人教版高中數(shù)學(xué)選修4-5課時教案

選修4_5不等式選講

課題：第01課時不等式的基本性質(zhì)

目的要求：

重點難點：

教學(xué)過程：

一、引入：

不等關(guān)系是自然界中存在著的基本數(shù)學(xué)關(guān)系?！读凶?湯問》中膾炙人口的“兩小兒辯日”：“遠(yuǎn)

者小而近者大”、“近者熱而遠(yuǎn)者涼”,就從側(cè)面表明了現(xiàn)實世界中不等關(guān)系的廣泛存在；日常生活中

息息相關(guān)的問題,如“自來水管的直截面為什么做成圓的,而不做成方的呢?”、“電燈掛在寫字臺上方

怎樣的高度最亮？”、“用一塊正方形白鐵皮,在它的四個角各剪去一個小正方形,制成一個無蓋的盒

子。要使制成的盒子的容積最大,應(yīng)當(dāng)剪去多大的小正方形？”等,都屬于不等關(guān)系的問題,需要借助

不等式的相關(guān)知識才能得到解決。而且,不等式在數(shù)學(xué)研究中也起著相當(dāng)重要的作用。

本專題將介紹一些重要的不等式（含有絕對值的不等式、柯西不等式、貝努利不等式、排序不等式

等）和它們的證明,數(shù)學(xué)歸納法和它的簡單應(yīng)用等。

人與人的年齡大小、高矮胖瘦,物與物的形狀結(jié)構(gòu),事與事成因與結(jié)果的不同等等都表現(xiàn)出不等的

關(guān)系,這表明現(xiàn)實世界中的量,不等是普遍的、絕對的,而相等則是局部的、相對的。還可從引言中實

際問題出發(fā),說明本章知識的地位和作用。

生活中為什么糖水加糖甜更甜呢?轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題：a克糖水中含有b克糖(a>b>0),若再加m(m>0)

克糖,則糖水更甜了,為什么?

bbmbmb

分析：起初的糖水濃度為,加入m克糖后的糖水濃度為,只要證>即可。怎么

aamama

證呢?

二、不等式的基本性質(zhì)：

1、實數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系：

數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)總大于左邊的點所表示的數(shù),從實數(shù)的減法在數(shù)軸上的表示可知：

abab0

abab0

abab0

得出結(jié)論：要比較兩個實數(shù)的大小,只要考察它們的差的符號即可。

2、不等式的基本性質(zhì)：

①、如果a>b,那么b<a,如果b<a,那么a>b。(對稱性)

②、如果a>b,且b>c,那么a>c,即a>b,b>ca>c。

③、如果a>b,那么a+c>b+c,即a>ba+c>b+c。

推論：如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d．即a>b,c>da+c>b+d．

④、如果a>b,且c>0,那么ac>bc；如果a>b,且c<0,那么ac<bc．

⑤、如果a>b>0,那么anbn(nN,且n>1)

⑥、如果a>b>0,那么nanb(nN,且n>1)。

三、典型例題：

例1、已知a>b,c<d,求證：a-c>b-d．

cc

例2已知a>b>0,c<0,求證：

ab。

四、練習(xí)：

五、作業(yè)：

選修4_5不等式選講

課題：第02課時含有絕對值的不等式的解法

目的要求：

重點難點：

教學(xué)過程：

一、引入：

在初中課程的學(xué)習(xí)中,我們已經(jīng)對不等式和絕對值的一些基本知識有了一定的了解。在此基礎(chǔ)上,

本節(jié)討論含有絕對值的不等式。

關(guān)于含有絕對值的不等式的問題,主要包括兩類：一類是解不等式,另一類是證明不等式。下面分

別就這兩類問題展開探討。

1、解在絕對值符號內(nèi)含有未知數(shù)的不等式（也稱絕對值不等式）,關(guān)鍵在于去掉絕對值符號,化

成普通的不等式。主要的依據(jù)是絕對值的意義.

請同學(xué)們回憶一下絕對值的意義。

x，如果x0

在數(shù)軸上,一個點到原點的距離稱為這個點所表示的數(shù)的絕對值。即x0，如果x0。

x，如果x0

2、含有絕對值的不等式有兩種基本的類型。

第一種類型。設(shè)a為正數(shù)。根據(jù)絕對值的意義,不等式xa的解集是

{x|axa},它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點的距離小于a的點的集合是開區(qū)間（－a,a）,如圖

所示。

a圖1-1a

如果給定的不等式符合上述形式,就可以直接利用它的結(jié)果來解。

第二種類型。設(shè)a為正數(shù)。根據(jù)絕對值的意義,不等式xa的解集是

{x|xa或xa}

它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點的距離大于a的點的集合是兩個開區(qū)間(,a),(a,)的并

集。如圖1-2所示。

–aa

圖1-2

同樣,如果給定的不等式符合這種類型,就可以直接利用它的結(jié)果來解。

二、典型例題：

例1、解不等式3x1x2。

例2、解不等式3x12x。

方法1：分域討論

★方法2：依題意,3x12x或3x1x2,（為什么可以這么解？）

例3、解不等式2x13x25。

例4、解不等式x2x15。

解本題可以按照例3的方法解,但更簡單的解法是利用幾何意義。原不等式即數(shù)軸上的點x到

1,2的距離的和大于等于5。因為1,2的距離為1,所以x在2的右邊,與2的距離大于等于2（＝（5

－1）2)；或者x在1的左邊,與1的距離大于等于2。這就是說,x4或x1.

例5、不等式x1x3>a,對一切實數(shù)x都成立,求實數(shù)a的取值范圍。

三、小結(jié)：

四、練習(xí)：解不等式

1、22x11.2、413x10

3、32xx4.4、x12x.

5、x22x416、x21x2.

7、xx248、x1x36.

9、xx1210、xx42.

五、作業(yè)：

選修4_5不等式選講

課題：第03課時含有絕對值的不等式的證明

目的要求：

重點難點：

教學(xué)過程：

一、引入：

證明一個含有絕對值的不等式成立,除了要應(yīng)用一般不等式的基本性質(zhì)之外,經(jīng)常還要用到關(guān)于

絕對值的和、差、積、商的性質(zhì)：

（1）abab（2）abab

aa

（3）abab（4）(b0)

bb

請同學(xué)們思考一下,是否可以用絕對值的幾何意義說明上述性質(zhì)存在的道理？

aa

實際上,性質(zhì)abab和(b0)可以從正負(fù)數(shù)和零的乘法、除法法則直接推出；

bb

而絕對值的差的性質(zhì)可以利用和的性質(zhì)導(dǎo)出。因此,只要能夠證明abab對于任意實數(shù)都成

立即可。我們將在下面的例題中研究它的證明。

現(xiàn)在請同學(xué)們討論一個問題：設(shè)a為實數(shù),a和a哪個大？

顯然aa,當(dāng)且僅當(dāng)a0時等號成立（即在a0時,等號成立。在a0時,等號不成立）。同

樣,aa.當(dāng)且僅當(dāng)a0時,等號成立。

含有絕對值的不等式的證明中,常常利用aa、aa及絕對值的和的性質(zhì)。

二、典型例題：

例1、證明（1）abab,（2）abab。

證明（1）如果ab0,那么abab.所以ababab.

如果ab0,那么ab(ab).所以aba(b)(ab)ab

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果,有abbabb,就是,abba。

所以,abab。

例2、證明ababab。

例3、證明abacbc。

思考：如何利用數(shù)軸給出例3的幾何解釋？

（設(shè)A,B,C為數(shù)軸上的3個點,分別表示數(shù)a,b,c,則線段ABACCB.當(dāng)且僅當(dāng)C在A,B之間

時,等號成立。這就是上面的例3。特別的,取c＝0（即C為原點）,就得到例2的后半部分。）

探究：試?yán)媒^對值的幾何意義,給出不等式abab的幾何解釋？

含有絕對值的不等式常常相加減,得到較為復(fù)雜的不等式,這就需要利用例1,例2和例3的結(jié)果來

證明。

cc

例4、已知xa,yb,求證(xy)(ab)c.

22

證明(xy)(ab)(xa)(yb)xayb（1）

cc

xa,yb,

22

cc

∴xaybc（2）

22

由（1）,（2）得：(xy)(ab)c

aa

例5、已知x,y.求證：2x3ya。

46

aaaa

證明x,y,∴2x,3y,

4622

aa

由例1及上式,2x3y2x3ya。

22

注意：在推理比較簡單時,我們常常將幾個不等式連在一起寫。但這種寫法,只能用于不等號方

向相同的不等式。

三、小結(jié)：

四、練習(xí)：

cc

1、已知Aa,Bb.求證：(AB)(ab)c。

22

cc

2、已知xa,yb.求證：2x3y2a3bc。

46

五、作業(yè)：

鏈接：不等式的圖形

借助圖形的直觀性來研究不等式的問題,是學(xué)習(xí)不等式的一個重要方法,特別是利用絕對值和絕

對值不等式的幾何意義來解不等式或者證明不等式,往往能使問題變得直觀明了,幫助我們迅速而準(zhǔn)

確地尋找到問題的答案。關(guān)鍵是在遇到相關(guān)問題時,能否準(zhǔn)確地把握不等式的圖形,從而有效地解決問

題。我們再來通過幾個具體問題體會不等式圖形的作用。

1．解不等式x1x2x1。

題意即是在數(shù)軸上找出到1與2的距離之和不大于到點1的距離的所有流動點

123

x。

首先在數(shù)軸上找到點1,2,1（如圖）。

123

xxx

31122

-10123

從圖上判斷,在與之間的一切點顯示都合乎要求。事實上,這種點到與的距離和正好是

1212

1,而到的距離是2(x1)1x(1x2)。

3

現(xiàn)在讓流動點x由點向左移動,這樣它到點的距離變,而到點與的距離增大,顯然,合乎

1312

要求的點只能是介于1與1之間的某一個點x。

311

2

由(1x)(2x)x(1),可得x.

11113

再讓流動點x由點向右移動,雖然這種點到與的距離的和及到的距離和都在增加,但

2123

兩相比較,到與的距離的和增加的要快。所以,要使這種點合乎要求,也只能流動到某一點x而

122

止。

2

由(x1)(x2)x(1),可得x4.從而不等式的解為x4.

22223

2．畫出不等式xy1的圖形,并指出其解的范圍。

先考慮不等式在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第一象限的情況。在第一象限內(nèi)不等式等價于：

x0,y0,xy1.

其圖形是由第一象限中直線y1x下方的點所組成。

同樣可畫出二、三、四象限的情況。從而得到不等式xy1的圖形是以原點O為中心,四個

等點分別在坐標(biāo)軸上的正方形。不等式解的范圍一目了然。

探究：利用不等式的圖形解不等式

1.x1x11;2．x2y1.

A組

1．解下列不等式：

1

（1）23x（2）13x47

2

1

（3）2x4x1（4）x22xx

2

x2

2．解不等式：（1）2x1x1（2）1

x1

3．解不等式：（1）x1x23（2）x2x130.

4．利用絕對值的幾何意義,解決問題：要使不等式x4x3<a有解,a要滿足什么條件？

sss

5．已知Aa,Bb,Cc.求證：

333

（1）(ABC)(abc)s；（2）ABC)(abc)s.

6．已知xa,ya.求證：xya.

x

7．已知xch,yc0.求證：h.

y

B組

abab

*****8．求證.

1ab1a1b

ab

*****9．已知a1,b1.求證：1.

1ab

1

10．若,為任意實數(shù),c為正數(shù),求證：2(1c)2(1)2.

c

1

c22

1c

（2222,而c22）

c2

選修4_5不等式選講

課題：第03課時指數(shù)不等式的解法

目的要求：

重點難點：

教學(xué)過程：

一、引入：

二、典型例題：

1

例1、解不等式2x22x3()3(x1)

2

解：原不等式可化為：2x22x323(x1)∵底數(shù)2>1

∴x22x33(x1)整理得：x2x60

解之,不等式的解集為{x|-3<x<2}

例2、解不等式3x1183x29。

解：原不等式可化為：332x293x180

2

即：(3x9)(33x2)0解之：3x9或3x

3

2

∴x>2或xlog

33

2

∴不等式的解集為{x|x>2或xlog}

33

例3、解不等式：ax22xax4,(a0且a1)

(當(dāng)a>1時x(,1)(4,)當(dāng)0<a<1時x(1,4))

1

例4、解不等式：()x234x(-1<x<3)

2

三、小結(jié)：

四、練習(xí)：

五、作業(yè)：

選修4_5不等式選講

課題：第04課時對數(shù)不等式的解法

目的要求：

重點難點：

教學(xué)過程：

一、引入：

二、典型例題：

例1、解不等式log(x1)2。

x3

x10x10

解：原不等式等價于x31或0x31解之得：4<x≤5

x1(x3)2x1(x3)2

∴原不等式的解集為{x|4<x≤5}

例2、解關(guān)于x的不等式：log(43xx2)log(2x1)log2,(a0,a1)

aaa

解：原不等式可化為log(43xx2)log2(2x1)

aa

1

2x10x

21

當(dāng)a>1時有43xx201x4x2

2

43xx22(2x1)3x2

（其實中間一個不等式可?。?/p>

1

2x10x

2

當(dāng)0<a<1時有43xx201x42x4

43xx22(2x1)x3或x2

1

∴當(dāng)a>1時不等式的解集為xx2；

2

當(dāng)0<a<1時不等式的解集為x2x4。

例3、解關(guān)于x的不等式5logx1logx。

aa

解：原不等式等價于

1logx0

a5logx0

Ⅰ：5logx(1logx)2或Ⅱ：a

aalogx10

5logx0a

a

解Ⅰ：1logx1

a

解Ⅱ：logx1∴l(xiāng)ogx1

aa

當(dāng)a>1時有0<x<a當(dāng)0<a<1時有x>a

∴原不等式的解集為{x|0<x<a,a>1}或{x|x>a,0<a<1}

x4x

例4、解不等式xlogax。

a2

解：兩邊取以a為底的對數(shù)：

9

當(dāng)0<a<1時原不等式化為：(logx)2logx2

a2a

1

∴(logx4)(2logx1)0logx4∴a4xa

aa2a

9

當(dāng)a>1時原不等式化為：(logx)2logx2

a2a

∴(logx4)(2logx1)0

aa

1

∴l(xiāng)ogx4或logx∴xa4或0xa

aa2

∴原不等式的解集為{x|a4xa,0a1}或{x|xa4或0xa,a1}

三、小結(jié)：

四、練習(xí)：

解下列不等式

1．log(x23x4)log(2x10)(-2<x<1或4<x<7)

11

33

2．當(dāng)0a1,求不等式：log(logx)0(a<x<1)

aa

3．a(chǎn)1,0b1,求證：alogb(2x1)1

1x

4．log0,(a0,a1)(-1<x<0)

a1x

5．a(chǎn)1時解關(guān)于x的不等式log[a2x2x(ax2x1)1]0

a

(a2,xlog2；1a2,xlog2；a2,x)

aa

22

五、作業(yè)：

選修4_5不等式選講

課題：第05課時無理不等式的解法

目的要求：

重點難點：

教學(xué)過程：

一、引入：

1、無理不等式的類型：

f(x)0

定義域

型

①、f(x)g(x)g(x)0

f(x)g(x)

g(x)0

g(x)0

②、f(x)g(x)型f(x)0或

f(x)0

f(x)[g(x)]2

f(x)0

③、f(x)g(x)型g(x)0

f(x)[g(x)]2

二、典型例題：

例1、解不等式3x4x30

3x40

解：∵根式有意義∴必須有：x3

x30

又有∵原不等式可化為3x4x3

1

兩邊平方得：3x4x3解之：x

2

1

∴{x|x3}{x|x}{x|x3}

2

例2、解不等式x23x243x

解：原不等式等價于下列兩個不等式組得解集的并集：

43x0

x23x20

Ⅰ：x23x20Ⅱ：

43x0

x23x2(43x)2

4

x

3644

解Ⅰ：1x2x解Ⅱ：x2

63533

x

52

6

∴原不等式的解集為{x|x2}

5

例3、解不等式2x26x4x2

2x26x40

解：原不等式等價于x20

2x26x4(x2)2

x2或x1

x2{x|2x10或0x1}

0x10

特別提醒注意：取等號的情況

例4、解不等式2x1x11

1

2x10x1

解：要使不等式有意義必須：2x

x102

x1

原不等式可變形為2x11x1因為兩邊均為非負(fù)

∴(2x11)2(x1)2即22x1(x1)

1

∵x+1≥0∴不等式的解為2x+1≥0即x

2

例5、解不等式x21ax1(a0)

例6、解不等式32xx11

解：定義域x-1≥0x≥1

原不等式可化為：x113x2

兩邊立方并整理得：(x2)x14(x1)

在此條件下兩邊再平方,整理得：(x1)(x2)(x10)0

解之并聯(lián)系定義域得原不等式的解為{x|1x2或x10}

三、小結(jié)：

四、練習(xí)：解下列不等式

1．2x33x55x6(x2)

2．3x3x33xx3(x3)

513

3．41x2x(x1)s

2

4．(x1)x2x20(x2或x1)

15

5．2xx11(1x)

2

五、作業(yè)：

選修4_5不等式選講

課題：第06課時含有參數(shù)不等式的解法

目的要求：

重點難點：

教學(xué)過程：

一、引入：

二、典型例題：

例1、解關(guān)于x的不等式logxloga

ax

1(logx1)(logx1)

解：原不等式等價于logx即：aa0

alogxlogx

aa

∴l(xiāng)ogx1或0logx1

aa

1

若a>10x或1xa,

a

1

若0<a<1x或ax1。

a

例2、解關(guān)于x的不等式23x2xm(2x2x)

解：原不等式可化為24x(1m)2xm0

即：(22x1)(22xm)0s

1

當(dāng)m>1時122xm∴0xlogm

22

當(dāng)m=1時(22x1)20∴xφ

1

當(dāng)0<m<1時m22x1∴l(xiāng)ogmx0

22

當(dāng)m≤0時x<0

例3、解關(guān)于x的不等式x24mx4m2m3

解：原不等式等價于|x2m|m3

當(dāng)m30即m3時x2mm3或x2m(m3)

∴x3m3或xm3

當(dāng)m30即m3時|x6|0∴x6

當(dāng)m30即m3時xR。

例4、解關(guān)于x的不等式(cot)x23x21,(0)

2

解：當(dāng)cot1即(0,)時x23x20∴x>2或x<1

4

當(dāng)cot1即=時xφ

4

當(dāng)cot(0,1)即(,)時x23x20∴1<x<2

42

例5、滿足3xx1的x的集合為A；滿足x2(a1)xa0的x的集合為B。

1、若AB求a的取值范圍

2、若AB求a的取值范圍

3、若A∩B為僅含一個元素的集合,求a的值。

解：A=[1,2]B={x|(x-a)(x-1)≤0}

當(dāng)a≤1時B=[a,1]當(dāng)a>1時B=[1,a]

當(dāng)a>2時AB

當(dāng)1≤a≤2時AB

當(dāng)a≤1時A∩B僅含一個元素

11

例6、方程asin2xcosxa0,(0a1,0x)有相異兩實根,求a的取值范圍。

22

解：原不等式可化為2acos2xcosx10,令：tcosx則t[1,1]

設(shè)f(t)2at2t1又∵a>0

18a01

a

f(1)2a08

a0

f(1)2a20a1

a1

111

11a或a

4a44

三、小結(jié)：

四、練習(xí)：

五、作業(yè)：

1

1．log2x(a)logx10

1a1

22

111

當(dāng)a1或1a0時()ax()a

22,a1時x

111

當(dāng)0a1或a1時()aax()a

22

2．A{x|3xx1}B{x||x1|a,a0}若AB

求a的取值范圍(a≥1)

a

3．a(chǎn)23x2xa,(a0)(x0)

2

4．xlogax1a2x,(a0)

(當(dāng)0a1時a2xa2,當(dāng)a1時xa2或0xa2)

1

5．當(dāng)a在什么范圍內(nèi)方程：x2(loga4)xlog2a10有兩個

242

1

不同的負(fù)根(0,)(4,42)

4

6．若方程x2(m2)x5m0的兩根都對于2,求實數(shù)m的范圍。5,4

選修4_5不等式選講

課題：第07課時不等式的證明方法之一：比較法

目的要求：

重點難點：

教學(xué)過程：

一、引入：

要比較兩個實數(shù)的大小,只要考察它們的差的符號即可,即利用不等式的性質(zhì)：

abab0

abab0

abab0

二、典型例題：

例1、設(shè)ab,求證：a23b22b(ab)。

例2、若實數(shù)x1,求證：3(1x2x4)(1xx2)2.

證明：采用差值比較法：

3(1x2x4)(1xx2)2

=33x23x41x2x42x2x22x3

=2(x4x3x1)

=2(x1)2(x2x1)

13

=2(x1)2[(x)2].

24

13

x1,從而(x1)20,且(x)20,

24

13

∴2(x1)2[(x)2]0,

24

∴3(1x2x4)(1xx2)2.

討論：若題設(shè)中去掉x1這一限制條件,要求證的結(jié)論如何變換？

例3、已知a,bR,求證aabbabba.

本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進(jìn)行。

證明：1)差值比較法：注意到要證的不等式關(guān)于a,b對稱,不妨設(shè)ab0.

ab0

,從而原不等式得證。

aabbabbaabbb(aabbab)0

2）商值比較法：設(shè)ab0,

aaabba

1,ab0,()ab1.故原不等式得證。

babbab

注：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差

（或作商）、變形、判斷符號。

例4、甲、乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點。甲有一半時間以速度m行走,另一半時間

以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走,另一半路程以速度n行走。如果mn,問甲、乙兩人誰

先到達(dá)指定地點。

分析：設(shè)從出發(fā)地點至指定地點的路程是S,甲、乙兩人走完這段路程所用的時間分別為t,t。

12

要回答題目中的問題,只要比較t,t的大小就可以了。

12

解：設(shè)從出發(fā)地點至指定地點的路程是S,甲、乙兩人走完這段路程所用的時間分別為t,t,根

12

ttSS2SS(mn)

據(jù)題意有1m1nS,t,可得t,t,

222m2n21mn22mn

2SS(mn)S[4mn(mn)2]S(mn)2

從而tt,

12mn2mn2(mn)mn2(mn)mn

其中S,m,n都是正數(shù),且mn。于是tt0,即tt。

1212

從而知甲比乙首先到達(dá)指定地點。

討論：如果mn,甲、乙兩人誰先到達(dá)指定地點？

例5、設(shè)f(x)2x21,pq0,pq1.求證；對任意實數(shù)a,b,恒有

pf(a)qf(b)f(paqb).（1）

證明考慮（1）式兩邊的差。

pf(a)qf(b)f(paqb).

＝p(2a21)q(2b21)[2(paqb)21]

＝2p(1p)a22q(1q)b24pqabpq1.（2）

pq1,pq0,

(2)2pqa22pqb24pqab

2pq(ab)20.

即（1）成立。

三、小結(jié)：

四、練習(xí)：

五、作業(yè)：

1．比較下面各題中兩個代數(shù)式值的大?。?/p>

（1）x2與x2x1；（2）x2x1與(x1)2.

2a

2．已知a1.求證：（1）a22a1;（2）1.

1a2

abc

3．若abc0,求證aabbcc(abc)3.

4．比較a4-b4與4a3(a-b)的大?。?/p>

解：a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)

=(a-b)[(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)]=-(a-b)2(3a3+2ab+b2)

2

b2b2

=-(a-b)23a0(當(dāng)且僅當(dāng)d＝b時取等號)

33

∴a4-b44a3(a-b)。

5．比較(a+3)(a-5)與(a+2)(a-4)的大?。?/p>

6．已知x≠0,比較(x2+1)2與x4+x2+1的大?。?/p>

7．如果x>0,比較x12與x12的大小．

8．已知a≠0,比較a22a1a22a1與a2a1a2a1的大?。?/p>

9．設(shè)x1,比較x3與x2-x+1的大小．

說明：“變形”是解題的關(guān)鍵,是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個平方和等是“變形”

的常用方法。

閱讀材料：琴生不等式

例5中的不等式pf(a)qf(b)f(paqb)有著重要的數(shù)學(xué)背景,它與高等數(shù)學(xué)中的一類凸函

數(shù)有著密切的關(guān)系,也是琴生（Jensen）不等式的特例。

琴生在1905年給出了一個定義：

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為[a,b],如果對于[a,b]內(nèi)任意兩數(shù)x,x,都有

12

xxf(x)f(x)

f1212.（1）

2