幾類特殊函數(shù)及應用

幾類特殊函數(shù)及應用I．理論基礎·解題原理（I）對勾函數(shù)對勾函數(shù)的定義形如的函數(shù)，叫做對勾函數(shù)．對勾函數(shù)的圖象與性質定義域值域當時，（當且僅當，即時取等號）．當時，（當且僅當，即時取等號）．函數(shù)的值域為．奇偶性由于雙勾函數(shù)定義域關于原點對稱，，則對勾函數(shù)為奇函數(shù)．單調性由于，令，解得或，令，解得或，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)．漸近線當時，，當時，，說明函數(shù)的的圖象在第一、第三象限．當時，，說明函數(shù)在第一象限的圖象在直線的上方，當時，，，說明函數(shù)在第三象限的圖象在直線的下方．雙勾函數(shù)就是以軸和直線為漸近線的雙曲線．（II）絕對值函數(shù)一、絕對值函數(shù)的定義：形如的函數(shù)，叫做絕對值函數(shù)．含絕對值的函數(shù)本質上是分段函數(shù)，往往需要先去絕對值再結合函數(shù)圖像進行研究，由于去絕對值函數(shù)大多要涉及到分類討論，對能力要求較高，故備受高考命題者青睞，高考?？嫉闹饕幸韵?類：1．形如的函數(shù)，研究此類函數(shù)往往結合圖像，可以看成由的圖像在軸上方部分不變，下方部分關于軸對稱得到；2．形如的函數(shù)，此類函數(shù)是偶函數(shù)，因此可以先研究的情況，的情況可以根據對稱性得到；3．函數(shù)解析式中部分含有絕對值，如，等，這種函數(shù)是普通的分段函數(shù)，一般先去絕對值，再結合圖像進行研究．絕對值函數(shù)的圖象與性質定義域：R；值域：；單調性：函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)．（III）取整函數(shù)取整函數(shù)的定義若x為實數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)，則函數(shù)叫做取整函數(shù)．舉例如下：等．IV．題型攻略·深度挖掘【考試方向】這類試題在考查題型上，可以是選擇題或填空題，也可以是解答題，難度較大，往往與函數(shù)的單調性、奇偶性、周期性及對稱性有聯(lián)系，主要考查函數(shù)的性質的應用等．【技能方法】解決此類問題一般要把先求函數(shù)的定義域，在定義域內研究函數(shù)的相關性質．最好先畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合思想，解決相應問題．【易錯指導】注意定義域先行原則，必須先求出函數(shù)的定義域，在定義域內解決相應問題．V．舉一反三·觸類旁通考向1對勾函數(shù)【例1】【2018河北唐山模擬】已知，，則（）A．B．C．D．【例2】【2018云南省師大附中模擬】若函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則實數(shù)t的取值范圍是（）A．B．C．D．【例3】【2017山西四校聯(lián)考】若函數(shù)的導函數(shù)在區(qū)間（1，2）上有零點，則在下列區(qū)間上單調遞增的是A．B．C．D．【例4】【2018吉林百校聯(lián)盟高三九月聯(lián)考】已知函數(shù)函數(shù)，則下列說法錯誤的是（）A．若，則函數(shù)無零點B．若，則函數(shù)有零點C．若，則函數(shù)有一個零點D．若，則函數(shù)有兩個零點【跟蹤練習】1．若函數(shù)，則下列結論正確的是（）2．關于函數(shù)有下列命題：（1）其圖象關于y軸對稱；（2）函數(shù)f(x)在上單調遞增，在上單調遞減；（3）函數(shù)f(x)的最小值為；（4）函數(shù)f(x)在上單調遞增；（5）函數(shù)f(x)無最大值，也無最小值其中所有正確結論的序號是（）3．函數(shù)的最大值為______4．求函數(shù)在下列條件下的值域：(1)；(2)5．已知函數(shù)其中常數(shù)a>0．(1)證明:函數(shù)f(x)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；(2)利用(1)的結論，求函數(shù)(x∈[4，6])的值域；(3)借助(1)的結論，試指出函數(shù)的單調區(qū)間，不必證明．考向2絕對值函數(shù)【例5】【2017云南昆明下學期第二次統(tǒng)測】已知關于的方程有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【例6】已知函數(shù)，若方程有四個不同的解，，，，且，則的取值范圍是（）B．C．D．【例7】【2018上海交通大學附中高三上學期開學摸底考試】已知函數(shù)，設，若關于的不等式在上恒成立，則的取值范圍是__________．【例8】【2015高考湖北卷】為實數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值記為．當時，的值最?。纠?】函數(shù)，關于的方程恰有三個不同實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為．【例10】【2018廣東廣州模擬】已知函數(shù)(1)證明：函數(shù)是偶函數(shù)；(2)利用絕對值及分段函數(shù)知識，將函數(shù)解析式寫成分段函數(shù)的形式，然后畫出函數(shù)圖像（草圖），并寫出函數(shù)的值域；(3)在同一坐標系中畫出直線，觀察圖像寫出不等式的解集．【跟蹤練習】1．【2018浙江臺州模擬】函數(shù)，其中，若動直線與函數(shù)的圖像有三個不同的交點，它們的橫坐標分別，則的最大值為（）A．4 B．3 C．2 D．12．【2018北京西城區(qū)模擬】設函數(shù)（1）如果，那么實數(shù)___；（2）如果函數(shù)有且僅有兩個零點，那么實數(shù)的取值范圍是___．3．設函數(shù)為常數(shù)）（1）a=2時，討論函數(shù)的單調性；（2）若a>-2，函數(shù)的最小值為2，求a的值．考向3取整函數(shù)與程序框圖【例11】【2018山西四校聯(lián)考】執(zhí)行圖中的程序框圖（其中表示不超過的最大整數(shù)），則輸出的值為A．5B．7C．9D．12考向4取整函數(shù)與函數(shù)的周期性【例12】【2018陜西西北工業(yè)大學附中模擬】x為實數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)，則函數(shù)在上為()A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．增函數(shù)D．周期函數(shù)【例13】【2017重慶一中高三上學期一診模擬考試】高斯是德國著名的數(shù)學家，享有“數(shù)學王子”之稱，以他的名字“高斯”命名的成果達110個，設，用表示不超過的最大整數(shù)，并用表示的非負純小數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，已知數(shù)列滿足：，則__________．【跟蹤練習】1．【2018重慶銅梁一中高三上學期第一次月考】閱讀下列一段材料，然后解答問題：對于任意實數(shù)，符號表示“不超過的最大整數(shù)”，在數(shù)軸上，當是整數(shù)，就是，當不是整數(shù)時，是點左側的第一個整數(shù)點，這個函數(shù)叫做“取整函數(shù)”，也叫高斯（Gauss）函數(shù)．如．求的值為（）A．0B．-2C．-1D．12．【2018江蘇南京模擬】函數(shù)稱為高斯函數(shù)，又稱取整函數(shù)，對任意實數(shù)是不超過的最大整數(shù)，則函數(shù)的值域為．3．【2018福建三明模擬】對于任意，令為不大于的最大整數(shù)，則函數(shù)稱為高斯函數(shù)或取整函數(shù)．若數(shù)列滿足，且數(shù)列的前項和為，則等于．考向5取整函數(shù)與函數(shù)的零點【例14】【2018天津南開中學第三次月考】已知符號表示不超過的最大整數(shù)，若函數(shù)有且僅有3個零點，則的取值范圍是．【例15】【2018杭州重點中學聯(lián)考】已知，符號表示不超過x的最大整數(shù)，若函數(shù)有且僅有3個零點，則的取值范圍是【跟蹤練習】1．【2018福建省莆田模擬】在計算機的算法語言中有一種函數(shù)叫做取整函數(shù)（也稱高斯函數(shù)），表示不超過的最大整數(shù)．例如：．設函數(shù)，則函數(shù)的值域為（）A．B．C．D．2．某學校要招開學生代表大會，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時再增選一名代表．那么