,, =AC=76,：.AC2=AA2+AC2???三角形AAC是等腰直角三角形，（5分）1又D是斜邊AC的中點(diǎn)，???AO，AC（6分）1?.?平面AACC，平面ABC,.?.4D，底面ABC（7分）111（HI）作。垂足為石，連A7,VA^XffiABC,.?.AB,平面（8分）i從而有AE1AB,ZAED是面AABBa與面ABC所成二面角的平面角.（9分）1 ill?.?BC=2,AC=2/AB=272,?.ACi=BCi+AB2???三角形ABC是直角三角形，AB1BCJ.ED//BC,又。是AC的中點(diǎn)，BC=2,AC=2?。?DE=1,AD=AD=J3,AE=」AD2+DE2=21 1Vla…DE1...cosAED 二—,iAE2

i即側(cè)面A】AB"與底面ABC所成二面角的余弦值為;.（14分）(III)VBC=2,AC=2"AB=272,AC2=AB2+BC2???三角形A5C是直角三角形，過B作AC的垂線BE,垂足為E,「廠ABBC2-2722而廠廠r—~2^3則 =丁' ，hr:.DE=CD—EC=E—W=￡(8分)以D為原點(diǎn)，4。所在的直線為Z軸，DC所在的直線為y軸，平行于BE的直線為X軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則4（0,—正,0）,4（0,0,、囪，呂］孚,。,0令X=&,得y=-1,Z=1,所以p=（JI,—1,1）是平面A］ABB］的一個法向量.（11分）由（I）得AR,而ABC,所以設(shè)平面ABC的一個法向量為4=（。,。/）（12分）設(shè)向量P和4所成角為8,則cos?=9=1 1==:（13分）帆M房+1+lxl2

即側(cè)面與底面A5C所成二面角的余弦值為;.（14分）20分析：（I）兩圓半徑都為1,兩圓心分別為。（0,-4）、C（0,2）,由題意得。。=CC,1 2 1 2可知圓心C的軌跡是線段的垂直平分線，的中點(diǎn)為（。，-1）,直線的斜率等于零,12 12 12故圓心c的軌跡是線段的垂直平分線方程為y=-1,即圓c的圓心軌跡L的方程為12y=-1。（4分）（II）因?yàn)榧佣?，所以M（羽y）到直線y=—1的距離與到點(diǎn)/Q1）的距離相等，故點(diǎn)"的軌跡Q是以y=T為準(zhǔn)線，點(diǎn)/Q1）為焦點(diǎn)，頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，y=t即夕=2,所以,TOC\o"1-5"\h\z軌跡Q的方程是X2=4y （8分）1,171（III）由（H）得y=7X2,y=—x,所以過點(diǎn)B的切線的斜率為k=三1，切線方程為4 2 211. . _ 1 _2yy-y=-X（X-X）,令工=0得了=-+y,令y=0得x=——J-+X,i2i1 21 1 x11,111因?yàn)辄c(diǎn)B在42=4y上，所以y=—X2故y=一二筮，x=xi4i 4i2iTOC\o"1-5"\h\z1 11111 1所以切線與兩坐標(biāo)軸圍成的二角形的面積為S=7IXUy1=工一二x=—X32 2411|21161設(shè)S=k，即二卜二三得口|=2,所以x=±22 161i121i1 1當(dāng)x=2時，y=1,當(dāng)x=—2時，y=l,111所以點(diǎn)5的坐標(biāo)為（2,1）或（—2,1）. （14分）21解:（I）函數(shù)/⑴的定義域?yàn)椋═+與，（1分）fM=2x+2x2+2x+a

x+1(x>—1)(2fM=2x+2x2+2x+a

x+1(x>—1)(2分)令g(x)=2x2+2x+a,則A=4—8”.①當(dāng)A<。，即:時，g(x)>0,從而/口)>0,故函數(shù)/⑴在(T+8)上單調(diào)遞增；(3②當(dāng)A=。，即” ■時，g(x)>0,此時尸0)2。，此時/'(%)在/(％)=。的左右兩側(cè)不變號，故函數(shù)/(X)在(T,+8)上單調(diào)遞增；(4分)TOC\o"1-5"\h\z1 —1—J1—2a —1+J1—2a 1③當(dāng)A>。，即時，g(x)=。的兩個根為\= ,匕= >--,