數(shù)分課件第十六章

§3二元函數(shù)的連續(xù)性一、二元函數(shù)的連續(xù)性二、有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定義2

一二元函數(shù)的連續(xù)性概念設(shè)z=f(X)=f(x,y),在區(qū)域D上有定義.則稱f(X)在X0

連續(xù),X0

稱為f(X)的連續(xù)點.否則稱f(X)在X0

間斷,X0

稱為f(X)的間斷點.X=(x,y)D,X0

=(x0,y0)D,1.二元函數(shù)連續(xù)的概念若f(X)在D

上每一點都連續(xù),則稱f(X)在D上連續(xù),記為f(X)C(D).

易知,例2中f(x,y)在(0,0)間斷(極限不存在),每一點都間斷.注1.二元函數(shù)f(X)在X0

連續(xù)必須滿足三個條件.在X0有定義,在X0的極限存在,兩者相等,2.多元連續(xù)函數(shù)的和,差,積,商(分母不為0)以及多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合仍是多元連續(xù)函數(shù).定義可推廣到三元以上函數(shù)中去.多元初等函數(shù)：由多元多項式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)。一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的．定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域．在定義區(qū)域內(nèi)的連續(xù)點求極限可用“代入法”：2.連續(xù)函數(shù)性質(zhì)：

（2）兩個連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（若分母不為０）都是連續(xù)函數(shù)；例1求極限

解是多元初等函數(shù)。定義域：于是，（不連通）例2解例3

討論函數(shù)在(0,0)處的連續(xù)性．解取故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).當(dāng)時例4

討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．解取其值隨k的不同而變化，極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．3.多元初等函數(shù)在它有定義的區(qū)域內(nèi)都是連續(xù)的.所謂多元初等函數(shù)是指以x,y,z,…為自變量的基本初等函數(shù)f(x),(y),g(z),…以及常函數(shù),經(jīng)有限次四則運算和復(fù)合所構(gòu)成的函數(shù).如f(x)=exy

·sin(x2+y),=e0·sin0=0.4.二元連續(xù)函數(shù)的幾何意義:定義在區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù)z=f(X)=f(x,y)表示了在D上的一片沒有"空洞",沒有"裂縫"的連續(xù)曲面.這里條件"D是一區(qū)域"是必要的.若D不是區(qū)域,z=f(X)可能不是通常意義下的連續(xù)曲面.例.設(shè)D={(x,y)|x,y

均為有理數(shù)}R2.z=f(x,y)是定義在D上的,在D上恒等于1,在別的點上無定義的函數(shù),即f(x,y)=1,當(dāng)(x,y)D時,無定義,當(dāng)(x,y)D時.

如圖xyzo1可知,(x0,y0)D,但曲面z=f(x,y)不是通常意義下的連續(xù)曲面.

二有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1.性質(zhì)2.有界閉域

,連續(xù)

,有界閉域

,連續(xù)

,6.若在某一區(qū)域內(nèi)對變量為連續(xù)，對變量滿足李普希茲條件，即對任何有其中為常數(shù)，則此函數(shù)在內(nèi)連續(xù)。證明因為對變量連續(xù)，所以使得當(dāng)時，取當(dāng)