自動控制原理第四章

1第四章根軌跡法§4–1根軌跡的概念§4–2繪制根軌跡的規(guī)則§4–3廣義根軌跡§4–4系統(tǒng)性能分析§4–5應用MATLAB分析根軌跡和設計實例2

根軌跡法是一種圖解方法，它是古典控制理論中對系統(tǒng)進行分析和綜合的基本方法之一。由于根軌跡圖直觀地描述了系統(tǒng)特征方程的根（即系統(tǒng)的閉環(huán)極點）在S平面上的分布，因此，用根軌跡法分析自動控制系統(tǒng)十分方便，特別是對于高階系統(tǒng)和多回路系統(tǒng)，應用根軌跡法比用其他方法更為方便，因此在工程實踐中獲得了廣泛應用。本章主要介紹根軌跡的概念，繪制根軌跡的基本規(guī)則和用根軌跡法分析自動控制系統(tǒng)的根軌跡的方法。3

§4–1根軌跡的概念

一﹑根軌跡圖

根軌跡圖是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根（即閉環(huán)極點）隨開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)由零變化到無窮大時在S平面上的變化軌跡。例4-1已知一單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試分析該系統(tǒng)的特征方程的根隨系統(tǒng)參數(shù)的變化在S平面上的分布情況。

4

解系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的特征方程為特征方程的根是設的變化范圍是〔0,∞﹚，當=0時,;當0<<1時，與為不相等的兩個負實根；當=1時，為等實根；5

當1<<∞時，為一對共軛復根，其實部都等于-1，虛部隨值的增加而增加；當→∞時，、的實部都等于-1，是常數(shù)，虛部趨向無窮遠處。

該系統(tǒng)特征方程的根隨開環(huán)系統(tǒng)參數(shù)從零變到無窮時在S平面上變化的軌跡如圖4-1所示。6圖4-1例4-1的根軌跡7

當系統(tǒng)參數(shù)為某一確定的值時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在S平面上變化的位置便可確定，由此可進一步分析系統(tǒng)的性能。值的變化對閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的影響可在根軌跡上直觀地看到，因此系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響也一目了然。所以用根軌跡圖來分析自動控制系統(tǒng)是十分方便的在上例中，根軌跡圖是用解析法作出的，這對于二階系統(tǒng)并非難事，但對于高階系統(tǒng)，求解特征方程的根就比較困難了。

如果要研究系統(tǒng)參數(shù)的變化對閉環(huán)系統(tǒng)特征方程根的影響，就需要大量反復的計算。

1948年伊萬斯（W·R·EVANS）解決了這個問題，提出了根軌跡法。該方法不需要求解閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程，只需依據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)便可會繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。8

二、開環(huán)零、極點與閉環(huán)零、極點之間的關系

通常系統(tǒng)的開環(huán)零、極點是已知的，因此建立開環(huán)零、極點與閉環(huán)零、極點之間的關系，有助于閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的繪制，并由此引導出根軌跡方程。設控制系統(tǒng)如圖4-2所示，起閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(4-1)

圖4-2控制系統(tǒng)9

通常，前向通路傳遞函數(shù)G(s)和反饋通路傳遞函數(shù)H(s)可分別表示

（4-2）

（4-3）

式中為前向通路增益，為前向通路根軌跡增益；為反饋通路增益，為反饋通路根軌跡增益。10系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

(4-4)

為系統(tǒng)的開環(huán)增益，為開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益；

m=f+l為開環(huán)系統(tǒng)的零點數(shù)，為開環(huán)系統(tǒng)的極點數(shù)。

將式（4-2）和（4-4）代入（4-1）可得

（4-5）11

比較式（4-4）和式（4-5），可得以下結論：

⑴閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益，等于開環(huán)系統(tǒng)前向通路根軌跡增益；對于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)根跡增益就等于開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益。⑵閉環(huán)零點由開環(huán)前向通路傳遞函數(shù)零點和反饋通路傳遞函數(shù)極點所組成；對于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點就是開環(huán)零點。⑶閉環(huán)極點與開環(huán)零點、開環(huán)極點以及根軌跡增益均有關。12

根軌跡法的基本任務在于：如何由已知的開環(huán)零、極點的分布及根軌跡增益，通過圖解的方法找出閉環(huán)極點。一旦閉環(huán)極點被確定，閉環(huán)傳遞函數(shù)的形式便不難確定，因為閉環(huán)零點可由式（4-5）直接得到。在已知閉環(huán)傳遞函數(shù)的情況下，閉環(huán)系統(tǒng)的時間響應可利用拉氏反變換的方法求出，或利用計算機直接求解。13

三、根軌跡增益與開環(huán)系統(tǒng)增益K的關系

由第三章，系統(tǒng)的開環(huán)增益（或開環(huán)放大倍數(shù)）為

（4-6）式中是開環(huán)傳遞函數(shù)中含積分環(huán)節(jié)的個數(shù)，由它來確定該系統(tǒng)是零型系統(tǒng)（）,Ⅰ型系統(tǒng)（）或Ⅱ型系統(tǒng)（）等。將（4-4）代入（4-6）可得14

開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益與開環(huán)系統(tǒng)的增益K之間僅相差一個比例常數(shù)，這個比例常數(shù)只與開環(huán)傳遞函數(shù)中的零點和極點有關。由式（4-4）可知，根軌跡增益（或根軌跡放大系數(shù)）是系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的分子﹑分母的最高階次項的系數(shù)為1的比例因子。在例4-1中系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

其開環(huán)增益為

對于該系統(tǒng)，根軌跡增益與開環(huán)增益K之間的是，它們之間僅相差一個比例常數(shù)2。

15

四、根軌跡與系統(tǒng)性能以圖4-1為例進行說明

穩(wěn)定性如果系統(tǒng)特征方程的根都位于S平面的左半部，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。若根軌跡穿越虛軸進入右半S平面，根軌跡與虛軸交點處的K值，就是臨界穩(wěn)定的開環(huán)增益Kc。

穩(wěn)態(tài)性能開環(huán)系統(tǒng)在坐標原點有一個極點，所以屬Ⅰ型系統(tǒng)，因而根軌跡上的K值就是靜態(tài)速度誤差系數(shù)。如果給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求，則由根軌跡圖確定閉極點位置的允許范圍

動態(tài)性能當0<<1時，所有閉環(huán)極點均位于實軸上，系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)，其單位階躍響應為單調上升的非周期過程。當時，特征方程的兩個相等負實根，系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應為響應速度最快的非周期過程。當>1時，特征方程為一對共軛復根，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應為阻尼振蕩過程，振蕩幅度或超調量隨值的增加而加大，但調節(jié)時間不會有顯著變化。16§4–2繪制根軌跡的規(guī)則

一、繪制根軌跡的依據(jù)

在上節(jié)已指出，根軌法的基本任務在于，如何由已知的開環(huán)零、極點的分布及根軌跡增益，通過圖解的方法找出閉環(huán)極點。由例4-1可看出，根軌跡是系統(tǒng)的開環(huán)根軌跡增益由零變到無窮大時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在S平面上運動的軌跡。因此，系統(tǒng)的特征方程便是繪制根軌跡的依據(jù)。系統(tǒng)的特征方程為

17

當系統(tǒng)有m個開環(huán)零點和n個開環(huán)極點時，特征方程可寫成

式中，為已知的開環(huán)零點，為已知的開環(huán)極點，為可從零變到無窮大的開環(huán)根軌跡增益。我們把上式稱為根軌跡方程，由根軌跡方程，可以畫出當由零變到無窮大時系統(tǒng)的根軌跡。在繪制根軌跡時，變參數(shù)不限定是根軌跡增益，可為系統(tǒng)的其它參數(shù)（如時間常數(shù)、反饋系數(shù)等）這時只要把系統(tǒng)的特征方程化為上式，將感興趣的系統(tǒng)參數(shù)取代根軌跡增益的位置都可以繪制根軌跡。18根軌跡方程實際上是一個向量方程，用模和相角的形式表示就是

由此可得到滿足系統(tǒng)特征方程的幅值條件和相值條件為幅值條件：相角條件：

19

設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

滿足幅值條件的表達式為

或滿足相角條件的表達式為

20

綜上分析，可以得到如下結論：⑴繪制根軌跡的相角條件與系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益值的大小無關。即在S平面上，所有滿足相角條件的點的集合的構成系統(tǒng)的根軌跡圖。即相角條件是繪制根軌跡的主要依據(jù)。⑵繪制根軌跡的幅值條件與系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益值的大小有關。即值的變化會改變系統(tǒng)的閉環(huán)極點在S平面上的位置。⑶在系數(shù)參數(shù)全部確定的情況下，凡能滿足相角條件和幅值條件的S值，就是對應給定參數(shù)的特征根，或系統(tǒng)的閉環(huán)極點。⑷由于相角條件和幅值條件只與系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)有關，因此，已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)便可繪制出根軌跡圖。21二、繪制根軌跡的基本規(guī)則

通常，我們把以開環(huán)根軌跡增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡叫做普通根軌跡（或一般根軌跡）。繪制普通根軌跡的基本規(guī)則如下。

22

規(guī)則一

根軌跡的起點和終點幅值條件可寫成

當，必須有此時，系統(tǒng)的閉環(huán)極點與開環(huán)極點相同(重合)，我們把開環(huán)極點稱為根軌跡的起點，它對應于開環(huán)根軌跡增益。當時，必須有，此時，系統(tǒng)的閉環(huán)極點與開環(huán)零點相同(重合)，我們把開環(huán)零點稱為根軌跡的終點，它對應于開環(huán)根軌跡增益。23下面分三種情況討淪。

1．當m=n時，即開環(huán)零點數(shù)與極點數(shù)相同時，根軌跡的起點與終點均有確定的值。

2．當m<n時，即開環(huán)零點數(shù)小于開環(huán)極點數(shù)時，除有m條根軌跡終止于開環(huán)零點(稱為有限零點)外，還有n-m條根軌跡終止于無窮遠點(稱為無限零點)。如例4-1。

3．當m>n時，即開環(huán)零點數(shù)大于開環(huán)極點數(shù)時，除有n條根軌跡起始于開環(huán)極點(稱為有限極點)外，還有m-n條根軌跡起始于無窮遠點(稱為無限極點)。這種情況在實際的物理系統(tǒng)中雖不會出現(xiàn)，但在參數(shù)根軌跡中，有可能出現(xiàn)在等效開環(huán)傳遞函數(shù)中。24結論：根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點（或)；如果開環(huán)極點數(shù)n大于開環(huán)零點數(shù)m，則有n-m條根軌跡終止于S平面的無窮遠處(無限零點)，如果開環(huán)零點數(shù)m大于開環(huán)極點數(shù)n，則有m-n條根軌跡起始于S平面的無窮遠處(無限極點)。25

規(guī)則二根軌跡的分支數(shù)、連續(xù)性和對稱性根軌跡的分支數(shù)即根軌跡的條數(shù)。既然根軌跡是描述閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根（即閉環(huán)極點）在S平面上的分布，那么，根軌跡的分支數(shù)就應等于系統(tǒng)特征方程的階數(shù)。由例4-1看出，系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益(實變量）與復變量S有一一對應的關系，當由零到無窮大連續(xù)變化時，描述系統(tǒng)特征方程根的復變量S在平面上的變化也是連續(xù)的，因此，根軌跡是n條連續(xù)的曲線。由于實際的物理系統(tǒng)的參數(shù)都是實數(shù)，如果它的特征方程有復數(shù)根的話，一定是對稱于實軸的共軛復根，因此，根軌跡總是對稱于實軸的。

結論：根軌跡的分支數(shù)等于系統(tǒng)的閉環(huán)極點數(shù)。根軌跡是連續(xù)且對稱于實軸的曲線。26例4-3設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

其中、、、、為實極點和實零點，為共軛復數(shù)零、極點，它們在S平面上的分布如圖4-4所示，試分析實軸上的根軌跡與開環(huán)零點和極點的關系。

實軸上的根軌跡必須滿足繪制根軌跡的相角條件，即

規(guī)則三實軸上的根軌跡

若實軸上某線段右側的開環(huán)零、極點的個數(shù)之和為奇數(shù)，則該線段是實軸上的根軌跡。27圖4-4實軸上的根軌跡P1P2P3P5P4z1z2S0z4z30θ1φ3φ1φ4φ2θ4θ3θ2φ3

為確定實軸上的根軌跡，選擇s0作為試驗點。圖4-4中，開環(huán)極點到s0點的向量的相角為開環(huán)零點到s0點的向量的相角為

在確定實軸上的某點是否在根軌跡上時，可以不考慮復數(shù)開環(huán)零、極點對相角的影響。

實軸上，s0點左側的開環(huán)極點P3和開環(huán)零點z2構成的向量的夾角均為零度，而s0點右側的開環(huán)極點P1

、P2和開環(huán)零點z1構成的向量的夾角均為。若s0為根軌跡上的點，必滿足相角條件，有

由以上分析知，只有s0點右側實軸上的開環(huán)極點和開環(huán)零點的個數(shù)之和為奇數(shù)時，才滿足相角條件。

28

規(guī)則四

漸近線當開環(huán)極點數(shù)n大于開環(huán)零點數(shù)m時，系統(tǒng)有n-m條根軌跡終止于S平面的無窮遠處，這n-m條根軌跡變化趨向的直線叫做根軌跡的漸近線，因此，浙近線也有n-m條，且它們交于實軸上的一點。漸近線與實軸的交點位置和與實軸正方向的交角分別為

29

在例4-1中，開環(huán)傳遞函數(shù)為

開環(huán)極點數(shù)n=2,開環(huán)零點數(shù)m=0,n-m=2,兩條漸近線在實軸上的交點位置為

它們與實軸正方向的交角分別為

和，兩條漸近線正好與≥1時的根軌跡重合。30

例4-2已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試畫出該系統(tǒng)根軌跡的漸近線。解對于該系統(tǒng)有n=4，m=1，n-m=3；三條漸近線與實軸交點位置為

它們與實軸正方向的交角分別是漸近線如圖4-3所示。31圖4-3根軌跡的漸近線32

規(guī)則五

根軌跡的分離點

分析例4-1，當系統(tǒng)開環(huán)增益由零到無窮大變化時，兩條根軌跡先是在實軸上相向運動(0≤＜1),然后它們相遇在點，當＞1后，它們便離開實軸進入S平面，且離開實軸時，根軌跡與實軸正交。我們稱該點為根軌跡的分離點。實際上,點是例4-1系統(tǒng)特征方程的等實根，它對應的系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益。一般，常見的根軌跡分離點是位于實軸上兩條根軌跡分支的分離點。如例4-1中的點。若根軌跡位于實軸上兩個相鄰的開環(huán)極點之間（其中一個可以是無限極點），則在這兩個極點之間至少存在一個分離點；若根軌跡位于實軸上兩個相鄰的開環(huán)零點之間（其中一個可以是無限零點），則在這兩個零點之間也至少有一個分離點。如圖4-5上的分離點和。但在有些情況下，根軌跡的分離點也可能以共軛形式成對出現(xiàn)在復平面上，如圖4-6中的分離點A和B。顯然，復平面上的分離點表明系統(tǒng)特征方程的根中至少有兩對相等的共軛復根存在。

33圖4-5實軸上根軌跡的分離點

圖4-6復平面上的分離點

34

由上面分析可知，確定根軌跡的分離點，實質上就是求出系統(tǒng)特征方程的等實根（實軸上的分離點）或等共軛復根（復平面上的分離點）。系統(tǒng)的特征方程可寫成

（4-22）對式（4-22）求導可得

（4-23）

式（4-23）稱為分離點方程。對于一個n階系統(tǒng)，解式（4-23）可得到n-1個根分離點方程的另一種形式為（4-24）式中，為開環(huán)零點的數(shù)值，為開環(huán)極點的數(shù)值。

35當開環(huán)系統(tǒng)無有限零點時，則在方程（4-24）中，應取。此時，分離點方程即為

（4-25）

只有那些在根軌跡上的解才是根軌跡的分離點。若在這些根中有共軛復根，如何判斷共軛復根是否在根軌跡上，是一個比較復雜的問題，但由于只有當開環(huán)零、極點分布非常對稱時，才會出現(xiàn)復平面上的分離點（如圖4-6所示），因此，用觀察法可大體上判斷，然后將其代入特征方程中進行驗算，即可確定。對于例4-1，由式（4-23）可得分離點方程

即解得，位于實軸根軌跡上（由0到-2的線段上），故它是實軸上的分離點。

36例4-4已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試求出系統(tǒng)根軌跡與實軸的交點。

解本系統(tǒng)無有限開環(huán)零點，由式（4-25）可得即解出，，由規(guī)則五知，實軸上的根軌跡為-1到-2線段和-3到-∞線段。不在上述兩線段上，應舍去。是實軸根軌跡上的點，它就是根軌跡在實軸上的分離點。運用前面的六條規(guī)則，可繪制如圖4-7所示的根軌跡圖。37圖4-7根軌跡的分離點

38

規(guī)則六

起始角與終止角

當開環(huán)傳遞函數(shù)中有復數(shù)極點或零點時，根軌跡是沿著什么方向離開開環(huán)復數(shù)極點或進入開環(huán)復數(shù)零點的呢？這就是所謂的起始角和終止角問題,先給出定義如下：

⑴起始角根軌跡離開開環(huán)復數(shù)極點處在切線方向與實軸正方向的夾角。參看圖4-8（a）中的和。

⑵終止角根軌跡進入開環(huán)復數(shù)零點處的切線方向與實軸正方向的夾角。參看圖4-8（b）中的和。39圖4-8(a)根軌跡的起始角和終止角

40圖4-8(b)根軌跡的起始角和終止角

41通過例4-5來分析起始角與終止角的大小。例4-5已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

且和為一對共軛復數(shù)極點，和分別為實極點和實零點，它們在S平面上的分布如圖4-9所示。試依據(jù)相角條件求出根軌跡離開開環(huán)復數(shù)極點和的起始角和。42圖4-9起始角的求取

對于根軌跡上無限靠近p1的點A，由相角條件可得

由于A點無限靠近點，

推廣為一般情況可得求起始角的關系式為同理，可得到求終止角的關系式為43規(guī)則七

根軌跡與虛軸的交點

根軌跡與虛軸的交點就是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的純虛根（實部為零）。這時，用代入特征方程可得

即

由此可得虛部方程和實部方程為

解虛部方程可得角頻率，即根軌跡與虛軸的交點的坐標值；用代入實部方程，可求出系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益的臨界值。的物理含義是使系統(tǒng)由穩(wěn)定（或不穩(wěn)定）變?yōu)椴环€(wěn)定（或穩(wěn)定）的系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益的臨界值。它對如何選擇合適的系統(tǒng)參數(shù)、使系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)有重要意義。44例4-6試求出例4-4中根軌跡與虛軸的交點及相應的開環(huán)根軌跡增益的臨界值。解由例4-4知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其特征方程是令并代入特征方程得其虛部和實部方程分別為45

解虛部方程得

由于不是根軌跡上的點，應舍去，故為根軌跡與虛軸的兩個交點。將其代入實部方程便可求出系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益的臨界值。系統(tǒng)的根軌跡如圖4-10所示。當系統(tǒng)的階次較高時，解特征方程將會遇到困難，此時可用勞斯判據(jù)求出系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益的臨界值和根軌跡與虛軸的交點。46圖4-10根軌跡與虛軸的交點

47

以上七條規(guī)則是繪制根軌跡圖所必須遵循的基本規(guī)則。此外，繪制一幅完整的根軌跡圖尚須注意以下幾點規(guī)范畫法。⑴根軌跡的起點（開環(huán)極點)用符號“

”標示；根軌跡的終點(開環(huán)零點)用符號“

”標示。⑵根軌跡由起點到終點是隨系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益值的增加而運動的，要用箭頭標示根軌跡運動的方向。⑶要標出一些特殊點的值，其中直接標出的有起點(或)，終點或)；根軌跡與實軸的交點即實軸上的分離點()；與虛軸的交點（）。還有一些要求標出的閉環(huán)極點及其對應的開環(huán)根軌跡增益，也應在根軌跡圖上標出，以便于進行系統(tǒng)的分析和綜合。48例4-7已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試繪制該系統(tǒng)完整的根軌跡圖。

解⑴該系統(tǒng)的特征方程為

這是一個三階系統(tǒng)，由規(guī)則一知，該系統(tǒng)有三條根軌跡在S平面上。三、繪制根軌跡圖示例⑵由規(guī)則二知，三條根軌跡是連續(xù)且對稱于實軸的。⑶根軌跡的起點是該系統(tǒng)的三個開環(huán)極點，即由于沒有開環(huán)零點（m=0）,

三條根軌跡的終點均在無窮遠處。49

當k=0時

當k=1時

當k=2時⑷由規(guī)則四知，可求出根軌跡三條漸近線的交點位置和它們與實軸正方向的交角。50⑸由規(guī)則五知，實軸上的根軌跡為實軸上到的線段和由至實軸上負無窮遠線段。⑹由規(guī)則六知，根軌跡與實軸的交點（分離點）應是方程

解的合理值，即得由于不在實軸的根軌跡上，應舍去；實際的分離點應為。⑺無復數(shù)開環(huán)極點和零點，不存在出射角和入射角。⑻由規(guī)則八，可求出根軌跡與虛軸的交點及對應的開環(huán)根軌跡增益的臨界值。用代入特征方程得51解虛部方程得其中是開環(huán)極點對應的坐標值，它是根軌跡的起點之一。合理的交點應為將代入實部方程得到對應的開環(huán)根軌跡增益的臨界值。繪制出該系統(tǒng)的根軌跡圖如圖4-11所示。⑻由規(guī)則八，可求出根軌跡與虛軸的交點及對應的開環(huán)根軌跡增益的臨界值。用代入特征方程得52圖4-11例4-7系統(tǒng)根軌跡圖53

解⑴這是一個二階系統(tǒng)，在S平面上有兩條連續(xù)且對稱于實軸的根軌跡。⑵由開環(huán)傳遞函數(shù)可知，該系統(tǒng)有一個開環(huán)實零點和一對開環(huán)共軛復數(shù)極,因此，根軌跡的起點為和，其終點為和無窮遠點。⑶由規(guī)則五知，實軸上由-2至-∞的線段為實軸上的根軌跡。例4-8已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試繪制該系統(tǒng)的根軌跡圖。⑷由規(guī)則六，可求出根軌跡與實軸的交點（分離點）。分離點方程是54

即解方程可得不在實軸上的根軌跡上，舍去，實際的分離點為。⑸由規(guī)則七，可求出開環(huán)復數(shù)極點（根軌跡的起點）的出射角。它們是55

證明已知系統(tǒng)的開環(huán)零點和極點分別為，，令s=u+jv為根軌跡的任一點，由繪制根軌跡的相角條件可得

將s、、和代入得即應用三角公式⑹為了準確地畫出S平面上根軌跡的圖形，運用相角條件可證明本系統(tǒng)在S平面上的根軌跡是一個半徑為，圓心位于點的圓弧。56

將上式等號左邊合并可得到

將上式等號兩邊取正切，則有

方程表示在S平面上的根軌跡是一個圓心位于點、半徑為的圓弧。由此，可畫出根軌跡的準確圖形如圖4-12所示。57圖4-12例4-8系統(tǒng)的根軌跡圖

58

由本例不難發(fā)現(xiàn)，由兩個開環(huán)極點（實極點或復數(shù)極點）和一個開環(huán)實零點組成的二階系統(tǒng)，只要實零點沒有位于兩個實極點之間，當開環(huán)根軌跡增益由零變到無窮大時，復平面上的閉環(huán)根軌跡，是以實零點為圓心，以實零點到分離點的距離為半徑的一個圓（當開環(huán)極點為兩個實極點時）或圓的一部分（當開環(huán)極點為一對共軛復數(shù)極點時）。這個結論在數(shù)學上的嚴格證明可參照本例進行。59

例4-9已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試繪制該系統(tǒng)的根軌跡圖。

解⑴由已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可得到它的特征方程為由規(guī)則一和規(guī)則二知，該系統(tǒng)的根軌跡共有4條分支（n=4），4條根軌跡連續(xù)且對稱于實軸。⑵由規(guī)則三知，4條根軌跡的起點分別是系統(tǒng)的4個開環(huán)極點,即，。由于系統(tǒng)無有限開環(huán)零點（m=0），4條根軌跡的終點均在S平面的無窮遠處（無窮零點）。60

漸近線與實軸正方向的交角為當k=0時，

當k=1時，當k=2時，當k=3時，⑶由規(guī)則四可求出4條根軌跡漸近線與實軸的交點為61

⑷由規(guī)則五知，實軸上的根軌跡是實軸上由0到-2的線段。⑸由規(guī)則六可求出根軌跡與實軸的交點（分離點）。分離點方程是

即解方程得到三個根，它們是

不在實軸上的根軌跡上，不是分離點；和在實軸根軌跡上，它們是根軌跡與實軸交點的合理值，即和是兩個分離點。⑹由規(guī)則七可求出復數(shù)極點和的出射角62

⑺該系統(tǒng)為4階系統(tǒng)，用解析法求根軌跡與虛軸的交點和對應的開環(huán)根軌跡增益的臨界值比較困難。下面采用勞斯判據(jù)求出和的值。根據(jù)系統(tǒng)的特征方程列出勞斯表如下：

16440500

令勞斯表中行的首項系數(shù)為零，求得，由行系數(shù)寫出輔助方程為令，并將代入輔助方程可求出。系統(tǒng)的根軌跡如圖4-13所示。63圖4-13例4-9系統(tǒng)的根軌跡圖64§4-3廣義根軌跡

前面介紹的普通根軌跡或一般根軌跡的繪制規(guī)則是以開環(huán)根軌跡增益為可變參數(shù)的，大多數(shù)系統(tǒng)都屬于這種情況。但有時候，為了分析系統(tǒng)方便起見，或著重研究某個系統(tǒng)參數(shù)(如時間節(jié)數(shù)、反饋系數(shù)等)對系統(tǒng)性能的影響，也常常以這些參數(shù)作為可變參數(shù)繪制根軌跡，我們把以非開環(huán)根軌增益作為可變參數(shù)繪制的根軌跡叫做參數(shù)根軌跡(或廣義根軌跡)。下面先看—個例子。一.

參數(shù)根軌跡65例4-10已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試繪制以時間常數(shù)T為可變參數(shù)的根軌跡。

解⑴系統(tǒng)的特征方程是或用去除等式兩邊得66

令（4-35）則有（4-36）我們稱為系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)。在等效開環(huán)傳遞函數(shù)中，除時間常數(shù)T取代了普通根軌跡中開環(huán)根軌跡增益的位置外，其形式與繪制普通根軌跡的開環(huán)傳遞函數(shù)完全一致，這樣便可根據(jù)繪制普通根軌跡的七條基本規(guī)則來繪制參數(shù)根軌跡。67⑵系統(tǒng)特征方程的最高階次是3，由規(guī)則一和規(guī)則二知，該系統(tǒng)有三條連續(xù)且對稱于實軸的根軌跡，根軌跡的終點(T=∞)是等效開環(huán)傳遞函數(shù)的三個零點，即；本例中，系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)的零點數(shù)m=3,極點數(shù)n=2，即m＞n。我們在前面已經(jīng)指出，這種情況在實際物理系統(tǒng)中一般不會出現(xiàn)，然而在繪制參數(shù)根軌跡時，其等效開環(huán)傳遞函數(shù)卻常常出現(xiàn)這種情況。68

與n＞m情況類似，這時我們認為有m-n條根軌跡起始于S平面的無窮遠處（無限極點）。因此，本例的三條根軌跡的起點(T=0)分別為，和無窮遠處（無限極點）。由規(guī)則三知，實軸上的根軌跡是實軸上-1至-∞線段。由規(guī)則六可求出兩個等效開環(huán)復數(shù)極點的起始角分別為69

由規(guī)則七可求出根軌跡與虛軸的兩個交點，用代入特征方程得由此得到虛部方程和實部方程分別為解虛部方程得的合理值為，代入實部方程求得秒，所以為根軌跡與虛軸的兩個交點。70圖4-14例4-10系統(tǒng)的根軌跡圖71

最后繪制出以時間常數(shù)T為可變參數(shù)的根軌跡圖如圖4-14所示。由根軌跡圖可知，時間常數(shù)秒時，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，T>1秒時，根軌跡在S平面右半部，系統(tǒng)不穩(wěn)定。由此可知，參數(shù)根軌跡在研究非開環(huán)根軌跡增益對系統(tǒng)性能的影響是很方便的。由上面的例子，可將繪制參數(shù)根軌跡的方法歸納為下述兩個步驟：⑴先根據(jù)系統(tǒng)的特征方程求出系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)，使與繪制普通根軌跡的開環(huán)傳遞函數(shù)有相同的形式，即72其中為除開環(huán)根軌跡增益以外的任何參數(shù)，它是繪制參數(shù)根軌跡的可變參數(shù)。⑵然后根據(jù)繪制普通根軌跡的七條基本規(guī)則和等效開環(huán)傳遞函數(shù)繪制出系統(tǒng)的參數(shù)根軌跡。（4-37）73

二正反饋系統(tǒng)的根軌跡

正反饋系統(tǒng)的特征方程是（4-38）即（4-39）由此可得到繪制正反饋系統(tǒng)根軌跡的幅值條件和相角條件分別為（4-40）（4-41）比較式（4-40）和式（4-13）知，正反饋系統(tǒng)和負反饋系統(tǒng)繪制根軌跡的幅值條件相同；74

比較式（4-41）和式（4-14）知，負反饋系統(tǒng)的根軌跡遵循180°相角條件，而正反饋系統(tǒng)的根軌跡遵循0°相角條件。故正反饋系統(tǒng)根軌跡又稱為零度根軌跡。由于相角條件不同，在繪制正反饋系統(tǒng)根軌跡時，須對前面介紹的繪制負反饋系統(tǒng)普通根軌跡的七條基本規(guī)則中與相角條件有關的三條規(guī)則作相應修改，它們是：⑴對規(guī)則四應修改為：正反饋系統(tǒng)根軌跡的漸近線與實軸正方向的夾角應為（4-42）75

⑵對規(guī)則三應修改為：正反饋系統(tǒng)在實軸上的根軌跡只能是那些在其右側的開環(huán)實零點和開環(huán)實極點的總數(shù)為偶數(shù)或零的線段。⑶對規(guī)則六應修改為：正反饋系統(tǒng)的起始角和終止角應為

下面通過示例進一步說明正反饋系統(tǒng)根軌跡的繪制方法。76例4-11已知正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試繪制該系統(tǒng)的根軌跡圖。

解：由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)與例4-7相同。由修改后的規(guī)則三知，實軸上的根軌跡是由0至+∞線段和由-1至-2線段。

由修改后的規(guī)則四知，漸近線與實軸正方向的夾角分別是0°（k=0）、120°（k=1）和-120°（k=2）。

77

在例4-7中，由規(guī)則五求出的極值方程的解有兩個，即和，對于例4-7的負反饋系統(tǒng)，是根軌跡與實軸交點的合理值，因為它是實軸上根軌跡上的一點；不在實軸的根軌跡上，故在例4-7中被舍去。這種情況在本例中正好相反，由于是正反饋系統(tǒng)，實軸上的根軌跡改變了，在實軸的根軌跡上，它是根軌跡與實軸交點（分離點）的合理值，而不在實軸的根軌跡上，應舍去。由此可見，雖然規(guī)則五沒有改變，但在確定分離點時，應考慮規(guī)則三變化的影響。78

本例無共軛復數(shù)開環(huán)零、極點，不存在起始角和終止角問題，根軌跡與虛軸也無交點。本例的根軌跡如圖4-16所示。由圖4-16可看出，三條根軌跡中，有一條從起點到終點全部位于S平面右半部，這就意味著無論為何值，系統(tǒng)都存在S平面右半部的閉環(huán)極點，該正反饋系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的。而有相同開環(huán)傳遞函數(shù)的負反饋系統(tǒng)(例4-7，圖4-1l)，它的臨界軌跡增益，即當時系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，當時系統(tǒng)是穩(wěn)定的。由此可知，在開環(huán)傳遞函數(shù)相同的情況下，負反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性比正反饋系統(tǒng)好。79圖4-16正反饋系統(tǒng)的根軌跡80三非最小相位系統(tǒng)的根軌跡

所謂非最小相位系統(tǒng)，是指那些在S平面右半部有開環(huán)極點和（或開環(huán)零點）的控制系統(tǒng)。所有開環(huán)零點和極點都位于S平面左半部的系統(tǒng)叫最小相位系統(tǒng)。本章前面介紹的示例都是最小相位系統(tǒng)。非最小相位系統(tǒng)一詞源于對系統(tǒng)頻率特性的描述，即在正弦信號的作用下，具有相同幅頻特性的系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)），最小相位系統(tǒng)的相位移最小，而非最小相位系統(tǒng)的相位移大于最小相位系統(tǒng)的相位移。81

例4-12已知負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試繪制該系統(tǒng)的根軌跡圖。

解該系統(tǒng)有一位于S平面右半部的開環(huán)極點（），是非最小相位系統(tǒng)。系統(tǒng)特征方程的最高階次是4，由規(guī)則一、二知該系統(tǒng)有四條連續(xù)且對稱于實軸的根軌跡。四條根軌跡的起點分別是它的四個開環(huán)極點，82

根軌跡的一個終點是它的有限開環(huán)零點，即，其余三個終點均在無窮遠處（無限零點）。由規(guī)則四知，根軌跡的三條漸近線與實軸的交點為漸近線與實軸正方向的夾角分別是60°(k=0),180°(k=1)和-60°(k=2)。83

由規(guī)則三知，實軸上的根軌跡是由0至1線段和-1至-∞線段。由規(guī)則五的分離點方程可求出根軌跡與實軸的交點，即由方程

得，解極值方程得到4個根分別為，，顯然，和為根軌跡與實軸交點的合理值，即和為根軌跡的分離點。

84

由規(guī)則六可求出共軛復數(shù)極點和的起始角分別為根軌跡與虛軸無交點。最后繪制出該系統(tǒng)的根軌跡如圖4-17所示。該非最小相位系統(tǒng)除了有位于S平面右半部的開環(huán)零、極點外，其繪制根軌跡的規(guī)則和步驟與最小相位系統(tǒng)完全相同。需要指出的是，如果非最小相位系統(tǒng)是正反饋系統(tǒng)，在繪制根軌跡時應遵循第四節(jié)介紹的0°相角條件。85圖4-17非最小相位系統(tǒng)的根軌跡86設某負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)的特征方程為

根軌跡方程與正反饋系統(tǒng)的一樣，其幅值條件和相角條件分別為87§4-4系統(tǒng)性能分析

自動控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，由它的閉環(huán)極點唯一確定，其動態(tài)性能與系統(tǒng)的閉環(huán)極點和零點在S平面上的分布有關。因此確定控制系統(tǒng)閉環(huán)極點和零點在S平面上的分布，特別是從已知的開環(huán)零、極點的分布確定閉環(huán)零、極點的分布，是對控制系統(tǒng)進行分析必須首先要解決的問題。解決的方法之一，是第三章介紹的解析法，即求出系統(tǒng)特征方程的根。解析法雖然比較精確，但對四階以上的高階系統(tǒng)是很困難的。88

根軌跡法是解決上述問題的另一途徑，它是在已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)零、極點分布的基礎上，研究某—個和某些參數(shù)的變化對系統(tǒng)閉環(huán)極點分布的影響的一種圖解方法。由于根軌跡圖直觀、完整地反映系統(tǒng)特征方程的根在S平面上分布的大致情況，通過一些簡單的作圖和計算，就可以看到系統(tǒng)參數(shù)的變化對系統(tǒng)閉環(huán)極點的影響趨勢。這對分析研究控制系統(tǒng)的性能和提出改善系統(tǒng)性能的合理途徑都具有重要意義。下面通過示例簡要介紹用根軌跡分析控制系統(tǒng)的方法。89例4-13已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試根據(jù)系統(tǒng)的根軌跡分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和計算閉環(huán)主導極點具有阻尼比時系統(tǒng)的動態(tài)性能指標。

解⑴先根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)和繪制根軌跡的基本規(guī)則繪制出系統(tǒng)的根軌跡圖。系統(tǒng)的特征方程是或90

由規(guī)則一、二知該系統(tǒng)有四條連續(xù)且對稱于實軸的根軌跡，起點分別是系統(tǒng)的四個開環(huán)極點，即，，，；且四條根軌跡都趨向無窮遠處。由規(guī)則三知實軸上的根軌跡是由0至-1線段和由-2至-3線段。由規(guī)則四可求出四條漸近線與實軸的交點為-1.5，它們與實軸正方向的夾角分別是和。

由規(guī)則六可求出根軌跡與實軸的兩個交點（分離點）分別為，。91

由勞斯判據(jù)求根軌跡與虛軸的交點，先根據(jù)特征方程列出勞斯表

111660100

0由行的首項系數(shù)求得，用和代入行輔助方程得到根軌跡與虛軸的交點為。繪制出根軌跡的大致圖形如圖4-18所示。92⑵系統(tǒng)穩(wěn)定性分析由根軌跡圖知，四條根軌跡中有兩條從S平面左半部穿過虛軸進入S平面右半部，它們與虛軸的交點，且交點處對應的臨界開環(huán)根軌跡增益。由開環(huán)根軌跡增益與系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)K之間的關系可求出系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界開環(huán)放大系數(shù)因此，該系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)K小于。⑶系統(tǒng)動態(tài)性能指標首先用作圖法求出滿足阻尼比時系統(tǒng)的主導極點、的位置（假定、滿足主導極點的條件）。方法是作等阻尼比線oA，使oA與實軸負方向的夾角（如圖4-18所示）。93圖4-18例4-13的根軌跡圖94等阻尼比線oA與根軌跡的交點即為滿足阻尼比系統(tǒng)的一個閉環(huán)極點（即系統(tǒng)特征方程的一個根）。測得在S平面上的坐標位置為,由根軌跡的對稱性得到另一共軛復數(shù)極點為。由幅值條件可求出閉環(huán)極點所對應的系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益為將、和代入特征方程，由根和系數(shù)之間關系很容易得到另外兩個閉環(huán)極點、，它們也是一對共軛復數(shù)極點，其結果是由此可計算出95共軛復數(shù)極點與虛軸的距離是共軛復數(shù)極點與虛軸的距離的九倍，且閉環(huán)極點附近無閉環(huán)零點，這說明、滿足主導極點的條件。

該系統(tǒng)可近似地簡化成由閉環(huán)主導極點構成的一個二階系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為此時對應的系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)96過渡過程時間超調量峰值時間

由此可求出系統(tǒng)的各項動態(tài)指標如下：過渡時間的振蕩次數(shù)97⑴根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)和繪制根軌跡的基本規(guī)則繪制出系統(tǒng)的根軌跡圖。⑵由根軌跡在S平面上的分布情況分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果全部根軌跡都位于S平面左半部，則說明無論開環(huán)根軌跡增益為何值，系統(tǒng)都是穩(wěn)定的；如根軌跡有一條（或一條以上）的分支全部位于S平面的右半部，則說明無論開環(huán)根軌跡增益如何改變，系統(tǒng)都是不穩(wěn)定的；如果有一條（或一條以上）的根軌跡從S平面的左半部穿過虛軸進入S平面的右半部（或反之），而其余的根軌跡分支位于S平面的左半部，則說明系統(tǒng)是有條件的穩(wěn)定系統(tǒng)，即當開環(huán)根軌道增益大于臨界值時系統(tǒng)便由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定（或反之）。通過上面的示例可以將用根軌跡分析自動控制系統(tǒng)的方法和步驟歸納如下：98在這種情況下，關鍵是求出開環(huán)根軌跡增益的臨界值。這為我們分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和設計一個穩(wěn)定的系統(tǒng)提供了選擇合適的系統(tǒng)參數(shù)的依據(jù)和途徑。⑶根據(jù)對系統(tǒng)的要求和系統(tǒng)的根軌跡圖分析系統(tǒng)的瞬態(tài)響應指標。對于一階、二階系統(tǒng)，很容易在它的根軌跡上確定對應參數(shù)的閉環(huán)極點，對于三階以上的高階系統(tǒng)，通常用簡單的作圖法（如作等阻尼比線等）求出系統(tǒng)的主導極點（如果存在的話），將高階系統(tǒng)近似地簡化成由主導極點（通常是一對共軛復數(shù)極點）構成的二階系統(tǒng)，最后求出其各項性能指標。這種分析方法簡單、方便、直觀，在滿足主導極點條件時，分析結果的誤差很小。如果求出離虛軸較近的一對共軛復數(shù)極點不滿足主導極點的條件，如它到虛軸的距離不小于其余極點到虛軸距離的五分之一或在它的附近有閉環(huán)零點存在等，這時還必須進一步考慮和分析這些閉環(huán)零、極點對系統(tǒng)瞬態(tài)響應性能指標的影響。99二.附加開環(huán)零、極點對根軌跡的影響

1.附加開環(huán)零點對根軌跡的影響

例4-14已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

（a＞0）試用根軌跡法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果給該系統(tǒng)增加一個開環(huán)零點，試分析附加開環(huán)零點對根軌跡的影響。解⑴原系統(tǒng)的根軌跡如圖4-19所示。由于根軌跡的兩條分支全部位于S平面的右半部，故該系統(tǒng)無論為何值都是不穩(wěn)定的。100圖4-19原系統(tǒng)的根軌跡101⑵如果給原系統(tǒng)增加一個負開環(huán)實零點（b＞0），則開環(huán)傳遞函數(shù)為

當b＜a時，根軌跡的漸近線與實軸的交點為，它們與實軸正方向的夾角分別為90°和-90°，三條根軌跡均在S平面左半部（如圖4-20（a）所示）。這時，無論開環(huán)根軌跡增益為何值，系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。當b＞a時，根軌跡的漸近線與實軸的交點為，這時根軌跡的形狀如圖4-20（b）所示，與原系統(tǒng)相比較，雖然根軌跡的形狀發(fā)生了變化，但仍有兩條根軌跡全部位于S平面右半部，系統(tǒng)仍然是不穩(wěn)定的。102圖4-20(a)附加開環(huán)零點對根軌跡的影響103圖4-20(b)附加開環(huán)零點對根軌跡的影響swj[s]1P2P3P1Z)0(=rK2ab-b-a-b＞a0104

由上面的分析可以看出，附加開環(huán)零點可使原來不穩(wěn)定的系統(tǒng)變成穩(wěn)定系統(tǒng)，但附加零點的取值要適當，否則便達不到預期的目的。下面我們再看一個例子。例4-15已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（）

試分析附加開環(huán)零點對系統(tǒng)性能的影響。解⑴原系統(tǒng)的根軌跡如圖4-21所示，由圖4-21可看出，當系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益時，該系統(tǒng)有兩條根軌跡進入S平面右半部成為不穩(wěn)定系統(tǒng)。105圖4-21例4-15原系統(tǒng)根軌跡106

⑵給原系統(tǒng)增加一附加負實零點（），系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為此時，開環(huán)傳遞函數(shù)分子與分母的最高階次分別為n=3，m=1；n-m=2。因此根軌跡漸近線與實軸正方向的夾角分別為90°和-90°，兩條漸近線垂直于實軸，它們與實軸的交點坐標位置視附加零點的取值而改變，分別討論如下。107

（?。┊敃r，漸近線與實軸的交點

漸近線位于S平面右半部，根軌跡如圖4-22（a）所示。比較原系統(tǒng)的根軌跡（圖4-21），雖然右邊兩條根軌跡形狀發(fā)生了變化，但它們仍進入了平面右半部，當時(為增加了開環(huán)零點后的開環(huán)根軌跡與虛軸交點對應的臨界值)，系統(tǒng)仍是不穩(wěn)定的系統(tǒng)。108圖4-22(a)例4-15中不同附加開環(huán)零點對根軌跡的影響109（ⅱ）當時，漸近線與實軸的交點

漸近線位于S平面左半部，根軌跡如圖4-22（b）所示。此時系統(tǒng)的三條根軌跡全部位于S平面左半部，無論為何值，系統(tǒng)都是穩(wěn)定的系統(tǒng)。（ⅲ）當時，漸近線與實軸的交點也小于零，根軌跡如圖4-22（c）所示。110圖4-22(b)例4-15中不同附加開環(huán)零點對根軌跡的影響111圖4-22(c)例4-15中不同附加開環(huán)零點對根軌跡的影響112

比較圖4-22（b）和4-22（c）會發(fā)現(xiàn)，前者的漸近線離虛軸的距離較后者近。因此，雖然從系統(tǒng)的穩(wěn)定性角度看，二者是一樣的，即無論為何值系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。但從簡化系統(tǒng)以便于分析系統(tǒng)的瞬態(tài)性能的角度看，條件（ⅱ）所對應的圖4-22（b）則優(yōu)于條件（ⅲ）所對應的圖4-22（c）。這是因為圖4-22（b）右邊兩條進入復平面的根軌跡離虛軸較近，容易在其上面找到一對滿足主導極點條件的共軛復數(shù)極點（對應），這時便可將系統(tǒng)簡化成閉環(huán)傳遞函數(shù)為的二階系統(tǒng)，而圖4-22（c）所示系統(tǒng)不能滿足這樣的簡化條件。113如圖4-22（c）所示，如果、、分別為對應的系統(tǒng)參數(shù)的三個閉環(huán)極點，由于＞，共軛復數(shù)極點、不滿足主導極點條件，系統(tǒng)不能簡化成二階系統(tǒng)。但如果圖4-22（c）中，閉環(huán)實極點到虛軸的距離比閉環(huán)共軛復數(shù)極點到虛軸的距離小五倍以上，也可將系統(tǒng)簡化為由閉環(huán)實極點決定的一階系統(tǒng)。綜上分析，我們可以得到如下兩點結論：114

⑴附加負實零點具有將S平面上的根軌跡向左“拉”的作用，且附加零點愈靠近虛軸，這種“拉力”愈強，反之亦然。因此選擇合適的附加零點有可能將系統(tǒng)的根軌跡從平面的右半部全部“拉”到S平面左半部，有利于改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性。⑵適當選擇附加零點的大小，不僅可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還可以改善系統(tǒng)的動態(tài)性能和簡化系統(tǒng)的分析。如上例中滿足條件（ⅱ）的附加零點可使三階系統(tǒng)簡化成由主導極點、所確定的二階系統(tǒng)，適當選擇附加零點的大小，就可以使由、所確定的二階系統(tǒng)滿足響應速度和阻尼比的要求，這在工程實踐上是很有用的。115例4-16已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

（a＞0）

其中為附加開環(huán)極點，試分別繪制原系統(tǒng)（無附加開環(huán)極點）和a=0.5、a=2和a=6時系統(tǒng)的根軌跡圖。

2附加開環(huán)極點對根軌跡的影響

增加開環(huán)極點會使系統(tǒng)的階次升高，一般來說這是不希望的。但有時為了改善系統(tǒng)的某項性能指標（如限制頻帶寬度或減小穩(wěn)態(tài)誤差），附加開環(huán)極點也不失為一種有效途徑。下面通過一個示例分析附加開環(huán)極點對根軌跡的影響。116

解根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)和繪制根軌跡的基本規(guī)則，將無附加開環(huán)極點的原系統(tǒng)和不同附加開環(huán)極點（不同a值）所對應的根軌跡的有關數(shù)據(jù)的計算結果列入表4-1中其對應的根軌跡圖分別如圖4-2（a）、（b）、（c）、（d）所示。由四個根軌跡圖可以看出，附加開環(huán)極點的大小不同（即不同的a值）對根軌跡的形狀會產(chǎn)生很大的影響，即開環(huán)極點（同樣也包括開環(huán)零點）在S平面上位置的微小變化，有可能引起根軌跡形狀的重大變化，這一點務必給予足夠的重視。正是這種根軌跡形狀的變化為系統(tǒng)的分析和設計提供了多種選擇的可能。117表4-1例4-16計算結果a項目無附加開環(huán)極點a=0.5a=2a=6起點

終點118漸近線交點：交角：、交點：交角：、交點：交角：、交點：交角：、

根軌跡與實軸的交點

無

實軸上的根軌跡0→-∞0→-0.50→-20→-6

出射角根軌跡與虛軸的交點119圖4-23(a)例4-16題圖(附加開環(huán)極點對根軌跡的影響)120圖4-23(b)例4-16題圖(附加開環(huán)極點對根軌跡的影響)121圖4-23(c)例4-16題圖(附加開環(huán)極點對根軌跡的影響)j1122圖4-23(d)例4-16題圖(附加開環(huán)極點對根軌跡的影響)123

1.反饋控制系統(tǒng)的結構圖所示，試畫出閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡在和兩種情況下的大致根軌跡，并分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。課堂練習R(s)C(s)_1242.已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為要求（1）繪制系統(tǒng)的根軌跡,并由根軌跡分析系統(tǒng)的性能；（2）求出當時系統(tǒng)的單位階躍響應，并說明響應有無超調。1251.解系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

式中，

當時，閉環(huán)特征方程為按相角條件繪制根軌跡。根軌跡分布在實軸上，

126當時，閉環(huán)特征方程為其幅值條件和相角條件與正反饋系統(tǒng)的相同，故應按零度根軌跡的規(guī)則作圖。

實軸上的根軌跡為，復平面上的根軌跡為一圓。

根軌跡與虛軸的交點及交點處的值可由勞斯判據(jù)求得。

127128系統(tǒng)的根軌跡在復平面上的一部分是一個以有限零點-1為圓心，以有限零點到分離點的距離為半徑的圓分離點的坐標為，相應的值為可由根軌跡分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和振蕩性。129

時系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

對于單位階躍函數(shù)，系統(tǒng)的輸出響應為其拉氏反變換為系統(tǒng)的閉環(huán)極點為-2，-5。系統(tǒng)雖無振蕩特性，但由于系統(tǒng)存在的零點，所以響應有超調現(xiàn)象。

當時間為0.4秒時，超調量為%?？捎?/p>

求得

的最大值和對應的時間。130§4–5應用MAT