用211橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

用211橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程第1頁/共51頁如何精確地設(shè)計、制作、建造出現(xiàn)實(shí)生活中這些橢圓形的物件呢？生活中的橢圓第2頁/共51頁太陽系第3頁/共51頁思考數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)(1)取一條細(xì)繩，(2)把它的兩端固定在板上的兩個定點(diǎn)F1、F2(3)用鉛筆尖（M）把細(xì)繩拉緊，在板上慢慢移動看看畫出的圖形1.在橢圓形成的過程中，細(xì)繩的兩端的位置是固定的還是運(yùn)動的？2.在畫橢圓的過程中，繩子的長度變了沒有？說明了什么？3.在畫橢圓的過程中，繩子長度與兩定點(diǎn)距離大小有怎樣的關(guān)系？第4頁/共51頁請你歸納出橢圓的定義,它應(yīng)該包含幾個要素?F2F1M(1)由于繩長固定，所以點(diǎn)M到兩個定點(diǎn)的距離和是個定值（2）點(diǎn)M到兩個定點(diǎn)的距離和要大于兩個定點(diǎn)之間的距離第5頁/共51頁（一）橢圓的定義平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（2a）（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓。定點(diǎn)F1、F2叫做橢圓的焦點(diǎn)。兩焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距（2C）。橢圓定義的文字表述：橢圓定義的符號表述：(2a>2c)MF2F1第6頁/共51頁小結(jié)：橢圓的定義需要注意以下幾點(diǎn)1.平面上----這是大前提2.動點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和是常數(shù)2a3.常數(shù)2a要大于焦距2C思考：1.當(dāng)2a>2c時,軌跡是（）橢圓2.當(dāng)2a=2c時,軌跡是一條線段,是以F1、F2為端點(diǎn)的線段．3.當(dāng)2a<2c時,無軌跡,圖形不存在.4.當(dāng)c=0時,軌跡為圓．第7頁/共51頁繩長＝第8頁/共51頁繩長＜第9頁/共51頁

求曲線方程的方法步驟是什么？建系設(shè)點(diǎn)列式代換化簡建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系；設(shè)M（x,y）是曲線上任意一點(diǎn)；由限制條件，列出幾何等式，寫出適合條件P的點(diǎn)M的集合P={M|P(M)}用坐標(biāo)法表示條件P(M)，列出方程f(x,y)=0，化簡方程f(x,y)=0.第10頁/共51頁解：取過焦點(diǎn)F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(如圖).

設(shè)M(x,y)是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的焦距2c(c>0)，M與F1和F2的距離的和等于正常數(shù)2a(2a>2c)

，則F1、F2的坐標(biāo)分別是(c,0)、(c,0).xF1F2M0y（問題：下面怎樣化簡？）由橢圓的定義得，限制條件：代入坐標(biāo)(二)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)第11頁/共51頁兩邊除以得由橢圓定義可知整理得兩邊再平方，得移項(xiàng)，再平方第12頁/共51頁總體印象：對稱、簡潔，“像”直線方程的截距式焦點(diǎn)在y軸：焦點(diǎn)在x軸：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1oFyx2FM12yoFFMx

F1（-c，0）、F2（c，0）

F1（0，-c）、F2（0，c）

第13頁/共51頁OXYF1F2M(-c,0)(c,0)YXOF1F2M(0,-c)(0,c)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的再認(rèn)識：（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1（3）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個參數(shù)a、b、c滿足a2=b2+c2（4）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個參數(shù)a、b、c的值（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，x2與y2的分母哪一個大，則焦點(diǎn)在哪一個軸上第14頁/共51頁1.口答：下列方程哪些表示橢圓？

若是,則判定其焦點(diǎn)在何軸？并指明，寫出焦點(diǎn)坐標(biāo).?判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)在哪個軸上的準(zhǔn)則：焦點(diǎn)在分母大的那個軸上。（三）嘗試應(yīng)用第15頁/共51頁2、求出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

已知兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-4,0)、(4,0)，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離的和等于10；變式一:將上題焦點(diǎn)改為(0，-4)、(0，4)，結(jié)果如何？變式二:將上題改為兩個焦點(diǎn)的距離為8，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離和等于10，結(jié)果如何？當(dāng)焦點(diǎn)在X軸時，方程為：當(dāng)焦點(diǎn)在Y軸時，方程為：第16頁/共51頁3、填空：已知橢圓的方程為：，則a=_____，b=_______，c=_______，焦點(diǎn)坐標(biāo)為：____________焦距等于______;若CD為過左焦點(diǎn)F1的弦，則?F2CD的周長為________例題543(3,0)、(-3,0)6２0F1F2CD判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)在哪個軸上的準(zhǔn)則：

焦點(diǎn)在分母大的那個軸上。|CF1|+|CF2|=2a第17頁/共51頁例1、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：法一:c=2法二:c=2設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為:2a=P+P

兩個焦點(diǎn)分別是(-2，0)，(2，0)，且過點(diǎn)P（四）典例分析第18頁/共51頁例2、如圖，在圓上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足。當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？分析：點(diǎn)P在圓上運(yùn)動，點(diǎn)P的運(yùn)動引起點(diǎn)M運(yùn)動。解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0)，則

x=x0,y=y0/2.因?yàn)辄c(diǎn)P(x0,y0)在圓上，所以把x0=x,y0=2y代入方程(1)，得即所以點(diǎn)M的軌跡是一個橢圓。第19頁/共51頁解：變式：將圓x2+y2=4上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话耄笏那€的方程，并說明它是什么曲線？yxo設(shè)所的曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）,圓＝４上的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（x’，y’），由題意可得：因?yàn)椋剑此约?）將圓按照某個方向均勻地壓縮（拉長），可以得到橢圓。2）利用中間變量求點(diǎn)的軌跡方程的方法是解析幾何中常用的方法；同例2第20頁/共51頁例3、如圖，設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(-5,0),(5,0)。直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是，求點(diǎn)M的軌跡方程。解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y)，因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)是，所以直線

AM的斜率同理，直線BM的斜率由已知有化簡，得點(diǎn)M的軌跡方程為第21頁/共51頁小結(jié)：求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法一種方法：二類方程:三個意識：求美意識，求簡意識，前瞻意識第22頁/共51頁分母哪個大，焦點(diǎn)就在哪個軸上平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于F1F2）的點(diǎn)的軌跡標(biāo)準(zhǔn)方程不同點(diǎn)相同點(diǎn)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)定義a、b、c的關(guān)系焦點(diǎn)位置的判斷xyF1F2POxyF1F2PO第23頁/共51頁作業(yè)第2題《自主學(xué)習(xí)叢書》P30—P32第24頁/共51頁則a＝

，b＝

；則a＝

，b＝

；5346口答：則a＝

，b＝

；則a＝

，b＝

．3第25頁/共51頁0<b<9鞏固訓(xùn)練：a>3第26頁/共51頁表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范

圍是

.(1,2)變式：已知方程

3.橢圓mx2+ny2=-mn(m<n<0)的焦點(diǎn)是

.若方程表示橢圓呢?第27頁/共51頁5：求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)焦點(diǎn)為F1(0,－3),F2(0,3),且a=5.答案：(1)a=,b=1,焦點(diǎn)在x軸上;(3)兩個焦點(diǎn)分別是F1(－2,0)、F2(2,0),且過P(2,3)點(diǎn)；

(4)經(jīng)過點(diǎn)P(－2,0)和Q(0,－3).小結(jié)：求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：①定位：確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸；②定量：求a,b的值.第28頁/共51頁6、若動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1(－4,0)，

F2(4,0)的距離之和為8，則動點(diǎn)

P的軌跡為（）

A.橢圓B.線段F1F2

C.直線F1F2

D.不存在B第29頁/共51頁7：已知B，C是兩個定點(diǎn)，|BC|=6，且三角形ABC的周長為16，求頂點(diǎn)A的軌跡方程． 解：1)建立直角坐標(biāo)系：使x軸經(jīng)過點(diǎn)B、C，使原點(diǎn)O與B、C重合

B（-3，0），C（3，0）

2)設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）由|AB|+|AC|+|BC|=16，|BC|=6，即|AB|+|AC|=10

BC（用軌跡法）O化簡可得方程：A當(dāng)點(diǎn)A在直線BC上，即y=0時，A、B、C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形．所以A點(diǎn)的軌跡方程為：（y0）．xy第30頁/共51頁7：已知B，C是兩個定點(diǎn)，|BC|=6，且三角形ABC的周長為16，求頂點(diǎn)A的軌跡方程．分析：1，由三角形ABC的周長是16，可得：

|AB|+|AC|+|BC|=16，即|AB|+|AC|=102，必須建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，確定橢圓的形式BCA第31頁/共51頁7：已知B，C是兩個定點(diǎn)，|BC|=6，且三角形ABC的周長為16，求頂點(diǎn)A的軌跡方程．解：建立直角坐標(biāo)系，使x軸經(jīng)過點(diǎn)B，C，使原點(diǎn)O與

BC的中點(diǎn)重合，B（-3，0），C（3，0）由|AB|+|AC|+|BC|=16，|BC|=6，即|AB|+|AC|=10所以點(diǎn)A的軌跡是橢圓．設(shè)方程為：橢圓方程為：當(dāng)點(diǎn)A在直線BC上，即y=0時，A、B、C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形．所以A點(diǎn)的軌跡方程為：（y0）．BCAxy第32頁/共51頁8、已知圓A：(x＋3)2＋y2＝100，圓A內(nèi)一定點(diǎn)B(3，0)，圓P過B點(diǎn)且與圓A內(nèi)切，求圓心P的軌跡方程．解：設(shè)｜PB｜＝r．∵圓P與圓A內(nèi)切，圓A的半徑為10．∴兩圓的圓心距｜PA｜＝10－r，即｜PA｜＋｜PB｜＝10(大于｜AB｜)．∴點(diǎn)P的軌跡是以A、B兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓．∴2a＝10，2c＝｜AB｜＝6，∴a＝5，c＝3．∴b2＝a2－c2＝25－9＝16．即點(diǎn)P的軌跡方程為＝1．第33頁/共51頁例：第34頁/共51頁例3：平面內(nèi)兩個定點(diǎn)的距離是8，寫出到這兩個定點(diǎn)距離之和是10的點(diǎn)的軌跡方程。解：這個軌跡是一個橢圓。兩個定點(diǎn)是焦點(diǎn)，用F1、F2表示，取過點(diǎn)F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系?！?a=102c=8∴a=5c=4b2=a2c2=9,b=3因此這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：yoBCAx定義法求軌跡方程。第35頁/共51頁變題1:已知△ABC的一邊BC固定，長為8，周長為18，求頂點(diǎn)A的軌跡方程。.解：以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系。根據(jù)橢圓的定義知所求軌跡方程是橢圓，且焦點(diǎn)在軸上，所以可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：yoBCAx∵2a=10,2c=8∴a=5,c=4∴b2=a2－c2=52－42=9∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:

注意：求出曲線的方程后，要注意檢查一下

方程的曲線上的點(diǎn)是否都是符合題意。第36頁/共51頁例4、寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)a=4，b=1，焦點(diǎn)在x

軸上；

(2)a=4，b=1，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上；

(3)兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，-2）和（0，2），并且經(jīng)過點(diǎn)P（

-1.5，2.5）.解：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為∵

c=2，且c2=a2

-b2

∴4=a2-

b2……①又∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)∴……②聯(lián)立①②可求得：∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(法一)xyF1F2P或第37頁/共51頁(法二)

因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為由橢圓的定義知，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為第38頁/共51頁練習(xí)：求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)焦點(diǎn)為F1(0,－3),F2(0,3),且a=5.答案：(1)a=,b=1,焦點(diǎn)在x軸上;(3)兩個焦點(diǎn)分別是F1(－2,0)、F2(2,0),且過P(2,3)點(diǎn)；

(4)經(jīng)過點(diǎn)P(－2,0)和Q(0,－3).小結(jié)：求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：①定位：確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸；②定量：求a,b的值.第39頁/共51頁例5：已知一個運(yùn)油車上的貯油罐橫截面的外輪廓線是一個橢圓，它的焦距為2.4m，外輪廓線上的點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)距離的和為

3m，求這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：以兩焦點(diǎn)F1、F2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為

y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy，則這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為根據(jù)題意有即因此，這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為xyOF1F2第40頁/共51頁解：例1：將圓x2+y2=4上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，求所的曲線的方程，并說明它是什么曲線？yxo設(shè)所的曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）,圓＝４上的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（x’，y’），由題意可得：因?yàn)椋剑此约?）將圓按照某個方向均勻地壓縮（拉長），可以得到橢圓。2）利用中間變量求點(diǎn)的軌跡方程的方法是解析幾何中常用的方法；第41頁/共51頁練習(xí)(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距離之和為6的點(diǎn)的軌跡。(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距離之和為4的點(diǎn)的軌跡。(3)到F1(-2,0)、F2(0,2)的距離之和為3的點(diǎn)的軌跡。解

(1)因|MF1|+|MF2|=6>|F1F2|=4，故點(diǎn)M的軌跡為橢圓。(2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故點(diǎn)M的軌跡不是橢圓(是線段F1F2)。第42頁/共51頁1、已知一個圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2，從這個圓上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段PP’，延長P’P至M,使P’M=2P’P，求點(diǎn)M的軌跡。2、已知一個圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2，從這個圓上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段PP’。求線段PP’上使PM=2MP’的點(diǎn)M的軌跡。3、已知一個圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2，從這個圓上任意一點(diǎn)P向y軸作垂線段PP’。求PP’上PP’=-3P’M的點(diǎn)M的軌跡。練習(xí)第43頁/共51頁

例2已知圓A：(x＋3)2＋y2＝100，圓A內(nèi)一定點(diǎn)B(3，0)，圓P過B點(diǎn)且與圓A內(nèi)切，求圓心P的軌跡方程．解：設(shè)｜PB｜＝r．∵圓P與圓A內(nèi)切，圓A的半徑為10．∴兩圓的圓心距｜PA｜＝10－r，即｜PA｜＋｜PB｜＝10(大于｜AB｜)．∴點(diǎn)P的軌跡是以A、B兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓．∴2a＝10，2c＝｜AB｜＝6，∴a＝5，c＝3．∴b2＝a2－c