固體物理學(xué)課件第五章

固體物理學(xué)課件第五章第一頁，共150頁。經(jīng)絕熱近似，自洽場近似和周期場近似，可將多種粒子體系簡化為單電子在周期勢場中運(yùn)動(dòng)的問題。絕熱近似：晶體中電子和離子的質(zhì)量相差很大，兩者的速度相差很大，在討論快速運(yùn)動(dòng)的電子時(shí)，認(rèn)為電子完全跟得上離子的運(yùn)動(dòng)，或者說離子的瞬時(shí)位置不是很重要的，可以近似認(rèn)為離子不動(dòng)，這種近似稱為絕熱近似，也稱玻恩-奧本海默(Born-Oppenheimer)近似。在絕熱近似下，多種粒子的多體問題簡化為多電子問題。5.1布洛赫（Bloch）定理第二頁，共150頁。自洽場近似：在絕熱近似下得到的有相互作用的多電子體系仍然不能求解，因?yàn)槿魏我粋€(gè)指定的電子運(yùn)動(dòng)依賴于所有其他電子的位置，而指定電子本身又影響其他電子的運(yùn)動(dòng)。不過，可以認(rèn)為一切電子的運(yùn)動(dòng)是自洽的，這樣我們可以引入一個(gè)“自洽場”Qi，它表示第i個(gè)電子在所有其他電子的場中的勢能，而且也考慮了第i個(gè)電子對其他電子的影響。5.1布洛赫（Bloch）定理第三頁，共150頁。原則上，自洽場可以由哈特利-?？?Hartree-Fock)方程組的解得到。Qi只與第i個(gè)電子的坐標(biāo)有關(guān)，即Qi(ri)對一切電子形式相同,可以取消角標(biāo)i。自洽場近似又稱為哈特利-?？私?，或單電子近似，它的引入使有相互作用的多電子體系簡化為無相互作用的電子體系。5.1布洛赫（Bloch）定理第四頁，共150頁。周期場近似：對于理想晶體離子處在其平衡位子，離子排列成晶格，具有周期性，因而，所有離子的勢場和其他電子的平均場構(gòu)成等效勢場V(r)是以晶格原胞為周期的周期性勢場，可表示為：式中,為晶格的格矢量。5.1布洛赫（Bloch）定理第五頁，共150頁。在上述三個(gè)近似之下,求解晶體中電子運(yùn)動(dòng)本征態(tài)的問題簡化為解周期場中單電子薛定諤方程：5.1布洛赫（Bloch）定理第六頁，共150頁。5.1.2布洛赫定理1.周期性勢場周期性勢場：把孤立原子當(dāng)成一個(gè)帶正電的點(diǎn)電荷，由于晶格原子周期性排列，內(nèi)部原子的勢場也具有周期性，邊界處勢能將提高。5.1布洛赫（Bloch）定理rV(r)xV(x)a第七頁，共150頁。由于，晶格的周期性，金屬中的正離子形成一種周期性的勢場，電子實(shí)際上是在這種周期性的勢場中運(yùn)動(dòng)。周期性勢函數(shù)V(r)可展成傅立葉級數(shù)傅立葉系數(shù)：5.1布洛赫（Bloch）定理rV(r)xV(x)a第八頁，共150頁。電子受到相鄰原子實(shí)作用；電子之間互的作用；其它原子實(shí)作用。在單電子近似下，電子的勢能V(r)是以晶格為周期的函數(shù)：在已知周期性外場V(r)，可通過解薛定格方程，求出電子的波函數(shù)和能量。5.1布洛赫（Bloch）定理第九頁，共150頁。2.布洛赫定理處于周期性勢場中的電子的波函數(shù)必定是按晶格周期函數(shù)調(diào)幅的平面波該波函數(shù)稱為布洛赫函數(shù)。這里，uk(r)具有與勢函數(shù)V(r)同樣的周期性，對布拉非點(diǎn)陣的晶格平移矢量有

n1,n2,n3為整數(shù)。5.1布洛赫（Bloch）定理第十頁，共150頁。結(jié)論：周期性勢場中的電子波函數(shù)為周期性函數(shù)uk(r)和自由電子的平面波調(diào)制結(jié)果—調(diào)幅平面波。由布洛赫函數(shù)可得所以，布洛赫定理可表述為：在以布拉菲格子原胞為周期的勢場中運(yùn)動(dòng)的電子,當(dāng)平移晶格矢量Rn時(shí)，單電子態(tài)波函數(shù)只增加相位因子exp(ik?Rn)。5.1布洛赫（Bloch）定理第十一頁，共150頁。一維布洛赫函數(shù)uk(r)是周期性函數(shù)推廣到三維，布洛赫函數(shù)5.1布洛赫（Bloch）定理第十二頁，共150頁。3.克龍尼克模型一維周期性方勢場，勢阱的勢能為零，勢壘高度V0勢阱的寬度是c，相鄰勢阱之間的勢壘寬度為b，周期為a=b+c，V0足夠大，b足夠小，乘積為有限值。當(dāng)電子能量E

小于V0時(shí)，電子有幾率從一個(gè)勢阱穿到另一個(gè)勢阱中去。5.1布洛赫（Bloch）定理abxV0c-a

-b0c第十三頁，共150頁。在–b<x<c區(qū)域，粒子的勢能在其他區(qū)域，粒子的勢能為V(x)=V(x+na)，其中n為任意整數(shù)，依照布洛赫定理，波函數(shù)寫成5.1布洛赫（Bloch）定理abxV0c-a

-b0c第十四頁，共150頁。代入薛定諤方程

經(jīng)過整理,得到u(x)滿足方程5.1布洛赫（Bloch）定理第十五頁，共150頁。在勢場突變的點(diǎn)，波函數(shù)(x)以及它的導(dǎo)數(shù)必須連續(xù)，實(shí)際上這就要求函數(shù)u(x)和它的導(dǎo)數(shù)必須連續(xù)。5.1布洛赫（Bloch）定理第十六頁，共150頁。在區(qū)域0<x<c，勢能V=0此時(shí)，令

u(x)滿足的方程式可寫成這是一個(gè)二階常系數(shù)微分方程。5.1布洛赫（Bloch）定理abxV0c-a

-b0c第十七頁，共150頁。它的解是：其中A0和B0是任意常數(shù)。

5.1布洛赫（Bloch）定理第十八頁，共150頁。在區(qū)域–b<x<0,勢能為V0求E<V0的解，令在此區(qū)域，u(x)所滿足的方程式是其解為：式中C0和D0是任意常數(shù)。5.1布洛赫（Bloch）定理第十九頁，共150頁。在na<x+na<na+c

區(qū)域，由于V=0所以函數(shù)u(x+na)為:由于u具有周期性因此有5.1布洛赫（Bloch）定理第二十頁，共150頁。同理，在na-b<x+na<na區(qū)域，函數(shù)u可寫成:由于u具有周期性

因此有5.1布洛赫（Bloch）定理第二十一頁，共150頁?，F(xiàn)在將考慮邊界條件，在x=0處，函數(shù)u和它的導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件是：5.1布洛赫（Bloch）定理第二十二頁，共150頁。在x=c處，由u的連續(xù)條件得到：而于是：5.1布洛赫（Bloch）定理第二十三頁，共150頁。同理，在x=c處，由連續(xù)的條件可得：5.1布洛赫（Bloch）定理第二十四頁，共150頁。以上4式組成關(guān)于未知量A0,B0,C0,D0的齊次線形方程組，它們有非零的解是其系數(shù)組成的行列式必須等于零，此行列式化簡后，得:5.1布洛赫（Bloch）定理第二十五頁，共150頁。由于k是實(shí)數(shù)，

即參量與能量有關(guān)，所以，這是一個(gè)決定粒子能量的超越方程，相當(dāng)復(fù)雜，為了簡化，假定V0→，b→0

(c→a)，但V0b保持有限值。5.1布洛赫（Bloch）定理第二十六頁，共150頁。則令

于是:其中由于波矢k是實(shí)數(shù)，有-1≤coska≤1因此并不是所有a值都滿足方程。5.1布洛赫（Bloch）定理第二十七頁，共150頁。由圖看出，在允許取的E值（稱為能級）之間，有一些不允許取的E值（稱為能隙）。5.1布洛赫（Bloch）定理能級禁帶第二十八頁，共150頁。由于，因此，a本身代表能量。這就表明，并不是所有的能量狀態(tài)都是許可的，畫出許可的a值，找出其對應(yīng)的coska，由此算出同每個(gè)E對應(yīng)的k值，就可得到上圖所示的E~k曲線。5.1布洛赫（Bloch）定理0E禁帶能級第二十九頁，共150頁。4.結(jié)論在周期性勢場中，電子有帶狀結(jié)構(gòu)的能帶，允帶與禁帶交替排列，禁帶出現(xiàn)在布里淵區(qū)邊界k=πh/a

處,h為整數(shù)。5.1布洛赫（Bloch）定理0E禁帶能級第三十頁，共150頁。E

是K的偶函數(shù)E(K)=E(-K)。能量越高，允帶越寬。能量的寬度隨著勢場對電子束縛程度的增加而減小。5.1布洛赫（Bloch）定理0E禁帶能級第三十一頁，共150頁。能量是波矢的周期函數(shù)。周期為倒格矢，為此通常需要用一個(gè)帶指數(shù)n來標(biāo)明是哪個(gè)能帶。即En(K)E(K)=E(K+Kh)，可以將所有的能帶都限制在第一布里淵區(qū)。5.1布洛赫（Bloch）定理0E禁帶能級第三十二頁，共150頁。5.周期性邊界條件與波矢K的取值1.一維晶格：

由波恩—卡曼邊界條件，第n個(gè)原子位移una=u(n+N)a，K的取值：

m=0,±1,±2……

一個(gè)q點(diǎn)占“體積”=2π/Na，第一布里淵區(qū)內(nèi)可取的q點(diǎn)數(shù)=N，波矢q的密度=Na/2π=Lc/2π5.1布洛赫（Bloch）定理第三十三頁，共150頁。2.三維晶格:晶體沿a1、a2、a3

方向初基元胞數(shù)為N1、N2、N3有：K的取值：

5.1布洛赫（Bloch）定理第三十四頁，共150頁。一個(gè)q點(diǎn)占“體積”=(2π)3/Vc第一布里淵區(qū)內(nèi)可取的q點(diǎn)數(shù)=N波矢q的密度=Vc/(2π)35.1布洛赫（Bloch）定理第三十五頁，共150頁。3.二維晶格:一個(gè)q點(diǎn)占“體積”=(2π)2/Sc，第一布里淵區(qū)內(nèi)可取的q點(diǎn)數(shù)=N，波矢q的密度=Sc/(2π)2能帶的連續(xù)性：第一布區(qū)內(nèi)，波矢“q”(或K)可取N

個(gè)值，每個(gè)能帶內(nèi)有N個(gè)能量狀態(tài)，N

很大，能帶內(nèi)的能級密集，近似看成連續(xù)。5.1布洛赫（Bloch）定理第三十六頁，共150頁。6.狀態(tài)密度一個(gè)等能面對應(yīng)一系列的波矢k(或q)點(diǎn)?？梢宰C明第n個(gè)能帶在能量En處的狀態(tài)密度為：在已知E~K的關(guān)系，可求出狀態(tài)密度。5.1布洛赫（Bloch）定理第三十七頁，共150頁。二維：一維：5.1布洛赫（Bloch）定理第三十八頁，共150頁。5.2.1一維周期性勢場近自由電子近似模型：原子實(shí)形成的周期性勢場較弱，電子近似認(rèn)為是自由電子，在薛定諤方程中取平均勢V0作為周期勢V(x)的零級近似，而將V(x)的起伏部分當(dāng)做微擾。零級近似時(shí)，用勢場平均值V0代替弱周期性勢場；所謂弱周期性勢場是指比較小的周期起伏[V(x)-V0]=ΔV作為微擾處理。5.2近自由電子近似(微擾法)單電子的周期性勢場第三十九頁，共150頁。周期性勢場展成傅立葉級數(shù)(一維）

其中

h=±1,±2……

取V0=0，根據(jù)微擾理論，零級近似波函數(shù)為平面波。5.2近自由電子近似(微擾法)第四十頁，共150頁。1.一維定態(tài)非簡并微擾近似認(rèn)為近自由電子處于一維無限深勢阱中，再加上周期性的微擾，近自由電子的哈米爾頓算符可寫成：5.2近自由電子近似(微擾法)第四十一頁，共150頁。原單電子薛定諤方程用哈米爾頓算符表示為：5.2近自由電子近似(微擾法)第四十二頁，共150頁。根據(jù)量子力學(xué)的定態(tài)微擾理論，上式的解為：5.2近自由電子近似(微擾法)第四十三頁，共150頁。其中，零級近似解E(0)(K)和Ψ(0)(x)就是自由電子的能量和波函數(shù)：5.2近自由電子近似(微擾法)第四十四頁，共150頁。首先計(jì)算能量的修正項(xiàng)，根據(jù)量子力學(xué)的微擾理論，其修正項(xiàng)有如下公式：5.2近自由電子近似(微擾法)第四十五頁，共150頁。5.2近自由電子近似(微擾法)其中微擾矩陣元的計(jì)算如下：第四十六頁，共150頁。能量二級近似：則二級修正項(xiàng)的電子能量為：5.2近自由電子近似(微擾法)第四十七頁，共150頁。然后計(jì)算波函數(shù)的修正項(xiàng)，根據(jù)量子力學(xué)的微擾理論，其修正項(xiàng)有如下公式：5.2近自由電子近似(微擾法)第四十八頁，共150頁。容易驗(yàn)證uk(x)=uk(x+na)，調(diào)幅平面波，Bloch函數(shù)。5.2近自由電子近似(微擾法)第四十九頁，共150頁。2.一維定態(tài)簡并微擾當(dāng)k→k-kh，分母→0，修正項(xiàng)變得很大。這時(shí)，自由電子的k態(tài)與k’=k-kh

態(tài)能量相近，屬于簡并情況，不能用非簡并微擾，用簡并微繞處理。

5.2近自由電子近似(微擾法)第五十頁，共150頁。所以對于一維情況，同時(shí)滿足k’=k-kh和（k’）2=k2這兩個(gè)條件的只有兩個(gè)，分別是：5.2近自由電子近似(微擾法)第五十一頁，共150頁。它們的能量是：5.2近自由電子近似(微擾法)第五十二頁，共150頁。簡并微擾的零級波函數(shù)是自由電子簡并態(tài)波函數(shù)的線性組合：把和展式代入

等式兩邊同乘，積分、整理得：5.2近自由電子近似(微擾法)第五十三頁，共150頁。A、B不全為0的條件是：5.2近自由電子近似(微擾法)（*）第五十四頁，共150頁。它的解給出能量的本證值：當(dāng)即布里淵區(qū)的邊界，此處能量相等5.2近自由電子近似(微擾法)第五十五頁，共150頁。微擾后，能級發(fā)生分裂，分裂為其間的能量差為禁帶寬帶Eg=2|Vh|5.2近自由電子近似(微擾法)第五十六頁，共150頁。把代入（*）式，A/B=±1從而可以得到波函數(shù)的兩個(gè)解為5.2近自由電子近似(微擾法)第五十七頁，共150頁。2.近自由電子能量與波函數(shù)的討論自由電子E~K關(guān)系近自由電子E~K關(guān)系(對能量的討論)（1）當(dāng)波矢K遠(yuǎn)離布里淵區(qū)邊界的情況當(dāng)K值離布里淵區(qū)邊界hπ/a

較遠(yuǎn)時(shí)，由于k’=k-kh，故k’也遠(yuǎn)離布里淵區(qū)邊界，即非簡并情況，能量與波函數(shù)修正項(xiàng)較大，即5.2近自由電子近似(微擾法)第五十八頁，共150頁。能量的修正項(xiàng)較小電子近似認(rèn)為是自由電子，E~K

曲線是拋物線。

5.2近自由電子近似(微擾法)第五十九頁，共150頁。（2）當(dāng)波矢K接近布里淵區(qū)邊界的情況波矢值接近布區(qū)邊界，即當(dāng)K→π/a，K’→-π/a,簡并情況

5.2近自由電子近似(微擾法)第六十頁，共150頁。

5.2近自由電子近似(微擾法)第六十一頁，共150頁。

當(dāng)K→π/a，K’→-π/a時(shí)，小區(qū)域內(nèi)Ek除分為E-、E+外，還要分別加上或減去一個(gè)小量。5.2近自由電子近似(微擾法)第六十二頁，共150頁。（3）在布里淵區(qū)邊界的情況能級分裂為禁帶寬度為能帶分裂的地方以及禁帶寬度決定于晶體結(jié)構(gòu)及周期性勢場。由于Th>|Vh|，所以1-(2Th)/|Vn|<0，因此，E-的Δ2項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)號、E+的Δ2項(xiàng)的系數(shù)是正號。

5.2近自由電子近似(微擾法)第六十三頁，共150頁。在禁帶之上的能帶底部，能量E+隨相對波矢Δ的變化關(guān)系是一個(gè)向上彎的拋物線，而在禁帶下邊的能帶頂部，能量E-隨相對波矢Δ的變化關(guān)系是一個(gè)向下彎的拋物線。5.2近自由電子近似(微擾法)第六十四頁，共150頁。上述結(jié)果可用圖示說明，兩個(gè)相互影響的狀態(tài)和微擾后能量為E+和E-,原來能量較高，微擾使它上升；原來能量較低，微擾使它下降，當(dāng)→0，E±均以拋物線方式分別趨于Th±|Vh|。5.2近自由電子近似(微擾法)第六十五頁，共150頁。圖中畫出了>0和<0兩種情形下完全對稱的能級圖，其中的A和C、B和D代表同一狀態(tài)，因?yàn)樗鼈兪欠謩e是>0和<0兩方當(dāng)→0的共同極限。5.2近自由電子近似(微擾法)第六十六頁，共150頁。3.對波函數(shù)的討論（簡并）電子電荷密度分布5.2近自由電子近似(微擾法)ρa(bǔ)|ψ1|2|ψ2|2第六十七頁，共150頁。Ψ1對應(yīng)電荷分布，在原子實(shí)附近電子出現(xiàn)的幾率密度最大，即負(fù)電荷大部分靠近原子實(shí)，勢能比平均勢能（電子均勻分布）低E-。5.2近自由電子近似(微擾法)ρa(bǔ)|ψ1|2|ψ2|2第六十八頁，共150頁。Ψ2對應(yīng)電荷分布，在原子實(shí)附近電子出現(xiàn)的幾率密度最小，即負(fù)電荷遠(yuǎn)離帶正電的原子實(shí)，勢能比平均勢能高E+。5.2近自由電子近似(微擾法)ρa(bǔ)|ψ1|2|ψ2|2第六十九頁，共150頁。所以，形成兩個(gè)態(tài)能量差這就是近自由電子近似下，禁帶產(chǎn)生的原因。5.2近自由電子近似(微擾法)ρa(bǔ)|ψ1|2|ψ2|2第七十頁，共150頁。4.色散關(guān)系圖（E~K）擴(kuò)展區(qū)圖式：直接由近自由電子模型得到，各能帶分別畫在各自的布里淵區(qū)，即能量最低的帶在第一布里淵區(qū)，能量次低的，畫在第二布里淵區(qū)，依次類推，E是K的單值函數(shù)。5.2近自由電子近似(微擾法)第七十一頁，共150頁。簡約區(qū)圖式：K為簡約波矢，即k限制在第一布里淵區(qū)，E是k的多值函數(shù)，特點(diǎn)是在簡約布里淵區(qū)表示出所有能帶。5.2近自由電子近似(微擾法)第七十二頁，共150頁。重復(fù)式圖式：各布里淵區(qū)是等價(jià)的，是簡約區(qū)的每個(gè)能帶在整個(gè)k空間周期性重復(fù)，特點(diǎn)是E是k的周期函數(shù)。5.2近自由電子近似(微擾法)第七十三頁，共150頁。5.布區(qū)與布拉格反射布區(qū)邊界：由右圖知，5.2近自由電子近似(微擾法)kK’第七十四頁，共150頁。結(jié)論：指向布里淵邊界的任意平面波波矢

，將受到晶格的布拉格反射，反射波波矢，正是由于和相遇，形成駐波和由于電子幾率密度不同，形成兩個(gè)態(tài)能量差。5.2近自由電子近似(微擾法)第七十五頁，共150頁。結(jié)論：（1）在零級近似中，電子作為自由電子，其能量本征值E(0)與k的關(guān)系曲線為拋物線。在周期勢場的微擾下，E(k)曲線在k=hπ/a處斷開，能量突變值為2|Vh|，在諸能量斷開的間隔內(nèi)不存在允許的能級，稱為禁帶。禁帶發(fā)生在何處及有多寬，取決于晶體結(jié)構(gòu)和勢場的函數(shù)形式。5.2近自由電子近似(微擾法)第七十六頁，共150頁。（2）因?yàn)镹是很大的，因此K的取值以及相應(yīng)的能級都是十分密集的，即準(zhǔn)連續(xù)。這些準(zhǔn)連續(xù)的能級被禁帶隔開而形成一系列能帶，每個(gè)能帶所對應(yīng)的k的取值范圍都是2π/a，即一個(gè)倒易原胞的長度，而所包含的量子態(tài)數(shù)目又都是N，即等于晶體中原胞的數(shù)目。5.2近自由電子近似(微擾法)第七十七頁，共150頁。6.2.2三維周期性勢場1.三維情況下的近自由電子近似波動(dòng)方程

其中5.2近自由電子近似(微擾法)第七十八頁，共150頁。自由電子能量及波函數(shù)(零級近似)非簡并情況(微擾計(jì)算)5.2近自由電子近似(微擾法)第七十九頁，共150頁。簡并微擾禁帶寬度5.2近自由電子近似(微擾法)第八十頁，共150頁。屬于同一個(gè)布里淵區(qū)的能級構(gòu)成一個(gè)能帶，不同的布里淵區(qū)對應(yīng)于不同的能帶，每個(gè)布里淵區(qū)體積相同，等于倒格子原胞的體積，每個(gè)能帶的量子態(tài)數(shù)目：2N（計(jì)入自旋）。在三維晶格中，不同方向上能量斷開的取值不同，這使得不同的能帶發(fā)生重疊。5.2近自由電子近似(微擾法)第八十一頁，共150頁。在左圖中，第一布里淵區(qū)在k方向上能量最高點(diǎn)A，k’方向上能量最高點(diǎn)C，C點(diǎn)的能量比第二布里淵區(qū)B點(diǎn)高。5.2近自由電子近似(微擾法)第八十二頁，共150頁。2.幾種晶格的布里淵區(qū)（1）簡單立方格原胞基矢：倒格子基矢：第一布里淵區(qū)為原點(diǎn)和6個(gè)近鄰格點(diǎn)的垂直平分面圍成的立方體。5.2近自由電子近似(微擾法)第八十三頁，共150頁。5.2近自由電子近似(微擾法)第八十四頁，共150頁。（2）體心立方格子原胞基矢：倒格子基矢：5.2近自由電子近似(微擾法)第八十五頁，共150頁。倒格子原胞為邊長為4π/a的面心立方格子。第一布里淵區(qū)為原點(diǎn)和12個(gè)近鄰點(diǎn)連線的垂直平分面圍成的正12面體。5.2近自由電子近似(微擾法)第八十六頁，共150頁。重要對稱點(diǎn)：Γ:2π/a(0,0,0);H:2π/a(1,0,0);P:2π/a(0.5,0.5,0.5);N:2π/a(0.5,0.5,0)5.2近自由電子近似(微擾法)第八十七頁，共150頁。相對應(yīng)的幾個(gè)對稱軸ΔΛΣ分別為：Δ：ΓH，四度對稱軸，波矢取值：π/a(δ,0,0),0<δ<1Λ：ΓP，三度對稱軸，波矢取值：2π/a(λ,λ,λ),0<λ<0.5Σ：ΓN，二度對稱軸，波矢取值：2π/a(σ,σ,0),0<σ<0.5第一布里淵區(qū)為原點(diǎn)和6個(gè)近鄰格點(diǎn)的垂直平分面圍成的立方體。5.2近自由電子近似(微擾法)第八十八頁，共150頁。（2）面心立方格子原胞基矢：倒格子基矢：5.2近自由電子近似(微擾法)第八十九頁，共150頁。倒格子原胞為邊長為4π/a的體心立方格子。第一布里淵區(qū)為原點(diǎn)和8個(gè)近鄰點(diǎn)連線的垂直平分面圍成的正8面體，和沿立方軸的6個(gè)次近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面割去8面體的六個(gè)角，形成14面體。8個(gè)面是正六邊形，6個(gè)面是正四邊形。第一布里淵區(qū)為14面體。5.2近自由電子近似(微擾法)第九十頁，共150頁。重要對稱點(diǎn)：Γ:2π/a(0,0,0);X:2π/a(1,0,0);L:2π/a(0.5,0.5,0.5);K:2π/a(0.75,0.75,0)

5.2近自由電子近似(微擾法)第九十一頁，共150頁。相對應(yīng)的幾個(gè)對稱軸ΔΛΣ分別為：Δ：ΓX，四度對稱軸，波矢取值：2π/a(δ,0,0),0<δ<1Λ：ΓL，三度對稱軸，波矢取值：2π/a(λ,λ,λ),0<λ<0.5Σ：ΓK，二度對稱軸，波矢取值：2π/a(σ,σ,0),0<σ<0.755.2近自由電子近似(微擾法)第九十二頁，共150頁。3.布里淵區(qū)的性質(zhì)總結(jié)（1）布里淵區(qū)的形狀與晶體結(jié)構(gòu)有關(guān)，其中簡約布里淵區(qū)即為倒易點(diǎn)陣中的維格納-賽茨原胞。（2）每一個(gè)布里淵區(qū)的體積等于倒易點(diǎn)陣中原胞的體積，其中包含N個(gè)可能的狀態(tài)。由于每個(gè)狀態(tài)可以容納兩個(gè)自旋相反的電子，因而每個(gè)布里淵區(qū)可以容納2N個(gè)電子。5.2近自由電子近似(微擾法)第九十三頁，共150頁。（3）在布里淵區(qū)能量是不連續(xù)的，其間隔為2|Vh|，在一維情況下，即為禁帶寬度。但在三維，布里淵區(qū)界面上的能量不連續(xù)性卻不一定意味著禁帶的存在。（4）無窮多個(gè)布里淵區(qū)中，第一布里淵區(qū)具有特別重要的意義，晶體中所有電子的能量和相應(yīng)的波函數(shù)均可在第一布里淵區(qū)內(nèi)表示。5.2近自由電子近似(微擾法)第九十四頁，共150頁。在近自由電子近似中，是以自由電子為基礎(chǔ)來研究晶體中的電子狀態(tài)，周期場隨空間變化的部分比較弱，電子的狀態(tài)很接近自由電子，這是一種極端情況。5.3緊束縛近似

第九十五頁，共150頁。另一種極端，設(shè)想晶體由原子組成，當(dāng)原子之間相距很遠(yuǎn)時(shí)，電子被緊密束縛在原子的周圍，其狀態(tài)可用自由原子的波函數(shù)來描述。原子間的波函數(shù)有小的交疊，其電子狀態(tài)將發(fā)生變化但仍保持原有特性。5.3緊束縛近似

第九十六頁，共150頁。1.緊束縛近似模型電子處于很強(qiáng)的原子勢場與弱的周期性勢場，當(dāng)原子間距較大時(shí)，電子靠近原子實(shí)時(shí)，相當(dāng)于處于該原子的勢阱中，電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)同孤立原子束縛電子相似。5.3緊束縛近似

第九十七頁，共150頁。緊束縛近似方法的思想：電子在一個(gè)原子（格點(diǎn)）附近時(shí)，主要受到該原子勢場的作用，將其它原子（格點(diǎn)）勢場的作用看作室微擾。6.3緊束縛近似

將晶體中電子的波函數(shù)近似看成原子軌道波函數(shù)的線性組合，得到原子能級和晶體中電子能帶之間的關(guān)系，又叫原子軌道線性組合法（LinearCombinationofAtomicOrbits:LCAO）第九十八頁，共150頁。在緊束縛近似下，電子的哈米爾頓算符為：Va是原來所屬原子勢能；Vc其它原子的微擾勢；V（r）=Va+

Vc是晶體周期勢。5.3緊束縛近似

第九十九頁，共150頁。2.運(yùn)動(dòng)電子的波函數(shù)和能量第n

個(gè)電子在第n原子實(shí)附近電子距第n

個(gè)原子距離，該處原子實(shí)（近似為孤立原子）形成的勢場為，被束縛的電子的波函數(shù)（s態(tài)）為，能量為5.3緊束縛近似

第一百頁，共150頁。孤立原子束縛的電子波函數(shù)加上其它原子勢場，晶體中電子波函數(shù)為孤立原子波函數(shù)的線性組合5.3緊束縛近似

第一百零一頁，共150頁。應(yīng)具有布洛赫波函數(shù)的形式，而且歸一化可以得出薛定鄂方程5.3緊束縛近似

第一百零二頁，共150頁。5.3緊束縛近似

第一百零三頁，共150頁。5.3緊束縛近似

第一百零四頁，共150頁。5.3緊束縛近似

第一百零五頁，共150頁。同乘積分5.3緊束縛近似

第一百零六頁，共150頁。5.3緊束縛近似

第一百零七頁，共150頁。把等式左邊分為Rn=0和Rn≠0兩部分5.3緊束縛近似

第一百零八頁，共150頁。令：5.3緊束縛近似

第一百零九頁，共150頁。S態(tài)電子的能量

由于原子間距較大，只有相鄰原子的電子波函數(shù)交疊，即其它為0。由于S態(tài)的波函數(shù)的球?qū)ΨQ性，B（Rn）應(yīng)與Rn無關(guān)。5.3緊束縛近似

第一百一十頁，共150頁。3.能帶計(jì)算的例子對于簡單立方晶格，最近鄰原子有六個(gè)，位置是(±a,0,0),(0,±a,0),(0,0,±a)，注意到S態(tài)波函數(shù)的對稱性，六個(gè)最近鄰原子所相應(yīng)的B都相等，于是得:

5.3緊束縛近似

第一百一十一頁，共150頁。這就是簡單立方晶格S帶的能量與波矢的關(guān)系。當(dāng)k=0時(shí)，即在布里淵區(qū)中心Γ點(diǎn)，能帶有最小值，即為能帶底而k在布里淵區(qū)邊界的小正方面的對角線時(shí)，即k為(±π/a,±π/a,

±π/a)時(shí)，取得極大值：5.3緊束縛近似

第一百一十二頁，共150頁。整個(gè)S帶的寬度為：可見，原來自由原子的一個(gè)能級，由于原子間的作用被分裂為一個(gè)能帶，原子間波函數(shù)的交疊愈多，原子間相互作用愈強(qiáng),能帶的寬度就愈寬。5.3緊束縛近似

第一百一十三頁，共150頁。在緊束縛近似中，把能帶同原子的能級聯(lián)系起來，原子的不同能級在晶體中變成相應(yīng)的能帶，如S帶，p帶，d帶等。外層電子的波函數(shù)交疊程度大將形成較寬的能帶，而內(nèi)層電子相應(yīng)的能帶比較窄。5.3緊束縛近似

第一百一十四頁，共150頁。原子可能有能量相等或相近的原子軌道，可能出現(xiàn)能帶互相重疊的情況，這時(shí)能帶與原子能級之間就沒有簡單的對應(yīng)關(guān)系了。5.3緊束縛近似

第一百一十五頁，共150頁。盡管晶體中電子是遵守量子力學(xué)規(guī)律的，但并非所有關(guān)于電子運(yùn)動(dòng)的問題都必須應(yīng)用量子力學(xué)方法來處理。晶體中許多電子運(yùn)動(dòng)問題是可以近似當(dāng)作經(jīng)典運(yùn)動(dòng)來處理。例如，在電、磁場中晶體的輸運(yùn)問題就屬于這一類型。5.5電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)

第一百一十六頁，共150頁。5.5.1準(zhǔn)經(jīng)典近似和波包微觀粒子具有波粒二象性，粒子性的特征為局限于某一點(diǎn)，而波的特性為彌散在整個(gè)空間。二者可以在波包的基礎(chǔ)上統(tǒng)一。波包：在量子力學(xué)中，對任意有經(jīng)典類比的力學(xué)系統(tǒng)，如果對一個(gè)態(tài)的經(jīng)典描述近似成立，則在量子力學(xué)中這個(gè)態(tài)就由一個(gè)波包代表。5.5電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)

第一百一十七頁，共150頁。由為中心在范圍內(nèi)所有波函數(shù)的集合，在內(nèi)，量子論認(rèn)為，晶體中處于狀態(tài)下的電子，在經(jīng)典近似下其平均速度，相當(dāng)于以為中心的由布洛赫波組成的波包的速度。5.5電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)

第一百一十八頁，共150頁。描述波包的波函數(shù)為:

因?yàn)?，并注意德布羅意關(guān)系E=?

，則令k=k0+ξ，把E

在k0附近展開：5.5電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)

第一百一十九頁，共150頁。于是：5.5電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)

第一百二十頁，共150頁。該波包所描寫的粒子的幾率分布為:波包中心位置幾率最大，有5.5電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)

第一百二十一頁，共150頁。5.5.2電子的速度波包中心移動(dòng)的速度為波包在空間中集中在x范圍，且而k<<2π/a，換句話說，波包的大小如果大于許多個(gè)原胞，則晶體中電子的運(yùn)動(dòng)可以看作是波包的運(yùn)。波包的運(yùn)動(dòng)規(guī)律同經(jīng)典粒子一樣，波包移動(dòng)的速度等于粒子處于波包中心那個(gè)狀態(tài)所具有的平均速。5.5電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)

第一百二十二頁，共150頁。在一維近自由電子近似模型中，在能帶底和能帶頂：dE/dk=0，電子的速度為0；在能帶d2E/dk2=0處，電子的速度最大，速度和能量的變化結(jié)果與自由電子的是不同。5.5電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)

第一百二十三頁，共150頁。三維時(shí),由于波包是波矢相差很小的一系列布洛赫波疊加的結(jié)果，所以波包的速度稱為群速度。電子的群速度總是與K空間的等能面垂直。5.5電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)

第一百二十四頁，共150頁。3.外力作用下的電子狀態(tài)---加速度和有效質(zhì)量在dt時(shí)間內(nèi)電子獲得的能量dE等于外力所做的功，即然而，電子的加速度：5.5電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)

第一百二十五頁，共150頁。將dE/dt的表達(dá)式代入，得：

而同牛頓定律比較，確定電子的有效質(zhì)量m*為在一維情況下它是標(biāo)量。5.5電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)

第一百二十六頁，共150頁。三維運(yùn)動(dòng)電子的加速度和有效質(zhì)量：5.5電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)

第一百二十七頁，共150頁。寫成張量形式：5.5電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)

第一百二十八頁，共150頁。與牛頓定律相比，現(xiàn)在以一個(gè)張量代替了1/m，我們稱其為有效質(zhì)量倒易張量(1/m*)，這是一個(gè)對稱張量，如作坐標(biāo)變換使非對角為零，則，可簡化為：5.5電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)

第一百二十九頁，共150頁。電子平均加速度與外力的關(guān)系形式上類似于牛頓第二定律，只是用有效質(zhì)量代替了電子的質(zhì)量。由于(1/m*)是張量，所以電子的加速度與外力的方向不一致，這是因?yàn)殡娮硬粌H受外力的作用，它還受到晶格周期場的作用。有效質(zhì)量的意義就在于它可以概括晶體內(nèi)部的作用，使電子的加速度與外力滿足非常簡單的關(guān)系。5.5電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)

第一百三十頁，共150頁。有效質(zhì)量不是一個(gè)常數(shù)，而是波矢k的函數(shù)；有效質(zhì)量不僅可以取正值,也可以取負(fù)值。有效質(zhì)量是一個(gè)張量，主要由電子能帶結(jié)構(gòu)決定。當(dāng)?shù)饶苊鏋榍蛎鏁r(shí)，有效質(zhì)量是一個(gè)各向同性的標(biāo)量，5.5電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)

第一百三十一頁，共150頁。在能帶不同位置，有效質(zhì)量不同。能帶底，對應(yīng)能量極??；能帶頂，對應(yīng)能量極大。5.5電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)

第一百三十二頁，共150頁。意義：概括了半導(dǎo)體內(nèi)部勢場作用，使得在解決半導(dǎo)體中電子在外力作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，可以不涉及到半導(dǎo)體內(nèi)部勢場的作用。5.5電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)

第一百三十三頁，共150頁。4.在外加電場作用下電子的運(yùn)動(dòng)設(shè)電場力F=-qE，沿k軸的正方向，電子在k空間做勻速運(yùn)動(dòng)。電子的運(yùn)動(dòng)永遠(yuǎn)保持在同一個(gè)能帶內(nèi)，能量為周期性變化。5.5電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)

第一百三十四頁，共150頁。用簡約布里淵區(qū)表示：電子的運(yùn)動(dòng)到布里淵區(qū)邊界k=π/a，由于k=-π/a與k=π/a相差倒格式k=2π/a，代表同一個(gè)狀態(tài)，所以電子從布里淵區(qū)邊界k=π/a移動(dòng)出去，同時(shí)從k=-π/a移動(dòng)進(jìn)來，電子在k空間做循環(huán)運(yùn)動(dòng)。5.5電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)

第一百三十五頁，共150頁。能帶論的一個(gè)主要貢獻(xiàn)就是成功地說明為什么有些晶體是導(dǎo)體，有些卻是絕緣體或半導(dǎo)體。電子的能量E是波矢k的函數(shù)，而且是偶函數(shù)，即：E(k)=E(-k)。5.6導(dǎo)體、絕緣體和半導(dǎo)體第一百三十六頁，共150頁。速度是k的奇函數(shù)，在-k狀態(tài)的粒子其平均速度