流體力學六章課件

流體力學六章課件1第1頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運動

若，即ωx=ωy=ωz

=0，則流體的運動稱為無旋運動或勢流，若ω≠0。(至少有一個分量不為零)，則稱為旋渦運動或有旋運動。判斷流體運動是無旋還是有旋，不能從流體質(zhì)點的軌跡來判別，而是要看流體微團本身是否旋轉(zhuǎn)。

旋渦運動是流體運動的一種基本形式。它存在于小到肉眼看不到的物體邊壁附近極薄的邊界層內(nèi)及物體后面的尾流中，大到太陽系與宇宙星系中，它們都可利用渦系的生成與發(fā)展解釋。

本章首先介紹描述旋渦運動的一些基本概念——渦線、渦管、渦束、渦強與速度環(huán)量及其關系，然后敘述關于理想流體旋渦運動規(guī)律的幾個定理——有關旋渦運動的運動學特性之亥姆霍茲(Helmholtz)第一定理(旋渦運動在空間的變化規(guī)律)，有關旋渦運動的動力學特性之湯姆生(Thomson)定理、拉格朗日(Lagrange)定理、亥姆霍茲第二定理及第三定理(旋渦運動隨時間的變化規(guī)律)，最后闡述關于旋渦在流體中誘導速度的畢奧—薩伐爾(Bion-Savart)定律。希望由此對流體旋渦運動的規(guī)律有個基本的了解，以便用于分析有關的理論與實際問題。

2第2頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運動§6-1渦線、渦管、渦束與渦強(渦通量)

渦量場中渦線、渦管、渦束與渦強(渦通量)這些運動學概念最早是1843年由亥姆霍茲首先引入的，它們分別類似于速度場中的流線、流管、流速與流量。一、渦線

渦線是渦量場中某瞬時作出的這樣一條空間曲線，在該瞬時曲線上所有各點流體微團的旋轉(zhuǎn)角速度矢量與該曲線相切(如圖)。因為每點處角速度矢量方向是流體微團的旋轉(zhuǎn)軸方向(按右手定則)，所以渦線也就是一群流體微團在給定瞬時圍繞旋轉(zhuǎn)的公共軸線。顯然，渦線方程為3第3頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運動式中是渦線上的微元矢量。在直角坐標中展開后可得到渦線方程，即其中旋轉(zhuǎn)角速度分量ωx

、ωy、ωz是以時間變量t為參變量。對于不同的t，就構成了渦線族方程組。渦線與流線類似，有如下性質(zhì):(1)定常流動時渦線的形狀與位置不隨時間改變;(2)一般情況下，任一瞬時過一點只能作一條渦線;(3)可以證明:理想流體定常流動時沿流線的伯努利積分亦適用于沿渦線的情形。4第4頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運動但是，一般情況下渦線與流線不重合，而是相交。在流體作平面流動時，渦線流線處處正交，即同一點。

渦量場與不可壓縮流體的速度場一樣，都是無源場(無散場)，這是因為:不可壓縮流體的速度場中相應的渦量場中一、渦管、渦束與旋渦強度(渦通量)1.渦管在渦量場中任取一條非渦線的封閉曲線，過曲線上每一點作渦線，這些渦線構成的管狀表面稱為渦管(如圖)。若該封閉曲線所圍面積無限小，則稱為微元渦管。微元渦管中同一截面的流體微團以同一角速度旋轉(zhuǎn)，但與剛體不同的是沿渦管方向不同截面的角速度是不相同的。5第5頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運動※.渦面給定瞬間，通過某一曲線（本身不是渦線）的所有渦線構成的曲面稱為渦面。

渦線渦面渦管2.渦束渦管內(nèi)所包含的旋轉(zhuǎn)流體(或者說所有渦線的總和)稱為渦束。3.旋渦強度(渦通量)旋渦的變化及其對周圍流場的影響決定于旋渦旋轉(zhuǎn)角速度及渦束內(nèi)所含流體的多少(可用其截面積A來表示)。由此來定義通過微元渦管的旋渦強度(簡稱為渦強，又叫作渦通量)，6第6頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運動式中，為微元面積dA的外法線單位矢量；ωn的是角速度矢量在方向的投影量。通過整個渦管之任一曲面A的旋渦強度(渦通量)為式中A不一定是某平面截面面積，也可是某曲面面積。旋渦強度的單位通常是m2/s?？臻g問題的渦通量平面問題的渦通量7第7頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運動§6-2速度環(huán)量，斯托克斯定理

一、速度環(huán)量

1869年湯姆生(Thomson)引進一個與旋渦強度密切相關的速度環(huán)量的概念。利用斯托克斯定理，可通過對速度環(huán)量的計算或量測較簡便地確定旋渦強度。速度環(huán)量在流體力學與空氣動力學中十分重要。

某瞬時在流場中有任一曲線AB(如圖)，它上面各點的速度沿該曲線的線積分沿曲線AB作速度的線積分沿閉曲線速度的線積分

稱為速度(線)積分。其中為曲線AB上的微元矢量，α為該曲線上某點速度與當?shù)貖A角。8第8頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運動

若曲線AB是一條封閉曲線L，則速度沿該封閉曲線的線積分稱為某瞬時沿該封閉曲線的速度環(huán)量(簡稱為環(huán)量)?？梢?，速度(線)積分或速度環(huán)量的概念在形式上類似于力沿曲線或封閉曲線的作功。

速度環(huán)量的正負號取決于流場中速度的方向以及線積分所取環(huán)繞方向。為統(tǒng)一起見，通常規(guī)定線積分繞逆時針方向為其正方向。

速度環(huán)量的概念不僅適用于不可壓縮流體與理想流體，而且也適用于可壓縮流體與粘性流體。9第9頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運動二、斯托克斯定理

旋渦強度(面積分)與速度環(huán)量(線積分)的關系可直接根據(jù)高等數(shù)學中的斯托克斯定理來確定:式中，L是包圍單連通區(qū)域的任一有限大封閉曲線；A是以封閉曲線L為周界的任意開口曲面。斯托克斯定理說明了：繞任一封閉曲線L的速度環(huán)量等于穿過以該曲線為界的任意開口曲面A的旋渦強度(渦通量)的2倍。10第10頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運動

斯托克斯定理只適用于單連通區(qū)域。所謂單連通區(qū)域就是在連通域中的任一閉合曲線，其連續(xù)地收縮成一點時不與邊界線相交，這種連通域就稱為單連通區(qū)域(如圖)。例如，球表面內(nèi)部的空間區(qū)域，或兩個同心球之間的空間區(qū)域等都是單連通區(qū)域。否則，就稱為多連通區(qū)域。例如，由內(nèi)外柱形邊界圍成的空間就是一雙連通區(qū)域(如圖)。若封閉曲線內(nèi)有平面點渦等奇點(§7-4)，則亦是多連通區(qū)域。雙連通區(qū)域單連通區(qū)域11第11頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運動

對于多連通區(qū)域，在運用斯托克斯定理時首先必須把它化成單連通區(qū)域。這只要做適當數(shù)目的隔面。例如，對于平面機翼翼型繞流的雙連通區(qū)域，只要做一個無限薄的隔面，就可將它化成一個單連通區(qū)域(如圖)。此時可利用斯托克斯定理其中

因為

所以

12第12頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運動斯托克斯定理的證明1.L為微小矩形封閉曲線ABCD:若是平面曲線(如圖)，對于微元長度的速度可按始、終端點速度的平均值計算，由此13第13頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運動上述結論可推廣應用于L為空間微小矩形封閉曲線條件下，因為它的三個相互垂直的投影面中具有上述關系。2.L為平面有限大區(qū)域的封閉曲線

用一系列平行x軸與y軸的相互垂直的直線將它分成無數(shù)多個微小的矩形(如圖)。對于每個微小矩形都有關系式dΓ=2ωndA，然后對速度環(huán)量求和，注意到此時沿相鄰矩形的公共邊上的速度積分方向相反，故符號相反而相互抵消，因而對于單連通區(qū)域求和后，剩下的只是外周線L的環(huán)量。則14第14頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運動3.L為任意空間有限大區(qū)域的封閉曲線設A為以L為界的任意曲面，可把曲面A分成無數(shù)個微小曲面，對于每一微小曲面都有關系式dΓ=2ωndA

，對于單連通區(qū)域，若對總面積的速度環(huán)量求和，得由此可見，斯托克斯定理亦適用于空間的三元流動。例.已知不可壓縮流體流動的速度分布試求渦線方程及沿封閉曲線的速度環(huán)量。其中a、b為常數(shù)。15第15頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運動解：旋轉(zhuǎn)角速度代入渦線方程，化簡得積分得16第16頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運動對于在z=0平面上的圓周則由斯托克斯定理故17第17頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運動例.一個以角速度ω按逆時針方向作像剛體一樣的旋轉(zhuǎn)的流動，如圖所示。試求在這個流場中沿封閉曲線的速度環(huán)量，并證明它是有旋流動。有旋流動中速度環(huán)量的計算解：在流場中對應于任意兩個半徑r1和r2的圓周速度各為V1=ωr1和V2=ωr2

，沿圖中畫斜線扇形部分的周界ABCDA的速度環(huán)量18第18頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運動可見，在這個區(qū)域內(nèi)是有旋流動。又由于扇形面積于是上式正是斯托克斯定理的一個例證。以上結論可推廣適用于圓內(nèi)任意區(qū)域內(nèi)。19第19頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運動例.一個流體繞O點作同心圓的平面流動，流場中各點的圓周速度的大小與該點半徑成反比，即V=C/r，其中C為常數(shù)，如圖所示。試求在流場中沿封閉曲線的速度環(huán)量，并分析它的流動情況。無旋流動中速度環(huán)量的計算解：沿圖中畫斜線扇形部分的周界ABCDA的速度環(huán)量20第20頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運動可見，在這區(qū)域內(nèi)是無旋流動。這結論可推廣適用于任何不包圍圓心O的區(qū)域內(nèi)，例如。若包有圓心（r=0），該處速度等于無限大，應作例外來處理?，F(xiàn)在求沿半徑的圓周封閉曲線的速度環(huán)量

上式說明，繞任何一個圓周的流場中，速度環(huán)量都不等于零，并保持一個常數(shù)，所以是有旋流動。但凡是繞不包括圓心在內(nèi)的任何圓周的速度環(huán)量必等于零，故在圓心O點處必有旋渦存在，圓心是一個孤立渦點，稱為奇點。21第21頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運動§6-3湯姆生定理與拉格朗日定理湯姆生定理又稱為開爾文(Kelvin)定理，后者是前者的封號。

湯姆生定理：對于理想、正壓流體，質(zhì)量力單值有勢時，沿任一封閉流體線(由一些給定的流體微團構成的曲線)的速度環(huán)量，在整個運動過程中不隨時間改變。這只要證明dΓ/dt=0即可。一、湯姆生定理現(xiàn)證明如下:設t瞬時的封閉流體線L，在t+dt瞬時變形運動為，由定義，22第22頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運動于是

從圖可見

所以

注意到

故

說明了封閉流體線的速度環(huán)量對時間的變化率等于此流體線的加速度環(huán)量。23第23頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運動再利用理想流體的歐拉運動微分方程若質(zhì)量力單值有勢，可引入質(zhì)量力勢Π，，對于密度ρ僅是壓強p的單值函數(shù)之正壓流體，存在壓強函數(shù)PF，代入得

則

得證。由上述證明可知，湯姆生定理顯示了旋渦運動的動力學特性。其中，為哈密頓算子：24第24頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運動二、拉格朗日定理在理想、正壓流體中，質(zhì)量力單值有勢時，若某一瞬時流體一部分沒有旋渦，則在該瞬時以前或以后的時間里，這部分流體亦不會產(chǎn)生旋渦；反之，一旦有旋渦的存在，則該部分流體中的旋渦亦不會自行消失，這就是拉格朗日定理。該定理是旋渦的不生不滅定理，它對于判斷流場是否有旋有著重要的意義。

這一定理是湯姆生定理的推論?，F(xiàn)證明如下：若某瞬時、某部分流體處處ω=0，則由斯托克斯定理，該部分流體內(nèi)封閉流體線L的速度環(huán)量根據(jù)湯姆生定理，在理想、正壓流體中，質(zhì)量力單值有勢時，沿給定流體線的速度環(huán)量在以前或以后的時間里，應始終保持Γ=0。25第25頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運動再利用斯托克斯定理，對于位于那部分流體中的任何曲面A，在運動過程中始終因為曲面A的任意性(包括位置、大小與方位)，故欲使上式成立，必須在任何瞬時處處ω=0。反之，可以證明在上述條件下，一旦有旋渦的存在，則這部分流體中的旋渦亦不會消失。由此得證。根據(jù)拉格朗日定理，在理想、正壓流體中，質(zhì)量力單值有勢時，由靜止開始運動的流體，運動一定是無旋的；無窮遠處均勻來流繞流物體的流場亦是無旋的。26第26頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運動必須指出，若需考慮流體的粘性，或質(zhì)量力無勢時(如哥氏加速度形成的慣性力)或是斜壓流體(密度不僅與壓強有關，而且還與溫度、濕度或含鹽度等有關，如大氣或海水)，則旋渦就會產(chǎn)生、發(fā)展、擴散、衰減與消失。此外，粘性流體往往作旋渦運動，同時在粘性流體中存在旋渦擴散及耗能的特性，流場中旋渦將從渦強大的地方向渦強小的地方擴散，直到各處渦強相等，并隨著時間的推移，各處渦量慢慢衰減為零。27第27頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運動§6-4亥姆霍茲旋渦三定理

在同一瞬時，沿渦管長度旋渦強度不變，這就是亥姆霍茲第一定理。該定理顯示了旋渦運動的運動學特性。一、亥姆霍茲第一定理——渦強守恒定理現(xiàn)證明如下:在某瞬時，沿渦管表面取封閉周線，其中AB與是兩條幾乎重合的曲線(如圖)。先研究該封閉曲線的環(huán)量，其速度線積分的環(huán)繞方向如圖。顯然，因為

所以

28第28頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運動根據(jù)斯托克斯定理，由于通過渦管表面的渦強為零，所以對于上述封閉周線ABB'A'A的速度環(huán)量亦等于零，即則

即

再利用斯托克斯定理，得即

式中A1、

A2分別為以曲線A'A、BB'為界的任意曲面。得證。顯然，亥姆霍茲第一定理對于微元渦管亦成立，為29第29頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運動由此可見，亥姆霍茲第一定理形式上類似于不可壓縮流體沿流管的連續(xù)性方程，亦是一運動學定理。亥姆霍茲第一定理對理想流體或粘性流體、對正壓流體或斜壓流體、無論質(zhì)量力是否有勢都適用?！窀鶕?jù)亥姆霍茲第一定理，可得到以下結論:

(1)同一瞬時，對于同一微元渦管來說，截面積小的地方流體旋轉(zhuǎn)角速度大，反之亦然。

(2)渦管截面積不可能變?yōu)榱?，否則ω=∞，但這是不可能的。所以渦管不可能在流體內(nèi)部開始或終止，或者說不可能在流體內(nèi)部斷開。因此，渦管只可能為自我封閉的環(huán)形渦圈(圖1)，如吸煙者吐出的圓環(huán)形煙圈，水中旋渦，或者在邊界上(容器壁面或自由液面)開始與終止(圖2)，或伸展到無窮遠處，如龍卷風(圖3)。30第30頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運動二、亥姆霍茲第二定理——渦管(線)保持性定理亥姆霍茲第二定理與第三定理均顯示了旋渦的動力學特性。亥姆霍茲第二定理：理想、正壓流體中，若質(zhì)量力單值有勢，則渦管(線)在流體運動過程中一直保持為由相同流體質(zhì)點組成的渦管(線)而不破壞。31第31頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運動證明如下:某瞬時t，在渦管表面上取一封閉的流體線L(如圖)，由于該曲線所包圍的面積無ω通過，即ωn=0，因而按斯托克斯定理，ΓL=0。在以后t'瞬時，由相同流體質(zhì)點組成的流體線變形運動到L'位置，據(jù)湯姆生定理ΓL'=ΓL=0。再利用斯托克斯定理，通過封閉流體線L'所圍的任意曲面的ωn=0，即沒有渦線通過。這就是說，在某一瞬時構成渦管的流體質(zhì)點在運動過程中永遠在渦管上，即渦管永遠保持為渦管而不破壞。當然，隨著時間的改變，渦管的形狀與位置是可能變化的。可以想像，由于渦線可看成是兩個渦管的交線，既然渦管存在保持性定理，那么渦線亦存在保持性定理。32第32頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運動實際上，任何流體與由它構成的流體面都具有保持性定理。渦線與渦管只不過是它們的特殊情況。歷史上較早的是由亥姆霍茲首先單獨證明了渦線與渦管的保持性定理(1858年)。三、亥姆霍茲第三定理——渦強保持性定理

理想、正壓流體中，若質(zhì)量力單值有勢，則在流體運動過程中渦管的渦強不隨時間改變?，F(xiàn)證明如下:如圖所示，設t瞬時通過渦管上以封閉曲線L為界的曲面A的渦強，由斯托克斯定理，經(jīng)過一段時間，在t'瞬時，由相同流體質(zhì)點構成的流體線運動到L'位置。據(jù)湯姆生定理，在理想、正壓流體中，質(zhì)量力單值有勢的條件下，ΓL'=ΓL

。33第33頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運動又據(jù)渦管保持性定理，L'仍保持在渦管表面。再次利用斯托克斯定理可得：在t'瞬時通過渦管上以封閉曲線L'為界的曲面A'的渦強。得證。

34第34頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運動§6-5旋渦的誘導速度——畢奧—薩伐爾定律

渦量場與速度場有一定的關系。若已知速度場，只要通過微分運算就容易求得渦量場；反之可以想像，若已知渦量場，可通過積分運算來確定其誘導的速度場。根據(jù)給定的渦量場確定它們誘導的速度場具有重要的理論與實際意義。例如，三元機翼繞流中下洗流動的計算及其對空氣動力的影響，如何估計物體形狀對流動的影響以及繞流物體旋渦阻力的計算等等，所有這些都與這一問題有著直接的聯(lián)系。對于不可壓縮流體，如何根據(jù)給定的渦量場確定其誘導速度，其計算公式的嚴格證明涉及較多的數(shù)學理論，在此不作介紹，有興趣的讀者可參看有關參考書，如文[7]。35第35頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運動根據(jù)流場可與電磁場相比擬，詳細內(nèi)容見文[4]，由電動力學中的畢奧——薩伐爾定律，磁場強度式中，I為導線中的電流；

為導線沿電流方向的微元矢量；

是導線中任一點至電磁場中某研究點的矢徑。的方向由右手定則確定，見圖（a），即圖中垂直進紙面的方向。于是得到微小的渦束（渦線）之誘導速度（在流體力學中亦稱為畢奧—薩伐爾定律）。圖（a）圖（b）36第36頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運動式中Γ為速度環(huán)量，又稱為線渦強度。Γ在積分號外面，這是根據(jù)亥姆霍茲第一定理與斯托克斯定理，在同一瞬時沿渦管長度速度環(huán)量不變。為微小渦束(渦線)的微元矢量(按Γ的右手定則確定方向)，為微小渦束(渦線)與任一點至渦量場中某研究點的矢徑。的方向由右手定則確定，見圖

(b)，即圖中垂直進紙面方向。根據(jù)前式，誘導速度的大小式中α為微元矢量到的夾角。計算中認為微小渦束（渦線）以外的流場是無旋勢流，可利用勢流疊加原理(§7-3)。但是實際上，旋渦誘導速度的產(chǎn)生是由于旋渦通過流體的粘性對周圍流場起作用。37第37頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運動1.有限長直線渦