北交 通信系統(tǒng)原理 主要知識點第2章

第2章信號與噪聲分析知識點及層次確知信號時－頻域分析（1） 現(xiàn)代通信系統(tǒng)周期信號的傅氏級數(shù)表示和非周期信號的傅氏積分。（2） 幾個簡單且常用的傅氏變換對及其互易性。（3） 信號與系統(tǒng)特征－卷積相關－維鈉－辛欽定理。隨機過程統(tǒng)計特征（1） 二維隨機變量統(tǒng)計特征。（2） 廣義平穩(wěn)特征、自相關函數(shù)與功率譜特點。（3） 高斯過程的統(tǒng)計特征。高斯型白噪聲統(tǒng)計特征（1）理想白噪聲及限帶高斯白噪聲特征。（2）窄帶高斯白噪聲主要統(tǒng)計特征。以上三個層次是一個層層深入的數(shù)學系統(tǒng)，最終旨在解決信號、系統(tǒng)及噪聲性能分析，是全書各章的基本理論基礎，也是系統(tǒng)分析的最主要的數(shù)學方法。第2章信號與噪聲分析知識點及層次1.確知信號時－頻域分析（1）現(xiàn)代通信系統(tǒng)周期信號的傅氏級數(shù)表示和非周期信號的傅氏積分。（2）幾個簡單且常用的傅氏變換對及其互易性。（3）信號與系統(tǒng)特征－卷積相關－維鈉－辛欽定理。2.隨機過程統(tǒng)計特征（1）二維隨機變量統(tǒng)計特征（2）廣義平穩(wěn)特征、自相關函數(shù)與功率譜特點。（3）高斯過程的統(tǒng)計特征。3.高斯型白噪聲統(tǒng)計特征（1）理想白噪聲及限帶高斯白噪聲特征。（2）窄帶高斯白噪聲主要統(tǒng)計特征。以上三個層次是一個層層深入的數(shù)學系統(tǒng)，最終旨在解決信號、系統(tǒng)及噪聲性能分析，是全書各章的基本理論基礎，也是統(tǒng)分析的最主要的數(shù)學方法。傅里葉分析是從時域、頻域描述信號的有效方法。狹義而言，通信過程更是信號與傳輸信道在頻域相適應的過程。往往信號和系統(tǒng)的頻域特征分析更有利于解決傳輸問題。第二章信號與噪聲分析經(jīng)典例題［例2-1］求圖2-1所示信號f（t）的頻譜月（少）。.■-jT? .” .■-jT? .J1” .■-jT? J"” .”解：月（=~2jAT‘Sa(^(D)■sin(ftu)=-jAT2‘田■Sa2(^-tn)這一結果表明，頻譜是兩部分構成，為虛軸上奇對稱于原點。證實了奇對稱實信號的頻譜為虛頻譜奇對稱形式。［例2-2］由隨機過程定義，典型的數(shù)學表達式是無法寫出的。一般地，在一個確知形式的時間函數(shù)中，若其中一個(或2個)變量是隨機的，稱準隨機過程。設隨機過程乂(f)=才匚恥(0V+曲)，其中匸是均值為0、方差為"2的高斯變量，曲是〔-兀,兀)內(nèi)均勻分布的相位隨機變量，且瓷與曲統(tǒng)計獨立。試證X(t)為廣義平穩(wěn)。X(t)是否遍歷性平穩(wěn)？求X(t)信號功率譜與平均功率。解：這里p(x,t)并沒有給出，而只給出了孑與曲的分布。為此，利用一維隨機變量變換:m(t)=ffcos(o^/+&)■ cos(o^/+曲)]母■應[UQ￡(OV母■應[UQ￡(OV+爾]=0R如p=^X(L)X(L+t-)}=E[孕UO頭珂f+&)■UO或琢+ +曲)]=2]■cos ++匚恥[2列f+(DqT+2&]■cos +^-E[c：q￡(2珂f+珂砒cos(2^)-sin(+珂百)sin(2曲)]

上式第2項的展開將(2時+吋)與2曲分為兩個三角函數(shù)的角度，目的是將只含有隨機變量的成分(即凹)孤立出來。因此第2項二——'cos(2a^j^+^77)'2?[cos(2^?)]- ■sin(2珂f+田加■7?[sin(2曲)]同理，總[如(26>)]=0。，'■第2項為0。 = 叩=禺0)從上結果，m(t)與兔⑺均與時間t無關，RO只與才有關，因此X(t)為廣義平穩(wěn)。(2)據(jù)遍歷性定義，取X(t)中任一樣本函數(shù)x(t),x(f)=其?！?珂(+日)進行時間平均，這里，H已是一個確定值求叫?及&(學+C。mx(/)=ffcos(o^/+=fx0=0時間自相關函數(shù)為：S+書)=Ctz式由也+日)*恥(毗f+^T+ff)di=-—coso^r這一結果中，由于是高斯隨機變量，實際上 只是一個邏輯形式。談不上瓦⑺只與廠有關，與上述結果瓦⑺=十曲吋根本不同，因此X(t)非遍歷。本題x?=Acos^t+3)，A若為常數(shù)，則能得到遍歷平穩(wěn)結論。(3)由維納—辛欽定理，自相關函數(shù)與其功率譜是一對傅氏變換。因此功率譜為渝3)二列兔⑴卜丄-竝&⑷+哪+風少-毗)]功率

［例2-3］信號X(t)為均值等于0,方差的遍歷性平穩(wěn)隨機過程，進行雙邊帶調(diào)幅后，進入窄帶信道傳輸，在有窄帶高斯噪聲n(t)加性干擾后的混合信號為z(t)=X(f)cos(由也+&)+ =s(t)+挖(f)式中毗為高頻載波的角頻率’載頻宀量曲為載波(余弦)信號在(_%陀由均勻分布的相位隨機變量，n(t)為窄帶高斯噪聲。設X(t)、曲、n(t)均統(tǒng)計獨立。1)試給出各種“統(tǒng)計平均”結果。1)試給出各種“統(tǒng)計平均”結果。2)3)z(2)3)z(t)是否平穩(wěn)、遍歷？s(f)=X(ficos(qj￡+曲)是否平穩(wěn)且遍歷？若將z(t)乘以匚^(叱f+曲)，再經(jīng)低通濾波LPF,得到Y(t),如何情況？1)計算均值=°(題設)阻=同疋(￡)込(礪+曲)］=囘乂(￡)］隹［曲(瓊+型］=0(利用了X(t)與、凹統(tǒng)計獨立條件)他=回＞(f)]=總[乂&)]-總[匚恥(0^+&)]+ =0(窄帶n(t)均值為0)2)計算自相關函數(shù)2)計算自相關函數(shù)只曲+門=E［理)或￡+書)］=+砒]■ +0)■cos(o^^+珂百+曲)]由例2-8由例2-8結論)堆(f沁+書)=E[z(t)■z(t+r)]=總|>&)炎+書)］+國嗆)毗+書)］(x、日、n均統(tǒng)計獨立)

這里，需討論的是n(t)的自相關函數(shù)心0)。由于這里是窄帶信道，n(t)為窄帶高斯噪聲,耳&)不能按理想白噪聲寸衣㈤來計算。據(jù)通信實際情況，信道帶寬可限定。理想而言，可作為理想帶通噪聲。功率譜與功率計算X(t)：禺(7)這里，需討論的是n(t)的自相關函數(shù)心0)。由于這里是窄帶信道，n(t)為窄帶高斯噪聲,耳&)不能按理想白噪聲寸衣㈤來計算。據(jù)通信實際情況，信道帶寬可限定。理想而言，可作為理想帶通噪聲。功率譜與功率計算X(t)：禺(7)㈠耳㈣，功率&=$(0)=匸氓094/=總［臚⑴］s(t)：堆⑴㈠扌氓〔少+%)+￡%(少-冉)n(t)：其中，對于n(t)，若按帶寬為B=W的理想帶通信道則其自相關函數(shù)與功率譜的傅氏變換對為芬隔(￥)匚恥叱卩好沫⑷)=yrect+rect參見教材第57~58頁)3)平均功率：信號s(t)：噪聲n(t)：吒=號’2￡=啼(嗨在實際應用中測得)混合z(t)：從以上計算結果，表明s(t)與z(t)均為廣義平穩(wěn)。典)匚Q￡(0V+曲)的計算(即對接收混合信號￡(f)進行相干解調(diào))FJf)=z(￡)cos(ffi(jZ+曲)=[w(f)+“(f)]cos(￡2^Z+&)式中旳(f)=旳[(f)+曲)_?3q(f)sin(￡2和+曲)

■益(f)={[乂(￡)+刑i(￡)]cos(t3J0￡+型-挖q(t)sin(珂￡+0)}cos(o^/+&)=+旳i(￡)][1+cos(2o^￡+2?)]-”q(￡)sin(2列+2邂)經(jīng)LPF：式中：起iC)、 ”Q〔f)分別是窄帶的同相分量與正交分量。第二章信號與噪聲分析精選習題2.1傅里葉變換及信號分析2-1計算下列積分。1):tri(#■)匏)曲1):tri(#■)匏)曲(3)2-2試求下列函數(shù)的傅氏變換對，并繪制其相應的圖形。(1)了⑴=2牝+2)-2牝一2)⑵/(.2-3試求：1)1)(2)乳&)=勻匚恥(砒)與￡(◎=赳如(珂◎互相關函數(shù)。2-4根據(jù)帕氏定理，分別通過時域、頻域以及自相關函數(shù)計算/?=rect^/2)'C0s(2nxlO^)的能量。2-5求出/?=rect(^p)通過具有幅度增益為2的希氏網(wǎng)絡后能量譜和總能量，并給出自相關最大值。2-6已知某信號的自相關函數(shù)艮⑵冷八陽,求它的能量譜密度函數(shù)與仙)和能量與。

2-7已知了?=衛(wèi)如很■比吮(￡-才)，尸=話，試應用調(diào)制定理來求月(呦。2.2概率與隨機變量2-8某基帶二元通信系統(tǒng)(傳輸1，0碼組)，由一部發(fā)信機，一部收信機和信道構成，發(fā)端以一定先驗概率發(fā)送1碼或0碼，若因信道存在干擾，傳輸?shù)浇邮斩?，有造成誤碼的可能。茲設1碼及0碼先驗概率分別為尸(q)=d&.= ，正確轉移概率和丿―卜巧，錯誤轉移概率= ，正確轉移概率和丿―卜巧，錯誤轉移概率<l°J=4j^)=0-05,求:鞏％),內(nèi)』fKK)，貞1』％),4)』％)。2-9假定一個符號是由四個二進制碼元所組成，每個碼元的誤碼概率均為W51)試問該符號發(fā)生錯誤的概率是多少？2)如果連著兩個碼元錯誤才構成該符號的錯誤，則此時符號錯誤概率為多少？3)再求四個碼中可能錯一個碼元、二個碼元、三個碼元的總概率是多少？假定某噪聲信道可以發(fā)四種符號，每種符號都是等概率出現(xiàn)的。由于噪聲的影響，使得每種符號正確接收的概率均為二，而發(fā)生錯誤接收的概率均為扌。試問在接收到一種符號后，判斷發(fā)送端發(fā)出這四種符號的后驗概率各為多2-103少？2-11 1)試問該符號發(fā)生錯誤的概率是多少？2)如果連著兩個碼元錯誤才構成該符號的錯誤，則此時符號錯誤概率為多少？3)再求四個碼中可能錯一個碼元、二個碼元、三個碼元的總概率是多少？假定某噪聲信道可以發(fā)四種符號，每種符號都是等概率出現(xiàn)的。由于噪聲的影響，使得每種符號正確接收的概率均為二，而發(fā)生錯誤接收的概率均為扌。試問在接收到一種符號后，判斷發(fā)送端發(fā)出這四種符號的后驗概率各為多2-103少？2-11 (1)信號X為0均值，均方值為的高斯隨機變量，觀察信號幅度超過的概率是多少?m,(2)假定某地面以上的云層X具有 =1S30m,樂=46°m的高斯隨機變量，求云層比2750mm,率。2.3二維隨機變量2.3二維隨機變量2-12X與Y兩個隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為p(x,y)=0.3&(x-d)S(>-d)+0.5S(x+d)S(>-4)+0.2S(x+2)SCy+2)其中§(')為沖激函數(shù)，川為常數(shù)。試求(1)互相關R(x,y)及協(xié)方差C(x,y)；(2) 能得到最小協(xié)方差時的川值及最小協(xié)方差。隨機過程統(tǒng)計特征2-13設X^=At+b,f》0,其中a為高斯隨機變量，b為常數(shù)，且有九3=冷尹3"，求）的均值、均方值（函數(shù)）。2-14某隨機過程X（l）=（77+^）003^,其中甲和孑是具有0均值，方差為^=^1=2的互不相關的隨機變量，試求⑴疋⑵的均值叫（f）；（2）自相關應理1，耳）；（3）是否廣義平穩(wěn)?隨機信號與高斯噪聲通過系統(tǒng)2-15平穩(wěn)隨機過程X（f）,通過一個特性為=^'）+x^-T）的網(wǎng)絡，試求該系統(tǒng)的輸出功率譜。設x（e）的功率譜為&號（少）。2-16平穩(wěn)隨機過程XG）,均值為1,方差為2,茲有另一個隨機過程Y?=2+3X（f），試求（I）F〔f）是否廣義平穩(wěn)過程？（2）F〔f）的總的平均功率？（3）F（f）的方差是多少？2-17已知：某線性系統(tǒng)的輸出為Y?=XQ2）-X（J-Q，這里輸入 是平穩(wěn)過程。試求（1）F（0的自相關函數(shù)；（2）的功率譜。2.1信號與系統(tǒng)表示法2.1.1通信系統(tǒng)常用信號類型通信系統(tǒng)所指的信號在不加聲明時，一般指隨時間變化的信號。通常主要涉及以下幾種不同類型的信號1.周期與非周期信號周期信號了⑴滿足下列條件：/（f）=y（f+T）全部時域f(2-1)T——了?的周期，是滿足（2-1）式條件的最小時段。因此，該7?也可表示為：(2-2)s? ——是/⑵在一個周期尸內(nèi)的波形（形狀）。若對于某一信號了⑴，不存在能滿足式（2-1）的任何大小的丁值，則不為周期信號（如隨機信號）。從確知信號的角度出發(fā)，非周期信號一般多為有限持續(xù)時間的特定時間波形。2．確知和隨機信號確知信號的特征是：無論是過去、現(xiàn)在和未來的任何時間￡，其取值總是唯一確定的。如一個正弦波形，當幅度、角頻和初相均為確定值時，它就屬于確知信號，因此它是一個完全確定的時間函數(shù)。隨機信號是指其全部或一個參量具有隨機性的時間信號，亦即信號的某一個或更多參量具有不確定取值，因此在它未發(fā)生之前或未對它具體測量之前，這種取值是不可預測的。如上述正弦波中某一參量（比如相位）在其可能取值范圍內(nèi)沒有固定值的情況，可將其表示為：(2-3)其中*0和叱為確定值，日可能是在（0,2n）內(nèi)的隨機取值。3．能量與功率信號在我們常用的電子通信系統(tǒng)中，信號以電壓或電流（變化）值表示，它在電阻尺上的瞬時功率為:%）=吃牛或死）=|邇）「應(2-4)功率尸吃）正比于信號幅度的平方。其歸一化瞬時功率或能量（尺=1Q）表示式為:=1典)I2(2-5)在應=1Q負載上的電壓或者電流信號的（歸一化）能量為:單位時段2丁內(nèi)的平均能量等于該被截短時段內(nèi)信號平均功率。而信號^⑵的總平均功率則為:（2-7）一般地，能量有限的信號稱為能量信號，即o〈丑〈^；而平均功率有限的信號稱為功率信號，即o〈F<-o能量信號與功率信號是不相容的——能量信號的總平均功率（在全時軸上時間平均）等于0，而功率信號的能量等于無限大。通常，周期信號和隨機信號是功率信號；確知而非周期信號為能量信號。從理論上，表示信號的方法很多，但實際上傅立葉分析在信號處理與通信中沿用至今，它將任何函數(shù)波形了（f）均正交分解為一系列正弦波之和表示，在應用上具有很大的廣泛性。在通信系統(tǒng)中，利用變換域，如頻域分析，可更方便地揭示信號本質(zhì)性特點。4．基帶與頻帶信號從信源發(fā)出的信號，最初的表示方法，大都為基帶信號形式（模擬或數(shù)字、數(shù)據(jù)形式），它們的主要能量在低頻段如語音、視頻等。它們均可以由低通濾波器取出或限定，因此又稱為低通信號。為了傳輸?shù)男枰?，特別是長途通信與無線通信，需將源信息基帶信號以特定調(diào)制方式“載荷”到某一指定的高頻載波，以載波的某一、二個參量變化受控于基帶信號或數(shù)字碼流，后者稱為調(diào)制信號，受控后的載波稱為已調(diào)信號或已調(diào)載波，屬于頻帶信號。它限制在以載頻為中心的一定帶寬范圍內(nèi)，因此又稱為帶通信號。2.1.2系統(tǒng)表示法通信系統(tǒng)或信號系統(tǒng)涉及線性時不變系統(tǒng)和非線性的、時變系統(tǒng)。在先行課信號與系統(tǒng)分析中已對線性時不變系統(tǒng)進行過充分研究；一個復雜的通信系統(tǒng)，特別是無線通信系統(tǒng)（如短波信道），需以非線性時變系統(tǒng)分析方法來處理根據(jù)傅立葉分析方法，一個正弦波輸入到系統(tǒng)，響應結果等于相同頻率的另一正弦波的條件有兩個:系統(tǒng)是線性的——遵循迭加原理和比例倍增。如系統(tǒng)輸入為了1⑷和了2⑴，響應各為gl?和也⑴，如果存在乳⑴+去⑵的響應為+ （可迭加性）及衍X（f）+衍比（f）作為激勵，其響應為:辺悟衛(wèi)）+町&（f）（比例倍增）（2-8）其中a、a為任意常數(shù)。則該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。122.系統(tǒng)是時不變的——如果系統(tǒng)激勵為Z?，響應為金,當輸入信號了⑴延<時陽，即了&一斷），而響應也產(chǎn)生同樣延時冷，即€&一切），則該系統(tǒng)為時不變系統(tǒng)。

2.1.3通信系統(tǒng)中的統(tǒng)計分析方法從通信系統(tǒng)的通信過程而言，是具有基于概率統(tǒng)計特征的。從信源到信號表示，有噪信道傳輸和接收，各個環(huán)節(jié)均需利用統(tǒng)計分析方法來處理通信信號及通信系統(tǒng)問題。對于接收者來說，關于信源隨機發(fā)送的信息序列是不確定的，不可預測的，因此屬于一定特征的隨機信號。在傳輸過程中，由于信道介入各種干擾、噪聲，受到污染的信號到達接收端使接收者更增大了不確定程度。因此，基于統(tǒng)計理論的隨機過程和信息論是分析與解決信息傳輸和最佳接收問題的重要理論基礎，這正是本章第4節(jié)開始重點討論的問題。2.2信號頻譜分析概述為了知識的連續(xù)性，同時作為隨機信號分析的基礎，茲概要回顧確知信號傅立葉分析方法。2.2.1傅立葉級數(shù)任何一個周期為F的周期信號/（◎=/&士占門，疋二0丄2…，只要滿足狄里赫利條件，就可以展開為正交序列之和——傅立葉級數(shù)：式中系數(shù)(2-9)式中系數(shù)(2-9)(2-10)了W的均值，即直流分量。式（2—9）中，由總衛(wèi)匚恥挖毗f+打sin川磯f=q匚處心磯f一保則得：

式中：J=又由cosX=ejx+式中：J=又由cosX=ejx+尹則了(f)可表示為指數(shù)形式:(2-12)式中：兀冷爲幾)嚴臨以上三種級數(shù)表示方式實質(zhì)相同。各項之間均為正交，這樣當有限項來逼近了?時，在同樣項數(shù)時，以正交項之和精度最高。2.2.2傅立葉變換非周期信號，即能量信號，其時域表示式通過傅立葉(積分)變換，映射到頻域也可表示信號的全部信息特征——頻譜函數(shù)，更便于信號和系統(tǒng)的分析。信號的傅立葉變換對為頻譜函數(shù)：盹J一2反演式：八)=匸月(亦伽罟”月㈣］(2-13)表示該傅立葉變換對的縮寫符號為：八)j㈣變換對的存在，具有數(shù)學上嚴格的充要條件，這里不再列出。2.2.3卷積與相關1.卷積卷積是當系統(tǒng)沖激響應曲(f)確定后，已知系統(tǒng)的激勵信號于②而求響應^⑵的運算過程。

g(f)=廣7(f-百)血㈤冊=八)*肌f)J_9這一運算模式也可推廣到任何兩個時間函數(shù)X⑷與比⑴或這兩個頻域函數(shù)聲⑷）與也（田）的卷積:時域函數(shù)卷積：心"匚=r敖-訕（咖-加⑴恥）（交換律）J_9(2-14)頻域函數(shù)卷積:(2-14)頻域函數(shù)卷積:恥⑧恥⑧噸㈣=匸月2-沁〔粧=廣耳?一榔Wdx=盡㈣疝㈣J-2(2-15)關系式:(2-15)關系式:啟&片/垃）㈠巧⑷）’也⑷）（卷積定理）啟&片/垃）㈠巧⑷）’也⑷）（卷積定理）(2-16)血②』V）令二片3）*応3）(2-16)血②』V）令二片3）*応3）2n調(diào)制定理）(2-17)2.相關一個函數(shù)可求其自相關函數(shù)耳⑺。兩個函數(shù)ZW與敖），可求它們之間的互相關函數(shù)患（門及自相關函數(shù):陽⑴=匚了⑷了0+g(2-18)互相關函數(shù):

隔㈤訂［皿協(xié)+皿=r皿-訕㈡泗=&心）J一0說=p壬宀）皿）肚=甩（—廠）J一2則有：(2-20)則有：(2-20)耳㈤耳㈤=&1（-們或為⑴=隔（一門（偶對稱性）(2-21)(2-21)(2-22)(2-22)若了②及/1W、了2（f）為周期信號，上列各式利用應￡2.2.4能量譜、功率譜及帕氏定理1.能量譜密度若存在傅立葉變換對能量信號了⑴的能量譜與其自相關函數(shù)也是一對傅立葉變換，即:I①代+砒山o%時（-伍）=F?）嚴a=|月（少）I簡明表示為：這里 一一能量譜函數(shù)，或稱能量譜密度。功率譜密度若存在傅立葉變換對畠），且了?為功率信號，其自相關函數(shù)與其功率譜也是一對傅立葉變換，即:(2-23)上式可表示周期信號和隨機信號兩種情況。周期為F的信號在一個周期的時間平均自相關函數(shù)，隨機信號截短信號的時間自相關函數(shù)，兩者都對應著單位時段能量譜，當時間無限擴展時的時間平均能量譜，等于它們的功率譜，只是當周期信號時，式（2-23）不必用極限運算。因為了（0為隨機信號時不存在周期，以I碼（眄F表示該了⑵的截短段為丁的能量譜，國丁為此段時間平均功率譜，取時間極限后才為該信號準確功率譜。這一計算方式，到后面隨機信號分析將要用到。3?帕氏定理（Parseval） 信號能量與功率的計算帕氏定理：能量譜或功率譜在其頻率范圍內(nèi)，對頻率的積分等于信號的能量或功率，并且在時域、頻域積分，以及自相關函數(shù)廠=0時，三者計算結果是一致的。2.3希爾伯特變換2.3.1希氏變換希氏變換是完全在時域中進行的一種特殊的正交變換。也可以看成它是由一種特殊的濾波器完成的。為了便于理解變換特點，我們首先討論這種變換在頻域中的規(guī)律（規(guī)則），然后再返回到時域來進一步認識它，并且變換后信號以 表示，相應頻譜以 表示。1?希氏（頻域）變換定義若信號存在傅立葉變換對燦宀月⑷），則其希氏變換的頻譜等于該信號頻譜月（少）的負頻域全部頻率成分相移+兀/2,而正頻域相移-?！瓿蛇@種變換的傳遞函數(shù)稱為希氏濾波器傳遞函數(shù)，即有:Hg="Jsgn（曲）（2-25）則希氏變換頻譜為月（曲）■址⑷）=月（田）［-」=（2-26）2希氏（時域）變換定義為了得出時域中進行希氏變換的規(guī)則，可以很簡單地由上述希氏濾波器傳遞函數(shù)丹3，求出其沖激響應忍⑷俎⑷今甘3=_」聞㈣利用傅立葉變換的互易定理，可由（少）反演出W）：俎（（）=丄㈠禺（曲）=-」涵⑷）nI（2-27b）因此希氏變換的時域表示式為：頃幾）｝=九）=/?*-=rf（t-ry丄血=丄廣如矢TitJf TIT JIJ￡-T（2-28）由希式變換的定義：（1） 余弦信號的希式變換等于正弦信號；（2） 正弦信號的希式變換等于余弦信號。希氏變換在本章最后窄帶噪聲統(tǒng)計特征分析中，以及線性調(diào)制單邊帶生成過程中，均有非常重要的作用。2.3.2希氏變換的主要性質(zhì)1?信號了?與其希氏變換/（◎的幅度頻譜、功率（能量）譜以及自相關函數(shù)和功率（能量）均相等。這是由于功率譜、能量譜不反映信號相位特征。相應的，自相關函數(shù)也不反映信號的時間位置。2?了⑴希氏變換 再進行希氏變換表示為了（◎。則有:/?==(2-29)了〔0與/⑴互為正交。為證明最后一個性質(zhì)的正確性，可通過互相關與能量譜進行計算:式中右邊：r =」「［涵月⑺］月（7）4/=0J一2 J一0由上式最后一個積分式可以看出，被積函數(shù)為奇函數(shù)與偶函數(shù)之乘積，因此該項積分等于0。于是，可得正交關系即：（能量信號）J-2(2-31)或帆*匸務幾）九）曲=0（功率信號）（2-32）2.4隨機變量統(tǒng)計特征在數(shù)學課中，已經(jīng)涉及到基于概率論的隨機變量及其統(tǒng)計平均的計算，隨機變量是建立隨機過程和隨機信號分析方法的基礎。這里從公理化概率概念出發(fā)，闡明隨機變量的形成及主要統(tǒng)計平均的運算方法。2.4.1概率的公理概念關于概率概念，在工科數(shù)學中曾從古典概率、幾何概率等，對隨機事件做了描述性說明。這里擬從概率空間角度，對隨機事件及其概率建立數(shù)學模型。一個隨機實驗，嚴格來說主要應滿足下列三個基本特點：（1）實驗（Experiment）在相同條件下是可重復的；（2） 每次重復稱作試驗（Trial），其可能結果（Outcomes）是不可預測的；（3） 一個隨機實驗中的大量試驗，其結果會呈現(xiàn)一定統(tǒng)計規(guī)律。我們利用統(tǒng)計概率概念來描述概率的定義：一個隨機實驗，所有試驗可能結果（Outcomes）稱為樣本（Samples）。其全部樣本集合構成樣本空間用（整集），其中一個樣本或多個有關樣本集合構成的子集稱為￡的事件域月，月中的每一集合（或樣本）稱為事件。這樣若事件貝EH,則戸（衛(wèi)）稱為事件/的概率。于是以上三個要素實體的結合，構成一個概率空間，表示為：P=〔&F,F）。2.4.2隨機變量上面以概率空間B=（S,F,P）表示了隨機實驗及其可能結果的概率模型。在實際應用中，我們希望以更明確的數(shù)學表示，來闡明樣本空間諸事件（集）的統(tǒng)計特性及其相互關系,茲介入“隨機變量”概念。現(xiàn)將樣本空間S中所有事件（樣本）均以某種指定的規(guī)則映射（Mapping）到數(shù)軸上，并以指定的實數(shù)來表示它們。如擲硬幣，兩種可能結果的樣本空間為S=｛H,T），^^分別表示硬幣出現(xiàn)正、反面），映射到數(shù)軸上，可由任意指定兩個實數(shù)作為你的映射規(guī)則（稱X、Y……）—來表示兩個試驗結果。為方便計，可用0、1來表示，即構成一維隨機變量 ，此時它以&=0及竄=1兩種可能的數(shù)值表示，即：*0)=1 (￡=舊)及￡0)=0 (E=T)。如圖2-8（a）所示。它包括了隨機變量的2個“取值”疋（占=0）及疋（E=1）；由此看來，上述 ， 表面上寫法類似于“函數(shù)”，但它們確不是一個函數(shù)，而是變量或變量取值集合。于是，可將隨機變量直接用用，卩……來表示，以免與函數(shù)混淆。其實，隨機變量在數(shù)軸上所表示樣本映射的點（可能的取值），仍與樣本的概率相對應，它們都要附帶其在樣本空間的概率特征，因此賦予一定規(guī)則的映射所指的隨機變量X、F……，尚必須對所有樣本映射點（取值）的概率給予明確表示。后面將具體說明。2.4.3隨機變量的統(tǒng)計特征在數(shù)軸的實數(shù)值代表的樣本空間的樣本或?qū)嶓w，它們并非確定數(shù)，它們只是E中樣本的“數(shù)字符號”形式的代表，因此必須與其概率相對應才有真實意義。E全部樣本的累積概率—整集的概率為1,即F（￡）=l,而隨機變量中的部分事件｛疋童對的概率尸｛用乞?qū)κ且磺胁淮笥谀程囟ㄈ≈奠碾S機變量畫的累積概率，其大小隨X取值變化，因此稱其為概率累積函數(shù)或概率分布函數(shù)（cdf）可表示為：且有：(2-43)式中，理（-3）的含義是不包含所有隨機變量取值（疋任何取值均有卞<-8是不存在的）的累積概率為0而理（g）則包含疋的全部取值所對應的概率之和，即累積之和當然為1（隨機變量完備群概率）。一般地，隨機變量值如有心<也，則有:月工（忑1）€月工（也）,€心接著的問題是，我們尚需了解隨機變量畫各取值疋的概率質(zhì)量（離散時）或概率密度（用為連續(xù)時），即隨機變量乂的概率密度（函數(shù)）pdf,并以戸工⑴或左㈤表示。歹0）與月（對是互為微積分關系:(2-44)這里疋'作為“虛假”變量。當具體取值為及X］、x2,且石〈電，則:戸（兀<疋<疋2）=P（X<花）_P{X<兀）=嘰-鞏和=（2-45）若上式中疋1=-8,也可設為疋的任意值疋，貝I」：F（x）=|'p（xl）dx'（2-46）且有:F（x）=p鞏*）女=1（2-47）2.4.4常用的隨機變量類型1.均勻分布前面例子已涉及到均勻分布隨機變量，即它們的pdf具有均勻分布特征。

又如，產(chǎn)生一個幅度為4,角頻為％的正弦波，=竝遇（琢+日）〈＞,其中若初相日非為某種強制設定的量,可看做日是在（0,2n）內(nèi)均勻分布的隨機變量。2.高斯型分布在自然界中，很多現(xiàn)象符合“中心極限定理”，它與高斯（正態(tài)）分布特征有著密切關系。一維高斯變量用的pdf為：(2-48)由上式看出，對于一個高斯隨機變量，只要已知均值那=及方差",，就能唯一確定其pdf,且可簡寫為"（聊鋁廳；），其中當険==0, 時的高斯分布，其pdf為時，稱其為歸一化高斯分布，即:(2-49)圖2-11示出了一維高斯隨機變量pdf和cdf曲線。本章附錄中列出了該歸一化分布和概率積分函數(shù)：在實際應用中，經(jīng)常需要計算高斯隨機變量乂在珂=叫+上込處的累積概率值，即:任_叫)為了查表方便，先進行歸一化，即設2= 可得：任_叫)為了查表方便，先進行歸一化，即設2= 可得：(2-51)于是通過查閱本章附錄的高斯變量概率積分表，可得準確結果。概率積分函數(shù)有以下性質(zhì)：◎01)=1-(2-52)在通信系統(tǒng)設計與數(shù)字信號誤碼率分析中，經(jīng)常利用“誤差函數(shù)”或“互補誤差函數(shù)”。誤差函數(shù)：(2-53)互補誤差函數(shù)：(2-54)且有：erf(x)=2<X>(V2x)-1(2-55)的數(shù)值。的數(shù)值。本章附錄中列出了誤差函數(shù)表。同時還列出了當忑>>1時近似式3.其它類型的概率分布在通信系統(tǒng)窄帶噪聲分析中（本章最后部分），要用到瑞利（Rayleigh）分布和萊斯（Rice）分布，以及其它類型如波松（Poison）分布，后者用于信號交換排隊分析。隨機過程在通信與信息領域中，存在大量的隨機信號。例如語聲、音樂信號、電視信號，在通信系統(tǒng)中傳輸?shù)臄?shù)字碼流和介入到系統(tǒng)中的干擾和噪聲，均具有各種隨機性特點。要分析此類信號與噪聲和干擾的內(nèi)在規(guī)律性，只有找出它們的統(tǒng)計特征；另一方面，它們均為時間函數(shù)，即它們隨機性變化是表現(xiàn)在時間進程中的，可把它們統(tǒng)稱為隨機過程。2.5.1隨機過程的概念和定義定義1.隨機過程是同一個實驗的隨機樣本函數(shù)的集合,表示為疋（◎七（紐 1=1?2……NT8，其中每個樣本函數(shù)為（f）均為隨機過程的一個成員，也稱為隨機過程的一次（試驗）實現(xiàn)。定義2.隨機過程是隨機變量在時間軸上的拓展。此時可表示為XW）或者與隨機變量用（對表示一樣，為避免誤視為疋的“函數(shù)”，而以 表示隨機過程。隨機過程是含有隨機變量的時間函數(shù)。同時，由定義2，我們也可以說隨機過程是在時間進程中處于不同時刻的（多維）隨機變量集合。2.5.2隨機信號的統(tǒng)計特征和平穩(wěn)隨機過程研究隨機過程的統(tǒng)計特征，為便于理解，我們由定義2及上列兩個圖示，抽出位于不同時間截口的隨機變量，它們?yōu)椋簮u）珂血，?！遥渲腥?Tb，即當如-0就更為典型。此時由多個時間截口的隨機變量構成的隨機過程，其分布函數(shù)可寫為：片工（X鏟疋坯或理（兀,也心右」2如）（2-74）n——表示隨機過程的分布函數(shù)，各兀與右對應，表示在各不同時間截口右處的隨機變量取值為兀，于是,

Px%：Px%：'切)砥1’加J丘W(2-75)其中芒工（和……可/占鳥……切）為隨機過程用（0的概率密度。由此看來，像隨機變量那樣，若利用用卩）的pdf來求解各階多維統(tǒng)計平均是極為復雜的。幸好，在通信及日常應用中，解決一、二維統(tǒng)計特征或統(tǒng)計平均就可滿足一般要求。并且還常常遇到統(tǒng)計特征可以簡化的“平穩(wěn)隨機過程”或“遍歷性”平穩(wěn)過程。1.一維統(tǒng)計特征首先我們可在隨機過程*（f）任意指定時間截口（=￡來看該隨機過程一一它將成為該時刻鮎處的一維隨機過程：它與前面介紹的一維隨機變量并無本質(zhì)區(qū)別，只是表明了它處于某具體時刻心，由于專是任意給定的，也可以去掉下標,。此時，為參變量，可以說一維隨機過程是隨機過程在某一時刻的一維隨機變量，其分布函數(shù)為：F（心）=F匕= <x}(2-76)相應的概率密度函數(shù)為：鞏召右）盲（和）=筈衛(wèi)(2-77)(2-78)由戸（兀f）可以計算出一維隨機過程各統(tǒng)計平均:1）均值函數(shù)

2）方差函數(shù)D［禺切=匚［缺）-心f）］嘖和）血爲J（f）2）方差函數(shù)D［禺切=匚［缺）-心f）］嘖和）血爲J（f）(2-80)（3）均方值（函數(shù)）由(f)=列應)-叫(疔}=E{X2(f)}-2他⑵■E[X{f)]+那J①(2-81)因此，隨機過程用“）的均方值為:呼伽=燈①皿⑵皿①（2-82）此結果在數(shù)學上的意義：表明隨機過程在時刻f的二階原點距等于二階中心距與一階原點距平方之和；在物理方面（電學）來說，隨機過程的瞬時統(tǒng)計平均總功率等于該瞬時交流功率與直流功率之和。2.二維統(tǒng)計平均特征上述一維統(tǒng)計平均反映隨機過程的統(tǒng)計特征是很不充分的，二維統(tǒng)計平均更顯得重要。我們可以在隨機過程x（f）我們可以在隨機過程x（f）中任選兩個時間截口右和^，將X（幼截取為相距T=h~h的兩個隨機變量:相應變量取值為忑1相應變量取值為心相應變量取值為忑1相應變量取值為心這兩個不同時刻的聯(lián)合隨機變量，此時就是二維隨機過程。其二維統(tǒng)計特征為：P2営占ax1ax2利用在時間截口右和毎時的二維pdf,可以求出隨機過程X(f)的二維統(tǒng)計平均，諸如自相關函數(shù),(2-84)自協(xié)方差函數(shù)以及歸一化協(xié)方差函數(shù)——自相關系數(shù)。P2営占ax1ax2利用在時間截口右和毎時的二維pdf,可以求出隨機過程X(f)的二維統(tǒng)計平均，諸如自相關函數(shù),(2-84)自協(xié)方差函數(shù)以及歸一化協(xié)方差函數(shù)——自相關系數(shù)。1)自相關函數(shù)應蠱曲血)=r廣巧也鞏兀也；耳,耳)血1血2=J一9JF糾禺心戌6)］= +四(2-85)式中T=t2 ，由于％可作為參變量選值，因此以f來取代％。2)自協(xié)方差函數(shù)sqm=廣r莊佑)-慫&1)］莊(◎-聊工也)］歹韜,陀；心2)血i牝=JFJ-0DR葢(%沁2)-mx^l)mX )3)自相關系數(shù)55 0<^<1(2-86)(