計數(shù)原理與排列組合

計數(shù)原理與排列組合1．兩個計數(shù)原理完成一件事的策略完成這件事共有的方法分類加法有兩類不同方案，第1類方案中有m種不N＝＋種不同的方mn計數(shù)原理同的方法，第2類方案中有n種不同的方法法分步乘法需要兩個步驟，第1步有m種不同的方法，N＝mn種不同的方法計數(shù)原理第2步有n種不同的方法2．排列3．組合組合的定義從n個不同元素中，任意取出m(m≤n)個元素并成一組，叫作一個組合組合數(shù)的定義從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素后，所有不同組合的個數(shù)mn（n－1）（n－2）（n－m＋1）n！mAn組合數(shù)公式Cn＝Amm＝m?。絤?。╪－m）！(1)Cmn＝Cnn－m；組合數(shù)的性質(zhì)mm－1m(2)Cn＋Cn＝Cn＋11．計數(shù)原理的兩個不同點(1)分類問題中的每一個方法都能完成這件事．(2)分步問題中每步的每一個方法都只能完成這件事的一部分．2．排列與組合問題(1)三個原則①有序排列、無序組合．②先選后排．③復(fù)雜問題分類化簡或正難則反．(2)兩個優(yōu)先①特殊元素優(yōu)先．②特殊位置優(yōu)先．即先考慮特殊的元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．3．正確理解組合數(shù)的性質(zhì)mnm(1)Cn＝Cn－從n個不同元素中取出m個元素的方法數(shù)等于取出剩余n－m個元素的方法數(shù)．m＋Cm－1＝Cmnn＋1n從n＋1個不同元素中取出

m個元素可分以下兩種情況：①不含特殊元素

A有mCn種方法；②含特殊元素

A有

m－1Cn種方法．[四基自測]1．從3，5，7，11這四個質(zhì)數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別為 a，b，共可得到lga－lgb的不同值的個數(shù)是( )A．6 B．8 C．12 D．16答案：C2．已知兩條異面直線 a，b上分別有5個點和8個點，則這13個點可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為( )A．40 B．16C．13 D．10答案：C3．(a＋b＋c)(d＋e＋f＋h)(i＋j＋k＋l＋m)展開后共有________項．答案：604．如圖，從A城到B城有3條路；從B城到D城有4條路；從A城到C城有4條路，從C城到D城有5條路，則某旅客從A城到D城共有________條不同的路線．答案：325．(2017·高考全國卷Ⅱ改編)安排3人完成3項工作，每人完成一項，有______種安排方式．答案：6授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第 187頁考點一 計數(shù)原理?考基礎(chǔ)——練透[例1](1)已知集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，，9}，且P?Q.把滿足上述條件的一對有序整數(shù)對(x，y)作為一個點的坐標(biāo)，則這樣的點的個數(shù)是( )A．9 B．14C．15 D．21解析：因為P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，且P?Q，所以x∈{y，2}．所以當(dāng)x＝2時，y＝3，4，5，6，7，8，9，共有7種情況；當(dāng)x＝y(tǒng)時，x＝3，4，5，6，7，8，9，共有7種情況．故共有7＋7＝14種情況，即這樣的點的個數(shù)為 14.答案：B(2)教學(xué)大樓共有五層，每層均有兩個樓梯，由一層到五層的走法有 ( )A．10種B．25種C．52種D．24種解析：共分4步：一層到二層有2種，二層到三層有2種，三層到四層有2種，4四層到五層有2種，一共有2種．(3)從2，3，4，5，6，7，8，9這8個數(shù)中任取2個不同的數(shù)分別作為一個對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則可以組成不同對數(shù)值的個數(shù)為 ( )A．56 B．54C．53 D．52解析：在8個數(shù)中任取2個不同的數(shù)共有8×7＝56個對數(shù)值；但在這56個對數(shù)值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，即滿足條件的對數(shù)值共有56－4＝52個．答案：D(4)從0，1，2，3，4這5個數(shù)字中任選 3個組成三位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)為________．解析：按個位數(shù)字是否為 0進行分類，因為0不能排在首位．若0在個位，則十位數(shù)字有 4種排法，百位數(shù)字有 3種排法，共有 4×3＝12種．若2或4在個位，個位數(shù)字有 2種排法，再分類，若 0在十位，則百位數(shù)字有種排法．若0不在十位，十位數(shù)字有 3種排法，百位數(shù)字有 2種排法．共有 2×(1×3＋3×2)＝18，故總12＋18＝30.答案：30應(yīng)用計數(shù)原理的三個注意點(1)注意完成“這件事”是做什么．(2)弄清完成“這件事”是分類還是分步．①根據(jù)完成事件的特點，進行“分類”，根據(jù)事件的發(fā)生過程進行 “分步”．②分類要按照同一個標(biāo)準(zhǔn)，任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事．③分步時各步相互依存，只有各步都完成時，才算完成這件事．(3)合理設(shè)計步驟、順序，使各步互不干擾，還要注意元素是否可以重復(fù)選擇．1．將本例(3)改為從1，2，3，4，9中每次取出兩個數(shù)記為 a，b，則可得到logab的不同值的個數(shù)為( )A．9 B．10C．13 D．16解析：顯然a≠1，若a＝2，3，4，9，b＝1時，有l(wèi)ogab＝0，1個；若a＝2，b＝3，4，9時，有l(wèi)og23，log24＝2，log29，3個；若a＝3，b＝2，4，9時，有l(wèi)og32，log34，log39＝2(舍去)，2個；1若a＝4，b＝2，3，9時，有l(wèi)og42＝2，log43，log49＝log23(舍去)，2個；1若a＝9，b＝2，3，4時，有l(wèi)og92，log93＝2(舍去)，log94＝log32(舍去)，1個，共有1＋3＋2＋2＋1＝9個．答案：A2．將本例(4)改為用數(shù)字2，3，4，6，8組成無重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為________．解析：先排個位有4種方法，再排十位有4種方法，最后排百位，有3種方法，故共有4×4×3＝48種排法，對應(yīng)48個三位偶數(shù)．答案：483．將本例(4)改為在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為________．解析：根據(jù)題意，將十位上的數(shù)字按 1，2，3，4，5，6，7，8的情況分成 8類，在每一類中滿足題設(shè)條件的兩位數(shù)分別是

8個，7個，6

個，5個，4個，3個，2

個，1

個．由分類加法計數(shù)原理知：符合條件的兩位數(shù)共有

8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個)．答案：36考點二 排列問題?考能力——知法[例2] (1)室內(nèi)體育課上王老師為了豐富課堂內(nèi)容，調(diào)動同學(xué)們的積極性，他把第四排的8名同學(xué)請出座位并且編號為1，2，3，4，5，6，7，8.通過觀察這8名同學(xué)的身體特征，王老師決定，按照1，2號相鄰，3，4號相鄰，5，6號相鄰，而7號與8號不相鄰的要求站成一排做一種游戲，則有________種排法．(用數(shù)字作答)解析：把編號相鄰的3組同學(xué)每兩名同學(xué)捆成一捆，這33捆之間有A3＝6(種)排序方法，并且形成4個空當(dāng)，再將7號與8號插進空當(dāng)中，有2A4＝12(種)2插法，而捆好的3捆中每相鄰的兩名同學(xué)都有A2＝2(種)排法．所以不同的排法種數(shù)為23×6×12＝576.答案：576(2)(2019濟·南模擬)航天員擬在太空授課，準(zhǔn)備進行標(biāo)號為0，1，2，3，4，5的六項實驗，向全世界人民普及太空知識，其中 0號實驗不能放在第一項，最后一項的標(biāo)號小于它前面相鄰一項的標(biāo)號，則實驗順序的編排方法種數(shù)為________(用數(shù)字作答)．解析：優(yōu)先安排第一項實驗，再利用定序問題相除法求解．由于 0號實驗不能放在第一項，所以第一項實驗有 5種選擇．最后兩項實驗的順序確定，所以共55A5有 2＝300種不同的編排方法．A2答案：300有限制條件的排列問題的解題方法方法 解讀 適合題型對問題中的特殊元素或位置首先考慮排列，然 題設(shè)有“在”或“不優(yōu)先法后排列其他一般元素或位置 在”等限制條件在特定條件下，將幾個相關(guān)元素當(dāng)作一個元素捆綁法 來考慮，待整個問題排好之后再考慮它們 “內(nèi) 相鄰問題部”的排列數(shù)先把不受限制元素排列好，然后把特定元素插插空法 不相鄰問題在它們之間或兩端的空當(dāng)中縮倍法 在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定順 規(guī)定某幾個元素順序序稱為定序問題，這類問題用縮小倍數(shù)的方法 固定求解比較方便當(dāng)正面問題分的類較多，而反面問題分的類較有“至多”“至少”間接法 少時，不妨改變思維方向，即從結(jié)論或條件的等條件限制反面進行思考，這種方法就稱為 “間接法”解決從幾類元素中取出符合題意的幾個元素，先取后再安排到一定位置上，先取后排法解決選排問 選排問題排法題的關(guān)鍵在于明確選排的要求1．(2019衡·水冀州中學(xué)月考)將A，B，C，D，E五種不同的文件放入編號依次為1，2，3，4，5，6，7的七個抽屜內(nèi)，每個抽屜至多放一種文件，若文件A，B必須放入相鄰的抽屜內(nèi)，文件 C，D也必須放入相鄰的抽屜內(nèi)，則所有不同的放法有( )A．120種 B．210種C．420種 D．240種2 2 3解析：可先排相鄰的文件，再作為一個整體與其他文件排列，則有 A2A2A5＝240種排法，所以選 D．答案：D2．6名同學(xué)排成 1排照相，要求同學(xué)甲既不站在最左邊又不站在最右邊，共有________種不同站法．解析：先從其他5人中安排2人站在最左邊和最右邊，再安排余下4人的位置，分為兩步：第1步，從除甲外的5人中選2人站在最左邊和最右邊，有2A5種站法；第24步，余下4人(含甲)站在剩下的4個位置上，有A4種站法．由分步乘法計數(shù)原理可知，共有 A25A44＝480(種)不同的站法．答案：480考點三 組合問題及混合問題 ?考基礎(chǔ)——練透角度1 簡單的組合問題[例3](1)(2018高·考全國卷Ⅰ)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有________種．(用數(shù)字填寫答案)12解析：法一：按參加的女生人數(shù)可分兩類：只有1位女生參加有C2C4種，有2211221位女生參加有C2C4種．故共有C2C4＋C2C4＝2×6＋4＝16(種)．法二：間接法．從2位女生，4位男生中選3人，共有C63種情況，沒有女生參333＝20－4＝16(種)．464答案：16(2)有甲、乙、丙3項任務(wù)，甲需2個人承擔(dān)，乙、丙各需1個人承擔(dān)，從10個人中選出4個人承擔(dān)這3項任務(wù)，不同的選法有________．解析：要從10個人中選出4個人承擔(dān)3項任務(wù)，甲需2個人承擔(dān)，乙、丙各需1個人承擔(dān)，210再從剩下8個人中選1個人承擔(dān)乙項任務(wù)，不同的選法有1C8種；最后從另外7個人中選1個人承擔(dān)丙項任務(wù)，不同的選法有C71種．211綜上，不同的選法共有C10C8C7＝2520(種)．答案：2520角度2 簡單的組合與排列混合問題[例4] (1)將紅、黑、藍、黃 4個不同的小球放入 3個不同的盒子，每個盒子至少放一個球，且紅球和藍球不能放在同一個盒子，則不同的放法的種數(shù)為( )A．18 B．24C．30 D．36解析：將4個小球放入3個不同的盒子，先在 4個小球中任取2個作為1組，23再將其與其他2個小球?qū)?yīng)3個盒子，共有C4A3＝36種情況，若紅球和藍球放到同一個盒子，則黑、黃球放進其余的盒子里，有3種情況，則紅球和A3＝6藍球不放到同一個盒子的放法種數(shù)為 36－6＝30種．答案：C(2)某校從8名教師中選派 4名教師同時去4個邊遠地區(qū)支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，則不同的選派方案種數(shù)是 ( )A．150 B．300C．600 D．900解析：若甲去，則乙不去，丙去，再從剩余的5名教師中選2名，有C25×A44＝240種方法；若甲不去，則丙不去，乙可去可不去，從 6名教師中選4名，共4有C6×A4＝360種方法．因此共有600種不同的選派方案．答案：C角度3 分組、分配問題[例5] (1)(2017高·考全國卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有()A．12種B．18種C．24種D．36種解析：因為安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成 1項，每項工作由1人完成，所以必有1人完成2項工作．先把4項工作分成3組，即2，1，1，2113有C4C2C1種，所以不同的安排方式共有6×62＝6種，再分配給3個人，有A3＝6A2＝36(種)．答案：D(2)將2名教師、4名學(xué)生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有()A．12種B．10種C．9種D．8種解析：先從4名學(xué)生中選2人安排到甲地，有C42種不同的方法；再從2名老師中選1人安排到甲地，有C21種不同的方法；其余2名學(xué)生和1名老師安排到乙地只有一種方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的安排方法共有21＝4212種，故選A．答案：A1．解決簡單的排列與組合的綜合問題的思路(1)根據(jù)附加條件將要完成事件先分類．(2)對每一類型取出符合要求的元素組合，再對取出的元素排列．(3)由分類加法計數(shù)原理計算總數(shù)．2．“分組分配”問題的解題技巧類型 解讀 公式整體均 在解決整體均分型題目時，要注 將n個不同元素均勻分成不編號的 m勻分組 意分組后，不管它們的順序如何， 組，不管是否分盡，其分法種數(shù)為：都是一種情況，所以分組后一定A1n213Amm12Cmm－1－2－－m－m要除以A(m為均分的組數(shù))，避m－mnmmm免重復(fù)計數(shù)1)解題時注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分將n個不同元素分成不編號的m組，組的階乘數(shù)，即若有m組元素個部分均其中有r組元素個數(shù)相等，不管是否數(shù)相等，則分組時應(yīng)除以m！，一A勻分組Arr個分組中有幾個這樣的均勻分組非均勻不編號分組中的分法數(shù))就要除以這樣的全排列數(shù)n個不同元素分成m組，每組元素數(shù)目均不相同，且不考慮各組間的順解答本類題，只需先分組，后排序，不管是否分盡，分法種數(shù)為A＝不均勻列，注意分組中元素的個數(shù)都不Cm1nCm2n－m1Cm3n－m1－分組2Cmm－－2－－m－1其相等，所以不需要除以全排列數(shù)1mnmmm(中m1，m2，，mm中任何兩個元素都不相等)1．(2019·河南豫北名校聯(lián)考)2018年元旦假期，高三的8名同學(xué)準(zhǔn)備拼車去旅游，其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各兩名，分乘甲乙兩輛汽車，每車限坐4名同學(xué)(乘同一輛車的4名同學(xué)不考慮位置)，其中(1)班兩位同學(xué)是孿生姐妹，需乘同一輛車，則乘坐甲車的4名同學(xué)中恰有2名同學(xué)是來自同一個班的乘坐方式共有()A．18種B．24種C．48種D．36種解析：由題意，有兩類：第一類，一班的 2名同學(xué)在甲車上，甲車上剩下兩個要來自不同的班級，從三個班級中選兩個，有

2C3＝3種，然后分別從選擇的班級中再選擇一個學(xué)生，有

C12C12＝4

種，故有

3×4＝12

種．第二類，一班的

2名同學(xué)不在甲車上，則從剩下的

3個班級中選擇一個班級的兩名同學(xué)在甲車上，有

C13＝3種，然后再從剩下的兩個班級中分別選擇一人，有

C12C12＝4種，這時共有3×4＝12種，根據(jù)分類計數(shù)原理得，共有12＋12＝24種不同的乘車方式，故選B．答案：B2．(2019?！そǜＶ菽M)福州西湖公園花展期間，安排 6位志愿者到4個展區(qū)提供服務(wù)，要求甲、乙兩個展區(qū)各安排一個人，剩下兩個展區(qū)各安排兩個人，不同的安排方案共有( )A．90種 B．180種C．270種 D．360種解析：根據(jù)題意，分3步進行分析：①在6位志愿者中任選 1個，安排到甲展1區(qū)，有C6＝6種情況；②在剩下的5個志愿者中任選1個，安排到乙展區(qū)，有1種情況；③將剩下的4個志愿者平均分成2組，然后安排到剩下的2個5展區(qū)，有C42C222種情況，則一共有××＝種不同的安排方案，×A2＝6180A2故選B．答案：B數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算——不定方程與組合問題中的學(xué)科素養(yǎng)在學(xué)習(xí)排列組合知識時，我們經(jīng)常遇到把若干相同元素分成幾組的問題． 這類問題可以用一個比較簡單的模型， 就是轉(zhuǎn)化為不定方程解的個數(shù)問題， 從而得以快速解決．[直接隔板法][例] 把6個相同的小球放入 4個盒子中，每個盒子都不為空，有多少種不同的放法？解析：本題相當(dāng)于將6個相同的球分為4組．可以先把6個球排成一排，中間有五個空位，我們只需在這五個位置中任取三個位置放上隔板就可把小球分隔3成4組了，故有C5＝10種不同的放法．[拓展為不定方程法]設(shè)每個盒子中的小球數(shù)分別為 x1，x2，x3，x4，求x1＋x2＋x3＋x4＝6的正整數(shù)解的組數(shù)．這是四元不定方程，把 6分為6個1，6個1之間有5個空，選3個空放3個3加號，所以有C5＝10種放法．一種放法就唯一對應(yīng)不定方程 x1＋x2＋x3＋x4＝6的一組正整數(shù)解，故此不定方3程有C5＝10組正整數(shù)解．[拓展模型]*，n≥m≥1，則不定方程x1＋x2＋x3＋＋xm＝n的正整數(shù)解有m－1設(shè)n，m∈NCn－1組．拓展應(yīng)用1把20個相同的小球放入4個盒子中，有多少種不同的放法？解析：與例題相比少了“每個盒子都不為空”這個條件，就是說盒子里可以為空．我們可以這樣理解：設(shè)每個盒子的小球數(shù)分別為 x1，x2，x3，x4，求不定方程x1＋x2＋x3＋x4＝20的非負整數(shù)解的組數(shù)．那么能否轉(zhuǎn)化為模型 1來解決呢？先在每個盒子里放上 1個球，保證每個盒子不空，然后再來放這 20個球，就是模型1了．即(x1＋1)＋(x2＋1)＋(x3＋1)＋(x41)＝20＋4＝24，令y1＝x1＋1，y2＝x2＋1，y3＝x3＋1，y4＝x4＋1，則y1，y2，y3，y4為正整數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為求不定方程y1＋y2＋y3＋y4＝24的正整數(shù)解的組數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為模型1，可知不定方程有4－13C20＋4－1＝C23組正整數(shù)解．所以，原問題中，有C323種不同的放球方法．拓展應(yīng)用2把20個相同的小球放入5個編號為1，2，3，4，5的盒子中，且每個盒子里的球數(shù)不得少于編號，問有多少種不同的放法？解析：問題即是解不定方程 x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝20，(xi≥i，xi∈N*)．我們先在2號盒子里放1個球，3號盒子放2個球，4號盒子放3個球，5號盒子放4個球，則有x1＋(x2－1)＋(x3－2)＋(x4－3)＋(x5－4)＝10，令yi＝xi－(i－1)，則y1，y2，y3，y4，y5為正整數(shù)，只需求 y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝10的正整數(shù)解有多少組，從而轉(zhuǎn)化為模型5－14種不同1，知有C10－1＝C9＝126的放法．課時規(guī)范練單獨成冊：對應(yīng)學(xué)生用書第 325頁A組 基礎(chǔ)對點練1．把標(biāo)號為1，2，3，4，5的同色球全部放入編號為 1～5號的箱子中，每個箱子放一個球且要求偶數(shù)號的球必須放在偶數(shù)號的箱子中， 則所有的放法種數(shù)為( )A．36 B．20C．12 D．102 3解析：依題意，滿足題意的放法種數(shù)為 A2·A3＝12，選C．答案：C2．一個學(xué)習(xí)小組有 6個人，從中選正、副組長各一個，則不同的選法種數(shù)為( )22A．C6B．A6C．62D．26解析：問題可轉(zhuǎn)化為從6個元素中任選兩個元素的排列問題，共有2A6種不同的選法．答案：B3．已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，則集合A的含偶數(shù)個元素的子集的個數(shù)為( )A．16 B．32C．64 D．128解析：由題意，集合A的含偶數(shù)個元素的子集的個數(shù)為0246C6＋C6＋C6＋C6＝＋115＋15＋1＝32.答案：B4．從0，2中選一個數(shù)字，從 1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．其中奇數(shù)的個數(shù)為( )A．24 B．18C．12 D．6解析：當(dāng)從0，2中選取2時，組成的三位奇數(shù)的個位只能是奇數(shù)，十位、百位全排列即可，共有212C3C2A2＝12個．當(dāng)選取0時，組成的三位奇數(shù)的個位只能是奇數(shù)，0必須在十位，共有21個．綜上，共有12＋6＝18個．選B．32答案：B5．書架上原來并排放著 5本不同的書，現(xiàn)要再插入 3本不同的書，那么不同的插法共有( )A．336種 B．120種C．24種 D．18種解析：分三步完成：第一步，插入第 1本書，有6種方法；第二步，插入第 2本書，有7種方法；第三步，插入第 3本書，有8種方法，所以不同的插法有6×7×8＝336種．答案：A6．6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為 ( )A．144 B．120C．72 D．24解析：先把三把椅子隔開擺好，它們之間和兩端有 4個位置，再把三人帶椅子3插放在四個位置，共有 A4＝24種放法，故選 D．答案：D7．若從1，2，3，，9這9個數(shù)字中同時取4個不同的數(shù)字，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有()A．60種B．63種C．65種D．66種解析：共有4個不同的偶數(shù)和5個不同的奇數(shù)，要使和為偶數(shù)，則4個數(shù)全為奇數(shù)，或全為偶數(shù)，或2個奇數(shù)和2個偶數(shù)，故不同的取法有4422C5＋C4＋C5C4＝66(種)．答案：D8．(2019·洛陽模擬)從10名大學(xué)畢業(yè)生中選 3人擔(dān)任村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為 ( )A．72 B．56C．49 D．28解析：分兩類：甲、乙中只有 1人入選且丙沒有入選，甲、乙均入選且丙沒有入選，計算可得所求選法種數(shù)為1221C2C7＋C2C7＝49.答案：C9．(2019唐·山模擬)某會議室第一排有9個座位，現(xiàn)安排4人就座，若要求每人左右均有空位，則不同的坐法種數(shù)為()A．8B．16C．24D．60解析：根據(jù)題意，9個座位中滿足要求的座位只有4個，現(xiàn)有4人就座，把4人進行全排列，即有4種不同的坐法．A4＝24答案：C10．(2019·成都模擬)由數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，若 2與4相鄰，且1與2不相鄰，則這樣的五位數(shù)共有 ( )A．12個B．24個C．36個D．48個解析：分步完成，先排2，4，有A22種排法，再把排好的2，4看成一個整體，3與3，5再排，有A3種排法；2 3最后把1插空，僅有3個空位可選，有3種插法，故共有 A2A3·3＝2×6×3＝個不同的五位數(shù)．答案：CB組 能力提升練11．如圖所示，∠MON的邊OM上有四點，A1，A2，A3，A4，ON上有三點B1，B2，B3，則以O(shè)，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3為頂點的三角形個數(shù)為( )A．30B．42C．54D．56解析：分類完成．在O，A1，2，3，4這5個點中取2個，在1，2，3AAABBB21個三角形；在B，B，B中取2個，在A，A，A，A中531231234212121個．取1個，有C3C4個三角形，故共C5C3＋C3C4＝42答案：B12．某學(xué)習(xí)小組共6人，現(xiàn)遇到了兩道難題，一道物理題，一道數(shù)學(xué)題，其中甲、乙、丙三人對數(shù)學(xué)題感興趣，丁對兩道題都感興趣，戍、己兩人對物理題感興趣，現(xiàn)從感興趣的人中各選 2人解這兩道難題，則不同的選法種數(shù)為( )A．9B．15C．18D．30解析：若丁解數(shù)學(xué)題，則不同的選法為22C4C2；若丁解物理題，則不同的選法為22C3C3；2222種不同的選法．故共有C4C2＋C3C3＝15答案：B13．從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為 60°的共有()A．24對B．30對C．48對D．60對解析：正方體中共有12條面對角線，任取兩條作為一對共有2對，12C12＝66條對角線中的兩條所構(gòu)成的關(guān)系有平行、垂直、成60°角．相對兩面上的4條2對角線組成的C4＝6對組合中，平行有2對，垂直有4對，所以所有的平行和2 2 2垂直共有3C4＝18對．所以成60°角的有C12－3C4＝66－18＝48(對)．答案：C14．在一次8名運動員參加的百米成績測試中，甲，乙，丙三人要求在第三、四、五跑道上，其他人隨意安排，則安排這8人進行成績測試的方法的種數(shù)為________．解析：分兩步安排這8名運動員．第一步：安排甲、乙、丙三人，共有 3，4，5三條跑道可安排．所以安排方式有3×2×1＝6種．第二步：安排另外 5人，可在余下的 5條跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120種．所以安排這8名運動員的方式有 6×120＝720種．答案：72015．將A，B，C，D，E，F(xiàn)六個字母排成一排，且A，B均在C的同側(cè)，則不同的排法共有________種(用數(shù)字作答)．3 1 2 3解析：“小集團”處理，特殊元素優(yōu)先，則不同的排法共有 C6C2A2A3＝480(種)．答案：48016．用紅、黃、藍三種顏色去涂圖中標(biāo)號為1，2，，9的9個小正方形，使得任意相鄰(有公共邊)的小正方形所涂顏色都不相同，且標(biāo)號為“3，5，7”的小正方形涂相同的顏色，則符合條件的所有涂法共有________種.1 2 34 5 67 8 9解析：首先看圖形中的 3，5，7，有C13＝3種涂法．對于2，有兩種涂法，對于4有兩種涂法．當(dāng)

2，4涂的顏色相同時，

1有

2種涂法；當(dāng)

2，4涂的顏色不同時，1有

1種涂法．根據(jù)對稱性可知共有

3×(2×2＋2×1)2＝108種涂法．答案：108第二節(jié) 二項式定理授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第 190頁[基礎(chǔ)梳理]1．二項式定理n0n1n－1＋＋kn－kknn∈*，其中右端為＋n(a＋b)＝Cn＋Cnbnb＋＋Cnb(nN)(ab)aaCa的二項展開式．2．二項展開式的通項公式第k＋1項為：Tk＋1＝Cknan－kbk．3．二項式系數(shù)k(1)定義：二項式系數(shù)為： Cn(k∈{0，1，2，，n})．(2)二項式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)描述對稱性與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即mn－mCn＝Cn__n＋1當(dāng)k<2(n∈N*)時，是遞增的增減性k二項式系數(shù)Cnn＋1當(dāng)k>2(n∈N*)時，是遞減的n當(dāng)n為偶數(shù)時，中間的一項Cn取得最大值最大值2當(dāng)n為奇數(shù)時，中間的兩項和取得最大值各二項式系數(shù)C0n＋C1n＋C2n＋＋Cnn＝2n和1．一對易混概念二項展開式中第r＋1項的rr＋1.(1)二項式系數(shù)是Cn.而不是Cn(2)項的系數(shù)是該項的數(shù)字因數(shù)．2．兩個常用公式012nn(1)Cn＋Cn＋Cn＋＋Cn＝2.024135n1.(展開式的奇數(shù)項、偶數(shù)項的二項(2)Cn＋Cn＋Cn＋＝Cn＋Cn＋Cn＋＝2－式系數(shù)相等)3．三個重要特征(1)字母a的指數(shù)按降冪排列由n到0.(2)字母b的指數(shù)按升冪排列由 0到n.(3)每一項字母a的指數(shù)與字母b的指數(shù)和等于n.[四基自測]161．二項式2x＋2的展開式中，常數(shù)項的值是()xA．240B．60C．192D．180答案：A2．(x－1)10的展開式中第6項的系數(shù)是()6B．－C6A．C101055C．C10D．－C10答案：D3．二項式(2a3－3b2)10的展開式中各項系數(shù)的和為________．答案：14．C111＋C113＋＋C1111＝________.答案：2102255．(2018·考全國卷高Ⅲ改編)(x＋x)的展開式的二項式系數(shù)和為________．答案：32授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第 190頁考點一 通項公式法解決特定項或系數(shù)問題 ?考基礎(chǔ)——練透[例1](1)(2018高·考全國卷Ⅲ)2254的系數(shù)為()x＋x的展開式中xA．10B．20C．40D．80解析：2＋25r25r2rrr103r，令xx的展開式的通項公式為Tr＋1＝C5·(x)－·＝C5·2·x－x4225故選C．答案：C二項式x－16展開式中2項的系數(shù)為15，則實數(shù)a＝________．(2)ax(a>0)x解析：由題意可知Tr＋1＝Cr6x6－2r(－1)r·a－r，0≤r≤6，r∈Z，則x2項的系數(shù)是22C6a－＝15，又a>0，則a＝1.答案：118(3)x－的展開式中的有理項共有________項．42x解析：x－184的展開式的通項為2x

r8r－1r1rrTr＋1＝C8(x)－4＝－2C8x(r2x＝0，1，2，，8)，為使Tr＋1為有理項，r必須是4的倍數(shù)，所以r＝0，4，10044144358，故共有3個有理項，分別是T1＝－2C8x＝x，T5＝－2C8x＝8x，T918821＝－2C8x－＝256x2.答案：3通項公式法即利用二項展開式的通項公式， 根據(jù)題意，對相應(yīng)的指數(shù)進行賦值，從而解決指定項問題的方法．此方法適用于已知二項式，求常數(shù)項、指定項的系數(shù)等問題．破解此類題的關(guān)鍵點：nknkk(1)求通項，根據(jù)二項式(a＋b)的展開式的通項公式Tk＋1＝Cna－b(k＝0，1，2，，n)，整理出Tk＋1＝m·xf(k)．(2)找方程，依題設(shè)條件中的指定項的相關(guān)信息，尋找關(guān)于k的方程．(3)解方程，通過解方程，求出k的值．(4)得結(jié)論，把k的值代入通項公式，得結(jié)論．1．在本例(2)的條件下求展開式中的常數(shù)項．解析：由于a＝1，(x－16的通項公式r＋1rr62rx)6·x－.T＝(－1)C令6－2r＝0，∴r＝3.3346．將本例2＋a54的系數(shù)為40，求a的值．2(1)x解析：Tr＋1＝r25rar＝rr103r，5(x)－···－CxCax令10－3r＝4.∴r＝2.∴C25a2＝40，∴a2＝4，∴a＝±2.考點二 賦值法解決二項展開式的各項系數(shù)和問題 ?考能力——知法1n[例2] (1)設(shè)5x－ x 的展開式的各項系數(shù)之和為 M，二項式系數(shù)之和為 N，若M－N＝240，則展開式中含x的項為________．若x21nn2－的展開式中含x的項為第6項，設(shè)(1－3x)＝a0＋a1＋2＋＋(2)xxaxanxn，則a1＋a2＋＋an的值為________．nnr1rr4解析：(1)由已知條件，解得＝，＋＝－＝－4－2＝C4(5x)1)5240n4Tr1x(rr3r－C4x，令4－2＝1，得r＝2，T3＝150x.2－1n的展開式的第項是5＋1＝5－52n15－＝，二項式x6Tn1)x－，令15(2)xC(2n1得n＝8.在二項式(1－3x)8的展開式中，令x＝0，得a0＝1；令x＝1，得a0＋a18＋＋a8＝(－2)＝256.所以a1＋a2＋＋a8＝255.賦值法是指對二項式中的未知元進行賦值， 從而求得二項展開式的各項的系數(shù)和的方法．此方法體現(xiàn)的是從一般到特殊的轉(zhuǎn)化思想．破解此類題的關(guān)鍵點：(1)賦值，認(rèn)真觀察已知等式，給未知元合理賦值．常賦的值有 1，－1，0等．(2)求參數(shù)，通過合理賦值，建立關(guān)于參數(shù)的方程，并解方程，求出參數(shù)的值．(3)得結(jié)論，求出指定項的系數(shù)和．3n的展開式中，各項系數(shù)和與二項式系數(shù)和1．(2019·河北邯鄲模擬)在x＋x之比為64，則x3的系數(shù)為()A．15B．45C．135D．4053nn解析：令x＋中x為1，得各項系數(shù)和為4，又展開式的各項的二項式系xn4n數(shù)和為2，各項系數(shù)的和與各項二項式系數(shù)的和之比為64，∴2n＝64，解得nrr3＝6，∴二項式的展開式的通項公式為Tr＋1＝C6·3·x，令6－2r＝3，求得3的系數(shù)為22＝135，故選C．6答案：C2．(2019·湖南湘潭模擬)若(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋＋a9x9，x∈R，則a1·2＋a2·2＋＋a9·9的值為()22A．29B．29－1C．39D．39－1解析：(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋＋a9x9，令x＝0，得a0＝1；令x＝2，得a0＋a1·2＋a2·22＋＋a9·29＝39，∴a1·＋2·2＋＋9·9＝9－故選．2a2a231.D答案：D考點三 求非二項式結(jié)構(gòu)的展開的特定項 (或系數(shù))?考基礎(chǔ)——練透[例3] (1)如果(1＋x＋x2)(x－a)5(a為實常數(shù))的展開式中所有項的系數(shù)和為 0，則展開式中含x4項的系數(shù)為________；(2)(x2－x＋1)10展開式中x3項的系數(shù)為________；＋3110x)61＋展開式中的常數(shù)項為________．(3)(14x解析：(1)∵(1＋x＋x2)(x－a)5的展開式所有項的系數(shù)和為 (1＋1＋12)(1－a)5＝0，∴a＝1.(1＋x＋x2)(x－a)5＝(1＋x＋x2)(x－1)5＝(x3－1)·(x－1)4＝x3(x－1)4－(x－1)4，43300＝－5.44(2)由題意，(x2－x＋1)10＝[x(x－1)＋1]100010119228337＝C10[x(x－1)]·1＋C10[x(x－1)]·1＋C10[x(x－1)]·1＋C10[x(x－1)]·1＋＋1010010012223331010101010101010因為x3出現(xiàn)在C210x2(x－1)2＋C310x3(x－1)3＝C210x2(x2－2x＋1)＋C310x3(x3－3x2＋3x323－1)中，所以x的系數(shù)為C10(－2)＋C10(－1)＝－90－120＝－210.(3)分別求兩個因式的通項：Trrr′rr′＝＋＋r r′C6C10x .又0≤r≤6，0≤r′≤10，r r′則3－4＝0，解得r＝r′＝0，r＝3且r′＝4，r＝6且r′＝8.即常數(shù)項為34681＋C6C10＋C6C10＝4246.[答案](1)－5(2)－210(3)4246非二項式結(jié)構(gòu)求指定項的方法方法解讀適合題型(a＋b)2(c＋d)n＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)n，然后展開(a＋b＋c)n＝[(a＋b)＋c]n，將(a＋b)看作一項可結(jié)合成二項拆分法an＝(c±d)n，將a拆分為兩項的和或差式的和或差(a＋b)n(c＋d)m＝[(a＋b)(c＋d)]n·(c＋d)m－n(m≥n，m∈N*，n∈N*)有公因式或含合并法(a＋b＋c)n＝(p＋q)m完全平方公式(a＋b)m(c＋d)n，分別求(a＋b)m的通項Tr＋1和(c＋d)n的兩二項式無公通項法通項Th＋1，然后將Tr＋1·Th＋1求解因式1．(2017高·考全國卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為()A．－80B．－40C．40D．80解析：當(dāng)?shù)谝粋€括號內(nèi)取x時，第二個括號內(nèi)要取含x23的項，即32－y5C(2x)(3322325所以33的系數(shù)為2332＝×－＝xy5×2－5×240.CC10(84)答案：C12．(2017·考全國卷高Ⅰ)1＋x2(1＋x)6展開式中x2的系數(shù)為()A．15B．20C．30D．35解析：6rr16的展開式中2的(1＋x)展開式的通項Tr＋1＝C6x，所以1＋2(1＋x)xx24系數(shù)為1×C6＋1×C6＝30，故選C．答案：C3．(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為()A．10B．20C．30D．60解析：(x2＋5＝2＋＋5的展開式中只有223252＋y)[(xx)y]5＋x)y中含xy，易知xC(x5221xy的系數(shù)為C5C3＝30，故選C．答案：C考點四 二項式系數(shù)或項的系數(shù)的最值問題 ?考基礎(chǔ)——練透[例4] (1)已知二項式(a x＋1)n(a＞0)的展開式的第五、六項的二項式系數(shù)3x相等且最大，展開式中 x2項的系數(shù)為84，則a的值為( )1A．1 B．41C．2 D．2解析：由展開式的第五、六項的二項式系數(shù)相等且最大可知 n＝9，則展開式的通項公式為Tr＋1＝C9r(ax)9－r(1)r＝C9ra9－rx·x＝C9ra9－rx(r＝3x95r39－33699＝±1，因為a＞0，所以a＝1.答案：A(2)(2019石·家莊模擬)在(1－2x)n的展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為128，則展開式二項式系數(shù)最大的項為________．解析：由二項式系數(shù)的性質(zhì)知，2n－1＝，解得＝，128n8(1－2x)8的展開式共有9項，中間項，即第544項的二項式系數(shù)最大，T4＋1＝C81(－2x)4＝1120x4.答案：1120x41．二項式系數(shù)的最大值，根據(jù) (a＋b)y的二項式系數(shù)性質(zhì)求解．2．項的系數(shù)的最值，利用不等式法．求出展開式的通項公式rq＝Tr＋1＝Cn·m·xr≥ar＋1，arxq為最大系數(shù)，則求r的整數(shù)解．a(chǎn)r≥ar－1.2n1．設(shè)n為正整數(shù)，(x－x3)的展開式中僅有第 5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項為________．解析：依題意得，n＝8，所以展開式的通項Tr＋1＝r8r(2r＝r84r(－2)r，8－－38－Cxx)Cx令8－4r＝0，解得r＝2，所以展開式中的常數(shù)項為22T3＝C8(－2)＝112.答案：112x＋12n2．(2019·廈門模擬)3(n∈N*)的展開式中只有第6項系數(shù)最大，則其x常數(shù)項為( )A．120 B．210C．252 D．45解析：由已知得，二項式展開式中各項的系數(shù)和二項式系數(shù)相等．由展開式中511項，即2n＝10，n＝5.只有第6項的系數(shù)C2n最大，可得展開式有110rr5x＋5－3展開式的通項為Tr＋1＝C10xx＝C10x，令6r＝0x可得r＝6，此時T6＝210.710答案：B數(shù)學(xué)運算、邏輯推理——二項式定理的展開原理的應(yīng)用[例1] (x＋2y－3z)9的展開式中含 x4y2z3項的系數(shù)為( )A．－136000B．－136080C．－136160D．136280解析：由(x＋2y－3z)9＝[x＋(2y－3z)]9，得展開式的通項 Tr＋1＝Cr9·x9－r·(2y－3z)rr9r·Ct·(2y)rt3z)trtrtt9rrtt，令＝C9·x－r－·(－＝C9·Cr·2－·(－3)·x－·y－·z(t≤r≤9)t＝3，t＝3，r－t＝2，則423項的系數(shù)為C532×(－3)3＝－136080.r＝5.故含xyz9×C5×29－r＝4，故選B．答案：B[例2](2019·臨沂模擬)489被7除的余數(shù)為________．解析：由9－9＝09＋18－＋27－2＋＋8－8＋48＝991)949(1)91)(491)C49C49(CC49(99C9(－1)081726288＝49[C949＋C949(－1)＋C949(－1)＋＋C9(－1)]－7＋6，9知48被7除的余數(shù)為6.課時規(guī)范練單獨成冊：對應(yīng)學(xué)生用書第 326頁A組 基礎(chǔ)對點練1．(1＋2x)5的展開式中，x2的系數(shù)等于( )A．80 B．40C．20 D．10解析：Tk＋1＝k5kkkkk＝，則可得含2項的系數(shù)為225－(2x)＝C5×2×x，令kxC5×2C1240.答案：B．－2y)8的展開式中，x62項的系數(shù)是()2(xyA．56 B．－56C．28 D．－28解析：二項式的通項為Tr＋1＝r8r－r，令－＝，即＝，得628－(2y)rxyCx8r62項的系數(shù)為22C8(－2)＝56.答案：A3．在x(1＋x)6的展開式中，含x3項的系數(shù)為()A．30B．20C．15D．106的展開式中，含232226解析：在(1＋x)x6的展的項為T＝C·x＝15x，故在x(1＋x)開式中，含x3的項的系數(shù)為15.答案：C216)4.x－2x的展開式中，常數(shù)項是(55A．－4B．41515C．－16D．16解析：Tr＋1＝C6r(x2)6－r1r1rC6rx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4.－2x＝－214415∴常數(shù)項為－2C6＝16.故選D．答案：D．二項式n＋)的展開式中x2的系數(shù)為15，則n＝()5(x＋1)(n∈NA．7B．6C．5D．4解析：因為(x＋1)n的展開式中2n2n22，xn－，所以Cn－n＝的系數(shù)為C＝15，即C15亦即n2－n＝30，解得n＝6(n＝－5舍)．答案：Ba53．已知x－的展開式中含x的項的系數(shù)為，則＝()6x230aA．3B．－3C．6D．－6a5ar解析：x－x的展開式的通項為Tr＋1＝C5r(x)5－r·－x＝(－a)rC5r·x.依題意，令5－2r＝3，得r＝1，∴(－a)1·C15＝30，a＝－6，故選D．答案：Da87．已知x－x 展開式中常數(shù)項為 1120，其中a是常數(shù)，則展開式中各項系數(shù)的和是()A．28B．38C．1或38D．1或284·－4，解得＝±，令＝，得展開式中各項系解析：由題意知C8a)＝(1120a2x1數(shù)的和為(1－a)8＝1或38.答案：C8．已知(1＋ax)(1＋x)5的展開式中x2的系數(shù)為5，則a＝()A．－4B．－3C．－2D．－15中含與2的項為2132222解析：(1＋x)xx55，∴x的系數(shù)為T＝Cx＝5x，T＝Cx＝10x10＋5a＝5，∴a＝－1.答案：D9．在(x－1)4的展開式中，x的系數(shù)為________．解析：由題意得Tr4－r(r＝1)rr·4－r＋＝－－，令＝，得＝，r1C4(x)1)(C4x21r2所以所求系數(shù)為(－1)22＝6.C4答案：610．(2x－y)5的展開式中，x2y3的系數(shù)為________．解析：x23的系數(shù)為53×22×(－1)3＝－40.yC答案：－40B組能力提升練11．(2019·唐山模擬)x2＋13)x2－2展開式中的常數(shù)項為(A．－8B．－12C．－20D．2021316r6－r1rrr6－2r解析：∵x＋－2＝x－，∴r＋1＝－＝－，令－661)xxxTCxxC(62r＝0，得r＝3，∴常數(shù)項為3－3C61)＝－20.(答案：C12．(2019·漳州模擬)已知(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋＋a9x9＋a10x10，則a2＋a3＋＋a9＋a10的值為( )A．－20 B．0C．1 D．20解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋＋a9＋a10＝1，再令x＝0，得a0＝1，所以a1＋a2＋＋a9＋a10＝0，又易知a1＝C910×21×(－1)9＝－20，所以a2＋a3＋＋a9＋a10＝20.答案：D．－＋y)8的展開式中x27的系數(shù)為________．(用數(shù)字填寫答案)13(xy)(xy解析：由二項展開式公式可知，含x27的項可表示為77626y88x·Cxy－y·Cxy，故(x8277612＝8－28＝－20.8888答案：－20．－2y)6的展開式中，二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)為________(用數(shù)字作答)．14(x解析：二項式系數(shù)最大的項是T4＝33－3＝－3362y)160xy.Cx(答案：－16015．若將函數(shù)f(x)＝x5表示為f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，，a5為實數(shù)，則a3＝________．5＝＋－5，所以32解析：由于f(x)＝x[(1x)1]35a＝C(－1)＝10.答案：1016．已知(1＋3x)n的展開式中，后三項的二項式系數(shù)的和等于121，則展開式中二項式系數(shù)最大的項為________．n2＋n1＋n，則1＋＋＝，即2＋－解析：由已知得Cn－Cn－Cn＝·－n1212n(n1)n1121n240＝0，解得n＝15(舍去負值)，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項是7T8＝C15(3x)788.和T9＝C15(3x)答案：C1588和C1577(3x)(3x)第三節(jié) 隨機事件的概率授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第 193頁[基礎(chǔ)梳理]1．事件的相關(guān)概念(1)必然事件：在一定條件下，一定發(fā)生的事件；(2)不可能事件：在一定條件下，一定不發(fā)生的事件；(3)隨機事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．2．頻率和概率(1)頻數(shù)、頻率：在相同的條件S下重復(fù)n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn＝nA為事件A出現(xiàn)的頻率．(A)n(2)概率：對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率．(A)3．事件的關(guān)系與運算名稱條件結(jié)論符號表示包含關(guān)系A(chǔ)發(fā)生?B發(fā)生事件B包含事件A(事B?A(或A?B)件A包含于事件B)相等關(guān)系若B?A且A?B事件A與事件B相等A＝B并(和)事件A發(fā)生或B發(fā)生事件A與事件B的并A∪B(或A＋B)事件(或和事件)交(積)事件A發(fā)生且B發(fā)生事件A與事件B的交事件(或積事件)互斥事件A∩B為不可能事件事件A與事件B互斥∩為不可能事件，事件A與事件B互為對立事件ABA∪B為必然事件對立事件

A∩B(或AB)A∩B＝?A∩B＝?，P(A∪B)＝14．概率的幾個基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1．(2)必然事件的概率為 1．(3)不可能事件的概率為 0．(4)概率的加法公式：如果事件 A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)對立事件的概率：若事件A與事件B互為對立事件，則A∪B為必然事件，P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．1．辨析兩組概念(1)頻率與概率．①頻率是一個變量，隨著試驗次數(shù)的改變而改變；②概率是一個確定的常數(shù)，是客觀存在的，與每次試驗無關(guān)；③頻率是概率的近似值，隨著試驗次數(shù)的增加，頻率會越來越接近概率．(2)互斥事件與對立事件．①兩個事件是互斥事件，它們未必是對立事件；②兩個事件是對立事件，它們也一定是互斥事件．2．概率加法公式的推廣．當(dāng)一個事件包含多個結(jié)果且各個結(jié)果彼此互斥時，要用到概率加法公式的推廣，即P(A1∪A2∪∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋＋P(An)．[四基自測]1．一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的對立事件是 ( )A．至多有一次中靶 B．兩次都中靶C．只有一次中靶 D．兩次都不中靶答案：D2．一個袋子中有紅球 5個，黑球4個，現(xiàn)從中任取 5個球，則至少有 1個紅球的概率為________．答案：13．甲、乙二人下棋，甲不輸?shù)母怕蕿?0.8，則乙獲勝的概率為________．答案：0.24．一副混合后的撲克牌(52張)中，隨機抽取1張，事件A為“抽得紅桃K”，事件B為“抽得黑桃”，則概率P(A∪B)＝________．(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示)答案：7265．(2018高·考全國卷Ⅲ改編)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為______．答案：0.4授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第 194頁考點一 隨機事件的關(guān)系 ?考基礎(chǔ)——練透[例1] (1)(2019孝·感模擬)把紅、藍、黑、白 4張紙牌隨機分給甲、乙、丙、丁4個人，每人分得一張，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是 ( )A．對立事件B．互斥但不對立事件C．不可能事件D．以上都不對(2)某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加演講比賽，判斷下列每對事件是不是互斥事件，如果是，再判斷它們是不是對立事件．①恰有1名男生與恰有2名男生；②至少有1名男生與全是男生；③至少有1名男生與全是女生；④至少有1名男生與至少有 1名女生．解析：(1)從紅牌的去向來看，有4種可能，故事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是互斥但不對立事件．(2)①由互斥事件概念，“恰有1名男生”與“恰有2名男生”是互斥事件；但不是對立事件．②事件“至少有1名男生”與“全是男生”會同時發(fā)生，所以它們不是互斥事件．③“至少有 1名男生”與“全是女生”不可能同時發(fā)生，所以它們是互斥事件；且它們必有一個發(fā)生，所以它們互為對立事件．④當(dāng)選出的是1名男生與1名女生時，“至少有1名男生”與“至少有1名女生”兩事件會同時發(fā)生，所以它們不是互斥事件．答案：(1)B (2)見解析將本例(2)中的條件“任選2名同學(xué)”改為“任選3名同學(xué)”，試寫出事件“全是男生”的對立事件．解析：“任選3名同學(xué)”包括“全是男生”、“2男1女”、“1男2女”，所以“全是男生”的對立事件是“至少有1名女生”．1．準(zhǔn)確把握互斥事件與對立事件的概念(1)互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件，但可以同時不發(fā)生．(2)對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立的兩個事件不可能都不發(fā)生， 即有且僅有一個發(fā)生．2．判別互斥、對立事件的方法判別互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩個事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件．[拓展] 從集合角度理解互斥事件和對立事件從集合的角度看，幾個事件彼此互斥，是指由各個事件所含的結(jié)果組成的集合－彼此的交集為空集，事件A的對立事件A所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補集．1．(2019·臨沂模擬)一枚均勻的正方體玩具的各個面上分別標(biāo)以數(shù)字1，2，3，4，5，6.將這個玩具向上拋擲 1次，設(shè)事件A表示向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點，事件B表示向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不超過 3，事件C表示向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不小于4，則( )A．A與B是互斥而非對立事件B．A與B是對立事件C．B與C是互斥而非對立事件D．B與C是對立事件解析：根據(jù)互斥事件與對立事件的意義作答， A∩B＝{出現(xiàn)點數(shù)1或3}，事件A，B不互斥也不對立；B∩C＝?，B∪C＝Ω，故事件B，C是對立事件．答案：D2．從裝有兩個白球和兩個黃球的口袋中任取 2個球，以下給出了三組事件：①至少有1個白球與至少有 1個黃球；②至少有1個黃球與都是黃球；③恰有1個白球與恰有1個黃球．其中互斥而不對立的事件共有 ( )A．0組 B．1組C．2組 D．3組解析：對于①，“至少有1個白球”發(fā)生時，“至少有1個黃球”也會發(fā)生，比如恰好一個白球和一個黃球，故①中的兩個事件不互斥．對于②，“至少有1個黃球”說明有黃球，黃球的個數(shù)可能是 1或2，而“都是黃球”說明黃球的個數(shù)是 2，故這兩個事件不是互斥事件．③“恰有1個白球”與“恰有1個黃球”，都表示取出的兩個球中，一個是白球，另一個是黃球．故不是互斥事件．答案：A考點二 隨機事件的概率與頻率 ?考能力——知法[例2] (1)從存放的號碼分別為 1，2，3，，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一張卡片并記下號碼，統(tǒng)計結(jié)果如下：卡片號碼12345678910取到次數(shù)138576131810119則取到號碼為奇數(shù)的卡片的頻率是 ( )A．0.53 B．0.5C．0.47 D．0.37解析：取到號碼為奇數(shù)的卡片的次數(shù)為： 13＋5＋6＋18＋11＝53，則所求的頻53率為100＝0.53.故選A．答案：A(2)(2019深·圳模擬)某花店每天以每朵 5元的價格從農(nóng)場購進若干朵玫瑰花，然后以每朵10元的價格出售．如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花做垃圾處理．①若花店一天購進17朵玫瑰花，求當(dāng)天的利潤y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位：朵，n∈N)的函數(shù)解析式．②花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：朵)，整理如下表所示，日需求量n 14 15 16 17 18 19 20頻數(shù) 10 20 16 16 15 13 10(ⅰ)假設(shè)花店在這100天內(nèi)每天購進17朵玫瑰花，求這100天的日利潤(單位：元)的平均數(shù)；(ⅱ)若花店一天購進17朵玫瑰花，以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，求當(dāng)天的利潤不少于75元的概率．解析：①當(dāng)日需求量n≥17時，利潤y＝85；當(dāng)日需求量 n＜17時，利潤y＝10n－85；10n－85，n＜17所以利潤y關(guān)于當(dāng)天需求量n的函數(shù)解析式y(tǒng)＝(n∈N*)．85，n≥17②(ⅰ)這10055×10＋65×20＋75×16＋85×54天的日利潤的平均數(shù)為100＝76.4(元)；(ⅱ)當(dāng)天的利潤不少于 75元，當(dāng)且僅當(dāng)日需求量不少于 16朵，故當(dāng)天的利潤不少于75元的概率為P＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7.1．計算簡單隨機事件頻率或概率的解題思路(1)計算出所求隨機事件出現(xiàn)的頻數(shù)及總事件的頻數(shù)．(2)由頻率與概率的關(guān)系得所求．2．求解以統(tǒng)計圖表為背景的隨機事件的頻率或概率問題的關(guān)鍵點求解該類問題的關(guān)鍵是由所給頻率分布表、頻率分布直方圖或莖葉圖等圖表，計算出所求隨機事件出現(xiàn)的頻數(shù)，進而利用頻率與概率的關(guān)系得所求．1．某中學(xué)部分學(xué)生參加全國高中數(shù)學(xué)競賽取得了優(yōu)異成績，指導(dǎo)老師統(tǒng)計了所有參賽同學(xué)的成績(成績都為整數(shù)，試題滿分 120分)，并且繪制了條形統(tǒng)計圖(如圖所示)，則該中學(xué)參加本次數(shù)學(xué)競賽的人數(shù)為

________，如果

90分以上(含90分)獲獎，那么獲獎的概率大約是 ________．解析：由題圖可知，參加本次競賽的人數(shù)為 4＋6＋8＋7＋5＋2＝32；90分以14上的人數(shù)為 7＋5＋2＝14，所以獲獎的頻率為32＝0.4375，即本次競賽獲獎的概率大約是0.4375.答案：32 0.43752．(2018·高考北京卷)電影公司隨機收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型

第一類

第二類

第三類

第四類

第五類

第六類電影部數(shù)

140

50

300 200

800

510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值．(1)從電影公司收集的電影中隨機選取 1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率．(2)隨機選取1部電影，估計這部電影沒有獲得好評的概率．(3)電影公司為增加投資回報，擬改變投資策略，這將導(dǎo)致不同類型電影的好評率發(fā)生變化．假設(shè)表格中只有兩類電影的好評率數(shù)據(jù)發(fā)生變化，那么哪類電影的好評率增加0.1，哪類電影的好評率減少0.1，使得獲得好評的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達到最大？(只需寫出結(jié)論)解析：(1)由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是 140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，獲得好評的第四類電影的部數(shù)是 200×0.25＝50.50故所求概率為2000＝0.025.(2)由題意知，樣本中獲得好評的電影部數(shù)是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51372.372故所求概率估計為 1－2000＝0.814(3)增加第五類電影的好評率，減少第二類電影的好評率．考點三 互斥事件、對立事件的概率 ?考基礎(chǔ)——練透[例3] (1)從一箱產(chǎn)品中隨機地抽取一件，設(shè)事件 A＝{抽到一等品}，事件B{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為 ( )A．0.7 B．0.65C．0.35 D．0.5解析：因為“抽到的產(chǎn)品不是一等品 ”與事件A是對立事件，所以所求概率P＝1－P(A)＝0.35.答案：C(2)某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1000張獎券為一個開獎單位，設(shè)特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個．設(shè)1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A，B，C．求：P(A)，P(B)，P(C)；②1張獎券的中獎概率；③1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．解析：①P(A)＝11011000，P(B)＝1000＝100，1P(C)＝1000＝20.1②因為事件A，B，C兩兩互斥，所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝10001161＋100＋20＝1000.61故1張獎券的中獎概率為1000.－－11989③P(A∪B)＝1－P(A＋B)＝1－(1000＋100)＝1000.989故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為1000.求互斥事件概率的方法方法 解讀 適合題型直接法 將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的 根據(jù)互斥事件定義分析，事件的概率的和，運用互斥事件的概率加法 正面分類較少的公式計算利用古典概型、互斥事件或相互獨立事件的題設(shè)條件含有“至間接法 概率計算公式計算此事件的對立事件的概多”“至少”的題目－率，運用公式P(A)＝1－P(A)求解1．(2019·太原模擬)已知甲、乙兩人下棋，和棋的概率為1，乙勝的概率為1，23則甲勝的概率和甲不輸?shù)母怕史謩e為 ________．1解析：“甲勝”是“和棋或乙勝”的對立事件，所以“甲勝”的概率為1－2－13＝6.設(shè)“甲不輸”為事件A，則A可看作是“甲勝”與“和棋”這兩個互斥事件的1 1 2和事件，所以P(A)＝6＋2＝3.1 2答案：6，32．?dāng)S一枚均勻的正六面體骰子，設(shè)A表示事件“出現(xiàn)現(xiàn)偶數(shù)點”，則P(A∪B)等于________．

3點”，B表示事件“出解析：由題意得：因為

1 3 1P(A)＝6，P(B)＝6＝2，事件

A與

B為互斥事件，由互斥事件的概率和公式得，1 1 2P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝6＋2＝3.答案：23數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析——生活中用頻率估計概率的學(xué)科素養(yǎng)[例] 某保險公司利用簡單隨機抽樣方法，對投保車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計如下：賠付金額(元)01000200030004000車輛數(shù)(輛)500130100150120(1)若每輛車的投保金額均為 2800元，估計賠付金額大于投保金額的概率；(2)在樣本車輛中，車主是新司機的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機的占20%，估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為4000元的概率．解析：(1)設(shè)A表示事件“賠付金額為3000元”，B表示事件“賠付金額為4000元”，以頻率估計概率得P(A)＝150＝0.15，P(B)＝120＝0.12.10001000由于投保金額為2800元，賠付金額大于投保金額對應(yīng)的情形是3000元和4000元，所以其概率為 P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)設(shè)C表示事件“投保車輛中新司機獲賠 4000元”，由已知，樣本車輛中車主為新司機的有0.1×1000＝100輛，而賠付金額為 4000元的車輛中，車主為新司機的有0.2×120＝24輛，所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為 400024元的頻率為100＝0.24，由頻率估計概率得 P(C)＝0.24.課時規(guī)范練單獨成冊：對應(yīng)學(xué)生用書第 327頁A組 基礎(chǔ)對點練1．容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表：分組[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70]頻數(shù)234542則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10，40)的頻率為()A．0.35B．0.45C．0.55D．0.65解析：數(shù)據(jù)落在[10，40)的頻率為2＋3＋4920＝20＝0.45，故選B．答案：B2．從1，2，3，4，5這5個數(shù)中任取兩個數(shù)，其中：①恰有一個是偶數(shù)和恰有一個是奇數(shù)；②至少有一個是奇數(shù)和兩個都是奇數(shù)； ③至少有一個是奇數(shù)和兩個都是偶數(shù)；④至少有一個是奇數(shù)和至少有一個是偶數(shù)，上述事件中，是對立事件的是( )A．① B．②④C．③ D．①③解析：從1，2，3，4，5這5個數(shù)中任取兩個數(shù)，有三種情況：一奇一偶，兩個奇數(shù)，兩個偶數(shù)．其中至少有一個是奇數(shù)包含一奇一偶，兩個奇數(shù)這兩種情況，它與兩個都是偶數(shù)是對立事件，而 ①中的事件可能同時發(fā)生，不是對立事件，故選C．答案：C3．在第3、6、16路公共汽車的一個?？空?(假定這個車站只能停靠一輛公共汽車)，有一位乘