中考專題練習(xí)-函數(shù)中因動點產(chǎn)生的相似三角形問題(含答案)

中考專題練習(xí)-函數(shù)中因動點產(chǎn)生的相似三角形問題(含答案)PAGE四-綜合題講解函數(shù)中因動點產(chǎn)生的相似三角形問題例題：如圖1，已知拋物線的頂點為A（2，1），且經(jīng)過原點O，與x軸的另一個交點為B。⑴求拋物線的解析式；（用頂點式求得拋物線的解析式為）⑵若點C在拋物線的對稱軸上，點D在拋物線上，且以O(shè)、C、D、B四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求D點的坐標(biāo)；⑶連接OA、AB，如圖2，在軸下方的拋物線上是否存在點，使得△與△相似？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。例1題圖例1題圖圖1圖2分析:1.當(dāng)給出四邊形的兩個頂點時應(yīng)以兩個頂點的連線為四邊形的邊和對角線來考慮問題以O(shè)、C、D、B四點為頂點的四邊形為平行四邊形要分類討論:按OB為邊和對角線兩種情況（2）過點作平行于軸的直線交軸于點，在拋物線對稱軸右側(cè)且位于直線下方的拋物線上，任取一點，過點作直線平行于軸交軸于點，交直線于點，直線與直線及兩坐標(biāo)軸圍成矩形．是否存在點，使得與相似？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．（3）如果符合（2）中的點在軸的上方，連結(jié)，矩形內(nèi)的四個三角形之間存在怎樣的關(guān)系？為什么？練習(xí)2、如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，點A在x軸上，點C在y軸上，將邊BC折疊，使點B落在邊OA的點D處。已知折疊，且。（1）判斷與是否相似？請說明理由；（2）求直線CE與x軸交點P的坐標(biāo)；（3）是否存在過點D的直線l，使直線l、直線CE與x軸所圍成的三角形和直線l、直線CE與y軸所圍成的三角形相似？如果存在，請直接寫出其解析式并畫出相應(yīng)的直線；如果不存在，請說明理由。OOxy練習(xí)2圖CBED練習(xí)3、在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點（點在點的左邊），與軸交于點，其頂點的橫坐標(biāo)為1，且過點和．（1）求此二次函數(shù)的表達式；（由一般式得拋物線的解析式為）（2）若直線與線段交于點（不與點重合），則是否存在這樣的直線，使得以為頂點的三角形與相似？若存在，求出該直線的函數(shù)表達式及點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；CBA練習(xí)4圖PyyCxBA練習(xí)3圖（3）若點CBA練習(xí)4圖PyyCxBA練習(xí)3圖OO練習(xí)4(2008廣東湛江市)如圖所示，已知拋物線與軸交于A、B兩點，與軸交于點C．（1）求A、B、C三點的坐標(biāo)．（2）過點A作AP∥CB交拋物線于點P，求四邊形ACBP的面積．（3）在軸上方的拋物線上是否存在一點M，過M作MG軸于點G，使以A、M、G三點為頂點的三角形與PCA相似．若存在，請求出M點的坐標(biāo)；否則，請說明理由．練習(xí)5、已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是直角三角形，，點的坐標(biāo)分別為，，．（1）求過點的直線的函數(shù)表達式；點，，，（2）在軸上找一點，連接，使得與相似（不包括全等），并求點的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，如分別是和上的動點，連接，設(shè)，問是否存在這樣的使得與相似，如存在，請求出的值；如不存在，請說明理由．AACOBxy參考答案例題、解:⑴由題意可設(shè)拋物線的解析式為∵拋物線過原點，∴∴.圖1拋物線的解析式為,即圖1⑵如圖1,當(dāng)OB為邊即四邊形OCDB是平行四邊形時,CDEQ\O(\s\up2(∥),\s\do3(＝))OB,由得,∴B(4,0),OB＝4.∴D點的橫坐標(biāo)為6將x＝6代入,得y＝－3,∴D(6,－3);根據(jù)拋物線的對稱性可知,在對稱軸的左側(cè)拋物線上存在點D,使得四邊形ODCB是平行四邊形,此時D點的坐標(biāo)為(－2,－3),當(dāng)OB為對角線即四邊形OCBD是平行四邊形時,D點即為A點,此時D點的坐標(biāo)為(2,1)⑶如圖2，由拋物線的對稱性可知:AO＝AB,∠AOB＝∠ABO.若△BOP與△AOB相似,必須有∠POB＝∠BOA＝∠BPO圖2設(shè)OP交拋物線的對稱軸于A′點,顯然A′(2,－1)圖2∴直線OP的解析式為由,得.∴P(6,－3)過P作PE⊥x軸,在Rt△BEP中,BE＝2,PE＝3,∴PB＝≠4.∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO,∴△PBO與△BAO不相似,同理可說明在對稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的P點.所以在該拋物線上不存在點P,使得△BOP與△AOB相似.練習(xí)1、解：（1）由已知可得：解之得，．因而得，拋物線的解析式為：．（2）存在．設(shè)點的坐標(biāo)為，則，要使，則有，即解之得，．當(dāng)時，，即為點，所以得要使，則有，即解之得，，當(dāng)時，即為點，當(dāng)時，，所以得．故存在兩個點使得與相似．點的坐標(biāo)為．（3）在中，因為．所以．當(dāng)點的坐標(biāo)為時，．所以．因此，都是直角三角形．又在中，因為．所以．即有．所以，又因為，所以．練習(xí)2解：（1）與相似。OxOxy圖1CBED312A由折疊知，，，又，。（2），設(shè)AE=3t，則AD=4t。圖2Oxy圖2OxyCBEDPMGlNAF。由（1），得，，。在中，，，解得t=1。OC=8，AE=3，點C的坐標(biāo)為（0，8），點E的坐標(biāo)為（10，3），設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b，解得，則點P的坐標(biāo)為（16，0）。（3）滿足條件的直線l有2條：y=－2x+12，y=2x－12。如圖2：準確畫出兩條直線。練習(xí)3解：（1）二次函數(shù)圖象頂點的橫坐標(biāo)為1，且過點和，由 解得此二次函數(shù)的表達式為 ．（2）假設(shè)存在直線與線段交于點（不與點重合），使得以為頂點的三角形與相似．在中，令，則由，解得．yxBEAOCDyxBEAOCD設(shè)過點的直線交于點，過點作軸于點．點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為．．要使或，已有，則只需， ①或 ②成立．若是①，則有．而．在中，由勾股定理，得．解得 （負值舍去）．．點的坐標(biāo)為．將點的坐標(biāo)代入中，求得．滿足條件的直線的函數(shù)表達式為．［或求出直線的函數(shù)表達式為，則與直線平行的直線的函數(shù)表達式為．此時易知，再求出直線的函數(shù)表達式為．聯(lián)立求得點的坐標(biāo)為．］若是②，則有．而．在中，由勾股定理，得．解得 （負值舍去）．．點的坐標(biāo)為．將點的坐標(biāo)代入中，求得．滿足條件的直線的函數(shù)表達式為．存在直線或與線段交于點（不與點重合），使得以為頂點的三角形與相似，且點的坐標(biāo)分別為或．（3）設(shè)過點的直線與該二次函數(shù)的圖象交于點．將點的坐標(biāo)代入中，求得．此直線的函數(shù)表達式為．設(shè)點的坐標(biāo)為，并代入，得．解得（不合題意，舍去）．xBExBEAOCP·點的坐標(biāo)為．此時，銳角．又二次函數(shù)的對稱軸為，點關(guān)于對稱軸對稱的點的坐標(biāo)為．當(dāng)時，銳角；當(dāng)時，銳角；當(dāng)時，銳角．練習(xí)四圖1CPByA解：（1）令，得圖1CPByA令，得∴ABC（2）∵OA=OB=OC=∴BAC=ACO=BCO=∵AP∥CB，∴PAB=過點P作PE軸于E，則APE為等腰直角三角形令OE=，則PE=∴P∵點P在拋物線上∴解得，（不合題意，舍去）

∴PE=∴四邊形ACBP的面積=AB?OC+AB?PE=(3)．假設(shè)存在∵PAB=BAC=∴PAAC∵MG軸于點G，∴MGA=PAC=在Rt△AOC中，OA=OC=∴AC=在Rt△PAE中，AE=PE=∴AP=設(shè)M點的橫坐標(biāo)為，則M①點M在軸左側(cè)時，則GM圖2CByPA(ⅰ)當(dāng)AMGPCAGM圖2CByPA∵AG=，MG=即解得（舍去）（舍去）(ⅱ)當(dāng)MAGPCA時有=即解得：（舍去）GM圖3CBGM圖3CByPA②點M在軸右側(cè)時，則(ⅰ)當(dāng)AMGPCA時有=∵AG=，MG=∴解得（舍去）∴M(ⅱ)當(dāng)MAGPCA時有=即解得：（舍去）