計算機數(shù)值方法第四章數(shù)值積分與微分

計算機數(shù)值方法第四章數(shù)值積分與微分第1頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二本章要點:牛頓－柯特斯積分復(fù)合積分龍貝格積分高斯求積公式第2頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二第4章數(shù)值積分

§1牛頓―柯特斯積分公式§2復(fù)合求積公式§3龍貝格積分方法§4高斯求積公式§5數(shù)值微分第3頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二一、引言對于定積分第4頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二以上這些現(xiàn)象,牛頓-萊布尼茲很難發(fā)揮作用只能建立積分的近似計算方法但是在工程技術(shù)和科學(xué)研究中,常會見到以下現(xiàn)象:第5頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二對于，若則積分值I對應(yīng)于曲邊梯形的面積。第6頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二第7頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二如果我們用兩端點“高度”與這樣導(dǎo)出的求積公式這就是我們熟悉的梯形公式的算術(shù)平均作為平均高度的近似值，第8頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二如果改用區(qū)間中點的“高度”近似地取代平均高度則又可以導(dǎo)出所謂中矩形公式第9頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二對定積分，其數(shù)值積分公式就是：某種線性組合，作為原定積分的近似值，在區(qū)間[a,b]內(nèi)取n+1個點利用被積函數(shù)f(x)在這n+1個點的函數(shù)值的這樣的方法稱為數(shù)值積分，相應(yīng)的公式稱為數(shù)值積分公式。第10頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二式中稱為求積結(jié)點；這類數(shù)值積分公式通常稱為機械求積公式。稱為求積系數(shù)，亦稱伴隨結(jié)點的權(quán)。第11頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二第12頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二定義1.

若求積公式則稱該求積公式具有m次的代數(shù)精度二、代數(shù)精度第13頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二梯形公式和矩形公式均具有一次代數(shù)精度。要使求積公式具有m次代數(shù)精度，只要令它對于都能準(zhǔn)確成立，這就要求第14頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二例：第15頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二第16頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二三、插值型的求積公式且已知函數(shù)在這些節(jié)點上的值，作插值函數(shù)

積分?jǐn)?shù)值計算的方法很多,最常用的一種方法是利用插值多項式來構(gòu)造數(shù)值求積公式具體步驟如下:第17頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二作為積分的近似值，這樣構(gòu)造出來的稱為是插值型公式，由于代數(shù)多項式的原函數(shù)是容易求出，因此取通過插值基函數(shù)積分得出式中求積系數(shù)求積公式第18頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二由插值型的求積公式的余項可推得由插值余項定理即知，對于插值型的求積公式，其余項式中與變量有關(guān).的求積公式至少有n次定理1

形如代數(shù)精度的充分必要條件是，它是插值型求積公式.第19頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二四、求積公式的收斂性與穩(wěn)定性在求積公式中，若第20頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二第21頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二第22頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二

牛頓－柯特斯公式是指等距節(jié)點下使用拉格朗日插值多項式建立的數(shù)值求積公式。各節(jié)點為§1牛頓－柯特斯求積公式

一、牛頓－柯特斯求積公式第23頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二而因此對于定積分第24頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二有第25頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二即有n階牛頓－柯特斯求積公式牛頓－柯特斯公式的余項第26頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二等距節(jié)點時第27頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二所以牛頓-柯特斯公式化為稱為Cotes系數(shù)第28頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二

n

11/21/221/64/61/631/83/83/81/847/9016/452/1516/457/905…

…

…

…

…

…列出柯特斯系數(shù)表開頭的一部分下表4-1第29頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二

二、偶數(shù)階求積公式的代數(shù)精度定理當(dāng)階數(shù)n為偶數(shù)時，牛頓－柯特斯公式至少有n+1次代數(shù)精度。

在牛頓－柯特斯公式中，n=1,2,4時的公式是最常用、也最重要的三個公式；通常稱為低階公式。第30頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二

三、低階牛頓－柯特斯公式及其余項1.梯形公式及其余項柯特斯系數(shù)為第31頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二上式稱為梯形求積公式,也稱兩點公式，記為求積公式為梯形公式具有1次代數(shù)精度第32頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二梯形公式的余項為第33頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二2.辛普森公式及其余項柯特斯系數(shù)為求積公式為第34頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二稱為辛普森求積公式，也稱三點公式或拋物線公式辛普森公式的余項為辛普森公式具有3次代數(shù)精度第35頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二3.柯特斯公式及其余項柯特斯系數(shù)為第36頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二求積公式為第37頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二上式稱為柯特斯求積公式，也稱五點公式柯特斯公式的余項為柯特斯公式具有5次代數(shù)精度.第38頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二例:

用n=2和n=3的牛頓-柯特斯公式解：求的近似值。1.n=2時：2.n=3時（的精確值為0.7668010）第39頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二§2

復(fù)合求積法復(fù)合求積公式余項及收斂的階算法設(shè)計步長的自動選擇第40頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二Newton-Cotes積分公式第41頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二低階Newton-Cotes積分公式n=1,2,4時的Newton-Cotes公式稱為低階公式n=1：梯形公式及其余項梯形公式具有1次代數(shù)精度·bayx0f(a)f(b)y=f(x)··第42頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二低階Newton-Cotes積分公式n=2：辛普森公式及其余項辛普森公式具有3次代數(shù)精度bayx0f(a)f(b)y=f(x)(a+b)/2····第43頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二低階Newton-Cotes積分公式n=4：柯特斯公式及其余項柯特斯公式具有5次代數(shù)精度第44頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二Newton-Cotes積分法的穩(wěn)定性因此，實際應(yīng)用中常用低階Newton-Cotes公式，即：梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式。高階公式穩(wěn)定性不好，低階公式精度不高問題第45頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二b=xn函數(shù)y=f(x)上的數(shù)據(jù)點a=x0yx0f(a)x1y1f(b)y=f(x)x2xixi+1y2yiyi+1·······復(fù)合求積法·

將積分區(qū)間[a,b]分成若干個子區(qū)間，在每個子區(qū)間上用低階公式計算，然后對所有子區(qū)間上的計算結(jié)果求和，即得到原定積分的近似值，這種方法稱為復(fù)合求積法。第46頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二1.復(fù)合求積公式1.1

復(fù)合求積公式由定積分的區(qū)間可加性得：第47頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二1.1復(fù)合求積公式第48頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二x0x1xkxk+1xn1.2

復(fù)合梯形求積公式復(fù)合梯形公式第49頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二1.2

復(fù)合梯形求積公式b=xna=x0yx0f(a)x1y1f(b)y=f(x)x2xixi+1y2yiyi+1········第50頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二1.3

復(fù)合辛普森求積公式444444第51頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二復(fù)合辛普森公式1.3

復(fù)合辛普森求積公式第52頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二xi+1/2=xnxixi+1x1ba=x0yx0f(a)y1f(b)y=f(x)yiyi+11.3

復(fù)合辛普森求積公式············第53頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二1.4復(fù)合柯特斯求積公式第54頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二2.復(fù)合求積法的余項及收斂階2.1

復(fù)合求積公式的收斂階定義.第55頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二1,2,4階牛頓-柯特斯積分公式的余項分別為：積分區(qū)間[a,b]上：積分區(qū)間[xk,xk+1]上：第56頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二2.2

復(fù)合梯形公式的余項及收斂階第57頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二R1(f)是h的2階無窮小量，所以因此復(fù)合梯形公式是2階收斂的。于是復(fù)化梯形公式余項為：2.2

復(fù)合梯形公式的余項及收斂階第58頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二因此復(fù)合辛普森公式是4階收斂的。2.3

復(fù)合辛普森公式的余項及收斂階R2(f)是h的4階無窮小量，所以第59頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二因此復(fù)合柯特斯公式是6階收斂的。2.4

復(fù)合柯特斯公式的余項及收斂階R4(f)是h的6階無窮小量，所以第60頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二2.5

三種復(fù)合求積公式比較

相關(guān)項復(fù)合公式余項收斂階計算公式增加數(shù)據(jù)點復(fù)合梯形公式O(h2)2很簡單0復(fù)合辛普森公式O(h4)4較簡單1復(fù)合柯特斯公式O(h6)6較復(fù)雜3第61頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二例1.分別用8階復(fù)合梯形公式、4階復(fù)合辛普森公式和并對結(jié)果進行比較分析。第62頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二010.1250.997397870.250.989615840.3750.976726740.50.958851080.6250.936155640.750.908851680.8750.8771925710.84147098n=8時的函數(shù)數(shù)據(jù)表第63頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二分別由復(fù)合梯形、辛普森、柯特斯公式得：第64頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二比較三個復(fù)合公式的計算結(jié)果：積分的精確值為精度最高精度最低第65頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二3.步長的自動選擇通常情況下,定積分的結(jié)果只要滿足所要求的精度即可第66頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二1.變步長公式在實際計算中，借助于計算機來完成積分步長h的自動選擇，即采用變步長求積公式。具體地講，就是將步長逐次折半，反復(fù)利用復(fù)合求積公式，直到滿足精度要求為止。

第67頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二2.變步長復(fù)合辛普森公式逐次將區(qū)間［a，b］分成21，22，…，2m等份，并按復(fù)合拋物線公式逐次計算積分得到S1，S2，…，Sm，而其中第68頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二2.變步長復(fù)合辛普森公式再把每個子區(qū)間分成兩半,用

作步長,按復(fù)合拋物線公式計算出積分的近似值S2m。對于相鄰兩次的積分近似值Sm、S2m，考察當(dāng)｜S2m｜＜1當(dāng)｜S2m｜≥1第69頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二2.變步長復(fù)合辛普森公式

設(shè)給定的精度為ε，若｜d｜＜ε則以S2m作為所要求的積分近似值，否則繼續(xù)將區(qū)間分半，利用復(fù)合拋物線公式求積分，直到滿足給定的精度為止。第70頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二4.自動選擇步長的算法步驟依此類推以上這種方法稱為自適應(yīng)求積法。有時去掉后精度會更高不同的方法P取不同值第71頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二§3

龍貝格積分方法復(fù)合梯形公式的遞推化龍貝格算法算法設(shè)計第72頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二梯形公式,Simpson公式,Cotes公式的代數(shù)精度分別為1次,3次和5次復(fù)合梯形、復(fù)合Simpson、復(fù)合Cotes公式的收斂階分別為2階、4階和6階在代數(shù)精度和收斂速度方面,梯形公式都較差但梯形公式形式簡單、計算量小有沒有辦法改善梯形公式呢?第73頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二1.復(fù)合梯形公式的遞推化

由前面討論可知，加密節(jié)點可以提高求積公式的精度，復(fù)合求積方法對提高精度是行之有效的，但選擇合適的步長（即n的選?。┦莻€問題。

上節(jié)的變步長方法解決了這個問題，即把區(qū)間逐次二分，反復(fù)利用復(fù)合求積公式進行計算，直到二分前后兩次積分近似值之差符合精度要求為止。第74頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二各節(jié)點為復(fù)合梯形公式為--------(1)經(jīng)過二分只增加了一個分點第75頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二--------(3)--------(2)用復(fù)化梯形公式求得該子區(qū)間上的積分值為這里h仍為二分前的步長.將每個子區(qū)間上的積分值相加得由(1)(2)兩式可第76頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二(3)式稱為遞推的梯形公式遞推梯形公式加上一個控制精度,即可成為自動選取步長的復(fù)化梯形公式優(yōu)點：梯形法計算簡單缺點：收斂慢，為了達(dá)到要求的精度，需要二分區(qū)間多次，分點大量增加，計算量很大第77頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二2.龍貝格算法根據(jù)復(fù)化梯形公式的余項表達(dá)式可知假定，則有第78頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二即用積分近似值的誤差作為的一種補償，得到第79頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二復(fù)合辛普森公式第80頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二也就是，相鄰的兩個梯形值的外推，即卻得到了辛普森公式的值。簡單的組合，改變了近似值的代數(shù)精度和收斂階。第81頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二同理，由復(fù)合辛普森公式的余項可得由復(fù)合柯特斯公式的余項得通稱為龍貝格公式，是一種加速技術(shù)第82頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二一般的，若記，則有上述處理方法稱為理查森外推加速法

通常，取m≤3即可。因為當(dāng)m較大時，校正的效果已經(jīng)很微小了。第83頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二設(shè)以表示二分k次后求得的梯形值，且以表示的m次加速值，則依遞推公式(4.10)可得公式(4.12)也稱為龍貝格求積算法第84頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二T－數(shù)表第85頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二

00.920735510.93979330.946145920.94457350.94608690.946083030.94569090.94608330.94608310.9460831

例2

用龍貝格積分公式求龍貝格積分值R1=0.9460831的每位數(shù)字都是有效數(shù)字

解：由龍貝格公式得如下T-數(shù)表：第86頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二3.算法設(shè)計Romberg序列<?<?<?………………

T1

=)0(0T

T8

=)3(0T

T4

=)2(0T

T2

=)1(0T

S1

=)0(1T

R1

=)0(3T

S2

=)1(1T

C1

=)0(2T

C2

=)1(2T

S4

=)2(1TRomberg算法第87頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二引言求積公式

(1)

當(dāng)求積系數(shù)、求積節(jié)點都可以自由選取時，其代數(shù)精確度最高可以達(dá)到多少次?

下面的引理可以回答上述問題。

§4

Gauss求積公式第88頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二

引理1

當(dāng)求積系數(shù)和求積節(jié)點都可以自由選取時，n點的求積公式(1)的代數(shù)精確度最高可以達(dá)到2n-1次。

證假設(shè)求積公式(1)具有m次代數(shù)精確度,即對任意的m次代數(shù)多項式

求積公式(1)都精確成立。于是成立等式

第89頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二即

(2)若記則(2)式成為

(3)第90頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二由于系數(shù)的任意性，故使(3)式成為恒等式的充要條件是

(4)

(4)式的待定系數(shù)有2n個，所以確定待定系數(shù)的獨立條件至多給出2n個，從而可知m至多為2n-1。

第91頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二定義1

n點的求積公式(1)具有2n-1次代數(shù)精確度(或稱為具有最高的代數(shù)精確度)時，稱為Gauss型求積公式。

Gauss型求積公式的求積節(jié)點，稱為

Gauss點，它們可以通過求區(qū)間[a,b]上帶權(quán)(x)的n次正交多項式的n個根獲得。所以先介紹正交多項式及其性質(zhì)。然后討論Gauss型求積公式的構(gòu)造。第92頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二

正交多項式及其性質(zhì)定義2

若

(1)

，則稱函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間

[a,b]上正交。

(2)

，則稱函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間[a,b]上帶權(quán)(x)正交。第93頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二(3)代數(shù)多項式序列(下標(biāo)k為多項式的次數(shù),表示k次多項式)，在區(qū)間[a,b]上滿足當(dāng)mn

當(dāng)m=n則稱多項式序列為區(qū)間[a,b]上帶權(quán)(x)的正交多項式序列。第94頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二定義3

若n次多項式中含項的系數(shù)為，則稱為的首次系數(shù)；時，稱為首次系數(shù)為1的n次多項式。第95頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二正交多項式有如下性質(zhì):

性質(zhì)1

若是區(qū)間[a,b]上帶權(quán)(x)的正交多項式序列，則它們線性無關(guān)。

證對任意的x[a,b],若，在式子兩邊同乘(x)gl(x)(l=0,1,..n),并從a到b積分,由的正交性定義2中的(3)可知必有

l=0,1,..,n.故正交多項式序列線性無關(guān)。第96頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二

由性質(zhì)1可知,若為[a,b]上帶權(quán)(x)的正交多項式序列，則序列可以作為空間的一組基函數(shù),即中的任一元素可由它們線性表示：其中為組合系數(shù)。第97頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二性質(zhì)2

若為[a,b]上帶權(quán)(x)的正交多項式序列,且,則

(1)

(2)

事實上,由性質(zhì)1,

.由的正交性定義容易證得(1).證(2)也是類似的.第98頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二Gauss型求積公式由引理1和定義1可知，n點的求積公式(1)若具有最高的代數(shù)精確度，即具有2n-1次的代數(shù)精確度，為Gauss型求積公式.求積公式(1)的求積節(jié)點和求積系數(shù)如何選取,才能使之成為Gauss型求積公式?第99頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二定理1

求積公式(1)中的n個求積節(jié)點,取為區(qū)間[a,b]上帶權(quán)函數(shù)(x)的n次正交多項式的n個根，則求積公式(1)為Gauss型求積公式。證設(shè)。[a,b]上帶權(quán)函數(shù)(x)的n次正交多項式的n個根記為,記其首項系數(shù)為.由定義3有因此,

(5)其中.第100頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二在(5)式兩邊同乘(x),并從a到b積分.由正交多項式的性質(zhì)可知,含項的積分為零,所以

(6)注意到當(dāng)作為插值節(jié)點時建立的n點插值求積公式至少具有n-1次代數(shù)精確度,而,所以

(7)第101頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二又由(5)式可知,即(8)綜合(6),(7),(8)式可知,當(dāng)時,求積公式(1)成立.因此公式(1)具有2n-1次代數(shù)精度，為Gauss型求積公式。第102頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二用n點Gauss求積公式

(9)之值近似積分值，有下面的誤差估計.

定理2

若,則Gauss型求積公式(1)的誤差估計R(,f)為其中定理3

Gauss型求積公式的求積系數(shù)大于零.第103頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二前面討論了復(fù)合求積公式的收斂性問題．

Gauss型求積公式的收斂性由下面的定理給出.

定理4

若f(x)[a,b],則Gauss型求積公式所求積分值序列收斂于積分值I(f),即第104頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二Gauss型求積公式的構(gòu)造與應(yīng)用

定理1實際上給出了構(gòu)造Gauss型求積公式的一種方法。

給定[a,b]和(x)

，構(gòu)造n個點的Gauss求積公式：先求出區(qū)間[a,b]上帶權(quán)函數(shù)(x)的n次正交多項式,然后用多項式求根的方法求出的n個根,從而獲得了求積節(jié)點第105頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二為了求得求積系數(shù),將n個求積節(jié)點代入方程組(4)中的前n個方程并加以求解,即解線性代數(shù)方程組求得系數(shù),完成Gauss型求積公式的構(gòu)造.第106頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二例1

求使求積公式具有三次代數(shù)精確度.

問題是構(gòu)造區(qū)間[0,1]上帶權(quán)函數(shù)的兩點Gauss型求積公式.

解

方法1

容易計算出當(dāng)時的積分值分別為所求公式具有3次代數(shù)精確度.第107頁，共123頁，2023年，2月20日，星期二故可得為未知數(shù)的方程組為

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