演示文稿一階線(xiàn)性微分方程及其解法

演示文稿一階線(xiàn)性微分方程及其解法現(xiàn)在是1頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三（優(yōu)選）一階線(xiàn)性微分方程及其解法現(xiàn)在是2頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三可以驗(yàn)證:(1.4)式為微分方程(1)的(隱式)通解.注:

若題目只需求通解，則不必討論現(xiàn)在是3頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三例1求微分方程解分離變量?jī)啥朔e分C現(xiàn)在是4頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三例2求微分方程解分離變量?jī)啥朔e分C注意到:當(dāng)C=0時(shí)即y=0也是方程的解現(xiàn)在是5頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三應(yīng)用:衰變問(wèn)題:放射性元素鈾不斷地放射出微粒子而變成其它元素,鈾的含量不斷減少,由物理學(xué)知識(shí),鈾的衰變速度與未衰變的原子的含量M成正比,已知t=0時(shí),鈾的含量為M0,求衰變過(guò)程中鈾含量M(t)隨t的變化規(guī)律解變量分離兩端積分即又故故,衰變規(guī)律為現(xiàn)在是6頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三練習(xí)12.1第3題,增加一個(gè)條件:曲線(xiàn)過(guò)(2,3)點(diǎn),求曲線(xiàn)方程變量分離兩端積分即又現(xiàn)在是7頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三練習(xí):12.2第3題兩邊求導(dǎo)得:變量分離注意:這里隱藏一個(gè)初始條件現(xiàn)在是8頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三利用變量代換求微分方程的解解代入原方程原方程的通解為例6變量代換是解方程的一種常用的手段現(xiàn)在是9頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三現(xiàn)在是10頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三二、齊次方程形如的一階微分方程稱(chēng)為齊次方程或現(xiàn)在是11頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三解法：

針對(duì)齊次方程，作變量代換即

，則將其代入原式，得：，即這是一個(gè)關(guān)于變量u與x的可分離變量的方程；然后，利用分離變量法求得現(xiàn)在是12頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三例1

求方程的通解解原方程化為,即這是齊次方程，令,即故代入得：現(xiàn)在是13頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三進(jìn)行分離變量整理，并兩邊積分，故所求通解為：這是關(guān)于變量u與x的可分離變量方程，得：書(shū)上還有一個(gè)例子，自己可以練習(xí)練習(xí)現(xiàn)在是14頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三求微分方程，滿(mǎn)足初始條件

的特解

解：方程可化為：

它是齊次方程。令代入整理后，有分離變量，則有

兩邊積分，得

即

代入上式，于是所求方程的通解為

把初始條件代入上式，求出，故所求方程的特解為

現(xiàn)在是15頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三例3

求方程的通解解：這是一個(gè)齊次方程。先將方程變形為令

,即

，故

現(xiàn)在是16頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三代入得：這是關(guān)于變量u與x的可分離變量方程，分離變量，并兩邊積分，得：故所以，原方程通解為：現(xiàn)在是17頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三五、小結(jié)本節(jié)主要內(nèi)容是：1．齊次方程2．齊次方程的解法：關(guān)鍵是令，從而原方程轉(zhuǎn)化為可分離變量方程去求解；，則，代入原方程后，或現(xiàn)在是18頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三判下列微分方程是否為一階線(xiàn)性微分方程：一、一階線(xiàn)性微分方程及其解法例1在微分方程中，若未知函數(shù)和未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都是一次的，則稱(chēng)其為一階線(xiàn)性微分方程。1.一階線(xiàn)性微分方程的定義（是）（是）現(xiàn)在是19頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三2.一階線(xiàn)性微分方程的一般式3.一階線(xiàn)性微分方程的分類(lèi)

當(dāng)時(shí)，方程（1）稱(chēng)為一階線(xiàn)性齊次微分方程。

當(dāng)時(shí)，方程（1）稱(chēng)為一階線(xiàn)性非齊次微分方程?；颥F(xiàn)在是20頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三齊次線(xiàn)性方程的通解為：1o齊次線(xiàn)性方程：求解法:分離變量：1.常數(shù)變易法現(xiàn)在是21頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三2o非齊次線(xiàn)性方程：作變換可分離變量方程現(xiàn)在是22頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三積分得一階非齊次線(xiàn)性微分方程(2.1)的通解為:2.常數(shù)變易公式現(xiàn)在是23頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三（2）一階線(xiàn)性非齊次微分方程常數(shù)變易法1）一般式2）解法3）通解公式齊次的通解非齊次的特解現(xiàn)在是24頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三關(guān)于通解公式要注意：只表示某一個(gè)函數(shù)若時(shí)，絕對(duì)值符號(hào)可不寫(xiě)即特別注意：

而是現(xiàn)在是25頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三例1、求微分方程的通解.解法1（常數(shù)變易法）原方程變形為:

對(duì)應(yīng)的齊次方程為：得通解為設(shè)原方程的解為

從而代入原方程得現(xiàn)在是26頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三化簡(jiǎn)得

兩邊積分，得

所以，原方程的通解

解法2（用公式法）把它們代入公式得現(xiàn)在是27頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三解例2則通解為

現(xiàn)在是28頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三解練習(xí)則通解為

原方程變形為其中現(xiàn)在是29頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三解(不)例4通解：現(xiàn)在是30頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三因此方程滿(mǎn)足初始條件的特解為(講)求以下方程在下的特解原方程可化為：原方程通解為：或現(xiàn)在是31頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三求方程通解：若化為：則不是一階線(xiàn)性的而化為：則是一階線(xiàn)性的再見(jiàn)書(shū)上習(xí)題現(xiàn)在是32頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三解例9現(xiàn)在是33頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三(方法1)一階非齊次線(xiàn)性方程現(xiàn)在是34頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三選擇題考點(diǎn)（間斷點(diǎn)，求旋轉(zhuǎn)體體積，求平面圖形面積，全微分，偏導(dǎo)數(shù)的幾意義，二重積分幾何意義，交換積分次序）大題考點(diǎn)1、求極限2、隱函數(shù)求導(dǎo)（一個(gè)方程和方程組情形）3、抽象函數(shù)求導(dǎo)4、求極值5、直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分6、極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分（或是化為極坐標(biāo)）7、解齊次方程（令U=。。，轉(zhuǎn)化為U和X的方程）8、解一階線(xiàn)性方程（用公式或常數(shù)變易法）9、討論函數(shù)在分界點(diǎn)處的連續(xù)性，可導(dǎo)性，可微性現(xiàn)在是35頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三解兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)面積元素選為積分變量例畫(huà)草圖如右現(xiàn)在是36頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三xyo現(xiàn)在是37頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三注：，即動(dòng)點(diǎn)P以任意方式即沿任意曲線(xiàn)趨向定點(diǎn)P0時(shí)，都有f(P)A求二重極限方法類(lèi)似一元函數(shù)的一些方法：等價(jià)無(wú)窮小替換；重要極限公式；無(wú)窮小的性質(zhì)；（恒等變形；利用連續(xù)性；夾逼準(zhǔn)則；換元；利用公式和運(yùn)算法則）等價(jià)無(wú)窮小替換；現(xiàn)在是38頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三對(duì)于多元函數(shù)的極限要求不高，只要求會(huì)求些較簡(jiǎn)單的二重極限注意：在多元函數(shù)中，洛必達(dá)法則不再適用，但如果通過(guò)換元后的一元函數(shù)照樣可用例求或用重要公式原式現(xiàn)在是39頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三例求無(wú)窮小的性質(zhì)現(xiàn)在是40頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三設(shè)確定兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)：再對(duì)上式對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)：（按商的求導(dǎo)公式）對(duì)于一階偏導(dǎo)數(shù)，還可用公式法現(xiàn)在是41頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三現(xiàn)在是42頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三例1討論(1)連續(xù)；(2)偏導(dǎo)數(shù)存在；(3)可微.解(1)=0=f(0,0)現(xiàn)在是43頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三(2)現(xiàn)在是44頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三(3)？則rrwrr22)(0)(0limlimyxxyxyxy+==?=?現(xiàn)在是45頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三現(xiàn)在是46頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三例2現(xiàn)在是47頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三證令則同理故函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處連續(xù);現(xiàn)在是48頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三下面證明：可微.令則注此題表明,偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)只是可微的充分條件.而非必要條件.現(xiàn)在是49頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三例1.求函數(shù)解:第一步求駐點(diǎn).得駐點(diǎn):(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(diǎn)(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束現(xiàn)在是50頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三在點(diǎn)(3,0)處不是極值;在點(diǎn)(3,2)處為極大值.在點(diǎn)(1,2)處不是極值;機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束現(xiàn)在是51頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三重復(fù)是學(xué)習(xí)之母——弗萊格

世界上最快而又最慢，最長(zhǎng)而又最短，最平凡而又最珍貴，最容易被人忽視，而又最令人后悔的就是時(shí)間－－－－高爾基

謝謝大家對(duì)我的支持??！祝大家考試取得好成績(jī)！現(xiàn)在是52頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三因此方程滿(mǎn)足初始條件的特解為二、一階線(xiàn)性微分方程的應(yīng)用

1.分析問(wèn)題,設(shè)出所求未知函數(shù),確定初始條件。2.建立微分方程。3.確定方程類(lèi)型,求其通解.4.代入初始條件求特解.應(yīng)用微分方程解決實(shí)際問(wèn)題的步驟:現(xiàn)在是53頁(yè)\一共有56頁(yè)\編輯于星期三例5