第四章復(fù)變函數(shù)的級數(shù)

第四章復(fù)變函數(shù)的級數(shù)第1頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二主要內(nèi)容

本章介紹復(fù)變函數(shù)級數(shù)的概念,重點(diǎn)是Taylor級數(shù)、Laurent級數(shù)及其展開.第2頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二1復(fù)數(shù)列的極限2復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)概念§4.1

復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)第3頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二1復(fù)數(shù)列的極限稱為復(fù)數(shù)列,簡稱為數(shù)列,記為定義4.1設(shè)是數(shù)列，是常數(shù).如果e>0,

存在正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時,不等式成立,則稱當(dāng)n時,收斂于或稱是的極限,記作第4頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二復(fù)數(shù)列收斂與實(shí)數(shù)列收斂的關(guān)系定理一

的充分必要條件是此定理說明:

判別復(fù)數(shù)列的斂散性可轉(zhuǎn)化為判別兩個實(shí)數(shù)列的斂散性.第5頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二即同理證明如果則存在正整數(shù)N,從而有使得當(dāng)n>N時,第6頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二從而有反之,

如果那么存在正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時,所以第7頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二2復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念為無窮級數(shù).稱為該級數(shù)的部分和.設(shè)是復(fù)數(shù)列,則稱第8頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二級數(shù)收斂與發(fā)散的概念定義4.2如果級數(shù)的部分和數(shù)列收斂于復(fù)數(shù)S,則稱級數(shù)收斂,這時稱S為級數(shù)的和,并記做如果不收斂，則稱級數(shù)發(fā)散.第9頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)與實(shí)數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂的關(guān)系定理二級數(shù)收斂的充要條件是都收斂,并且說明復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂問題兩個實(shí)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂問題

推論如果級數(shù)收斂,則第10頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二證明由記于是由定理一知收斂的充要條件是與皆收斂,此時顯然有第11頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二解因?yàn)榧墧?shù)收斂,所以原復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)發(fā)散.練習(xí)級數(shù)是否收斂?發(fā)散,而級數(shù)第12頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二證明由定理二知，再由實(shí)數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂的級數(shù)收斂的充要條件是

都收斂必要條件知第13頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二非絕對收斂的收斂級數(shù)稱為條件收斂級數(shù).

定義4.3設(shè)是復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù),如果正項(xiàng)級數(shù)收斂,則稱級數(shù)絕對收斂.

絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)并且

定理三若級數(shù)絕對收斂,則也收斂,

收斂第14頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二證明由于而級數(shù)收斂,由正項(xiàng)級數(shù)收斂的比較判別法,知和收斂.從而和絕對收斂,故收斂.因此級數(shù)收斂.因?yàn)樗缘?5頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二補(bǔ)充因?yàn)樗跃C上可得:因此,如果和都絕對收斂時,也絕對收斂.絕對收斂和都絕對收斂.第16頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二例1

下列數(shù)列是否收斂?如果收斂,求出其極限.第17頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二例2

下列級數(shù)是否收斂?是否絕對收斂.第18頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二定理4.4設(shè)是收斂數(shù)列，則其有界,即存在M>0,使得第19頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二1冪級數(shù)的概念2收斂圓與收斂半徑3收斂半徑的求法§4.2冪級數(shù)4冪級數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)第20頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù).

為該級數(shù)的部分和.設(shè)是定義在區(qū)域D上的復(fù)變函數(shù)列,稱1冪級數(shù)的概念第21頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二稱為該級數(shù)在區(qū)域D上的和函數(shù).如果對下述極限存在則稱級數(shù)在點(diǎn)收斂,且是級數(shù)和.如果級數(shù)在D內(nèi)處處收斂,則稱其在區(qū)域D內(nèi)收斂.此時級數(shù)的和是函數(shù)第22頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二這類函數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱為冪級數(shù).當(dāng)或時,或的特殊情形函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的形式為第23頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二定理一(Abel定理)若級數(shù)在處收斂，則當(dāng)時,級數(shù)絕對收斂;若級數(shù)在處發(fā)散，則當(dāng)時,級數(shù)發(fā)散.第24頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二因而存在正數(shù)M,

使得當(dāng)時,記于是,由正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法知,收斂,因此證明若級數(shù)收斂,則級數(shù)絕對收斂.其余的結(jié)論用反證法易得.第25頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二2收斂圓與收斂半徑

(1)對所有的正實(shí)數(shù)都收斂.級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)絕對收斂.(2)對所有的正實(shí)數(shù)都發(fā)散.級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散.(3)既存在使級數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù),也存在使級數(shù)收斂的正實(shí)數(shù).設(shè)時,級數(shù)收斂;時,級數(shù)發(fā)散.如圖:由,冪級數(shù)收斂情況有三種:第26頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二..收斂圓收斂半徑冪級數(shù)的收斂范圍是以原點(diǎn)為中心的圓域...第27頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二

冪級數(shù)的收斂范圍是因此，事實(shí)上,冪級數(shù)在收斂圓周上斂散性的討問題：冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?以為中心的圓域.收斂半徑根據(jù)前面所述的三種情形,分別規(guī)定為論比較復(fù)雜,沒有一般的結(jié)論,要對具體級數(shù)進(jìn)行具體分析.第28頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二解級數(shù)收斂,級數(shù)發(fā)散.絕對收斂,且有在內(nèi),級數(shù)

例1

求級數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).所以收斂半徑第29頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二3收斂半徑的求法

(3)當(dāng)時,收斂半徑(1)當(dāng)時,收斂半徑(2)當(dāng)時,收斂半徑定理二(比值法)設(shè)級數(shù)如果則形式上可以記為第30頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二證明：由于故知當(dāng)時，收斂。根據(jù)上節(jié)的定理三，級數(shù)在圓內(nèi)收斂。正項(xiàng)級數(shù)達(dá)朗貝爾判別法第31頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二當(dāng)時。假設(shè)在圓外有一點(diǎn)z0,使級數(shù)收斂。反證法在圓外再取一點(diǎn)z1，使，那么根據(jù)Abel定理，級數(shù)必收斂。然而所以這與收斂相矛盾。在圓外發(fā)散。由z0的任意性知級數(shù)第32頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二(3)當(dāng)時,收斂半徑(1)當(dāng)時,收斂半徑(2)當(dāng)時,收斂半徑定理三

(根值法)設(shè)級數(shù)如果則形式上可以記為第33頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二例2

求下列冪級數(shù)的收斂半徑（并且討論在收斂圓周上的情形）；(并討論z=0,2時的情形)第34頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二由于冪級數(shù)在收斂圓的內(nèi)部絕對收斂，因此可得出下面幾個定理.

定理

(1)設(shè)級數(shù)和的收斂半徑分別為和則在內(nèi),4冪級數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)第35頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二

例3

設(shè)有冪級數(shù)與求的收斂半徑第36頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二(2)設(shè)級數(shù)的收斂半徑為r.如果在內(nèi),函數(shù)解析,并且則當(dāng)時,前面關(guān)于級數(shù)的性質(zhì),如果將換成之后,對于級數(shù)當(dāng)然也成立.說明:

上述運(yùn)算常應(yīng)用于將函數(shù)展開成冪級數(shù).第37頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二例4

把函數(shù)表示成形如的冪級數(shù),其中a與b是不相等的復(fù)常數(shù).代數(shù)變形,使其分母中出現(xiàn)湊出

把函數(shù)寫成如下的形式:第38頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二當(dāng)即時,所以第39頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二補(bǔ)例

把函數(shù)在的范圍表示成形如的冪級數(shù)。第40頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二定理四設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為R，那么是收斂圓：內(nèi)的解析函數(shù)。在收斂圓內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪級數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到，即1）它的和函數(shù)f(z),即第41頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二補(bǔ)例

把函數(shù)在的范圍表示成形如的冪級數(shù)。第42頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二3）f(z)在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分，即或第43頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二§4.3泰勒級數(shù)第44頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二冪級數(shù)在收斂圓域內(nèi)收斂于解析函數(shù)。

函數(shù)是否能夠展開成冪級數(shù)。解析能第45頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二R為到D邊界的最短距離

定理

(Taylor展開定理)

設(shè)在區(qū)域D內(nèi)解析,為D內(nèi)的一點(diǎn),.R(D是全平面時,R=+),

則在內(nèi)可展開為冪級數(shù)其中系數(shù)cn按上述表示的冪級數(shù)稱為在點(diǎn)的Taylor級數(shù).

第46頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二..C.R證明對內(nèi)任意一點(diǎn)z,存在r>0,使得并且以z0為圓心,r為半徑作正向圓周由第47頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二因?yàn)楫?dāng)時,..C.R第48頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二從而實(shí)際上積分號下的級數(shù)可在C上逐項(xiàng)積分.第49頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二50第50頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二R為到D邊界的最短距離

定理

(Taylor展開定理)

設(shè)在區(qū)域D內(nèi)解析,為D內(nèi)的一點(diǎn),.R(D是全平面時,R=+),

則在內(nèi)可展開為冪級數(shù)其中系數(shù)cn按上述表示的冪級數(shù)稱為在點(diǎn)的Taylor級數(shù).

第51頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二此定理給出了函數(shù)在z0點(diǎn)的鄰域內(nèi)展開成Taylor級數(shù)的公式,同時給出了展開式的收斂半徑R=|z0-a|,其中a

是離z0最近的f(z)的奇點(diǎn).第52頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二Taylor展開式的唯一性定理

定理設(shè)是D上的解析函數(shù),是D內(nèi)的點(diǎn)，且在內(nèi)可展成冪級數(shù)則這個冪級數(shù)是在點(diǎn)的Taylor級數(shù)，即注任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)的結(jié)果就是泰勒級數(shù)。第53頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二證明因?yàn)樵趦?nèi)，絕對收斂.取則由收斂，得于是有界,即存在

使得則其中所以是收斂的正項(xiàng)級數(shù).第54頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二則由,級數(shù)在上可以逐項(xiàng)積分.又因?yàn)閷⑸鲜皆谏现痦?xiàng)積分，利用

以及因此,解析函數(shù)在一點(diǎn)展開成冪級數(shù)的結(jié)果唯一.第55頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二考慮f(z)的任意展開式顯然又所以第56頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二顯然又所以又第57頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二即第58頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二將函數(shù)展開為Taylor級數(shù)的方法:

1.直接方法;2.間接方法.1.直接方法由Taylor展開定理計(jì)算級數(shù)的系數(shù)然后將函數(shù)f(z)在z0展開成冪級數(shù).第59頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二

例求在的Taylor展開式.所以它在處的Taylor級數(shù)為并且收斂半徑

因?yàn)樵趶?fù)平面上解析，且第60頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二2.間接方法

借助于一些已知函數(shù)的展開式,結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì),冪級數(shù)運(yùn)算性質(zhì)(逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分等)和其它的數(shù)學(xué)技巧(代換等),求函數(shù)的Taylor展開式.間接法的優(yōu)點(diǎn):

不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑,因而比直接展開更為簡潔,使用范圍也更為廣泛.第61頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二例利用并且收斂半徑同理本例利用直接方法也很簡單以及上節(jié)可得第62頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二

例1

求在點(diǎn)鄰域內(nèi)的Taylor級數(shù).解

是的唯一奇點(diǎn),且

故收斂半徑在中，用z替換-z,則逐項(xiàng)求導(dǎo)，得第63頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二

例2

求對數(shù)函數(shù)的主值在z=0點(diǎn)的Taylor級數(shù).負(fù)實(shí)軸向左的射線的區(qū)域內(nèi)解析.因?yàn)?/p>

并且由有

函數(shù)在復(fù)平面中割去從點(diǎn)-1沿第64頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二所以根據(jù)，把上式逐項(xiàng)積分，得第65頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二

例3求冪函數(shù)(a為復(fù)數(shù))的主值支在z=0點(diǎn)的Taylor展開式.第66頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二

解法一

待定系數(shù)法由于可知f(z)滿足微分方程設(shè)

（※）

（※※

）第67頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二將（※※

）帶入（※

）得即比較上式的系數(shù)第68頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二第69頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二所以所求得展開式為第70頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二實(shí)軸向左的射線的區(qū)域內(nèi)解析.因此在內(nèi),可展開為z的冪級數(shù).根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,按照直接方法展開如下:

顯然,在復(fù)平面中割去從點(diǎn)-1沿負(fù)

解法二

第71頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二令z=0,有第72頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二于是第73頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二附:常見函數(shù)的Taylor展開式第74頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二第75頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二1Laurent級數(shù)的概念2函數(shù)的Laurent級數(shù)展開3典型例題§3.4Laurent級數(shù)第76頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二1Laurent級數(shù)的概念本節(jié)將引進(jìn)一種在圓環(huán)域收斂的雙邊冪級數(shù),即Laurent級數(shù).它將在后面討論孤立奇點(diǎn)與留數(shù)中起重要作用.問題：解析函數(shù)能否在奇點(diǎn)處展開成冪級數(shù)？如果能應(yīng)為何種形式？第77頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二負(fù)冪項(xiàng)部分正冪項(xiàng)部分這種雙邊冪級數(shù)的形式為同時收斂Laurent級數(shù)收斂主要部分解析部分第78頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二收斂半徑R收斂域收斂半徑R2收斂域兩收斂域無公共部分,兩收斂域有公共部分第79頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二結(jié)論:.常見的特殊圓環(huán)域:...第80頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二(1)

冪級數(shù)的收斂域是圓域,且和函數(shù)在收斂域內(nèi)解析.(2)在圓域內(nèi)的解析函數(shù)一定能展開成冪級數(shù).對于Laurent級數(shù)，已經(jīng)知道：

Laurent級數(shù)的收斂域是圓環(huán)域，且和函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)解析.

問題:在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否可以展開成Laurent級數(shù)?對于通常的冪級數(shù)，討論了下面兩個問題:?第81頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二2函數(shù)的Laurent級數(shù)展開定理3.15(Laurent展開定理)設(shè)函數(shù)f(z)在圓環(huán)域內(nèi)解析,則函數(shù)f(z)在此環(huán)域內(nèi)可展開為Laurent級數(shù)其中C是圓周的正向.第82頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二證明設(shè)z在圓環(huán)域內(nèi),取正數(shù)r和R,使得作圓周和當(dāng)z在K2上變化時，根據(jù)和Rr.z..第83頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二于是所以與的證明方法相同,可以逐項(xiàng)積分.Rr.z..第84頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二當(dāng)z在K1上變化時，類似有因?yàn)閒(z)在K1上有界,即存在使得z

K1時,Rr.z..第85頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二所以其中由于是收斂的正項(xiàng)級數(shù)，根據(jù),可以逐項(xiàng)積分.根據(jù),Rr.z..第86頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二因此，第87頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二注函數(shù)f(z)展開成Laurent級數(shù)的系數(shù)與展開成Taylor級數(shù)的系數(shù)在形式上完全相同。當(dāng)f(z)在圓環(huán)域內(nèi)解析,如果函數(shù)f(z)在內(nèi)解析，則根據(jù)所以Laurent級數(shù)包含了Taylor級數(shù).cn不能寫為第88頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二Laurent展開式的唯一性定理定理3.16設(shè)函數(shù)f(z)在圓環(huán)域內(nèi)解析,并且可以展開成雙邊冪級數(shù)則其中C的正向.是圓周注函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)Laurent展開式是唯一的.因此為函數(shù)展開成Laurent級數(shù)的間接方法奠定了基礎(chǔ).第89頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二方法,可以證明雙邊冪級數(shù)也可以在C上逐項(xiàng)積分.設(shè)是函數(shù)f(z)在內(nèi)的雙邊冪級數(shù)展開式，則在上,證明利用證明的第90頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二于是在C上取積分得根據(jù)所以第91頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二(1)直接方法直接計(jì)算展開式系數(shù)然后寫出Laurent展開式這種方法只有理論意義,而沒有實(shí)用價值.就是

說,只有在進(jìn)行理論推導(dǎo)時,才使用這種表示方法.將函數(shù)展開為Laurent級數(shù)的方法:

1.直接方法;2.間接方法.第92頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二

根據(jù)解析函數(shù)Laurent級數(shù)展開式的唯一性,可運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去將函數(shù)展開成Laurent級數(shù).(2)

間接方法這是將函數(shù)展開成Laurent級數(shù)的常用方法.

給定函數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的一點(diǎn)以后,函數(shù)在各個不同的圓環(huán)域中有不同的Laurent展開式(包括Taylor展開式作為特例).這與Laurent展開式的唯一性并不矛盾,在同一圓環(huán)域內(nèi)的展開式唯一.第93頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二內(nèi)展開成Laurent級數(shù).

例1

將函數(shù)在圓環(huán)域處都解析,并且可分解為3.4.3典型例題函數(shù)f(z)在z=1和z=2處不解析,在其它點(diǎn)第94頁，共109頁，2023年，