最優(yōu)化理論與最優(yōu)控制

靜態(tài)最優(yōu)控制——最優(yōu)化問題的解不隨時間變化，

通常又稱為參數(shù)最優(yōu)化問題。即：最優(yōu)控制變量與時間t沒關(guān)系或說在所研究的時間區(qū)域內(nèi)為常數(shù)。

目標(biāo)函數(shù)：多元的普通函數(shù)。

最優(yōu)解：古典微分法對普通函數(shù)求極值方法完成。第一頁，共30頁。

靜態(tài)最優(yōu)化方法：

a.解析法（間接法）無約束條件有約束條件

黃金分割法（0.618法）b.數(shù)值計算法（直接法)區(qū)間消去法插值法

（一維搜索）

爬山法步長加速法

（多維搜索法）

方向加速法c.以梯度法為基礎(chǔ)的方法d.網(wǎng)絡(luò)最優(yōu)化方法第二頁，共30頁。動態(tài)最優(yōu)控制——最優(yōu)化問題的解u（t）隨時間變化特點(diǎn)：受控對象：動態(tài)系統(tǒng)所有變量：時間的函數(shù)

最優(yōu)解：古典變分法求泛函的極值問題

a.動態(tài)最優(yōu)控制緒論及最優(yōu)控制問題的提法b.最優(yōu)控制問題的變分法c.最小值原理及應(yīng)用d.線性二次型最優(yōu)控制問題e.動態(tài)規(guī)劃及應(yīng)用第三頁，共30頁。課程參考教材：1系統(tǒng)最優(yōu)化及控制付曦著機(jī)械工業(yè)出版社電氣自動化新叢書2最優(yōu)控制理論及應(yīng)用解學(xué)書著清華大學(xué)出版社第四頁，共30頁。第一章緒論最優(yōu)控制屬于現(xiàn)代控制技術(shù)的核心內(nèi)容，是現(xiàn)代理論的一個研究熱點(diǎn)和中心話題。現(xiàn)代控制理論：以多變量系統(tǒng)控制、最優(yōu)控制、系統(tǒng)辯識為主要內(nèi)容，最優(yōu)控制發(fā)展早。20世紀(jì)60年代，現(xiàn)代控制理論才得以迅速發(fā)展。我國著名學(xué)者：錢學(xué)森1945年編著的《工程控制論》直接促進(jìn)了最優(yōu)控制理論的發(fā)展和形成。第五頁，共30頁。

世界上對控制理論發(fā)展有特殊貢獻(xiàn)的學(xué)者：

美國著名學(xué)者：貝爾曼（R.E.Bellman）:動態(tài)規(guī)劃1953-1957原蘇聯(lián)著名學(xué)者：龐特里亞金：極小值原理1956-1958，之后控制論得以迅速發(fā)展，發(fā)展和促進(jìn)了許多新的理論學(xué)科。最優(yōu)化技術(shù)要解決的主要問題：研究和解決如何從一切可能的方案中尋找最優(yōu)方案，其間包括以下任務(wù)

1）根據(jù)所提出的最優(yōu)化問題，建立最優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型。確定變量，列出約束條件，確定目標(biāo)函數(shù)（性能指標(biāo)）2）

模型分析，選擇合適的最優(yōu)化求解方法。3）根據(jù)選定的最優(yōu)化算法，編程，求解。

第六頁，共30頁。最優(yōu)化的基本問題：

就是尋找一個最優(yōu)的控制方案或控制規(guī)律，使所研究的對象（或系統(tǒng)）能最優(yōu)地達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)。

例如：1溫度控制系統(tǒng)，如果出現(xiàn)干擾而產(chǎn)生偏差，用什么方法最快消除偏差而使系統(tǒng)恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)。2雷達(dá)高炮隨動系統(tǒng)，當(dāng)發(fā)現(xiàn)敵機(jī)后，如何以最快速度跟蹤目標(biāo)而將敵擊落？

3電梯控制：如何以最快速度平穩(wěn)到達(dá)地面

以上都涉及到：依據(jù)各種不同的研究對象以及人們預(yù)期達(dá)到的目的，尋求一個最優(yōu)控制規(guī)律u（t）的問題，這就是最優(yōu)控制的基本問題的發(fā)展過程。第七頁，共30頁。三、最優(yōu)控制問題的發(fā)展過程：古典法

50年代以前，自動控制系統(tǒng)設(shè)計有兩種方法解析法

這兩種方法都是以傳遞函數(shù)為數(shù)學(xué)模型，來表征系統(tǒng)特征。在S域或Z域內(nèi)用經(jīng)典控制論進(jìn)行設(shè)計，對簡單的線性調(diào)節(jié)系統(tǒng)，方法有效。R（S）U（S）C（S）

第八頁，共30頁。一）古典法：（工程試操法）根據(jù)對象G（S），確定控制器GC（S），使系統(tǒng)滿足各項性能指標(biāo)，如：超調(diào)量，上升時間，增益裕度，相位裕度。缺點(diǎn)：系統(tǒng)設(shè)計不是最優(yōu)的，所得結(jié)果不是唯一解。改進(jìn)：解析法：力求使設(shè)計的系統(tǒng)按一定指標(biāo)要求來達(dá)到最優(yōu)，從這個意義上講，解析法比古典法更前進(jìn)一步。二）

解析法：

核心：目標(biāo)函數(shù)為最小。設(shè)計目標(biāo)：求相應(yīng)得目標(biāo)函數(shù)，使誤差的平方積分值Je為小。

第九頁，共30頁。局限性：系統(tǒng)設(shè)計僅限于單變量系統(tǒng)，線性定常系統(tǒng)為控制對象，設(shè)計目標(biāo)僅局限于使誤差最小。50年代中期，隨著最優(yōu)控制在航空航天領(lǐng)域中的應(yīng)用，使局限性有了突破——最優(yōu)控制論設(shè)計系統(tǒng)。1）用狀態(tài)空間法研究線性控制系統(tǒng)，提出了可控可觀的概念。注意：若系統(tǒng)是不可控的，則最優(yōu)控制問題的解是不存在的2）動態(tài)規(guī)劃法和最優(yōu)化原理3）極大值原理第十頁，共30頁。

總結(jié)：最優(yōu)控制是現(xiàn)代控制理論的核心，它的主要內(nèi)容是：在滿足一定的約束條件下，根據(jù)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，尋求最優(yōu)控制，使目標(biāo)函數(shù)為極大或極小。用最優(yōu)控制設(shè)計系統(tǒng)與傳統(tǒng)解析法相比，特點(diǎn)如下：1）

適用于多變量，非線性，時變系統(tǒng)的設(shè)計2）

初始條件可任意3）

可以滿足多個目標(biāo)函數(shù)的要求，并可用于多個約束的情況4）

便于計算機(jī)求解第十一頁，共30頁。1、無約束與有約束的最優(yōu)化問題若系統(tǒng)控制變量的取值范圍不受限制，則為無約束的最優(yōu)化問題，反之為有約束的最優(yōu)化問題。

實際系統(tǒng)大多為有約束的最優(yōu)化問題等式約束

約束條件

不等式約束第十二頁，共30頁。2、確定性和隨機(jī)性最優(yōu)化問題確定性：每個變量的取值是確定的，可知的。隨機(jī)性：某些變量的取值是不確定的，但可根據(jù)大量的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，知道變量服從一定的概率分布。3、線性和非線性的最優(yōu)化問題

線性：目標(biāo)函數(shù)和所有的約束條件式均為線性（即它們是變量的線性函數(shù)）稱為線性最優(yōu)化。非線性：目標(biāo)函數(shù)或約束式中有一個是變量的非線性函數(shù)，稱為非線性最優(yōu)化。4、靜態(tài)最優(yōu)化和動態(tài)最優(yōu)化:前面已論述。第十三頁，共30頁。建立數(shù)學(xué)模型是求解最優(yōu)控制問題的第一步建模過程包括：確定變量（輸入變量，輸出變量，控制變量）列出約束條件

建立目標(biāo)函數(shù)

數(shù)學(xué)模型表征了受控動態(tài)系統(tǒng)在運(yùn)動過程中所遵循的物理或化學(xué)規(guī)律。第十四頁，共30頁。狀態(tài)變量

控制變量

通常又表征為（線性系統(tǒng)）線性時變系統(tǒng)線性時不變系統(tǒng)A(t)，B(t)：時變矩陣

A，B：定常矩陣1）數(shù)學(xué)模型的表征：狀態(tài)方程表達(dá)式：

第十五頁，共30頁。2)有關(guān)數(shù)學(xué)模型中變量的邊界條件，即系統(tǒng)的初態(tài)和終態(tài)，即

確定：，。一個動態(tài)過程，歸根到底，是狀態(tài)空間中的狀態(tài)由初態(tài)轉(zhuǎn)移到

的過程

目標(biāo)函數(shù)(性能指標(biāo)，性能泛函，目標(biāo)泛函)：是衡量“控制作用”效果的性能指標(biāo)。為了實現(xiàn)動態(tài)過程中狀態(tài)從

第十六頁，共30頁?？梢酝ㄟ^不同的控制來完成，控制效果的好壞，可通過能否達(dá)到所規(guī)定的目標(biāo)函數(shù)來判別。目標(biāo)函數(shù)對不同的問題，有不同的表征：如：時間最短，燃料最少，成本最低等。3）容許控制實際系統(tǒng)，

都有規(guī)定的取值范圍，它對應(yīng)于M維控制空間中的某一個集合，的每一個取值對應(yīng)于中的一個元素容許控制即u(t)受約束：極小值原理求解可任意取值

經(jīng)典變分法求解。

第十七頁，共30頁。有不同的控制作用可以完成。為了評價各種控制作用的優(yōu)劣，需用性能指標(biāo)評價。性能指標(biāo)中的形式取決于最優(yōu)控制問題要完成的任務(wù)，不同的最優(yōu)控制問題。不同的性能指標(biāo)，采用不同的控制作用,性能指標(biāo)J不同。

J是控制u(t)的函數(shù)，通常表示為：

第十八頁，共30頁。的幾種形式：<1>

積分型性能指標(biāo)：

<2>末值型性能指標(biāo)：<3>綜合型性能指標(biāo)：

特殊情況，二次型性能指標(biāo)：

第十九頁，共30頁。最優(yōu)控制問題的提法

數(shù)學(xué)描述

如下：

1.給定系統(tǒng)狀態(tài)方程：

或

式中：為n維狀態(tài)向量；：m維狀態(tài)向量()為n維狀態(tài)向量函數(shù)，且對連續(xù)可微

第二十頁，共30頁。

容許控制u(t)在m維的有界閉集U中取值，即：2.給定初始條件：3.明確終端條件：

x(t)滿足目標(biāo)集：S：

P×1維向量函數(shù)4給定性能指標(biāo)：

第二十一頁，共30頁。

問題提出：確定一個最優(yōu)控制，使系統(tǒng)從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到終端狀態(tài)，并使性能指標(biāo)J[u]為極大（小)值，此時，稱為最優(yōu)控制作用，記為。代入所得為最優(yōu)狀態(tài)軌線。J為最優(yōu)性能指標(biāo)。例題分析：[數(shù)學(xué)描述]登月火箭到達(dá)月球表面時的軟著陸問題：火箭飛行的最后階段，進(jìn)入了月球的引力范圍,當(dāng)火箭垂直自由降落到距離月球表面為h的地方時，要求火箭速度為0，并且燃料消耗為最小。第二十二頁，共30頁。mgt=t火箭F(制動力)

月球表面

分析：在火箭速度降為0之前，

制動力與燃料消耗成正比

其中：K：常數(shù)，m：火箭（包括燃料的質(zhì)量）火箭從開始減速，到時速度為0，第二十三頁，共30頁。

即x:垂直距離過程運(yùn)動方程為：

mg：月球引力

邊界條件：

時：

時：

自由，

自由

約束條件：燃料消耗率約束：

燃料消耗有限制，不能太多

第二十四頁，共30頁。

問題提出：

確定，即確定系統(tǒng)的制動力規(guī)律，使火箭制動階段燃料消耗最少最優(yōu)控制問題數(shù)學(xué)描述：首先選一組狀態(tài)變量，將微分方程化為狀態(tài)方程，并確定相應(yīng)的初始狀態(tài)和末端狀態(tài).由：第二十五頁，共30頁。令：

則

：

u目標(biāo)函數(shù)：

第二十六頁，共30頁。求取最優(yōu)控制，使得受控系統(tǒng)由初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到末端狀態(tài)，所消耗的燃料最小，即J最小。注意：1）J是u的函數(shù)2）有約束，是容許控制最優(yōu)控制問題的提法很多，實例很多，不再講述，不論什么樣的問題，其分析思路都是一樣的，給出問題的描述方法也是相同的。根據(jù)系統(tǒng)初態(tài)，末端的不同，最優(yōu)控制有以下特例：第二十七頁，共30頁。最優(yōu)控制的幾個特例：

1)終端狀態(tài)給定

固定端點(diǎn)的最

1.給定優(yōu)控制問題2)終端狀態(tài)自由，可任意取值自由端點(diǎn)的最優(yōu)控制問題1）終端時刻

已知

固定端點(diǎn)時間的2.若初始時刻t已知最優(yōu)控制問題

2）終端時刻未知

自由端點(diǎn)時間