歷史的理解：數(shù)學本身是一個歷史的概念

/歷史的理解：數(shù)學本身是一個歷史的概念數(shù)學史的主題是數(shù)學的開展,我們談?wù)摂?shù)學史,自然會首先關(guān)心“什么是數(shù)學〞這個問題。數(shù)學本身是一個歷史的概念,數(shù)學的內(nèi)涵隨著時代的變化而變化,給數(shù)學下一個一勞永逸的定義是不可能的。我們在這里就從歷史的角度來談?wù)劇笆裁词菙?shù)學〞這個問題。公元前6世紀前,數(shù)學主要是關(guān)于“數(shù)〞的研究。這一時期在古埃及、巴比倫、印度與中國等地區(qū)開展起來的數(shù)學,主要是計數(shù)、初等算術(shù)與算法,幾何學那么可以看作是應(yīng)用算術(shù)。從公元前6世紀開始,希臘數(shù)學的興起,突出了對“形〞的研究。數(shù)學于是成為關(guān)于數(shù)與形的研究。從那時起直到17世紀,數(shù)學的對象沒有本質(zhì)的變化。希臘人主要對幾何感興趣,他們也研究數(shù),但卻與他們的埃及、巴比倫前輩相反,將數(shù)放在幾何形式下去考察(只有少數(shù)例外如較晚的丟番圖)。盡管如此,公元前4世紀的希臘哲學家亞里士多德仍將數(shù)學定義為：“數(shù)學是量的科學〞。其中“量〞的含義是模糊的,顯然不能單純理解為“數(shù)量〞。亞里士多德的定義影響綿長。直到16世紀,英國哲學家培根(F．Bacon,1561～1626)將數(shù)學分為“純粹數(shù)學〞(puremathematics)與“混合數(shù)學〞(mixedmathematics)。這里“混合數(shù)學〞相當于應(yīng)用數(shù)學,而培根所謂的“純粹數(shù)學〞那么定義為：“處理完全與物質(zhì)和自然哲學公理相脫離的量的科學。〞在17世紀,像笛卡兒(R．Descartes,1596～1650)這樣的數(shù)學家與哲學家對數(shù)學的看法有微妙的變化,笛卡兒認為：但凡以研究順序(order)和度量(measure)為目的的科學都與數(shù)學有關(guān)。恰恰是在笛卡兒的時代,數(shù)學發(fā)生了重大的轉(zhuǎn)折。整個17、18世紀,數(shù)學家們關(guān)注的焦點是運動與變化。牛頓與萊布尼茨制定的微積分本質(zhì)上是運動與變化的科學,它使科學家們能夠從數(shù)學上研究行星運動、機械的運動、流體運動、動植物生長……因此,在牛頓與萊布尼茨以后,數(shù)學成為研究數(shù)、形以及運動與變化的學問。當然,運動與變化的數(shù)學描述仍然離不開數(shù)與形。因此在19世紀恩格斯還是這樣來論述數(shù)學的本質(zhì)：“純數(shù)學的對象是現(xiàn)實世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系。〞根據(jù)恩格斯的論述,數(shù)學可以定義為：數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系的科學。然而就在恩格斯的時代,數(shù)學又開始發(fā)生本質(zhì)的變化。19世紀的數(shù)學家對數(shù)學本身的興趣空前增長。也就是說,除了現(xiàn)實世界的材料,他們更多地關(guān)注數(shù)學內(nèi)部的需要。抽象代數(shù)、非歐幾何。恩格斯這句話本身沒有提及運動與變化,但在具體解釋中強調(diào)了所謂“變量數(shù)學〞即關(guān)于運動與變化的數(shù)學。以及嚴格化的分析都是這類內(nèi)部需要的產(chǎn)物。因此,從19世紀特別是后期開始,數(shù)學成為研究數(shù)與形、運動與變化,以及研究數(shù)學自身的學問。這種以數(shù)學自身為目的的傾向,也就是現(xiàn)代意義下的純粹數(shù)學的傾向,按照羅素的見解,是19世紀數(shù)學的主要功績。這促使人們對數(shù)學的本質(zhì)進行新的思考。在19世紀晚期,集合論的創(chuàng)始人康托爾(G．Cantor,1845～1918)曾經(jīng)提出：數(shù)學是絕對自由開展的學科,它只服從明顯的思維。就是說它的概念必須擺脫自相矛盾,并且必須通過定義而確定地、有秩序地與先前已經(jīng)建立和存在的概念相聯(lián)系。而羅素那么在20世紀初對數(shù)學下了這樣一個定義：純粹數(shù)學完全由這樣一類論斷組成,假定某個命題對某些事物成立,那么可推出另外某個命題對同樣這些事物也成立。這里既不管第一個命題是否確實成立,也不管使命題成立的那些事物究竟是什么,……只要我們的假定是關(guān)于一般的事物,而不是某些特殊的事物,那么我們的推理就構(gòu)成為數(shù)學。這樣,數(shù)學可以定義為這樣一門學科,我們永遠不知道其中所說的是什么,也不知道所說的內(nèi)容是否正確。羅素的說法從極端的角度強調(diào)了數(shù)學的自身需要與邏輯方面,它盡管很有名,但卻很難被接受為數(shù)學的客觀定義。20世紀50年代,原蘇聯(lián)一批有影響的數(shù)學家試圖修正前面提到的恩格斯的定義來概括現(xiàn)代數(shù)學開展的特征：現(xiàn)代數(shù)學就是各種量之間的可能的,一般說是各種變化著的量的關(guān)系和相互聯(lián)系的數(shù)學。這一定義不再區(qū)分“數(shù)〞與“形〞,可以說又回到了亞里士多德對數(shù)學的最早定義中所使用過的“量〞,但這個量,卻被賦予了豐富的現(xiàn)代含義：它不僅包括現(xiàn)實世界的各種空間形式與數(shù)量關(guān)系,而且包括了一切可能的空間形式與數(shù)量關(guān)系(如幾何學中的高維空間、無窮維空間；代數(shù)學中的群、域；分析中的泛函、算子；……)。從20世紀80年代開始,又出現(xiàn)了對數(shù)學的定義做符合時代的修正的新嘗試。主要是一批美國學者,將數(shù)學簡單地定義為關(guān)于“模式〞(pattern)的科學：[數(shù)學]這個領(lǐng)域已被稱作模式的科學(scienceofpattern),其目的是要揭示人們從自然界和數(shù)學本身的抽象世界中所觀察到的結(jié)構(gòu)和對稱性。這一定義實際上是用“模式〞代替了“量〞,而所謂的“模式〞有著極廣泛的內(nèi)涵,包括了數(shù)的模式,形的模式,運動與變化的模式