測量誤差及數(shù)據(jù)處理

測量誤差及數(shù)據(jù)處理第1頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日用一個三位半交流電壓表，測量市電，結(jié)果如下：序號123456789結(jié)果220.5219.3217.0221.2222.0237.0220.1219.9220.0第2頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.1測量誤差的分類和測量結(jié)果的表征

2.1.1測量誤差的分類根據(jù)測量誤差的性質(zhì)，測量誤差可分為：

隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差、粗大誤差1.隨機(jī)誤差在同一測量條件下，多次重復(fù)測量同一量值時，每次測量誤差的絕對值和符號都以不可預(yù)知的方式變化的誤差，稱為隨機(jī)誤差或偶然誤差，簡稱隨差。隨機(jī)誤差定義：測量結(jié)果與在重復(fù)性條件下，對同一被測量進(jìn)行無限多次測量所得結(jié)果的平均值之差第3頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.1.1測量誤差的分類（續(xù)）2.系統(tǒng)誤差定義：在同一測量條件下，多次測量重復(fù)同一量時，測量誤差的絕對值和符號都保持不變，或在測量條件改變時按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。例如儀器的刻度誤差和零位誤差，或值隨溫度變化的誤差。系統(tǒng)誤差表明了一個測量結(jié)果偏離真值或?qū)嶋H值的程度。系差越小，測量就越準(zhǔn)確。系統(tǒng)誤差的定量定義是：在重復(fù)性條件下，對同一被測量進(jìn)行無限多次測量所得結(jié)果的平均值與被測量的真值之差。第4頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.1.1測量誤差的分類（續(xù)）2.粗大誤差：

粗大誤差是一種顯然與實(shí)際值不符的誤差。產(chǎn)生粗差的原因有：①測量操作疏忽和失誤如測錯、讀錯、記錯以及實(shí)驗(yàn)條件未達(dá)到預(yù)定的要求而匆忙實(shí)驗(yàn)等。②測量方法不當(dāng)或錯誤如用普通萬用表電壓檔直接測高內(nèi)阻電源的開路電壓③測量環(huán)境條件的突然變化如電源電壓突然增高或降低，雷電干擾、機(jī)械沖擊等引起測量儀器示值的劇烈變化等。含有粗差的測量值稱為壞值或異常值，在數(shù)據(jù)處理時，應(yīng)剔除掉。第5頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.1.2測量結(jié)果的表征測量值是粗大誤差第6頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.1.2測量結(jié)果的表征

準(zhǔn)確度表示系統(tǒng)誤差的大小系統(tǒng)誤差越小，則準(zhǔn)確度越高，即測量值與實(shí)際值符合的程度越高。精密度表示隨機(jī)誤差的影響精密度越高，表示隨機(jī)誤差越小。隨機(jī)因素使測量值呈現(xiàn)分散而不確定，但總是分布在平均值附近。精確度用來反映系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的綜合影響精確度越高，表示正確度和精密度都高，意味著系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差都小。射擊誤差示意圖第7頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.2測量誤差的估計(jì)和處理2.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法在測量中，隨機(jī)誤差是不可避免的。多次測量，測量值和隨機(jī)誤差服從概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律，可用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法處理測量數(shù)據(jù)，從而減少隨機(jī)誤差對測量結(jié)果的影響。第8頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）隨機(jī)誤差的分布規(guī)律（1）隨機(jī)變量的數(shù)字特征①

數(shù)學(xué)期望:反映其平均特性。其定義如下：X為離散型隨機(jī)變量：

X為連續(xù)型隨機(jī)變量：

2.2測量誤差的估計(jì)和處理第9頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）

②方差和標(biāo)準(zhǔn)偏差方差是用來描述隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望的分散程度。設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)，則X的方差定義為：

D(X)=E(X－E(X))2

標(biāo)準(zhǔn)偏差定義為：

第10頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）中心極限定理：假設(shè)被研究的隨機(jī)變量可以表示為大量獨(dú)立的隨機(jī)變量的和，其中每一個隨機(jī)變量對于總和只起微小作用，則可認(rèn)為這個隨機(jī)變量服從正態(tài)分布。大多數(shù)測量隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布。(2)測量誤差的正態(tài)分布第11頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和統(tǒng)計(jì)特性隨機(jī)誤差的概率密度函數(shù)為：測量數(shù)據(jù)X的概率密度函數(shù)為：

隨機(jī)誤差的數(shù)學(xué)期望和方差為：同樣測量數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)期望E(X)＝，方差D(X)＝第12頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）標(biāo)準(zhǔn)偏差意義標(biāo)準(zhǔn)偏差是代表測量數(shù)據(jù)和測量誤差分布離散程度的特征數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)偏差越小，則曲線形狀越尖銳，說明數(shù)據(jù)越集中；標(biāo)準(zhǔn)偏差越大，則曲線形狀越平坦，說明數(shù)據(jù)越分散。第13頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）

（3）測量誤差的非正態(tài)分布常見的非正態(tài)分布有均勻分布、三角分布、反正弦分布等。概率密度:均值:當(dāng)時,標(biāo)準(zhǔn)偏差:

當(dāng)

時，第14頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）

2.

有限次測量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值

用事件發(fā)生的頻度代替事件發(fā)生的概率，當(dāng)則令n個可相同的測試數(shù)據(jù)xi(i=1.2…,n)

次數(shù)都計(jì)為1,當(dāng)時，則（1）有限次測量的數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值——算術(shù)平均值被測量X的數(shù)學(xué)期望，就是當(dāng)測量次數(shù)時，各次測量值的算術(shù)平均值

第15頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）規(guī)定使用算術(shù)平均值為數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值，并作為最后的測量結(jié)果。即：

有限次測量值的算術(shù)平均值比測量值更接近真值？

第16頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）

算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差

故：算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差比總體或單次測量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差小倍。原因是隨機(jī)誤差的抵償性。*第17頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日算術(shù)平均值：2.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）

（2）有限次測量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值

殘差：實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差（標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值），貝塞爾公式：算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值：第18頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）

【例2.1】用溫度計(jì)重復(fù)測量某個不變的溫度，得11個測量值的序列（見下表）。求測量值的平均值及其標(biāo)準(zhǔn)偏差。解：①平均值

②用公式計(jì)算各測量值殘差列于上表中③實(shí)驗(yàn)偏差④標(biāo)準(zhǔn)偏差第19頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)3.

測量結(jié)果的置信問題（1）置信概率與置信區(qū)間：置信區(qū)間內(nèi)包含真值的概率稱為置信概率。置信限：k——置信系數(shù)（或置信因子）

置信概率是圖中陰影部分面積第20頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）

（2）正態(tài)分布的置信概率

正態(tài)分布,當(dāng)k=3時置信因子k置信概率Pc10.68320.95530.997區(qū)間越寬，置信概率越大第21頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）

（3）非正態(tài)分布的置信因子

由于常見的非正態(tài)分布都是有限的，設(shè)其置信限為誤差極限，即誤差的置信區(qū)間為置信概率為100％。（P=1)反正弦均勻三角分布例：均勻分布

有故:第22頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.2.2系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)）

1.系統(tǒng)誤差的特征：

在同一條件下，多次測量同一量值時，誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時，誤差按一定的規(guī)律變化。

多次測量求平均不能減少系差。第23頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.2.2系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)）

2.系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法

（1）不變的系統(tǒng)誤差：校準(zhǔn)、修正和實(shí)驗(yàn)比對。（2）變化的系統(tǒng)誤差①

殘差觀察法，適用于系統(tǒng)誤差比隨機(jī)誤差大的情況 將所測數(shù)據(jù)及其殘差按先后次序列表或作圖，觀察各數(shù)據(jù)的殘差值的大小和符號的變化。存在線性變化的系統(tǒng)誤差無明顯系統(tǒng)誤差第24頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.2.2系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)）②馬利科夫判據(jù)：若有累進(jìn)性系統(tǒng)誤差，D值應(yīng)明顯異于零。 當(dāng)n為偶數(shù)時，

當(dāng)n為奇數(shù)時，③阿貝－赫梅特判據(jù)：檢驗(yàn)周期性系差的存在。第25頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.2.2系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)）

2.系統(tǒng)誤差的削弱或消除方法

（1）從產(chǎn)生系統(tǒng)誤差根源上采取措施減小系統(tǒng)誤差（2）用修正方法減少系統(tǒng)誤差

實(shí)際值＝測量值＋修正值（3）采用一些專門的測量方法

①替代法②交換法③對稱測量法④減小周期性系統(tǒng)誤差的半周期法第26頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.2.2系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)）系統(tǒng)誤差可忽略不計(jì)的準(zhǔn)則：

系統(tǒng)誤差或殘余系統(tǒng)誤差代數(shù)和的絕對值不超過測量結(jié)果擴(kuò)展不確定度的最后一位有效數(shù)字的一半。第27頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.2.3粗大誤差及其判斷準(zhǔn)則1.粗大誤差產(chǎn)生原因以及防止與消除的方法

粗大誤差的產(chǎn)生原因

①測量人員的主觀原因：操作失誤或錯誤記錄；②客觀外界條件的原因：測量條件意外改變、受較大的電磁干擾，或測量儀器偶然失效等。防止和消除粗大誤差的方法重要的是采取各種措施，防止產(chǎn)生粗大誤差。第28頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.2.3粗大誤差及其判斷準(zhǔn)則（續(xù)）

2.

粗大誤差的判別準(zhǔn)則

統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法的基本思想是：給定一置信概率，確定相應(yīng)的置信區(qū)間，凡超過置信區(qū)間的誤差就認(rèn)為是粗大誤差，并予以剔除。萊特檢驗(yàn)法格拉布斯檢驗(yàn)法式中，G值按重復(fù)測量次數(shù)n及置信概率Pc確定第29頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.2.3粗大誤差及其判斷準(zhǔn)則（續(xù)）

解：①計(jì)算得s=0.033 計(jì)算殘差填入表3－7，最大，是可疑數(shù)據(jù)。②用萊特檢驗(yàn)法3·s=3×0.033=0.099故可判斷是粗大誤差，應(yīng)予剔除。再對剔除后的數(shù)據(jù)計(jì)算得：s′=0.016 3·s′=0.048各測量值的殘差V′填入表3－7，殘差均小于3s′故14個數(shù)據(jù)都為正常數(shù)據(jù)?！纠?.3】對某電爐的溫度進(jìn)行多次重復(fù)測量，所得結(jié)果列于表3－7，試檢查測量數(shù)據(jù)中有無粗大誤差。第30頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.2.3測量結(jié)果的處理步驟

①對測量值進(jìn)行系統(tǒng)誤差修正；②求出算術(shù)平均值③列出殘差，并驗(yàn)證④按貝塞爾公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值⑤按萊特準(zhǔn)則，或格拉布斯準(zhǔn)則檢查和剔除粗大誤差；⑥判斷有無系統(tǒng)誤差。如有系統(tǒng)誤差，應(yīng)查明原因，修正或消除系統(tǒng)誤差后重新測量；⑦計(jì)算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差；⑧寫出最后結(jié)果的表達(dá)式，即（單位）。第31頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.2.3測量結(jié)果的處理步驟（續(xù)）【例2.3】對某電壓進(jìn)行了16次等精度測量，測量數(shù)據(jù)中已記入修正值，列于表中。要求給出包括誤差在內(nèi)的測量結(jié)果表達(dá)式。第32頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.2.3測量結(jié)果的處理步驟（續(xù)）第33頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.2.3測量結(jié)果的處理步驟（續(xù)）第34頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.3測量數(shù)據(jù)處理

2.3.1有效數(shù)字的處理1.數(shù)字修約規(guī)則數(shù)據(jù)修約規(guī)則：（1）小于5舍去——末位不變。（2）大于5進(jìn)1——在末位增1。（3）等于5時，取偶數(shù)——當(dāng)末位是偶數(shù)，末位不變；末位是奇數(shù)，在末位增1（將末位湊為偶數(shù)）。第35頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.3.1有效數(shù)字的處理（續(xù)）

例：將下列數(shù)據(jù)舍入到小數(shù)第二位。12.3344→12.33 62.73501→62.740.69499→0.6925.3250→25.32 17.6955→17.70 122.1150→122.12需要注意的是，舍入應(yīng)一次到位，不能逐位舍入。上例中0.69499，正確結(jié)果為0.69，錯誤做法是：

0.69499→0.6950→0.695→0.70。在“等于5”的舍入處理上，采用取偶數(shù)規(guī)則，是為了在比較多的數(shù)據(jù)舍入處理中，使產(chǎn)生正負(fù)誤差的概率近似相等。第36頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.3.1有效數(shù)字的處理（續(xù)）2.有效數(shù)字若截取得到的近似數(shù)其截取或舍入誤差的絕對值不超過近似數(shù)末位的半個單位，則該近似數(shù)從左邊第一個非零數(shù)字到最末一位數(shù)為止的全部數(shù)字，稱之為有效數(shù)字。例如：2.142 四位有效數(shù)字，極限誤差≤0.00058.700 四位有效數(shù)字，極限誤差≤0.00058.7×103

二位有效數(shù)字，極限誤差≤0.05×1030.0807 三位有效數(shù)字，極限誤差≤0.00005

第37頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.3.1有效數(shù)字的處理（續(xù)）測量結(jié)果（或讀數(shù)）的有效位數(shù)應(yīng)由該測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差來確定，即測量結(jié)果的最末一位應(yīng)與標(biāo)準(zhǔn)偏差的位數(shù)對齊。例如，某物理量的測量結(jié)果的值為62.34，且該量的測量標(biāo)準(zhǔn)偏差u＝0.4，測量結(jié)果表示為62.3±0.4。第38頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.3.1有效數(shù)字的處理（續(xù)）2.近似運(yùn)算法則 保留的位數(shù)原則上取決于各數(shù)中準(zhǔn)確度最差的那一項(xiàng)。（1）加法運(yùn)算 以小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少的為準(zhǔn)（各項(xiàng)無小數(shù)點(diǎn)則以有效位數(shù)最少者為準(zhǔn)），其余各數(shù)可多取一位。例如：

（2）減法運(yùn)算：當(dāng)兩數(shù)相差甚遠(yuǎn)時，原則同加法運(yùn)算；當(dāng)兩數(shù)很接近時，有可能造成很大的相對誤差，因此，第一要盡量避免導(dǎo)致相近兩數(shù)相減的測量方法，第二在運(yùn)算中多一些有效數(shù)字。

第39頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.3.1有效數(shù)字的處理（續(xù)）（3）乘除法運(yùn)算 以有效數(shù)字位數(shù)最少的數(shù)為準(zhǔn)，其余參與運(yùn)算的數(shù)字及結(jié)果中的有效數(shù)字位數(shù)與之相等。例如：

→也可以比有效數(shù)字位數(shù)最少者多保留一位有效數(shù)字。例如上面例子中的517.43和4.08各保留至517和4.08，結(jié)果為35.5。（4）乘方、開方運(yùn)算：運(yùn)算結(jié)果比原數(shù)多保留一位有效數(shù)字。例如：（27.8）2≈772.8 (115)2≈1.322×104第40頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.3.2測量數(shù)據(jù)的表示方法1.列表法根據(jù)測試的目的和內(nèi)容，設(shè)計(jì)出合理的表格。列表法簡單、方便，數(shù)據(jù)易于參考比較，它對數(shù)據(jù)變化的趨勢不如圖解法明了和直觀，但列表法是圖示法和經(jīng)驗(yàn)公式法的基礎(chǔ)。例：x024681012y1.512.119.131.342.148.659.1第41頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.3.2測量數(shù)據(jù)的表示方法2.圖示法圖示法的最大優(yōu)點(diǎn)是形象、直觀，從圖形中可以很直觀地看出函數(shù)的變化規(guī)律，如遞增或遞減、最大值和最小值及是否有周期性變化規(guī)律等。作圖時采用直角坐標(biāo)或極座標(biāo)。一般是先按成對數(shù)據(jù)（x，y）描點(diǎn)，再連成光滑曲線，并盡量使曲線于所有點(diǎn)接近，不強(qiáng)求通過各點(diǎn)，要使位于曲線兩邊的點(diǎn)數(shù)盡量相等第42頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.經(jīng)驗(yàn)公式法經(jīng)驗(yàn)公式法就是通過對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的計(jì)算，采用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法，確定它們之間的數(shù)量關(guān)系，即用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示各變量之間關(guān)系。有時又把這種經(jīng)驗(yàn)公式稱為數(shù)學(xué)模型。類型有些一元非線性回歸可采用變量代換，將其轉(zhuǎn)化為線性回歸方程來解。2.3.2測量數(shù)據(jù)的表示方法（續(xù)）一元線形回歸一元非線性回歸多元線性回歸多元非線性回歸變量個數(shù)11>1>1方次1>11>1y=a+bx

第43頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.3.3建立經(jīng)驗(yàn)公式的步驟已知測量數(shù)據(jù)列(xi,yi

i=1,2,…,n),建立公式的步驟如下：（1)將輸入自變量xi,作為橫坐標(biāo)，輸出量yi即測量值作為縱坐標(biāo)，描繪在坐標(biāo)紙上，并把數(shù)據(jù)點(diǎn)描繪成測量曲線。（2）分析描繪的曲線，確定公式y(tǒng)=f(x)的基本形式。①直線，可用一元線性回歸方法確定直線方程。③某種類型曲線，這可以按曲線多項(xiàng)式回歸處理。即：

（3）由測量數(shù)據(jù)確定擬合方程（公式）中的常量。第44頁，共48頁，2023年，2月20日，星期日2.3.3建立經(jīng)驗(yàn)公式的步驟（續(xù)）