激光原理第三節(jié)課

激光原理第三節(jié)課2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新1第1頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新2平行平面腔Fox-Li數(shù)值迭代法優(yōu)點(diǎn)是：光束方向性好，模體積大，容易獲得單模模振蕩，缺點(diǎn)是：諧振腔調(diào)整精度要求高，衍射損耗和幾何損耗都比較大，其穩(wěn)定性介于穩(wěn)定腔與非穩(wěn)定腔之間不適用于小增益器件，在中等以上功率的激光器中仍普遍應(yīng)用。平行平面腔的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)：第2頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新3平行平面腔Fox-Li數(shù)值迭代法（1）假設(shè)在某一鏡面上存在一個(gè)初始場(chǎng)分布，將它代入迭代公式，計(jì)算在腔內(nèi)經(jīng)第一次渡越而在第二個(gè)鏡面上生成的場(chǎng)；（2）利用(1)所得到的代入迭代公式，計(jì)算在腔內(nèi)經(jīng)第二次渡越而在第一個(gè)鏡上生成的場(chǎng)；諧振腔內(nèi)描述場(chǎng)渡越的迭代公式，表示為：諧振腔的迭代解法的思路：（3）如此反復(fù)運(yùn)算多次后，觀察是否形成穩(wěn)態(tài)場(chǎng)分布；第3頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新4平行平面腔的迭代解法

即當(dāng)足夠大時(shí)，由數(shù)值計(jì)算得出的是否滿(mǎn)足下述關(guān)系：如果直接數(shù)值計(jì)算得出了穩(wěn)定不變的場(chǎng)分布，則表明已經(jīng)找到了腔的一個(gè)自再現(xiàn)?；驒M模???????íì==+++.....................u1uu1u1q2qq1qgg第4頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新5平行平面腔的迭代解法？如何選取初始入射波分布函數(shù)若?。壕鶆蚱矫娌ɑEM0；

一階模TEM1初始入射波分布函數(shù)不同，最后的穩(wěn)態(tài)自再現(xiàn)模分布函數(shù)也不同。第5頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新6平行平面腔的迭代解法流程圖第6頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新7對(duì)稱(chēng)矩形和條形鏡平行平面腔矩形平行平面鏡腔對(duì)稱(chēng)矩形(方形鏡)平行平面鏡腔是指諧振腔鏡面是平行的，并且在垂直與光軸方向上的尺度有限。條形鏡平行平面腔是指鏡面在某一方向上的尺度有限，而另一方向上的尺度是無(wú)限的。第7頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新8對(duì)稱(chēng)矩形和條形鏡平行平面腔將上式展開(kāi)，當(dāng),并忽略高次項(xiàng):()()222Lyyxx+￠-+￠-=rLyyLxxLLyyLxxLyxyx2)(2)(1),,,(2222￠-+￠-+?úú?ùêê?é???è?￠-+???è?￠-+=￠￠r對(duì)矩形平面腔，在圖示的坐標(biāo)系中，有第8頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新9對(duì)稱(chēng)矩形和條形鏡平行平面腔自再現(xiàn)模的積分方程：則，積分方程的核為：第9頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新10對(duì)稱(chēng)矩形和條形鏡平行平面腔自再現(xiàn)模的積分方程可以簡(jiǎn)化為：

因此有：上述方程是可以分離的，令：第10頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新11對(duì)稱(chēng)矩形和條形鏡平行平面腔其中有：表示在x方向?qū)挾葹?a而沿y方向無(wú)限延伸的條形鏡平面腔的自再現(xiàn)模；表示在y方向?qū)挾葹?b而沿x方向無(wú)限延伸的條形鏡平面腔的自再現(xiàn)模；第11頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新12對(duì)稱(chēng)矩形和條形鏡平行平面腔用和分別表示它們的第m和第n個(gè)解，表示相應(yīng)的復(fù)常數(shù)，則有本征積分方程式：本征值本征函數(shù)復(fù)常數(shù)為

：m,n表示為諧振腔的橫模在整個(gè)鏡面上的自再現(xiàn)場(chǎng)分布函數(shù)為第12頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新13圓形鏡平行平面腔第13頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新14對(duì)圓形平面腔，在圖示的極坐標(biāo)系中，有：將上式展開(kāi)，當(dāng),并忽略高次項(xiàng),可以得到:圓形鏡平行平面腔)]cos(2[21),,,(22ffffr￠-￠-￠++=￠￠rrrrLLrr第14頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新15圓形鏡平面腔將上式代入自再現(xiàn)模積分方程，有：對(duì)上述積分方程進(jìn)行分離變量，令：第15頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新16可以證明所滿(mǎn)足的積分方程為：－為第m階貝塞爾函數(shù)．

圓形鏡平面腔第16頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新17平行平面腔的迭代解法

鏡面寬度為2a，腔長(zhǎng)為L(zhǎng)的對(duì)稱(chēng)條形狀腔。并且：分析腔中的自再現(xiàn)模的形成過(guò)程。由條形狀腔的迭代公式，可以得到：第17頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新18平行平面腔的迭代解法

將計(jì)算結(jié)果進(jìn)行歸一化處理，即?。?/p>

取均勻平面波作為第一個(gè)鏡面上的初始波，即：由初始場(chǎng)分布出發(fā)，經(jīng)第一次及第300次渡越后，可以得到腔內(nèi)場(chǎng)的振幅與相位的分布圖：第18頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新19條狀腔經(jīng)過(guò)1次和300次傳播后的振幅分布第19頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新20條狀腔經(jīng)過(guò)1次和300次傳播后的位相分布第20頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新21條形鏡平行平面腔基模振幅分布第21頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新22條形鏡平行平面腔基模位相分布第22頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新23圓形鏡平行平面腔基模振幅分布第23頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新24圓形鏡平行平面腔基模位相分布第24頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新25最低階偶對(duì)稱(chēng)基橫模穩(wěn)態(tài)場(chǎng)分布特點(diǎn)：在鏡面中心處的振幅最大，從中心到鏡面邊緣振幅逐漸降落。在整個(gè)鏡面上場(chǎng)的分布具有偶對(duì)稱(chēng)性。相位的分布發(fā)生了變化，鏡面已經(jīng)不再是等相位面了，因此嚴(yán)格的說(shuō)，TEM00已不再是均勻平面波了。第25頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新26最低階奇對(duì)稱(chēng)橫模穩(wěn)態(tài)場(chǎng)分布特點(diǎn)：在鏡面中心處的振幅為零，在鏡面邊緣振幅也最小。而在某一中間位置處振幅達(dá)到最大，在整個(gè)鏡面上場(chǎng)的分布具有奇對(duì)稱(chēng)性。相位的分布發(fā)生了變化，鏡面已經(jīng)不再是等相位面了，在節(jié)線(xiàn)邊有相位突變。第26頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新27對(duì)稱(chēng)開(kāi)腔的單程相移在對(duì)稱(chēng)開(kāi)腔的情況下，單程總相移第27頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新28對(duì)稱(chēng)開(kāi)腔的單程相移單程相移與菲涅耳有關(guān)，同一橫模，N越大，單程相移越??；N相同時(shí)，基模的單程相移最小，橫模階數(shù)越高，單程相移越大.第28頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新29對(duì)稱(chēng)開(kāi)腔的諧振頻率對(duì)稱(chēng)開(kāi)腔自再現(xiàn)模的諧振條件：對(duì)于條形平行平面腔，諧振頻率主要取決于縱模頻率第29頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新30對(duì)稱(chēng)開(kāi)腔的單程功率損耗無(wú)論是條狀腔還是圓形鏡平行平面腔，單程功率損耗的大小都是菲涅耳數(shù)的函數(shù)第30頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新31對(duì)稱(chēng)開(kāi)腔的單程功率損耗單程衍射損耗與菲涅耳有關(guān)，同一橫模，N越大，單程衍射損耗越小；N相同時(shí)，基模的單程衍射損耗最小，橫模階數(shù)越高，單程衍射損耗越大.低階模的損耗遠(yuǎn)比均勻平面波的損耗低第31頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新32穩(wěn)定球面鏡共焦腔雙凹球面鏡腔：由兩塊相距為L(zhǎng)，曲率半徑分別為R1和R2的凹球面反射鏡構(gòu)成R1=R2=L博伊德和戈登(BoydandGordon)方形鏡共焦腔長(zhǎng)橢球函數(shù)，在N很大的情況，可以表示稱(chēng)厄米多項(xiàng)式與高斯函數(shù)乘積的形式。圓形鏡共焦腔超橢球函數(shù)，在N很大的情況，可以表示稱(chēng)拉蓋爾多項(xiàng)式與高斯函數(shù)乘積的形式。第32頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新33方形鏡對(duì)稱(chēng)共焦腔第33頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新34方形鏡對(duì)稱(chēng)共焦腔自再現(xiàn)模積分方程的解兩鏡面間任意兩點(diǎn)的連線(xiàn)長(zhǎng)度：第34頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新35方形鏡對(duì)稱(chēng)共焦腔自再現(xiàn)模積分方程的解由球面鏡的幾何關(guān)系：所以，有：第35頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新36方形鏡對(duì)稱(chēng)共焦腔自再現(xiàn)模積分方程的解可以得到：方形鏡對(duì)稱(chēng)共焦腔自再現(xiàn)模積分方程代入自再現(xiàn)模積分方程：第36頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新37方形鏡對(duì)稱(chēng)共焦腔自再現(xiàn)模積分方程的解進(jìn)行無(wú)量綱變換：則積分方程轉(zhuǎn)化為：根據(jù)分離變量：不存在交錯(cuò)積分，是一個(gè)可分離變量的積分方程第37頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新38方形鏡對(duì)稱(chēng)共焦腔自再現(xiàn)模積分方程的解求解上述方程的問(wèn)題等價(jià)于如下兩個(gè)方程的求解問(wèn)題：由博伊德和戈登給出，在C為有限值時(shí)，自再現(xiàn)模積分方程的本征函數(shù)為:第38頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新39方形鏡對(duì)稱(chēng)共焦腔自再現(xiàn)模積分方程的解角向長(zhǎng)橢球函數(shù)

與相應(yīng)的本征值為：式中：其中：

徑向長(zhǎng)橢球函數(shù)第39頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新40方形鏡對(duì)稱(chēng)共焦腔模式的場(chǎng)分布可以證明，在時(shí)，即在共焦腔鏡面中心附近：式中、:為常系數(shù)；:為m階厄米多項(xiàng)式4N厄米多項(xiàng)式的零點(diǎn)決定了場(chǎng)圖的零點(diǎn)，高斯函數(shù)決定了場(chǎng)分布的外形輪廓)1,C(R)1,C(ReC2)1(on)1(om]2)1nm(kL(i[nmppss++--=為高斯函數(shù)2X2e-第40頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新41方形鏡對(duì)稱(chēng)共焦腔模式的場(chǎng)分布最初幾階厄米多項(xiàng)式：厄米多項(xiàng)式具有如下的性質(zhì)：有m個(gè)實(shí)數(shù)根厄米多項(xiàng)式的一般表達(dá)式:第41頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新42方形鏡對(duì)稱(chēng)共焦腔模式的場(chǎng)分布將X,Y換回鏡面上的直角坐標(biāo)系x,y，得到：

本征值的近似解：第42頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新43鏡面上場(chǎng)的振幅和相位分布—基模

當(dāng)，得出共焦腔基模（TEM00）的場(chǎng)的分布函數(shù)：基模的強(qiáng)度分布也是高斯型的：基模的鏡面上的分布是高斯型的，模的振幅從鏡中心向邊緣平滑降落。第43頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新44鏡面上場(chǎng)的振幅和相位分布—基?；?qiáng)度最大值1/2處

半功率點(diǎn)的光斑半徑：基模振幅最大值的1/e處基模在鏡面上的光斑半徑

：共焦腔的光斑半徑大小與鏡面的尺寸沒(méi)有關(guān)系，只與腔長(zhǎng)或者反射鏡的焦距有關(guān)第44頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新45鏡面上場(chǎng)的振幅和相位分布—基模高斯分布與兩種定義的光斑尺寸第45頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新46鏡面上場(chǎng)的振幅和相位分布—高階橫模利用基模光斑半徑，本征函數(shù)的解可以寫(xiě)為：最初幾個(gè)橫模的振幅分布函數(shù)為(P117圖2-7-3振幅和強(qiáng)度分布)：第46頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新47鏡面上場(chǎng)的振幅和相位分布—高階橫模高階橫模光斑半徑須按沿不同坐標(biāo)來(lái)計(jì)算，可以證明，沿x,y方向的光斑半徑分別為：自再現(xiàn)模的輻角決定了鏡面上場(chǎng)的相位分布：無(wú)論對(duì)基?；蛘吒唠A模式，共焦腔反射鏡本身構(gòu)成一個(gè)等相位面第47頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新48共焦腔的單程能量損耗

共焦腔基模單程功率損耗經(jīng)驗(yàn)公式：而同一菲涅耳數(shù)的圓形平面鏡腔基模的損耗：因此：菲涅耳數(shù)：?jiǎn)纬坦β蕮p耗例：

HeNe激光器采用共焦腔，L=30cm,a=0.2cm,振蕩波長(zhǎng)0.6328微米第48頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新49

方形鏡共焦腔和平行平面腔的衍射損耗第49頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新50單程能量損耗結(jié)論：損耗隨著菲涅耳系數(shù)N的增大而迅速減小菲涅耳系數(shù)相同時(shí)，不同橫模的損耗不同，模的階次越高，損耗越大；共焦腔模的損耗要小于平面腔模的損耗，這是因?yàn)楣步骨粚?duì)光束會(huì)聚作用的結(jié)果。自再現(xiàn)模的衍射損耗小于均勻平面波的衍射損耗，因?yàn)樽栽佻F(xiàn)模的形成過(guò)程反應(yīng)了衍射損耗的影響，從而使得邊緣部分強(qiáng)度變小，衍射損耗的作用變小。第50頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新51單程相移和諧振頻率

由諧振條件:可以得出各階模的諧振頻率為：同一橫模的相鄰兩縱模之間的頻率間隔為：q一定時(shí)，m,n改變，頻率間隔為：TEMmn模在腔內(nèi)一次渡越的總相移為：附加相移第51頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新52單程相移和諧振頻率共焦腔的振蕩頻譜及縱模和橫模的關(guān)系第52頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新53方形鏡共焦腔強(qiáng)度花樣第53頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2004年10月2