電磁場理論第一章

電磁場理論第一章第1頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一一、電磁學(xué)發(fā)展史二、該課程的基本內(nèi)容三、場的基本概念四、學(xué)習(xí)的目的、方法及其要求序論第2頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一一、電磁學(xué)發(fā)展史1.電現(xiàn)象最早的記載：公元前600年左右（摩擦起電）2.1745年，荷蘭萊頓大學(xué)教授馬森布羅克制成了萊頓瓶，可以將電荷儲存起來，供電學(xué)實(shí)驗(yàn)使用，為電學(xué)研究打下了基礎(chǔ)。3.1752年7月，美國著名的科學(xué)家、文學(xué)家、政治家富蘭克林（正電、負(fù)電；電荷守恒；避雷針）的風(fēng)箏試驗(yàn)，證實(shí)了閃電是放電現(xiàn)象，從此拉開了人們研究電學(xué)的序幕。第3頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一4.1753年，俄國著名的電學(xué)家利赫曼在驗(yàn)證富蘭克林的實(shí)驗(yàn)時(shí)，被雷電擊中，為科學(xué)探索獻(xiàn)出了寶貴的生命。5.1638年，在我國的某些建筑學(xué)的書籍中就有關(guān)于避雷的記載：屋頂?shù)乃慕嵌急坏耧棾升堫^的形狀，仰頭、張口，在它們的舌頭上有一根金屬芯子，其末端伸到地下，如有雷電擊中房頂，會順著龍舌引入地下，不會對房屋造成危險(xiǎn)。6.1771~1773年間，英國科學(xué)家卡文迪許進(jìn)行了大量的靜電試驗(yàn)，證明在靜電情況下，導(dǎo)體上的電荷只分布在導(dǎo)體表面上。第4頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一7.1785年，法國科學(xué)家?guī)靵鲈趯?shí)驗(yàn)規(guī)律的基礎(chǔ)上，提出了第一個電學(xué)定律：庫侖定律。使電學(xué)研究走上了理論研究的道路。8.1820年，由丹麥的科學(xué)家奧斯特在課堂上的一次試驗(yàn)中，發(fā)現(xiàn)了電的磁效應(yīng)，從此將電和磁聯(lián)系在一起。9.1822年，法國科學(xué)家安培提出了安培環(huán)路定律，將奧斯特的發(fā)現(xiàn)上升為理論。10.1825年，德國科學(xué)家歐姆得出了第一個電路定律：歐姆定律。11.1831年，英國實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家法拉第發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng)定律。并設(shè)計(jì)了世界上第一臺感應(yīng)發(fā)電機(jī)。第5頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一12、1840年，英國科學(xué)家焦耳提出了焦耳定律，揭示了電磁現(xiàn)象的能量特性。13、1848年，德國科學(xué)家基爾霍夫提出了基爾霍夫電路理論，使電路理論趨于完善。奧斯特的電生磁和法拉第的磁生電奠定了電磁學(xué)的基礎(chǔ)。14、電磁學(xué)理論的完成者---英國的物理學(xué)家麥克斯韋（1831~1879）。麥克斯韋方程組---用最完美的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了宏觀電磁學(xué)的全部內(nèi)容

。麥克斯韋從理論上預(yù)言了電磁波的存在。第6頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一15.1866年，德國的西門子發(fā)明了使用電磁鐵的發(fā)電機(jī)，為電力工業(yè)開辟了道路。16.1876年，美國貝爾發(fā)明了電話，實(shí)現(xiàn)了電聲通信。17.1879年，美國發(fā)明家愛迪生發(fā)明了電燈，使電進(jìn)入了人們的日常生活。

18.1887年，德國的物理學(xué)家赫茲首次用人工的方法產(chǎn)生了電磁波。19.隨之，俄國的波波夫和意大利的馬可尼，利用電磁波通信獲得成功，開創(chuàng)了人類無線通信的新時(shí)代。第7頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一

矢量分析（電磁場理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)）、場論基礎(chǔ)靜態(tài)場（靜電場、恒定電場與恒定磁場）基本定律、邊界條件靜態(tài)場邊值問題的求解（解析法：分離變量法、鏡像法、格林函數(shù)法、復(fù)變函數(shù)法等。數(shù)值法：有限差分法、有限元法、邊界元法等。近似解析法：逐步逼近法、微擾法、變分法、迭代變分法等。時(shí)變電磁場：在引出時(shí)變電磁場各物理量基礎(chǔ)上，結(jié)合法拉第電磁感應(yīng)定律、麥克斯韋位移電流假說，給出普遍意義的麥克斯韋方程組。并在此基礎(chǔ)上研究電磁場的普遍規(guī)律、概念和表示方法。麥克斯韋方程組的應(yīng)用：平面波的傳播（無界理想介質(zhì)和導(dǎo)電介質(zhì)）規(guī)律以及在無限大平面上的反射和透射規(guī)律、電磁波的輻射、波導(dǎo)和諧振腔等。本課程內(nèi)容是今后可能會遇到的各種射頻、微波、電波傳播、通信等問題的基礎(chǔ)，是微波工程、通信工程、電子信息工程、電子科學(xué)與技術(shù)等工科電類專業(yè)的一門重要的技術(shù)基礎(chǔ)課，具有非常重要的理論意義與實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。二、該課程的主要內(nèi)容第8頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一三、場的基本概念1.什么是場？重力場、溫度場、速度場、電磁場、……a.從數(shù)學(xué)角度：場是給定區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)數(shù)值的集合，這些數(shù)值規(guī)定了該區(qū)域內(nèi)一個特定量的特性。比如：T

是溫度場中的物理量，T就是溫度場b.從物理角度：場是遍及一個被界定的或無限擴(kuò)展的空間內(nèi)的，能夠產(chǎn)生某種物理效應(yīng)的特殊的物質(zhì)，場是具有能量的。第9頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一2.場的分類

a.按物理量的性質(zhì)分：

標(biāo)量場：描述場的物理量是標(biāo)量。

矢量場：描述場的物理量是矢量。

b.按場量與時(shí)間的關(guān)系分：

靜態(tài)場：場量不隨時(shí)間發(fā)生變化的場。

動態(tài)場：又稱時(shí)變場，場量隨時(shí)間變化而變化的場。第10頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一四、學(xué)習(xí)的目的、方法及其要求

1、掌握宏觀電磁場的基本屬性和運(yùn)動規(guī)律2、掌握宏觀電磁場問題的基本求解方法3、了解宏觀電磁場的主要應(yīng)用領(lǐng)域及其原理4、訓(xùn)練分析問題、歸納問題的科學(xué)方法5、培養(yǎng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力6、獨(dú)立完成作業(yè)，做好課堂筆記第11頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一第一章矢量分析與場論基礎(chǔ)主要內(nèi)容：

矢量的基本概念、代數(shù)運(yùn)算、矢量分析、場論基礎(chǔ)（梯度、矢量場的散度和旋度）矢量場的Helmholtz定理第12頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一一、矢量

標(biāo)量與矢量標(biāo)量：只有大小，沒有方向的物理量（溫度，高度等）矢量：既有大小，又有方向的物理量（力，速度、電場等）

矢量的表示方式注：矢量書寫時(shí)，印刷體為場量符號加粗，如。教材上符號即為印刷體。矢量可表示為：其中為其模值，表征矢量的大??；為其單位矢量，表征矢量的方向，其大小為1；1.1矢量分析所以：一個矢量就表示成矢量的模與單位矢量的乘積。第13頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一二、矢量的運(yùn)算法則1.加法:

矢量加法是矢量的幾何和，服從平行四邊形規(guī)則。a.滿足交換律：b.滿足結(jié)合律：第14頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一三個方向的單位矢量用表示。根據(jù)矢量加法運(yùn)算：所以：在直角坐標(biāo)系下的矢量表示:其中：第15頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一矢量：模的計(jì)算：單位矢量：方向角與方向余弦：在直角坐標(biāo)系中三個矢量加法運(yùn)算：顯然：第16頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一2.減法：換成加法運(yùn)算逆矢量：

和

的模相等，方向相反，互為逆矢量。在直角坐標(biāo)系中兩矢量的減法運(yùn)算：推論：任意多個矢量首尾相連組成閉合多邊形，其矢量和必為零。第17頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一3.乘法（1）標(biāo)量與矢量的乘積：（2）矢量與矢量乘積分兩種a.標(biāo)量積（點(diǎn)積）：兩矢量點(diǎn)積的含義：

一矢量在另一矢量方向上的投影與另一矢量模的乘積，其結(jié)果是一標(biāo)量。第18頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一在直角坐標(biāo)系中，三個坐標(biāo)軸是相互正交的，即兩矢量點(diǎn)積：結(jié)論:

兩矢量點(diǎn)積等于對應(yīng)分量的乘積之和。推論1：滿足交換律推論2：滿足分配律推論3：當(dāng)兩個非零矢量點(diǎn)積為零,則這兩個矢量必正交。第19頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一推論1：不服從交換律：推論2：服從分配律：推論3：不服從結(jié)合律：推論4：當(dāng)兩個非零矢量叉積為零，則這兩個矢量必平行。b.矢量積（叉積）：含義：

兩矢量叉積，結(jié)果得一新矢量，其大小為這兩個矢量組成的平行四邊形的面積，方向?yàn)樵撁娴姆ň€方向，且三者符合右手螺旋法則。第20頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一在直角坐標(biāo)系中，兩矢量的叉積運(yùn)算如下：兩矢量的叉積又可表示為：xyzo在直角坐標(biāo)系中，三個坐標(biāo)軸是相互正交的，即第21頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一（3）三重積：三個矢量相乘有以下幾種形式：矢量；標(biāo)量與矢量相乘。標(biāo)量；標(biāo)量三重積：三矢量中一個和另兩個矢量的叉積相乘得到的點(diǎn)積。矢量；矢量三重積：三矢量中一個和另兩個向量的叉積相乘得到的叉積。a.標(biāo)量三重積法則：在矢量運(yùn)算中，先算叉積，后算點(diǎn)積。定義：含義：標(biāo)量三重積結(jié)果為三矢量構(gòu)成的平行六面體的體積。第22頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一注意：先后輪換次序。推論：三個非零矢量共面的條件:在直角坐標(biāo)系中：b.矢量三重積：說明：矢量間不存在除法運(yùn)算。第23頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一例1：已知求：垂直于、所在平面的單位矢量。解：已知所得矢量垂直于、所在平面。第24頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一已知A點(diǎn)和B點(diǎn)對于原點(diǎn)的位置矢量為和，求：通過A點(diǎn)和B點(diǎn)的直線方程。例2：

xyzCAB其中：k為任意實(shí)數(shù)。解：在通過A點(diǎn)和B點(diǎn)的直線方程上，任取一點(diǎn)C，對于原點(diǎn)的位置矢量為，則第25頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一三、矢量微分元：線元、面元、體元例：其中：和稱為微分元。正交曲線坐標(biāo)系：

為了考察某一物理量在空間的分布和變化規(guī)律，必須引入坐標(biāo)系。而且，常常根據(jù)被研究物體的幾何形狀不同而采用不同的坐標(biāo)系。在電磁場理論中，用得較多的是直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系。任何描述三維空間的坐標(biāo)系都要有三個獨(dú)立的坐標(biāo)變量u1,u2,u3,而u1,u2,u3

均為常數(shù)時(shí)，就代表三組曲面（或平面），稱為坐標(biāo)面。若三組坐標(biāo)面在空間每一點(diǎn)正交，則坐標(biāo)面的交線（一般是曲線）也在空間每點(diǎn)正交，這種坐標(biāo)系叫做正交曲線坐標(biāo)系。直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系是許多正交曲線坐標(biāo)系中較常用的三種。第26頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一體元：線元：面元：

在正交曲線坐標(biāo)系中，其坐標(biāo)變量不一定都是長度，其線元必然有一個修正系數(shù)，這些修正系數(shù)稱為拉梅系數(shù)（Lame)，若已知正交坐標(biāo)系的拉梅系數(shù)，就可正確寫出其線元、面元和體元。第27頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一1.直角坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為(x,y,z)，如圖，做一微分體元。線元：面元：體元：第28頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一2.圓柱坐標(biāo)系在圓柱坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為，如圖，做一微分體元。線元：面元：體元：第29頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一3.球坐標(biāo)系在球坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為，如圖，做一微分體元。線元：面元：體元：第30頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一

坐標(biāo)變換圓柱坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系間單位矢量變換關(guān)系球面坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系間單位矢量變換關(guān)系第31頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一a.在直角坐標(biāo)系中，x,y,z均為長度量，其拉梅系數(shù)均為1，即：b.在柱坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為,其中為角度，其對應(yīng)的線元，可見拉梅系數(shù)為：在球坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為，其中均為角度，其拉梅系數(shù)為：注意：第32頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一一、場的概念及分類物理量（如溫度、電場、磁場）在空間中以某種形式分布，若每一時(shí)刻每個位置該物理量都有一個確定的值，則稱在該空間中確定了該物理量的場。如電荷在其周圍空間激發(fā)的電場，電流在周圍空間激發(fā)的磁場等。從數(shù)學(xué)上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)。

1.2場a.場的概念第33頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一b.場的分類1、按物理量的性質(zhì)標(biāo)量場（數(shù)量場）：在指定時(shí)刻，空間每一點(diǎn)可以用一個標(biāo)量唯一地描述。物理量為標(biāo)量（溫度場,電位場）矢量場：在指定時(shí)刻，空間每一點(diǎn)可以用一個失量唯一地描述。物理量為矢量（電場、磁場）

2、按物理量變化特性靜態(tài)場：物理量不隨時(shí)間的變化而變化時(shí)變場（動態(tài)場）：物理量隨時(shí)間的變化而變化第34頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一二.標(biāo)量場的等值面（線）

由所有場值相等的點(diǎn)所構(gòu)成的面(線)，即為等值面(線)，如等溫線、等高線、等壓面、等相位面。即若標(biāo)量函數(shù)為，則等值面方程為：

給常數(shù)c以不同的數(shù)值，就得到不同的等值面。這族等值面充滿了標(biāo)量場所在的空間，且互不相交。

標(biāo)量場的等值面可以直觀地幫助了解場中物理量的分布情況。熱源等溫面第35頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一三.矢量場的矢量線+-

1矢量場與矢量線

在確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)有確定矢量與之對應(yīng)，則稱該空間區(qū)域上定義了一個矢量場。為了描述矢量場的方向和數(shù)值，可以直接用矢量的數(shù)值和方向來表示矢量場，用矢量線可以形象的描述矢量場分布。在矢量場中，若一條曲線上每一點(diǎn)的切線方向與場矢量在該點(diǎn)的方向重合，則該曲線稱為矢量線。例：靜電場的電力線、磁場的磁力線、流速場中的流線等。

矢量線能夠描述矢量場在空間的方向，但不能夠定量描述矢量場的大小。矢量線方程：第36頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一1.3標(biāo)量場的方向?qū)?shù)和梯度1方向?qū)?shù)在實(shí)際應(yīng)用中不僅需要宏觀上了解場在空間的數(shù)值，還需要知道場在不同方向上變化的情況。方向?qū)?shù)可以描述標(biāo)量場在空間某個方向上變化的情況?？臻g變化率，稱為方向?qū)?shù)。為最大的方向?qū)?shù)。2標(biāo)量場的梯度

在場的某一點(diǎn)上，場沿不同方向上變化率的大?。ǚ较?qū)?shù)）是不同的，必然存在一個變化最大的方向。定義：場變化最大的方向?yàn)闃?biāo)量場梯度方向，最大變化率為標(biāo)量場梯度值。梯度描述了空間某點(diǎn)處標(biāo)量場隨位置變化的規(guī)律。第37頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一為的方向余弦，即該方向的單位矢量為第38頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一令，因此，有

在給定點(diǎn)是一固定矢量。因此上式表示當(dāng)方向與一致時(shí)，方向?qū)?shù)取得最大值。表面矢量的方向就是函數(shù)u變化率最大的方向，其模就是這個最大變化率的數(shù)值。由梯度定義知哈密頓算符第39頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一

正交坐標(biāo)系下梯度的表示法

球面坐標(biāo)系

柱面坐標(biāo)系

直角坐標(biāo)系

正交坐標(biāo)系第40頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一?標(biāo)量場的梯度是矢量場，它在空間某點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場變化最大的方向，其數(shù)值表示該方向上場的空間變化率。?標(biāo)量場在某個方向上的方向?qū)?shù)，是該點(diǎn)梯度在該方向上的投影。?

標(biāo)量場的梯度函數(shù)建立了標(biāo)量場與矢量場的聯(lián)系，這一聯(lián)系使得某一類矢量場可以通過標(biāo)量函數(shù)來研究，或者說標(biāo)量場可以通過矢量場來研究。?

標(biāo)量場的梯度垂直于通過該點(diǎn)的等值面（或切平面）并指向場增大的方向。3梯度的性質(zhì)第41頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一4梯度的基本運(yùn)算公式第42頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一例3

已知證明：第43頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一1.4矢量場的通量和散度例如：在電場中，電通量：

在磁場中，磁通量：為了克服矢量線不能定量描述矢量場大小的問題，引入通量和散度的概念。1矢量場的通量設(shè)有一矢量場

，在場中任取面元，則

稱為穿過

的通量。矢量場穿過曲面的通量為曲面上所有小面元上通量的疊加：

面元矢量定義：面積很小的有向曲面：面元面積，其值可認(rèn)為無限??；：面元法線方向單位矢量，垂直于面元平面。第44頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一閉合曲面通量物理意義：穿入和穿出閉合面的通量代數(shù)和。如果曲面是閉合的，并規(guī)定曲面法線方向由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場對閉合曲面的通量：

通過閉合面的通量的三種可能結(jié)果

若，表示通過閉合曲面有凈的矢量線流出，意味著閉合面內(nèi)存在正的通量源。

若，表示通過閉合曲面有凈的矢量線流入，意味著閉合面內(nèi)存在負(fù)源或稱溝。

若，表示流入和流出閉合曲面的矢量線相等或沒有矢量線流入、流出閉合曲面（正源負(fù)源代數(shù)和為零或無源）。

閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系。第45頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一2

矢量場的散度物理上的場(矢量場，標(biāo)量場）都是相應(yīng)源作用的結(jié)果。矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果與閉合曲面內(nèi)有無產(chǎn)生矢量場的源直接相關(guān)。為了定量研究場與源之間的關(guān)系，需建立場空間任意點(diǎn)（小體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用極限方法得到這一關(guān)系：稱為矢量場的散度。因此矢量場中某點(diǎn)的散度是矢量場通過包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元所圍體積之比的極限。矢量場中某點(diǎn)的通量體密度稱為該點(diǎn)的散度。第46頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一

若處處成立，則該矢量場稱為無源場。

散度的物理意義

矢量場的散度表征了矢量場的通量源的分布特性

矢量場的散度是一個標(biāo)量

矢量場的散度是空間坐標(biāo)的函數(shù)

矢量場的散度值表征空間中通量源的密度

若，則該矢量場稱為有源場，為源密度。

討論：在矢量場中(

正源)（

負(fù)源)(

處處成立，無源）

第47頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一

在直角坐標(biāo)系中，如圖做一封閉曲面，該封閉曲面由六個平面組成:(x=x1,y=y1,z=z1,x=x1+Δx,y=

y1+Δy,z=z1+Δz)

。矢量場表示為：

散度的計(jì)算在x方向上：計(jì)算穿過和面的通量為因?yàn)椋簞t有x方向上的總通量：第48頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一整個封閉曲面的總通量：同理：在y方向上,穿過和面的總通量：在z方向上,穿過和面的總通量：該閉合曲面所包圍的體積：通常散度表示為：第49頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一

直角坐標(biāo)系下：圓柱坐標(biāo)系下：

正交坐標(biāo)系下散度的表示法正交曲線坐標(biāo)系：球坐標(biāo)系下：第50頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一散度定理的證明：3散度定理（矢量場的高斯定理）物理含義：矢量場穿過一封閉曲面的總通量等于矢量散度在封閉面所圍體積上的積分。直接從散度的定義出發(fā)，不難得到矢量場在空間任意閉合曲面的總通量等于散度在該閉合曲面所包圍體積上的積分。從散度定義有：則在一定體積V內(nèi)的總的通量為：得證！高斯散度定理是場論中的重要定理，在后面的學(xué)習(xí)中經(jīng)常要用到這種矢量場的積分變換關(guān)系。第51頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一6散度的有關(guān)公式第52頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一1、矢量場的環(huán)量

環(huán)量意義：若矢量場環(huán)量不為零，則回路所圍面積中存在產(chǎn)生矢量場的漩渦源。（如，磁場強(qiáng)度沿閉合路徑的環(huán)量等于穿過以閉合路徑為邊界曲面的總電流，電流就是產(chǎn)生這個環(huán)量的旋渦源）。若環(huán)量為零，則并不能說明回路所圍面積內(nèi)無漩渦源。1.5矢量場的環(huán)量和旋度環(huán)量的大小、正負(fù)與矢量場

的分布以及所取積分環(huán)量方向有關(guān)。不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是閉合的，它對于任何閉合曲面的通量為零。但場在所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。為了描述這類場與源的關(guān)系，引入環(huán)量與旋度的概念。在矢量的場中，矢量沿某一有向閉合曲線的線積分，稱為該矢量沿此閉合曲線的環(huán)量。即：式中，是閉合積分路徑上任一點(diǎn)的矢量；是該路徑上的切向長度元矢量，方向取決于閉合曲線的環(huán)繞方向；θ為與的夾角，如圖所示。物理意義：力（力沿閉合路徑作的功）；電場強(qiáng)度（繞閉合路徑的電動勢）。第53頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一2、環(huán)量密度M為了研究矢量在場中某點(diǎn)M的環(huán)量特征，引入環(huán)量密度的概念，定義：在矢量場中，任取一點(diǎn)M，過M作面元，其法線方向單位矢量為，法線方向與面元周界成右手螺旋，若存在，則稱此極限為矢量場在M點(diǎn)對方向的環(huán)量密度。顯然，過M點(diǎn)可以作不同方向的面元，從而可以得到矢量場在M點(diǎn)對不同方向的環(huán)量密度。它們的大小也不相同。3、矢量場的旋度由于矢量場在點(diǎn)M處的環(huán)量密度與面元的法線方向有關(guān)，在某一方向上環(huán)量密度可能取得最大值，為了描述這種分布狀態(tài)，引入旋度概念。

定義：矢量場的旋度是個矢量，大小為最大的環(huán)量密度，方向是取最大環(huán)量密度時(shí)的法線方向。

這樣，場在該點(diǎn)其它方向的環(huán)量密度就等于旋度在該方向上的投影。第54頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一以直角坐標(biāo)系為例，一旋度矢量可表示為：場矢量：其中：為x方向的環(huán)量密度。旋度可用符號表示：

旋度的計(jì)算投影面：由y1,y1+Δy,z1,z1+Δz四條線圍成。第55頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一其中：可得：同理：所以：旋度公式：第56頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一為了便于記憶，將旋度的計(jì)算公式寫成下列形式:類似地，可以推導(dǎo)出在廣義正交坐標(biāo)系中旋度的計(jì)算公式：

對于柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)，根據(jù)其拉梅系數(shù)，請同學(xué)們自行寫出旋度的計(jì)算公式。第57頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一

旋度的物理意義

矢量的旋度為矢量，是空間坐標(biāo)的函數(shù)；

矢量在空間某點(diǎn)處的旋度表征矢量場在該點(diǎn)處的漩渦源密度；

若矢量場空間有一點(diǎn)旋度不為零，則稱該場為有旋場；

若矢量場空間所有點(diǎn)旋度均為零，則稱該場為無旋場（保守場）；物理含義：一個矢量場旋度的面積分等于該矢量沿此曲面周界的曲線積分。4、斯托克斯定理第58頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一5旋度的有關(guān)公式第59頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一小結(jié)1、散度（流出的量）

通量源

通量即該向量(垂直平面分量)穿過平面的大小散度不為0的點(diǎn)表示該點(diǎn)有源(source)存在

散度是標(biāo)量，物理意義為通量源密度，可以從高斯公式理解散度處處為零，說明是無源場；散度不為零時(shí)，則說明是有源場（有正源或負(fù)源）2、旋度（沒有流出的量）

旋渦源

旋度數(shù)值即該向量(平行平面分量)在某點(diǎn)的最大環(huán)量密度(即環(huán)量大小/面積)。

旋度是矢量；物理意義為環(huán)量密度，可以從斯托克斯公式理解旋度處處為零，說明是無旋場；旋度不為零時(shí)，則說明是有旋場矢量場第60頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一1.6矢量場的亥姆霍茲(Helmholtz)定理現(xiàn)在我們必需考慮如下問題：（1）矢量場除有散和有旋特性外，是否存在別的特性？（2）是否存在不同于通量源和旋渦源的其它矢量場的激勵源？（3）如何唯一的確定一個矢量場？前面我們介紹了矢量分析中的一些基本概念和運(yùn)算方法。其中標(biāo)量場的梯度和矢量場的散度、旋度都是場性質(zhì)的重要量度。一個標(biāo)量場的性質(zhì)完全可以由它的梯度來表明，那么一個矢量場所具有的性質(zhì)是否可完全由它的散度和旋度來表明呢？第61頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一1、亥姆霍茲定理

在有限區(qū)域內(nèi)，任意矢量場由矢量場的散度、旋度和邊界條件（即矢量場在有限區(qū)域邊界上的分布）唯一確定，并且可以表示為一無旋矢量場和一無散矢量場的疊加，即：其中，為無散場，為無旋場。Helmholtz定理明確回答了上述三個問題。即任一矢量場由兩個部分構(gòu)成，其中一部分是無散場，由旋渦源激發(fā)，并且滿足：另一部分是無旋場，由通量源激發(fā)，滿足：第62頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一2、矢量場的分類根據(jù)矢量場的散度和旋度值是否為零進(jìn)行分類：

調(diào)和場注意：不存在在整個空間內(nèi)散度和旋度均處處為零的矢量場。

若矢量場在某區(qū)域V內(nèi)，處處有：和則在該區(qū)域V內(nèi)，場為調(diào)和場。

有源無旋場討論：由于旋度為零，由斯托克斯定理

若矢量場在某區(qū)域V內(nèi)，處處，但在某些位置或整個空間內(nèi)，有，則稱在該區(qū)域V內(nèi)，場為有源無旋場。結(jié)論：有源