中考數學圓-經典壓軸題(帶答案)

1.如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，AC和BD相交于點E，且DC2=CE?CA．（1）求證：BC=CD；（2）分別延長AB，DC交于點P，過點A作AF⊥CD交CD的延長線于點F，若PB=OB，CD=，求DF的長．2.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，過CD延長線上一點E作⊙O的切線交AB的延長線于F．切點為G，連接AG交CD于K．

（1）求證：KE=GE；

（2）若=KD·GE，試判斷AC與EF的位置關系，并說明理由；

（3）在（2）的條件下，若sinE=，AK=，求FG的長．3.如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD與過點C的切線垂直，垂足為點D，直線DC與AB的延長線相交于點P，弦CE平分∠ACB，交AB于點F，連接BE．

(1)求證：AC平分∠DAB；

(2)求證：△PCF是等腰三角形；

(3)若tan∠ABC=，BE=7，求線段PC的長．

1.【解答】：（1）證明：∵DC2=CE?CA，∴=，△CDE∽△CAD，∴∠CDB=∠DBC，∵四邊形ABCD內接于⊙O，∴BC=CD；（2）解：如圖，連接OC，∵BC=CD，∴∠DAC=∠CAB，又∵AO=CO，∴∠CAB=∠ACO，∴∠DAC=∠ACO，∴AD∥OC，∴=，∵PB=OB，CD=，∴=∴PC=4又∵PC?PD=PB?PA∴PA=4也就是半徑OB=4，在RT△ACB中，AC===2，∵AB是直徑，∴∠ADB=∠ACB=90°∴∠FDA+∠BDC=90°∠CBA+∠CAB=90°∵∠BDC=∠CAB∴∠FDA=∠CBA又∵∠AFD=∠ACB=90°∴△AFD∽△ACB∴在Rt△AFP中，設FD=x，則AF=，∴在RT△APF中有，，求得DF=．2解：（1）如答圖1，連接OG．

∵EG為切線，∴∠KGE+∠OGA=90°，

∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，

又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，

∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，∴KE=GE．

（2）AC∥EF，理由為：

連接GD，如答圖2所示．

∵KG2=KDGE，即=，

∴=，又∠KGE=∠GKE，

∴△GKD∽△EGK，

∴∠E=∠AGD，又∠C=∠AGD，

∴∠E=∠C，

∴AC∥EF；

（3）連接OG，OC，如答圖3所示．

sinE=sin∠ACH=，設AH=3t，則AC=5t，CH=4t，

∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t，∴HK=CK﹣CH=t．

在Rt△AHK中，根據勾股定理得AH2+HK2=AK2，

即（3t）2+t2=（）2，

解得t=．

設⊙O半徑為r，

在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3t，CH=4t，

由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，

即（r﹣3t）2+（4t）2=r2，解得r=t=．

∵EF為切線，∴△OG