線性代數(shù)第一章行列式演示文稿

線性代數(shù)第一章行列式演示文稿現(xiàn)在是1頁\一共有108頁\編輯于星期三優(yōu)選線性代數(shù)第一章行列式ppt現(xiàn)在是2頁\一共有108頁\編輯于星期三現(xiàn)在是3頁\一共有108頁\編輯于星期三同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)[M].第六版.北京：高等教育出版社，2014.現(xiàn)在是4頁\一共有108頁\編輯于星期三課程簡介：

“線性代數(shù)”是一門本科階段必修的主干課程，課程內(nèi)容主要包括矩陣和向量的基本理論、基本方法及它們在解方程組中的應(yīng)用。通過本課程的學(xué)習(xí)，一方面使學(xué)生比較系統(tǒng)的理解線性代數(shù)的基本概念和基本理論，掌握基本方法，為今后的專業(yè)學(xué)習(xí)打下良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。另一方面培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力、空間想象能力、綜合運(yùn)用所學(xué)的知識來分析和解決實(shí)際問題的能力?，F(xiàn)在是5頁\一共有108頁\編輯于星期三現(xiàn)在是6頁\一共有108頁\編輯于星期三第一章行列式內(nèi)容提要

§1二階與三階行列式

§2全排列和對換

§3n

階行列式的定義

§4行列式的性質(zhì)

§5行列式按行（列）展開

行列式的概念.行列式的計(jì)算.現(xiàn)在是7頁\一共有108頁\編輯于星期三在以往的學(xué)習(xí)中，我們接觸過二元、三元等簡單的線性方程組.但是，從許多實(shí)踐或理論問題里導(dǎo)出的線性方程組常常含有相當(dāng)多的未知量，并且未知量的個(gè)數(shù)與方程的個(gè)數(shù)也不一定相等.現(xiàn)在是8頁\一共有108頁\編輯于星期三我們先討論未知量的個(gè)數(shù)與方程的個(gè)數(shù)相等的特殊情形.在討論這一類線性方程組時(shí)，我們引入行列式這個(gè)計(jì)算工具.現(xiàn)在是9頁\一共有108頁\編輯于星期三§1

二階與三階行列式我們從最簡單的二元線性方程組出發(fā)，探求其求解公式，并設(shè)法化簡此公式.現(xiàn)在是10頁\一共有108頁\編輯于星期三一、二元線性方程組與二階行列式二元線性方程組由消元法，得當(dāng)時(shí)，該方程組有唯一解現(xiàn)在是11頁\一共有108頁\編輯于星期三求解公式為二元線性方程組

請觀察，此公式有何特點(diǎn)？分母相同，由方程組的四個(gè)系數(shù)確定.分子、分母都是四個(gè)數(shù)分成兩對相乘再相減而得.現(xiàn)在是12頁\一共有108頁\編輯于星期三其求解公式為二元線性方程組我們引進(jìn)新的符號來表示“四個(gè)數(shù)分成兩對相乘再相減”.記號數(shù)表表達(dá)式稱為由該數(shù)表所確定的二階行列式，即其中，稱為元素.i為行標(biāo)，表明元素位于第i行；j為列標(biāo)，表明元素位于第j

列.原則：橫行豎列現(xiàn)在是13頁\一共有108頁\編輯于星期三二階行列式的計(jì)算主對角線副對角線即：主對角線上兩元素之積－副對角線上兩元素之積——對角線法則現(xiàn)在是14頁\一共有108頁\編輯于星期三二元線性方程組若令(方程組的系數(shù)行列式)則上述二元線性方程組的解可表示為現(xiàn)在是15頁\一共有108頁\編輯于星期三例1求解二元線性方程組解

因?yàn)樗袁F(xiàn)在是16頁\一共有108頁\編輯于星期三二、三階行列式定義

設(shè)有9個(gè)數(shù)排成3行3列的數(shù)表原則：橫行豎列引進(jìn)記號稱為三階行列式.主對角線副對角線二階行列式的對角線法則并不適用！現(xiàn)在是17頁\一共有108頁\編輯于星期三三階行列式的計(jì)算——對角線法則注意：對角線法則只適用于二階與三階行列式.實(shí)線上的三個(gè)元素的乘積冠正號，虛線上的三個(gè)元素的乘積冠負(fù)號.現(xiàn)在是18頁\一共有108頁\編輯于星期三例2

計(jì)算行列式解按對角線法則，有現(xiàn)在是19頁\一共有108頁\編輯于星期三方程左端解由得例3

求解方程現(xiàn)在是20頁\一共有108頁\編輯于星期三練習(xí)1：利用對角線法則計(jì)算下列三階行列式：現(xiàn)在是21頁\一共有108頁\編輯于星期三§2

全排列及其對換主要內(nèi)容：一、排列及其逆序數(shù)二、對換的定義三、對換與排列奇偶性的關(guān)系現(xiàn)在是22頁\一共有108頁\編輯于星期三引例用1、2、3三個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解123123百位3種放法十位1231個(gè)位1232種放法1種放法種放法.共有一、排列及其逆序數(shù)現(xiàn)在是23頁\一共有108頁\編輯于星期三問題把n個(gè)不同的元素排成一列，共有多少種不同的排法？定義把n個(gè)不同的元素排成一列，叫做這n個(gè)元素的全排列.n個(gè)不同元素的所有排列的種數(shù)，通常用Pn表示.顯然即n個(gè)不同的元素一共有n!種不同的排法.現(xiàn)在是24頁\一共有108頁\編輯于星期三所有6種不同的排法中，只有一種排法（123）中的數(shù)字是按從小到大的自然順序排列的，而其他排列中都有大的數(shù)排在小的數(shù)之前.因此大部分的排列都不是“順序”，而是“逆序”.

3個(gè)不同的元素一共有3!=6種不同的排法123，132，213，231，312，321現(xiàn)在是25頁\一共有108頁\編輯于星期三26對于n個(gè)不同的元素，可規(guī)定各元素之間的標(biāo)準(zhǔn)次序.n個(gè)不同的自然數(shù)，規(guī)定從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.定義

當(dāng)某兩個(gè)元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時(shí)，就稱這兩個(gè)元素組成一個(gè)逆序.例如在排列32514中，32514逆序逆序逆序思考題：還能找到其它逆序嗎？答：3和1，2和1也構(gòu)成逆序.現(xiàn)在是26頁\一共有108頁\編輯于星期三定義排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù).排列的逆序數(shù)通常記為.奇排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列.偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列.思考題：符合標(biāo)準(zhǔn)次序的排列是奇排列還是偶排列？答：符合標(biāo)準(zhǔn)次序的排列（例如：123）的逆序數(shù)等于零，因而是偶排列.現(xiàn)在是27頁\一共有108頁\編輯于星期三計(jì)算排列的逆序數(shù)的方法則此排列的逆序數(shù)為設(shè)是1,2,…,n這n個(gè)自然數(shù)的任一排列，并規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.先看有多少個(gè)比大的數(shù)排在前面，記為；再看有多少個(gè)比大的數(shù)排在前面，記為;……最后看有多少個(gè)比大的數(shù)排在前面，記為;現(xiàn)在是28頁\一共有108頁\編輯于星期三例1：求排列32514的逆序數(shù).解：練習(xí)1：求排列453162的逆序數(shù).解：思考1：設(shè)n階排列a1a2

…an-1

an的逆序數(shù)為k，求n階排列anan-1

…a2

a1的逆序數(shù)？解：現(xiàn)在是29頁\一共有108頁\編輯于星期三練習(xí)：計(jì)算下列排列的逆序數(shù)，并討論其奇偶性現(xiàn)在是30頁\一共有108頁\編輯于星期三二、對換的定義定義在排列中，將任意兩個(gè)元素對調(diào)，其余的元素不動，這種作出新排列的手續(xù)叫做對換．將相鄰兩個(gè)元素對換，叫做相鄰對換．例如現(xiàn)在是31頁\一共有108頁\編輯于星期三備注相鄰對換是對換的特殊情形.一般的對換可以通過一系列的相鄰對換來實(shí)現(xiàn).如果連續(xù)施行兩次相同的對換，那么排列就還原了.m次相鄰對換

m+1次相鄰對換

m次相鄰對換

m+1次相鄰對換

現(xiàn)在是32頁\一共有108頁\編輯于星期三三、對換與排列奇偶性的關(guān)系定理1

對換改變排列的奇偶性.證明先考慮相鄰對換的情形．現(xiàn)在是33頁\一共有108頁\編輯于星期三注意到除外，其它元素的逆序數(shù)不改變.現(xiàn)在是34頁\一共有108頁\編輯于星期三當(dāng)時(shí)，，，.當(dāng)時(shí)，，，.因此相鄰對換改變排列的奇偶性.現(xiàn)在是35頁\一共有108頁\編輯于星期三既然相鄰對換改變排列的奇偶性，那么2m+1次相鄰對換因此，一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對換，排列的奇偶性改變.推論奇排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為偶數(shù).

由定理1知，對換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù)，而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列(逆序數(shù)為零)，因此可知推論成立.證明現(xiàn)在是36頁\一共有108頁\編輯于星期三現(xiàn)在是37頁\一共有108頁\編輯于星期三現(xiàn)在是38頁\一共有108頁\編輯于星期三因?yàn)閿?shù)的乘法是可以交換的，所以n個(gè)元素相乘的次序是可以任意的，即每作一次交換，元素的行標(biāo)與列標(biāo)所成的排列與都同時(shí)作一次對換，即與同時(shí)改變奇偶性，但是這兩個(gè)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變.現(xiàn)在是39頁\一共有108頁\編輯于星期三于是與同時(shí)為奇數(shù)或同時(shí)為偶數(shù).即是偶數(shù).因?yàn)閷Q改變排列的奇偶性，是奇數(shù)，也是奇數(shù).設(shè)對換前行標(biāo)排列的逆序數(shù)為

，列標(biāo)排列的逆序數(shù)為

.所以是偶數(shù)，因此，交換中任意兩個(gè)元素的位置后，其行標(biāo)排列與列標(biāo)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變.設(shè)經(jīng)過一次對換后行標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為現(xiàn)在是40頁\一共有108頁\編輯于星期三經(jīng)過一次對換是如此，經(jīng)過多次對換還是如此.所以，在一系列對換之后有現(xiàn)在是41頁\一共有108頁\編輯于星期三定理2

n階行列式也可定義為定理3

n階行列式也可定義為現(xiàn)在是42頁\一共有108頁\編輯于星期三例1

試判斷

和是否都是六階行列式中的項(xiàng).解下標(biāo)的逆序數(shù)為所以是六階行列式中的項(xiàng).

行標(biāo)和列標(biāo)的逆序數(shù)之和所以不是六階行列式中的項(xiàng).現(xiàn)在是43頁\一共有108頁\編輯于星期三例2

用行列式的定義計(jì)算現(xiàn)在是44頁\一共有108頁\編輯于星期三解現(xiàn)在是45頁\一共有108頁\編輯于星期三1.對換改變排列奇偶性．2.行列式的三種表示方法三、小結(jié)現(xiàn)在是46頁\一共有108頁\編輯于星期三§1.3

n階行列式的定義第1章行列式1.1二階與三階行列式1.2全排列和對換1.3n階行列式的定義1.4行列式的性質(zhì)1.5行列式按行（列）展開現(xiàn)在是47頁\一共有108頁\編輯于星期三一、概念的引入規(guī)律：三階行列式共有6項(xiàng)，即3!項(xiàng)．每一項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的乘積．每一項(xiàng)可以寫成（正負(fù)號除外），其中是1、2、3的某個(gè)排列.當(dāng)是偶排列時(shí)，對應(yīng)的項(xiàng)取正號；當(dāng)是奇排列時(shí)，對應(yīng)的項(xiàng)取負(fù)號.現(xiàn)在是48頁\一共有108頁\編輯于星期三所以，三階行列式可以寫成

其中表示對1、2、3的所有排列求和.二階行列式有類似規(guī)律.下面將行列式推廣到一般的情形.現(xiàn)在是49頁\一共有108頁\編輯于星期三二、n階行列式的定義

n

階行列式共有

n!項(xiàng)．每一項(xiàng)都是位于不同行不同列的

n

個(gè)元素的乘積．每一項(xiàng)可以寫成（正負(fù)號除外），其中是1,2,…,n的某個(gè)排列.當(dāng)是偶排列時(shí)，對應(yīng)的項(xiàng)取正號；當(dāng)是奇排列時(shí)，對應(yīng)的項(xiàng)取負(fù)號.簡記作，其中為行列式D的(i,j)元現(xiàn)在是50頁\一共有108頁\編輯于星期三思考題：成立嗎？答：符號可以有兩種理解：若理解成絕對值，則；若理解成一階行列式，則.注意：當(dāng)n=1時(shí)，一階行列式|a|=a，注意不要與絕對值的記號相混淆.例如：一階行列式.現(xiàn)在是51頁\一共有108頁\編輯于星期三例：寫出四階行列式中含有因子的項(xiàng).例：計(jì)算行列式解：和現(xiàn)在是52頁\一共有108頁\編輯于星期三解：其中現(xiàn)在是53頁\一共有108頁\編輯于星期三現(xiàn)在是54頁\一共有108頁\編輯于星期三四個(gè)結(jié)論：(1)對角行列式(2)現(xiàn)在是55頁\一共有108頁\編輯于星期三(3)上三角形行列式（主對角線下側(cè)元素都為0）(4)下三角形行列式（主對角線上側(cè)元素都為0）現(xiàn)在是56頁\一共有108頁\編輯于星期三思考題：用定義計(jì)算行列式解：用樹圖分析-1133123-1-2-2-1故1130230021011210----=D現(xiàn)在是57頁\一共有108頁\編輯于星期三思考題已知

，求的系數(shù).現(xiàn)在是58頁\一共有108頁\編輯于星期三故的系數(shù)為－1.解含的項(xiàng)有兩項(xiàng)，即對應(yīng)于現(xiàn)在是59頁\一共有108頁\編輯于星期三三、n階行列式定義的進(jìn)一步討論因?yàn)閿?shù)的乘法是可以交換的，所以n個(gè)元素相乘的次序是可以任意的，即每作一次交換，元素的行標(biāo)與列標(biāo)所成的排列與都同時(shí)作一次對換，即與同時(shí)改變奇偶性，但是這兩個(gè)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變.現(xiàn)在是60頁\一共有108頁\編輯于星期三于是與同時(shí)為奇數(shù)或同時(shí)為偶數(shù).即是偶數(shù).因?yàn)閷Q改變排列的奇偶性，是奇數(shù)，也是奇數(shù).設(shè)對換前行標(biāo)排列的逆序數(shù)為

，列標(biāo)排列的逆序數(shù)為

.所以是偶數(shù)，因此，交換中任意兩個(gè)元素的位置后，其行標(biāo)排列與列標(biāo)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變.設(shè)經(jīng)過一次對換后行標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為現(xiàn)在是61頁\一共有108頁\編輯于星期三經(jīng)過一次對換是如此，經(jīng)過多次對換還是如此.所以，在一系列對換之后有現(xiàn)在是62頁\一共有108頁\編輯于星期三定理2

n階行列式也可定義為定理3

n階行列式也可定義為現(xiàn)在是63頁\一共有108頁\編輯于星期三例1

試判斷

和是否都是六階行列式中的項(xiàng).解下標(biāo)的逆序數(shù)為所以是六階行列式中的項(xiàng).

行標(biāo)和列標(biāo)的逆序數(shù)之和所以不是六階行列式中的項(xiàng).現(xiàn)在是64頁\一共有108頁\編輯于星期三例2

用行列式的定義計(jì)算現(xiàn)在是65頁\一共有108頁\編輯于星期三解現(xiàn)在是66頁\一共有108頁\編輯于星期三小結(jié)：

行列式的三種表示方法現(xiàn)在是67頁\一共有108頁\編輯于星期三§1.4行列式的性質(zhì)第1章行列式1.1二階與三階行列式1.2全排列和對換1.3n階行列式的定義1.4行列式的性質(zhì)1.5行列式按行（列）展開現(xiàn)在是68頁\一共有108頁\編輯于星期三一、行列式的性質(zhì)行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式.若記，則.記性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等,即.現(xiàn)在是69頁\一共有108頁\編輯于星期三性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.證明根據(jù)行列式的定義，有若記，則行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.現(xiàn)在是70頁\一共有108頁\編輯于星期三性質(zhì)2

互換行列式的兩行（列）,行列式變號.驗(yàn)證于是推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證明互換相同的兩行，有，所以.

備注：交換第行（列）和第行（列），記作.現(xiàn)在是71頁\一共有108頁\編輯于星期三性質(zhì)3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個(gè)倍數(shù)，等于用數(shù)乘以此行列式.驗(yàn)證我們以三階行列式為例.記根據(jù)三階行列式的對角線法則，有備注：第行（列）乘以，記作.現(xiàn)在是72頁\一共有108頁\編輯于星期三推論行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．備注：第行（列）提出公因子，記作.現(xiàn)在是73頁\一共有108頁\編輯于星期三驗(yàn)證我們以4階行列式為例.性質(zhì)4

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．現(xiàn)在是74頁\一共有108頁\編輯于星期三性質(zhì)5

若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和,例如第i行的元素都是兩數(shù)之和：則現(xiàn)在是75頁\一共有108頁\編輯于星期三驗(yàn)證我們以三階行列式為例.現(xiàn)在是76頁\一共有108頁\編輯于星期三性質(zhì)6

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個(gè)倍數(shù)然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去，行列式不變．則驗(yàn)證我們以三階行列式為例.記備注：以數(shù)乘第行（列）加到第行（列）上，記作.現(xiàn)在是77頁\一共有108頁\編輯于星期三例１二、應(yīng)用舉例計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算

把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．現(xiàn)在是78頁\一共有108頁\編輯于星期三解現(xiàn)在是79頁\一共有108頁\編輯于星期三現(xiàn)在是80頁\一共有108頁\編輯于星期三現(xiàn)在是81頁\一共有108頁\編輯于星期三現(xiàn)在是82頁\一共有108頁\編輯于星期三現(xiàn)在是83頁\一共有108頁\編輯于星期三例2

計(jì)算階行列式解將第列都加到第一列得現(xiàn)在是84頁\一共有108頁\編輯于星期三現(xiàn)在是85頁\一共有108頁\編輯于星期三例3設(shè)

證明現(xiàn)在是86頁\一共有108頁\編輯于星期三證明對作運(yùn)算，把化為下三角形行列式設(shè)為對作運(yùn)算，把化為下三角形行列式設(shè)為現(xiàn)在是87頁\一共有108頁\編輯于星期三對D

的前k行作運(yùn)算，再對后n

列作運(yùn)算，把D

化為下三角形行列式故現(xiàn)在是88頁\一共有108頁\編輯于星期三(行列式中行與列具有同等的地位,凡是對行成立的性質(zhì)對列也同樣成立).

計(jì)算行列式常用方法：(1)利用定義;(2)利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．三、小結(jié)行列式的6個(gè)性質(zhì)現(xiàn)在是89頁\一共有108頁\編輯于星期三§6

行列式按行(列)展開對角線法則只適用于二階與三階行列式.本節(jié)主要考慮如何用低階行列式來表示高階行列式.現(xiàn)在是90頁\一共有108頁\編輯于星期三一、引言結(jié)論三階行列式可以用二階行列式表示.思考題任意一個(gè)行列式是否都可以用較低階的行列式表示？現(xiàn)在是91頁\一共有108頁\編輯于星期三例如把稱為元素的代數(shù)余子式．在n階行列式中，把元素所在的第行和第列劃后，留下來的n－1階行列式叫做元素的余子式，記作.結(jié)論因?yàn)樾袠?biāo)和列標(biāo)可唯一標(biāo)識行列式的元素，所以行列式中每一個(gè)元素都分別對應(yīng)著一個(gè)余子式和一個(gè)代數(shù)余子式.現(xiàn)在是92頁\一共有108頁\編輯于星期三引理

一個(gè)n階行列式，如果其中第行所有元素除外都為零，那么這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即．例如現(xiàn)在是93頁\一共有108頁\編輯于星期三即有又從而