全等三角形中做輔助線總結(jié)

全等三角形中做輔助線技巧要點(diǎn)大匯總口訣：三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。由角平分線想到的輔助線口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對稱性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。對于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。①從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線；②利用角平分線，構(gòu)造對稱圖形（如作法是在一側(cè)的長邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線（一）、截取構(gòu)全等如圖1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并連接DE、DF，則有△OED≌△OFD，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。如圖1-2，ABAC。3．已知：如圖2-5,∠BAC=∠CAD,AB>AD，CE⊥AB，AE=（AB+AD）.求證：∠D+∠B=180。4.已知：如圖2-6,在正方形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC上的點(diǎn)，∠FAE=∠DAE。求證：AF=AD+CF。已知：如圖2-7，在Rt△ABC中，∠ACB=90,CD⊥AB，垂足為D，AE平分∠CAB交CD于F，過F作FH證：BD=2CE。例3．已知：如圖3-3在△ABC中，AD、AE分別∠BAC的內(nèi)、外角平分線，過頂點(diǎn)B作BFAD，交AD的延長線于F，連結(jié)FC并延長交AE于M。求證：AM=ME。分析：由AD、AE是∠BAC內(nèi)外角平分線，可得EA⊥AF，從而有BF12ACDBBDCAABECD知，如圖，∠C=2∠A，AC=2BC。求證：△ABC12ACDBBDCAABECDCCAB2．已知：如圖，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求證：DC⊥ACAABDC123．已知CE、AD是△ABC的角平分線，∠B=60°，求證：AC=AE+CDAAEBDC4．已知：如圖在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，求證：BC=AB+ADAABCD二、由線段和差想到的輔助線口訣：線段和差及倍半，延長縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長補(bǔ)短法：1、截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；2、補(bǔ)短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。對于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個(gè)三角形中證明。在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證不出來，可連接兩點(diǎn)或廷長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：已知如圖1-1：D、E為△ABC內(nèi)兩點(diǎn),求證:AB+AC>BD+DE+CE.證明：（法一）將DE兩邊延長分別交AB、AC于M、N，在△AMN中，AM+AN>MD+DE+NE;（1）在△BDM中，MB+MD>BD；（2）在△CEN中，CN+NE>CE；（3）由（1）+（2）+（3）得：AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE∴AB+AC>BD+DE+EC（法二：圖1-2）延長BD交AC于F，廷長CE交BF于G，在△ABF和△GFC和△GDE中有：AB+AF>BD+DG+GF（三角形兩邊之和大于第三邊）…（1）GF+FC>GE+CE（同上）（2）DG+GE>DE（同上）（3）由（1）+（2）+（3）得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE∴AB+AC>BD+DE+EC。在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖2-1：已知D為△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：∠BDC>∠BAC。分析：因?yàn)椤螧DC與∠BAC不在同個(gè)三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使∠BDC處于在外角的位置，∠BAC處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長BD交AC于點(diǎn)E，這時(shí)∠BDC是△EDC的外角，∴∠BDC>∠DEC，同理∠DEC>∠BAC，∴∠BDC>∠BAC證法二：連接AD，并廷長交BC于F，這時(shí)∠BDF是△ABD的外角，∴∠BDF>∠BAD，同理，∠CDF>∠CAD，∴∠BDF+∠CDF>∠BAD+∠CAD，即：∠BDC>∠BAC。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖3-1：已知AD為△ABC的中線，且∠1=∠2,∠3=∠4,求證：BE+CF>EF。分析：要證BE+CF>EF，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個(gè)三角形中，而由已知∠1=∠2，∠3=∠4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同個(gè)三角形中。證明：在DN上截取DN=DB，連接NE，NF，則DN=DC，在△DBE和△NDE中：DN=DB（輔助線作法）∠1=∠2（已知）ED=ED（公共邊）∴△DBE≌△NDE（SAS）∴BE=NE（全等三角形對應(yīng)邊相等）同理可得：CF=NF在△EFN中EN+FN>EF（三角形兩邊之和大于第三邊）∴BE+CF>EF。注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí)，常可考慮在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的對應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。三、截長補(bǔ)短法作輔助線。例如：已知如圖6-1：在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P為AD上任一點(diǎn)求證：AB-AC>PB-PC。分析：要證：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因?yàn)橛C的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN，再連接PN，則PC=PN，又在△PNB中，PB-PN<BN，即：AB-AC>PB-PC。證明：（截長法）在AB上截取AN=AC連接PN,在△APN和△APC中AN=AC（輔助線作法）∠1=∠2（已知）AP=AP（公共邊）∴△APN≌△APC（SAS）,∴PC=PN（全等三角形對應(yīng)邊相等）∵在△BPN中，有PB-PN<BN（三角形兩邊之差小于第三邊）∴BP-PC<AB-AC證明：（補(bǔ)短法）延長AC至M，使AM=AB，連接PM，在△ABP和△AMP中AB=AM（輔助線作法）∠1=∠2（已知）AP=AP（公共邊）∴△ABP≌△AMP（SAS）∴PB=PM（全等三角形對應(yīng)邊相等）又∵在△PCM中有：CM>PM-PC(三角形兩邊之差小于第三邊)∴AB-AC>PB-PC。DAECB例1．如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求證：AE=ADDAECB例2如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，求證：∠ADC+∠B=180o例3已知：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108°，BD平分ABC。DCBA求證：BC=AB+DCBAMBDCA例4如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分線，DM⊥AB于M，且AM=MB。求證：CD=MBDCA【夯實(shí)基礎(chǔ)】例：中，AD是的平分線，且BD=CD，求證AB=AC方法1：作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，證明二次全等方法2：輔助線同上，利用面積方法3：倍長中線AD【方法精講】常用輔助線添加方法——倍長中線△ABC中方式1：延長AD到E，AD是BC邊中線使DE=AD，連接BE方式2：間接倍長作CF⊥AD于F，延長MD到N，作BE⊥AD的延長線于E使DN=MD，連接BE連接CD【經(jīng)典例題】例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中線AD的取值范圍提示：畫出圖形，倍長中線AD，利用三角形兩邊之和大于第三邊例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延長線上，DE交BC于F，且DF=EF，求證：BD=CE方法1：過D作DG∥AE交BC于G，證明ΔDGF≌ΔCEF方法2：過E作EG∥AB交BC的延長線于G，證明ΔEFG≌ΔDFB方法3：過D作DG⊥BC于G，過E作EH⊥BC的延長線于H證明ΔBDG≌ΔECH例3：已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE=AC，延長BE交AC于F，求證：AF=EF提示：倍長AD至G，連接BG，證明ΔBDG≌ΔCDA三角形BEG是等腰三角形例4：已知：如圖，在中，，D、E在BC上，且DE=EC，過D作交AE于點(diǎn)F，DF=AC.求證：AE平分提示：方法1：倍長AE至G，連結(jié)DG方法2：倍長FE至H，連結(jié)CH例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中線，求證：∠C=∠BAE提示：倍長AE至F，連結(jié)DF證明ΔABE≌ΔFDE（SAS）進(jìn)而證明ΔADF≌ΔADC（SAS）【融會貫通】1、在四邊形ABCD中，AB∥DC，E為BC邊的中點(diǎn)，∠BAE=∠EAF，AF與DC的延長線相交于點(diǎn)F。試探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論提示：延長AE、DF交于G證明AB=GC、AF=GF所以AB=AF+FC2、如圖，AD為的中線，DE平分交AB于E，DF平分交AC于F.求證：提示：方法1：在DA上截取DG=BD，連結(jié)EG、FG證明ΔBDE≌ΔGDEΔDCF≌ΔDGF所以BE=EG、CF=FG利用三角形兩邊之和大于第三邊方法2：倍長ED至H，連結(jié)CH、FH證明FH=EF、CH=BE利用三角形兩邊之和大于第三邊3、已知：如圖，ABC中，C=90，CMAB于M，AT平分BAC交CM于D，交BC于T，過D作DE提示：過T作TN⊥AB于N證明ΔBTN≌ΔECD1．如圖，AB∥CD，AE、DE分別平分∠BAD各∠ADE，求證：AD=AB+CD。EEDCBA2.如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過A的一條直線，且B，C在AE的異側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。求證：BD=DE+CE四、由中點(diǎn)想到的輔助線口訣：三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。在三角形中，如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過探索，找到解決問題的方法。（一）、中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形即如圖1，AD是ΔABC的中線，則SΔABD=SΔACD=SΔABC（因?yàn)棣BD與ΔACD是等底同高的）。例1．如圖2，ΔABC中，AD是中線，延長AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中線。已知ΔABC的面積為2，求：ΔCDF的面積。解：因?yàn)锳D是ΔABC的中線，所以SΔACD=SΔABC=×2=1，又因CD是ΔACE的中線，故SΔCDE=SΔACD=1，因DF是ΔCDE的中線，所以SΔCDF=SΔCDE=×1=?！唳DF的面積為。（二）、由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線例2．如圖3，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，BA、CD的延長線分別交EF的延長線G、H。求證：∠BGE=∠CHE。證明：連結(jié)BD，并取BD的中點(diǎn)為M，連結(jié)ME、MF，∵M(jìn)E是ΔBCD的中位線，∴MECD，∴∠MEF=∠CHE，∵M(jìn)F是ΔABD的中位線，∴MFAB，∴∠MFE=∠BGE，∵AB=CD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MFE，從而∠BGE=∠CHE。（三）、由中線應(yīng)想到延長中線例3．圖4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，連BC上的中線AD=2，求BC的長。解：延長AD到E，使DE=AD，則AE=2AD=2×2=4。在ΔACD和ΔEBD中，

∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，∴ΔACD≌ΔEBD，∴AC=BE，從而BE=AC=3。在ΔABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故∠E=90°，∴BD===，故BC=2BD=2。例4．如圖5，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ΔABC是等腰三角形。證明：延長AD到E，使DE=AD。仿例3可證：ΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，又∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，從而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。（四）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例5．如圖6，已知梯形ABCD中，ABBADC86BECDADMCDEDADBDABDCEF2：如圖，△ABC中，E、F分別在AB、AC上，DE⊥DF，D是中點(diǎn)，試比BADC86BECDADMCDEDADBDABDCEF3：如圖，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分∠BAE.中考應(yīng)用（09崇文二模）以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)．探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．（1）如圖①當(dāng)為直角三角形時(shí)，AM與DE的位置關(guān)系是，線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是；（2）將圖①中的等腰Rt繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(0<<90)后，如圖②所示，（1）問中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由．（二）、截長補(bǔ)短1.如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CD⊥AC2：如圖，AC∥BD，EA,EB分別平分∠CAB,∠DBA，CD過點(diǎn)E，求證;AB＝AC+BD3：如圖，已知在內(nèi)，，，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP4：如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求證：5:如圖在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任意一點(diǎn)，求證;AB-AC＞PB-PC中考應(yīng)用（08海淀一模）例題講解：一、利用轉(zhuǎn)化倍角，構(gòu)造等腰三角形當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍時(shí)，我們就可以通過轉(zhuǎn)化倍角尋找到等腰三角形.如圖①中，若∠ABC＝2∠C，如果作BD平分∠ABC，則△DBC是等腰三角形；如圖②中，若∠ABC＝2∠C，如果延長線CB到D，使BD＝BA，連結(jié)AD，則△ADC是等腰三角形；BCDA①②BCDA③BCDA如圖③中，若∠B＝2∠ACB，如果以C為角的頂點(diǎn)，CA為角的一邊，在形外作∠ACD＝∠ACB，交BA的延長線于點(diǎn)BCDA①②BCDA③BCDADCBA1、如圖，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D.求證：∠DBC＝∠BADCBAABC2、如圖，△ABC中，∠ACB＝2∠B，BC＝2AC.求證：∠A＝90ABC二、利用角平分線+平行線，構(gòu)造等腰三角形當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角平分線和平行線時(shí)，我們就可以尋找到等腰三角形.如圖①中，若AD平分∠BAC，AD∥EC，則△ACE是等腰三角形；如圖②中，AD平分∠BAC，DE∥AC，則△ADE是等腰三角形；如圖③中，AD平分∠BAC，CE∥AB，則△ACE是等腰三角形；①ADCBE②ECBDABACDE③④ABFCDEG如圖④中，AD①ADCBE②ECBDABACDE③④ABFCDEG3、如圖，△ABC中，AB＝AC，在AC上取點(diǎn)P，過點(diǎn)P作EF⊥BC，交BA的延長線于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)F.求證：.AE＝AP.FFBACPEFCDEBA4、如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，E、F分別在BD、AD上，且DE＝CD，EFCDEBA求證：EF∥AB.E圖1ABCD三、利用角平分線+垂線，構(gòu)E圖1ABCD當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角平分線和垂線時(shí)，我們就可以尋找到等腰三角形.如圖1中，若AD平分∠BAC，AD⊥DC，則△AEC是等腰三角形.5、如圖2，已知等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延長線于D。求證：BF＝2CD.圖圖2BFDCA四：其他方法總結(jié)1．截長補(bǔ)短法ABCDE6、如圖，已知：正方形ABCD中，∠BAC的平分線交BABCDE求證：AB+BE=AC．2．倍長中線法題中條件若有中線，可延長一倍，以構(gòu)造全等三角形，從而將分散條件集中在一個(gè)三角形內(nèi)。EABCDF7、如圖（7）AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AEABCDF求證：AC=BFAE8、已知△ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖,求證EF＝2AD。AEFBFBCDCD3．平行線法（或平移法）若題設(shè)中含有中點(diǎn)可以試過中點(diǎn)作平行線或中位線，對Rt△,有時(shí)可作出斜邊的中線．ABCPQO9、△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求證：AB+BP=BABCPQOOABCPQD圖（1）ABCPQDE圖（2）O說明OABCPQD圖（1）ABCPQDE圖（2）O構(gòu)造全等三角形，即“截長補(bǔ)短法”．⑵本題利用“平行法”解法也較多，舉例如下：如圖（1），過O作OD∥BC交AC于D，則△ADO≌△ABO來解決．AABCPQ圖（3）DO如圖（2），過O作DE∥BC交AB于D，交AC于E，則△ADO≌△AQO，△ABO≌△AEO來解決．如圖（3），過P作PD∥BQ交AB的延長線于D，則△APD≌△APC來解決．AABCPQ圖（4）DO④如圖（4），過P作PD∥BQ交AC于D，則△ABP≌△ADP來解決．ABCDM10、已知：如圖，在△ABC中，∠A的平分線AD交BC于D，且AB=AD，作CM⊥AD交AD的延ABCDM求證：AM=（AB+AC）鞏固練習(xí)1、（2009年浙江省紹興市）如圖，分別為的，邊的中點(diǎn)，將此三角形沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處．若，則等于（）A．B．C．D．CDBCDBAABCD2（2009柳州）如圖所示，圖中三角形的個(gè)數(shù)