群表示理論至節(jié)

群表示理論至節(jié)第1頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二2第一節(jié)1.群表示的定義設V和V’都是線性空間，T是一個變換規(guī)則。如果V中任一向量x在之下對應著中唯一的向量x’，則稱T為V到V’的算符，記作

x’=Tx

，x?V，x’?V’通常情況下，V’是V自身，此時稱T為V上的算符。第2頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二3?x,y?V,?α

,

β

?

數(shù)域P，

若有T(αx+βy)=αTx+βTy則稱T為線性算符。線性空間V上，滿足群定義的線性算符集合構成線性算符群。一個線性空間V上有一個線性算符群

與群G={e,g1,g2,…}同態(tài)，則集合T稱為群G的一個在該線性空間上的表示。V稱為表示空間，V的維數(shù)為表示的維數(shù)。第3頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二4

V：基矢，一個算符一定與一個矩陣對應矩陣群，

選取不同基矢組，T對應不同矩陣群群表示的另一種定義：設G是群，M是一個n維方陣集合，如果M與G同態(tài)

，則稱M是G的一個n維表示。與群元g對應的矩陣M(g)稱為群元g的表示矩陣。如果M與G同構

，則M稱為G的真實(faithful)表示。若同態(tài)，則稱非真實表示。第4頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二52.單位表示單位算符，對應于單位矩陣任一n維空間上，至少有一個單位算符，

，是G的單位表示，也稱恒等表示，或平庸表示。

(一維，n維)

第5頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二63.如何確定群的表示（非單位表示）例1.C3v

群在三維實空間中直角坐標系下的表示。基矢群元g?算符T(g)，則T(g)

是g的一個表示第6頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二7，也可寫成取決于

可按上述思路計算，也可如下計算：？第7頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二8同理，第8頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二9習題：確定D3群在類似情況下的表示。例2.群在以為基矢的二維函數(shù)空間中的矩陣表示。

先考慮一個物理問題：一個物體有溫度分布。g∈G，是一個旋轉操作。g旋轉操作后，r點溫度值=在點的值，第9頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二10新函數(shù)舊函數(shù)，新自變量即，T(g)組成了與群G同構的算符群。?T(g)構成線性空間中的一個群第10頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二11第11頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二12第12頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二13

如果所選的空間基矢（基函數(shù)）不恰當，以致經算符變換后，新基矢不能用原基矢的線性組合表示，則表明所選的線性空間對于所研究的群不是封閉的，即，所選空間不足以表示所研究的群，需要尋找一個更大或更合適的空間來表示該群。群的封閉線性空間：只有當所選取的線性空間在算符群中所有算符的作用下都不變時，算符群才能給出群的表示。第13頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二14一個群的表示有多少種？設矩陣群D是G的表示，對應于群元g的矩陣。有一個非奇異矩陣S，有。對于所有，構成一個矩陣群，也是G的一個表示。稱是的等價表示。（注意：要求對所有群元g∈G，都用一個矩陣S

得到）采用不同的S，可構造出無窮多種表示，彼此都是等價表示。第14頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二15定理1.如果有限群G有一個非單位矩陣表示，則必能通過相似變換將其變?yōu)殓壅仃嚤硎尽＃▽θ我籫∈G,有表示矩陣D(g),可找到一個矩陣S，使，并且。）

相似變換不影響矩陣間的運算關系，所以，一切等價的表示都認為是相同的表示。等價表示構成一個表示的類。第15頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二16證明：群G的一個矩陣表示，，對應于各個群元的表示矩陣。定義,H是厄米陣（）。對于厄米陣H，存在一個幺正陣V使其對角化第16頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二17定義對角矩陣第17頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二18群的一切等價表示都有一個等價的幺正表示。研究群表示時，只需研究其幺正表示形式?？梢?，對于任一g∈G，一定存在非奇異矩陣S=VD1，通過相似變換使一般的群表示變成幺正表示。第18頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二19有無窮多種表示：第19頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二20定理2.如果D1和D2是群G的兩個等價的幺正表示，則有幺正矩陣U，使得。證明：由D1和D2等價可知，存在一個非奇異矩陣S，使得任一元素g，有第20頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二21對厄米陣H,總有幺正矩陣V使其對角化，第21頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二22下面證明U是幺正矩陣：證畢。對有限群，只需研究幺正表示及其幺正變換。第22頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二23若群G有兩個幺正表示D1和D2，則?g∈G，有表示矩陣D1(g)和D2(g)，它們的直和是準對角陣（塊狀對角矩陣）。顯然，這種群表示都是準對角矩陣。第23頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二24推論：可由D1(g)堆積成也是群G的一種表示?？梢?，有無窮多種此類構造的表示，都是準對角矩陣。這種由相同結構的準對角矩陣組成的表示，稱為可約表示(reduciblerepresentation)?？杉s表示的一般定義：

若通過一個矩陣S進行相似變換，可把所有群元的表示矩陣變成相同塊狀對角結構的準對角矩陣，則該矩陣表示就是可約表示。這種相似變換過程稱為可約表示的約化。（可約表示矩陣→塊狀對角矩陣）第24頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二25不可約表示（irreduciblerepresentation）上述情況不成立時的群表示，稱為不可約表示?；蛘哒f，不可約表示是不能用更低維數(shù)的矩陣來描述的表示。推知：可約表示=一系列不可約表示的直和第25頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二26第二節(jié)舒爾引理（Schur′slemma）若有一個非零矩陣A和群G的某一種表示中的所有矩陣對易，（1）若該表示是不可約的，則A必為單位矩陣的常數(shù)倍。（2）若A不是單位矩陣的常數(shù)倍，則該表示必為可約表示。當A是厄米矩陣時，約化矩陣就是使A對角化的矩陣。

*（2）是（1）的逆否命題第26頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二27所以，證明舒爾引理，只需針對A是厄米矩陣這種特殊情況來證明即可。第27頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二28第28頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二若不是的常數(shù)倍，則至少有一個。n維：最多n－1個對角元相同。29設

矩陣對角元有兩種：則設所在空間的基函數(shù)為對應一個算符

，

構成不變子空間?！?/p>

V1是V的子空間，{T}是V上的線性算符群，若{T}只能將V1中的向量變換為V1中的向量，則V1關于{T}中每個算符都是不變的，稱V1是{T}的不變子空間，V1關于{T}不變。第29頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二利用反證法，（1）點易證。30把基矢重新排序為

[P]是由0和1構成的一個幺正矩陣，可使變成塊狀矩陣，可見是可約表示。所以，如果A不是單位矩陣的常數(shù)倍，必是可約表示。約化過程：。第（2）點得證。第30頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二31證明：可約表示必可約化為準對角陣

，構建顯然?g∈G，AD(g)=D(g)A成立，后半部分得證。前半部分可用反證法證明。舒爾引理的逆定理：如果AD(g)=D(g)A，且A只能是

I0的常數(shù)倍，則該表示必是不可約表示。反之，如果該表示是可約的，則必有一個非零且不是I0常數(shù)倍的矩陣A與該表示對易。第31頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二Schur引理的理解：群G有表示D={D(g)，?g∈G}，有一矩陣A和D對易。若所有的A都是cI0，則D是不可約表示。若D是不可約表示，A只能cI0

。若存在A不是cI0

，則D必是可約的；若D是可約表示，則必能找到A≠cI0與D對易。32找到某個矩陣A時，當A≠cI0

，D可約；當A=cI0

，D不一定是不可約的（A也與可約表示對易）。第32頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二判斷表示矩陣是否可約的一種方法：設C是G

的一個共軛類A與G的表示集合D對易，即此法用來構造對易矩陣A，判斷群表示的可約性。33第33頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二群表示理論要解決的問題：1.判斷群表示可約與否？

2.不可約表示有多少個？

3.如何找到所有不可約表示？4.可約表示約化后，由哪些不可約表示構成？5.通過不可約表示研究對稱性群中蘊含的物理意義是什么？

?的本征值n重簡并，則哈密頓算符群有n個不可約表示。

34第34頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二

第三節(jié)不可約表示的正交性定理（表示矩陣元的正交性定理）如果有限群G有兩個不可約幺正表示，則有35第35頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二證明：構建矩陣36第36頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二第37頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二38第38頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二39第39頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二40第40頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二41第41頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二42第42頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二特征標定義對于群G的任一表示D，任一元素g的表示矩陣D(g)，該矩陣的跡稱為群元g在表示D中的特征標。群G中所有g個群元在D中的特征標，稱為表示D的特征標系（也可簡稱特征標）。第j個不可約表示Dj(g)的特征標43第四節(jié)特征標(Character)第43頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二(1)

等價表示的特征標系相同44第44頁，共53頁，2023年，2月20日，星期二（2）同一表示中，同