有理系數(shù)多項(xiàng)式可歸結(jié)為整系

有理系數(shù)多項(xiàng)式可歸結(jié)為整系第1頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六問題的引入

1.由因式分解定理，作為一個(gè)特殊情形：對

則

可唯一分解

成不可約的有理系數(shù)多項(xiàng)式的積.但是，如何作出它的分解式卻很復(fù)雜，沒有一個(gè)一般的方法.

第2頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六2.我們知道，在

上只有一次多項(xiàng)式才是不可約

多項(xiàng)式；在

上，不可約多項(xiàng)式只有一次多項(xiàng)式與某些二次多項(xiàng)式；但在上有任意次數(shù)的不可約多項(xiàng)式．如

如何判斷上多項(xiàng)式的不可約性呢?

第3頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六一、有理系數(shù)多項(xiàng)式可歸結(jié)為整系數(shù)多項(xiàng)式的問題．

這是因?yàn)槿我挥欣頂?shù)可表成兩個(gè)整數(shù)的商．事實(shí)上，設(shè)

則可選取適當(dāng)整數(shù)

使

為整系數(shù)多項(xiàng)式．若

的各項(xiàng)系數(shù)有公因子，就可以提出來，得也即

第4頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六1.本原多項(xiàng)式

設(shè)

定義若

沒有則稱

為本原多項(xiàng)式．異于

的公因子，即是互素的，的公因子．

其中

是整系數(shù)多項(xiàng)式，且各項(xiàng)系數(shù)沒有異于

第5頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六2有關(guān)性質(zhì)（1）．

使其中

為本原多項(xiàng)式．（除了相差一個(gè)正負(fù)號外，這種表示法是唯一的）．（2）．Gauss引理定理10兩個(gè)本原多項(xiàng)式的積仍是本原多項(xiàng)式．第6頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六設(shè)

是兩個(gè)本原多項(xiàng)式．若

不是本原的，則存在素?cái)?shù)

證：又

是本原多項(xiàng)式，所以

不能整除的每一個(gè)系數(shù)．反證法．第7頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六令

為

中第一個(gè)不能被

整除的數(shù)，即

同理，本原，令

為

中第一個(gè)不能被

整除的數(shù)，即

又矛盾．在這里

故

是本原的．第8頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六定理11若一非零的整系數(shù)多項(xiàng)式可分解成兩個(gè)次數(shù)較低的有理系數(shù)多項(xiàng)式，則它一定可分解成兩個(gè)次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積（逆否）．二、整系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解

第9頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六設(shè)整系數(shù)多項(xiàng)式

有分解式其中

且

證：令

這里，皆為本原多項(xiàng)式，

于是

由定理10，本原，即從而有

得證．

第10頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六設(shè)

是整系數(shù)多項(xiàng)式，且

是本原推論的，若

則

必為整系數(shù)多項(xiàng)式．

第11頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六令

本原，即

為整系數(shù)多項(xiàng)式．

證：于是有，第12頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六定理12設(shè)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，而

是它的一個(gè)有理根，

其中

是互素的，則必有

第13頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六是的有理根，從而

又互素，比較兩端系數(shù)，得

證：∴在有理數(shù)域上，由上推論，有本原．所以，

第14頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六定理12是判斷整系數(shù)多項(xiàng)式有理根的一個(gè)必要條件，而非充分條件．例1

求方程

的有理根.可能有理根為用綜合除法可知，只有1為根．

注意解：第15頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六例2證明:在

上不可約．

若

可約，

但

的有理根只可能是所以

不可約．證：則

至少有一個(gè)一次因式，也即有一個(gè)有理根．而

矛盾．

第16頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六定理13

艾森斯坦因Eisenstein判別法設(shè)

是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，若有一個(gè)素?cái)?shù)

使得則

在有理數(shù)域上是不可約的．第17頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六若

在

上可約，由定理11，可分解為兩次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式積

證：又不妨設(shè)

但

或不能同時(shí)整除

第18頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六另一方面，假設(shè)

中第一個(gè)不能被

整除的數(shù)為

比較兩端

的系數(shù)，得

上式中

皆能被

整除，

矛盾．故

不可約．第19頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六例3證明：在

上不可約．

證：（令

即可）．(可見存在任意次數(shù)的不可約有理系數(shù)多項(xiàng)式)例4判斷（為素?cái)?shù)）在

上是否可約．第20頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六令

則

為整系數(shù)多項(xiàng)式．

但

解：在

上不可約，從而

在

上不可約．即第21頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六①Eisenstein判別法是判斷不可約的充分條件，而非必要條件．注意也就是說，如果一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式不滿足Eisenstein判別法條件，則它可能是可約的，也可能是不可約的．②有些整系數(shù)多項(xiàng)式不能直接用Eisenstein判別法來判斷是其是否可約，此時(shí)可考慮用適當(dāng)?shù)拇鷵Q

使?jié)M足Eisenstein判別法條件，從而來判定原多項(xiàng)式

不可約．第22頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六有理系數(shù)多項(xiàng)式

在有理系數(shù)上不可約命題在有理數(shù)域上不可約．多項(xiàng)式第23頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六例5證明：

在

上不可約．取

證：作變換則在Ｑ上不可約，所以

在Ｑ上不可約．由Eisenstein判別法知，第24頁，共26頁，2023年，2月20日，星期六對于許多上的多項(xiàng)式來說，作適當(dāng)線性代換后再用Eisenstein判別法判定它是否可約是一個(gè)較好的多項(xiàng)式無論作怎樣的代換都不能

使