北師大九年級(jí)上冊(cè)特殊的平行四邊形講義精編版

一、知識(shí)點(diǎn)串講1、多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于（n≥3，n是正整數(shù)）；2、平行四邊形的性質(zhì)：①平行四邊形的對(duì)邊相等；②平行四邊形的對(duì)角相等；③平行四邊形的對(duì)角線互相平分；平行四邊形的判定：①兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；②兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；③對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；④一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。3、矩形的性質(zhì)：（除具有平行四邊形所有性質(zhì)外）①矩形的四個(gè)角都是直角；②矩形的對(duì)角線相等；矩形的判定：①有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；②對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；4、菱形的特征：（除具有平行四邊形所有性質(zhì)外①菱形的四邊相等；②菱形的對(duì)角線互相垂直平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形的判定：四邊相等的四邊形是菱形；5、正方形的特征：①正方形的四邊相等；②正方形的四個(gè)角都是直角；③正方形的兩條對(duì)角線相等，且互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的判定：①有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；②有一組鄰邊相等的矩形是正方形。6、平面圖形的鑲嵌：任意一個(gè)三角形、四邊形或正六邊形可以鑲嵌平面；考點(diǎn)一1.會(huì)根據(jù)條件選擇適當(dāng)方法判定平行四邊形典型例題例1．如圖，在ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，當(dāng)E、F滿足下列哪個(gè)條件時(shí)，四邊形DEBF不一定是平行四邊形（）A．OE=OFB．DE=BFC．∠ADE=∠CBFD．∠ABE=∠CDF【分析】雖然判別平行四邊形可從“邊、角、對(duì)角線”三個(gè)角度來(lái)考慮，但此例圖中已有對(duì)角線，所以最適當(dāng)方法應(yīng)是“對(duì)角線互相平分的四邊形為平行四邊形”．考點(diǎn)二會(huì)用“階梯型”思路判定特殊平行四邊形典型例題例2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足為D，交AB于點(diǎn)E，又點(diǎn)F在DE的延長(zhǎng)線上，且AF=CE．求證：四邊形ACEF為菱形．考點(diǎn)三會(huì)解決與特殊平行四邊形有關(guān)的動(dòng)手操作問(wèn)題典型例題例3．如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=3，BC=6，沿EF折疊后，點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)P處，點(diǎn)D落在點(diǎn)Q處，AD與PQ相交于點(diǎn)H，∠BPE=30°．（1）求BE、QF的長(zhǎng)．（2）求四邊形PEFH的面積．【分析】折疊型試題是近年中考試題的熱點(diǎn)，要想解好此類題，考生必須有想像力，抓住折疊的角與邊不發(fā)生變化，必要時(shí)需要考生剪一個(gè)四邊形實(shí)際折疊一下幫助理解．考點(diǎn)四平行四邊形中的一題多解及其變式練習(xí)典型例題例4.已知：如圖，平行四邊形ABCD中，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，求：BE=DF【分析】欲證線段相等，通常轉(zhuǎn)化證三角形全等結(jié)合平行四邊性質(zhì)，找到證法一。證法一：∵在平行四邊形ABCD中，AB=DC，AB∥DC，∴∠BAE=∠DCF∵BE⊥AC，DF⊥AC∴∠AEB=∠CFD=90°在△ABE與△CDF中AB=DC∠BAE=∠DCF∠AEB=∠CFD∴△ABE≌△CDF∴BE=DF【分析】由題設(shè)發(fā)現(xiàn)S△ABC=S△ADC。便萌生計(jì)算三角形面積公式，便可得到證法：證法二：在平行四邊形ABCD中，S△ABC=S△CDA∴AC·BE=AC·DF∴BE=DF一、選擇題1.下列四邊形中，對(duì)角線一定不相等的是（）A.正方形B.矩形C.等腰梯形D.直角梯形2.從菱形的鈍角頂點(diǎn)向?qū)堑膬蓷l邊作垂線，垂足恰好是該邊的中點(diǎn)，則菱形的內(nèi)角中鈍角的度數(shù)是（）A.150°B.135°C.120°D.100°4、在菱形ABCD中，且E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，那么（）A、B、C、45D、10、正方形具有而菱形不具有的性質(zhì)是（）A、四個(gè)角都是直角B、兩組對(duì)邊分別相等C、內(nèi)角和為D、對(duì)角線平分對(duì)角3、下列條件中，能判定一個(gè)四邊形為菱形的條件是()A、對(duì)角線互相平分的四邊形B、對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形C、對(duì)角線相等的四邊形D、對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形4、下列對(duì)矩形的判定：“（1）對(duì)角線相等的四邊形是矩形；（2）對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形；（3）有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形；（4）有四個(gè)角是直角的四邊形是矩形；（5）四個(gè)角都相等的四邊形是矩形；（6）對(duì)角線相等，且有一個(gè)直角的四邊形是矩形；（7）一組鄰邊垂直，一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是矩形；（8）對(duì)角線相等且互垂直的四邊形是矩形”中,正確的個(gè)數(shù)有（）A、3個(gè)B、4個(gè)C、5個(gè)D、6個(gè)5、過(guò)四邊形ABCD的頂點(diǎn)A、B、C、D作BD、AC的平行線圍成四邊形EFGH,若EFGH是菱形,則四邊形ABCD一定是()A、平行四邊形B、菱形C、矩形D、對(duì)角線相等的四邊形6、矩形的內(nèi)角平分線能夠組成一個(gè)（）A、矩形B、菱形C、正方形D、平行四邊形7.順次連接一個(gè)四邊形的各邊中點(diǎn)，得到了一個(gè)矩形，則下列四邊形中滿足條件的是（）

①平行四邊形;②菱形;③等腰梯形;④對(duì)角線互相垂直的四邊形.A.①③B.②③C.③④D.②④8、矩形的一條長(zhǎng)邊的中點(diǎn)與另一條長(zhǎng)邊構(gòu)成等腰直角三角形，已知矩形的周長(zhǎng)是36，則矩形一條對(duì)角線的長(zhǎng)是（）A、B、5C、D、38、已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是10cm，是等邊三角形，點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在CD上，則BP的邊長(zhǎng)是（）A、cmB、cmC、cmD、cm9、菱形的周長(zhǎng)為20,兩鄰角的比為2∶1，則一組對(duì)邊的距離為（）A、EQ\F(\r(,3),2) B、EQ\F(3\r(,3),2) C、3EQ\r(,3) D、EQ\F(5\r(,3),2)4.已知一矩形的兩邊長(zhǎng)分別為10cm和15cm，其中一個(gè)內(nèi)角的平分線分長(zhǎng)邊為兩部分，這兩部分的長(zhǎng)為（）A.6cm和9cmB.5cm和10cmC.4cm和11cmD.7cm和8cm5.如圖，在矩形QUOTE中，QUOTE分別為邊QUOTE的中點(diǎn).若QUOTE，QUOTE，則圖中陰影部分的面積為（）A.3B.4C.6D.8第6題圖第5題圖 第6題圖第5題圖6.如圖，在菱形QUOTE中，QUOTE，∠QUOTE，則對(duì)角線QUOTE等于（）A.20B.15C.10D.57.若正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為2cm，則這個(gè)正方形的面積為（）A.4QUOTEB.2QUOTEC.QUOTED.QUOTE8.矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是（）A.每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角 B.對(duì)角線相等C.對(duì)角線互相平分 D.對(duì)角線互相垂直9.如圖，將一個(gè)長(zhǎng)為QUOTE，寬為QUOTE的矩形紙片先按照從左向右對(duì)折，再按照從下向上的方向?qū)φ蹆纱魏?，沿所得矩形兩鄰邊中點(diǎn)的連線（虛線）剪下（如圖（1）），再打開(kāi)，得到如圖（2）所示的小菱形的面積為（）A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE 第10題圖第9題圖（1） 第10題圖第9題圖10.如圖是一張矩形紙片QUOTE，QUOTE，若將紙片沿QUOTE折疊，使QUOTE落在QUOTE上，點(diǎn)QUOTE的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)QUOTE，若QUOTE，則QUOTE（）A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE二、填空題（每空1分，共11分）6、將長(zhǎng)為12，寬為5的矩形紙片ABCD沿對(duì)角線AC對(duì)折后，AD與BC交于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)度為_(kāi).7、從矩形的一個(gè)頂點(diǎn)作一條對(duì)角線的垂線，這條垂線分這條對(duì)角線成1:3兩部分，則矩形的兩條對(duì)角線夾角為_(kāi).8、菱形兩條對(duì)角線長(zhǎng)度比為1:,則菱形較小的內(nèi)角的度數(shù)為_(kāi).9、正方形的一條對(duì)角線和一邊所成的角是_度.10、已知四邊形ABCD是菱形，是正三角形，E、F分別在BC、CD上，且，則_.12.如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別從點(diǎn)B，D同時(shí)以同樣的速度沿邊BC，DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).給出以下四個(gè)結(jié)論：①Q(mào)UOTE;②∠QUOTE∠QUOTE;③當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，DC的中點(diǎn)時(shí)，△AEF是等邊三角形；④當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，DC的中點(diǎn)時(shí)，△AEF的面積最大.上述正確結(jié)論的序號(hào)有13.如圖，四邊形ABCD是正方形，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)E，使QUOTE，則∠BCE的度數(shù)是_.14.如圖，矩形QUOTE的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)QUOTE，過(guò)點(diǎn)QUOTE作QUOTE的垂線QUOTE，分別交QUOTE，QUOTE于點(diǎn)QUOTE，QUOTE，連接QUOTE，已知△QUOTE的周長(zhǎng)為24cm，則矩形QUOTE的周長(zhǎng)是_cm.15.已知，在四邊形ABCD中，，若添加一個(gè)條件即可判定該四邊形是正方形，那么這個(gè)條件可以是____________.16.已知菱形的周長(zhǎng)為QUOTE，一條對(duì)角線長(zhǎng)為QUOTE，則這個(gè)菱形的面積為_(kāi)________.17.如圖，矩形QUOTE的對(duì)角線QUOTE，QUOTE，則圖中五個(gè)小矩形的周長(zhǎng)之和為_(kāi)______.CDCDAB

第17題圖第18題圖ABCDO18.如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線QUOTE與QUOTE相交于點(diǎn)O，且QUOTEQUOTE，則BD的長(zhǎng)為_(kāi)_______cm，BC的長(zhǎng)為_(kāi)______cm.三、解答題（第1、2小題各10分，第3、4小題各5分，共30分）ABCDEF圖31、如圖3，AB//CDABCDEF圖3CE=CD，DE和AC相交于點(diǎn)F.求證：（1）；（2）.2、如圖4，ABCD為平行四邊形，DFEC和BCGH為正方形.求證：.AABCDEFHG2、如圖6，在矩形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)且AE=AD，又于點(diǎn)F，證明：EC=EF.圖圖6ABCDEF3、如圖7，已知P是矩形ABCD的內(nèi)的一點(diǎn).求證：.AABCDP圖719.（8分）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC外角的平分線，已知∠BAC=∠ACD.（1）求證：△ABC≌△CDA；（2）若∠B=60°，求證：四邊形ABCD是菱形.20.（8分）如圖，在□ABCD中，E為BC邊上的一點(diǎn)，連接AE、BD且AE=AB.（1）求證：∠ABE=∠EAD；（2）若∠AEB=2∠ADB，求證：四邊形ABCD是菱形.22.（8分）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的點(diǎn)，且∠EDF=45°.將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM.（1）求證：EF=FM；（2）當(dāng)AE=1時(shí)，求EF的長(zhǎng).23.（8分）如圖，在矩形QUOTE中，QUOTE相交于點(diǎn)QUOTE，QUOTE平分QUOTE，交QUOTE于點(diǎn)QUOTE.若QUOTE，求∠QUOTE的度數(shù).25.(8分)已知：如圖，在四邊形QUOTE中，