二重積分的概念與性質(zhì)演示文稿

二重積分的概念與性質(zhì)演示文稿現(xiàn)在是1頁\一共有46頁\編輯于星期日（優(yōu)選）二重積分的概念與性質(zhì)現(xiàn)在是2頁\一共有46頁\編輯于星期日

重積分是定積分的推廣和發(fā)展.其同定積分一樣也是某種確定和式的極限,其基本思想是四步曲:分割、取近似、求和、取極限.

定積分的被積函數(shù)是一元函數(shù),其積分區(qū)域是一個(gè)確定區(qū)間.

而二重、三重積分的被積函數(shù)是二元、三元函數(shù),其積分域是一個(gè)平面有界閉區(qū)域和空間有界閉區(qū)域.重積分有其廣泛的應(yīng)用.序言現(xiàn)在是3頁\一共有46頁\編輯于星期日問題的提出二重積分的概念二重積分的性質(zhì)小結(jié)思考題作業(yè)doubleintegral第一節(jié)二重積分的概念

與性質(zhì)第九章重積分現(xiàn)在是4頁\一共有46頁\編輯于星期日一、問題的提出定積分中會求平行截面面積為已知的一般立體的體積如何求先從曲頂柱體的體積開始.而曲頂柱體的體積的計(jì)算問題,一般立體的體積可分成一些比較簡單的回想立體的體積、旋轉(zhuǎn)體的體積.曲頂柱體的體積.二重積分的一個(gè)模型.可作為二重積分的概念與性質(zhì)現(xiàn)在是5頁\一共有46頁\編輯于星期日曲頂柱體體積=特點(diǎn)1．曲頂柱體的體積D困難曲頂柱體以xOy面上的閉區(qū)域D為底,D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面,側(cè)面以頂是曲面且在D上連續(xù)).曲頂頂是曲的二重積分的概念與性質(zhì)現(xiàn)在是6頁\一共有46頁\編輯于星期日柱體體積=

特點(diǎn)分析曲邊梯形面積是如何求以直代曲、如何創(chuàng)造條件使

解決問題的思路、步驟與回憶思想是分割、平頂平曲這對矛盾互相轉(zhuǎn)化與以不變代變.曲邊梯形面積的求法類似取近似、求和、取極限.二重積分的概念與性質(zhì)底面積×高現(xiàn)在是7頁\一共有46頁\編輯于星期日步驟如下用若干個(gè)小平頂柱體體積之和先任意分割曲頂柱體的底，曲頂柱體的體積并任取小區(qū)域，近似表示曲頂柱體的體積，二重積分的概念與性質(zhì)現(xiàn)在是8頁\一共有46頁\編輯于星期日(1)

分割相應(yīng)地此曲頂柱體分為n個(gè)小曲頂柱體.(2)

取近似第i個(gè)小曲頂柱體的體積的近似式(用表示第i個(gè)子域的面積).將域D任意分為n個(gè)子域在每個(gè)子域內(nèi)任取一點(diǎn)二重積分的概念與性質(zhì)現(xiàn)在是9頁\一共有46頁\編輯于星期日(3)求和即得曲頂柱體體積的近似值:(4)

取極限λ)趨于零,求n個(gè)小平頂柱體體積之和令n個(gè)子域的直徑中的最大值(記作上述和式的極限即為曲頂柱體體積二重積分的概念與性質(zhì)現(xiàn)在是10頁\一共有46頁\編輯于星期日2.非均勻平面薄片的質(zhì)量(1)將薄片分割成n個(gè)小塊，看作均勻薄片.(2)(3)(4)近似任取小塊設(shè)有一平面薄片,求平面薄片的質(zhì)量M.二重積分的概念與性質(zhì)現(xiàn)在是11頁\一共有46頁\編輯于星期日也表示它的面積,二、二重積分的概念1.二重積分的定義定義作乘積

并作和

①②③二重積分的概念與性質(zhì)現(xiàn)在是12頁\一共有46頁\編輯于星期日積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達(dá)式面積元素這和式則稱此零時(shí),如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨近于的極限存在,極限為函數(shù)二重積分,記為即④二重積分的概念與性質(zhì)現(xiàn)在是13頁\一共有46頁\編輯于星期日曲頂柱體體積它的面密度曲頂即在底D上的二重積分,平面薄片D的質(zhì)量即二重積分的概念與性質(zhì)在薄片D上的二重積分,現(xiàn)在是14頁\一共有46頁\編輯于星期日

2.在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D,二重積分可寫為注定積分中1.重積分與定積分的區(qū)別:重積分中可正可負(fù).則面積元素為二重積分的概念與性質(zhì)Dyxddd=s現(xiàn)在是15頁\一共有46頁\編輯于星期日(A)最大小區(qū)間長;(B)小區(qū)域最大面積;(C)小區(qū)域直徑;(D)最大小區(qū)域直徑.D選擇題二重積分的概念與性質(zhì)現(xiàn)在是16頁\一共有46頁\編輯于星期日2.二重積分的存在定理設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)存在.連續(xù)函數(shù)一定可積注今后的討論中,積分區(qū)域內(nèi)總是連續(xù)的.或是分片連續(xù)函數(shù)時(shí),則都假定被積函數(shù)在相應(yīng)的二重積分的概念與性質(zhì)現(xiàn)在是17頁\一共有46頁\編輯于星期日(2)3.二重積分的幾何意義(3)

(1)在D上的二重積分就等于二重積分是二重積分是而在其它的部分區(qū)域上是負(fù)的.這些部分區(qū)域上的柱體體積的代數(shù)和.那末,柱體體積的負(fù)值;柱體體積;在D上的若干部分區(qū)域上是正的,二重積分的概念與性質(zhì)現(xiàn)在是18頁\一共有46頁\編輯于星期日例設(shè)D為圓域二重積分=解

上述積分等于由二重積分的幾何意義可知，是上半球面上半球體的體積：二重積分的概念與性質(zhì)RD現(xiàn)在是19頁\一共有46頁\編輯于星期日性質(zhì)１為常數(shù),則(二重積分與定積分有類似的性質(zhì))二重積分的概念與性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì)根據(jù)二重積分的幾何意義,確定積分值練習(xí)現(xiàn)在是20頁\一共有46頁\編輯于星期日以1為高的性質(zhì)2將區(qū)域D分為兩個(gè)子域性質(zhì)3若為D的面積oxyD1D2

注既可看成是以D為底,柱體體積.

對積分區(qū)域的可加性質(zhì).D1與D2除分界線外無公共點(diǎn).D又可看成是D的面積.二重積分的概念與性質(zhì)現(xiàn)在是21頁\一共有46頁\編輯于星期日二重積分的概念與性質(zhì)在有界閉區(qū)域D1上可積,且則必有現(xiàn)在是22頁\一共有46頁\編輯于星期日特殊地性質(zhì)4(比較性質(zhì))設(shè)則二重積分的概念與性質(zhì)例的值=().(A)為正(B)為負(fù)(C)等于0(D)不能確定為負(fù)B現(xiàn)在是23頁\一共有46頁\編輯于星期日選擇題

比較(D)無法比較.oxy

1??1?2C(2,1)?性質(zhì)4(比較性質(zhì))的大小,則()二重積分的概念與性質(zhì)現(xiàn)在是24頁\一共有46頁\編輯于星期日解例判斷的正負(fù)號.故于是又當(dāng)二重積分的概念與性質(zhì)現(xiàn)在是25頁\一共有46頁\編輯于星期日幾何意義以m為高和以M為高的兩個(gè)證再用性質(zhì)1和性質(zhì)3,

性質(zhì)5(估值性質(zhì))則σ為D的面積,則曲頂柱體的體積介于以D為底,平頂柱體體積之間.證畢.則二重積分的概念與性質(zhì)現(xiàn)在是26頁\一共有46頁\編輯于星期日解估值性質(zhì)區(qū)域D的面積在D上例不作計(jì)算,二重積分的概念與性質(zhì)現(xiàn)在是27頁\一共有46頁\編輯于星期日性質(zhì)6(二重積分中值定理)體積等于顯然幾何意義證D上連續(xù),σ為D的面積,則在D上至少存在一點(diǎn)使得則曲頂柱體以D為底為高的平頂柱體體積.將性質(zhì)5中不等式各除以二重積分的概念與性質(zhì)有現(xiàn)在是28頁\一共有46頁\編輯于星期日的最大值M與最小值m之間的.由閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的介值定理.兩端各乘以點(diǎn)的值證畢.即是說,確定的數(shù)值是介于函數(shù)在D上至少存在一點(diǎn)使得函數(shù)在該與這個(gè)確定的數(shù)值相等,即二重積分的概念與性質(zhì)現(xiàn)在是29頁\一共有46頁\編輯于星期日選擇題(A)(B)(C)(D)提示:B是有界閉區(qū)域D:上的連續(xù)函數(shù),不存在.利用積分中值定理.二重積分的概念與性質(zhì)現(xiàn)在是30頁\一共有46頁\編輯于星期日利用積分中值定理,解即得:由函數(shù)的連續(xù)性知,顯然,其中點(diǎn)是圓域內(nèi)的一點(diǎn).二重積分的概念與性質(zhì)現(xiàn)在是31頁\一共有46頁\編輯于星期日

補(bǔ)充在分析問題和算題時(shí)常用的設(shè)區(qū)域D關(guān)于x軸對稱,如果函數(shù)f(x,y)關(guān)于坐標(biāo)y為偶函數(shù).oxyD1性質(zhì)7則D1為D在第一象限中的部分,對稱性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)坐標(biāo)y為奇函數(shù)則設(shè)區(qū)域D關(guān)于x軸對稱,如果函數(shù)f(x,y)關(guān)于現(xiàn)在是32頁\一共有46頁\編輯于星期日設(shè)f(x,y)關(guān)于y為偶函數(shù),D1oxy

證則??得二重積分的概念與性質(zhì)軸的分為許多對稱于將域xD,子域內(nèi)取一中的子域在iDsD1軸的子域與其對稱于點(diǎn)xyxii),(,isD也記成).,(iiyx-取一點(diǎn)現(xiàn)在是33頁\一共有46頁\編輯于星期日坐標(biāo)y為奇函數(shù)自證!則設(shè)區(qū)域D關(guān)于x軸對稱,如果函數(shù)f(x,y)關(guān)于二重積分的概念與性質(zhì)現(xiàn)在是34頁\一共有46頁\編輯于星期日這個(gè)性質(zhì)的幾何意義如圖:OxyzOxyz區(qū)域D關(guān)于x軸對稱f(x,y)關(guān)于坐標(biāo)y為偶函數(shù)區(qū)域D關(guān)于x軸對稱f(x,y)關(guān)于坐標(biāo)y為奇函數(shù)二重積分的概念與性質(zhì)現(xiàn)在是35頁\一共有46頁\編輯于星期日如果函數(shù)f(x,y)關(guān)于坐標(biāo)x為奇函數(shù)oxyD1如果函數(shù)f(x,y)關(guān)于坐標(biāo)x則為偶函數(shù)則類似地,設(shè)區(qū)域D關(guān)于y軸對稱,且D1為D在第一象限中的部分,二重積分的概念與性質(zhì)現(xiàn)在是36頁\一共有46頁\編輯于星期日設(shè)D為圓域(如圖)00D1為上半圓域D2為右半圓域二重積分的概念與性質(zhì)現(xiàn)在是37頁\一共有46頁\編輯于星期日

解由性質(zhì)得

例二重積分的概念與性質(zhì)}11,11),{(￡￡-￡￡-=yxyxD其中現(xiàn)在是38頁\一共有46頁\編輯于星期日為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域,(A)(B)(C)(D)0.A1991年研究生考題,選擇,3分D1是D在第一象限的部分,練習(xí)二重積分的概念與性質(zhì)現(xiàn)在是39頁\一共有46頁\編輯于星期日D1D2D3D4記I=則I=I1+

I2,其中I1=I2=而I1=D1與D2關(guān)于y軸對稱D3與D4關(guān)于x軸對稱xy關(guān)于x和關(guān)于y都是奇函數(shù)二重積分的概念與性質(zhì)現(xiàn)在是40頁\一共有46頁\編輯于星期日而I2=是關(guān)于x的偶函數(shù),關(guān)于y的奇函數(shù).

所以二重積分的概念與性質(zhì)D1D2D3D4現(xiàn)在是41頁\一共有46頁\編輯于星期日

今后在計(jì)算重積分利用對稱性簡化計(jì)算時(shí),

注意被積函數(shù)的奇偶性.

積分區(qū)域的對稱性,要特別注意考慮兩方面:二重積分的概念與性質(zhì)現(xiàn)在是42頁\一共有46頁\編輯于星期日

思考當(dāng)f為關(guān)于x且關(guān)于y的偶函數(shù)時(shí)：當(dāng)f為關(guān)于x或關(guān)于y的奇函數(shù)時(shí)：04Di是區(qū)域D位于第i(i=1,2,3,4)象限的區(qū)域設(shè)區(qū)域關(guān)于x軸、y軸均對稱,函數(shù)f(x,y)在D上可積，則二重積分的概念與性質(zhì)現(xiàn)在是43頁\一共有46頁\編輯于星期日若D為此式的幾何意義是:中心在原點(diǎn)的上半球的體積等于它在第一卦限內(nèi)的體積的4倍.0D1為x≥0,y≥0,則二重積分的概念與性質(zhì)現(xiàn)在是44頁\一共有46頁\編輯于星期日二重積分的定義二重積分的性質(zhì)二重積分的幾何意義(曲頂