2023年中考數(shù)學二輪復習重難點專項突破專題09 利用銳角三角函數(shù)解實際問題(教師版)

專題09利用銳角三角函數(shù)解實際問題【典型例題】1．(2022·遼寧沈河·九年級期末)如圖是我們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常使用的訂書器，AB是訂書機的托板，壓柄BC繞著點B旋轉(zhuǎn)，連接桿DE的一端點D固定，點E從A向B處滑動．在滑動過程中，DE的長保持不變．已知BD＝SKIPIF1<0cm．(1)如圖1，當∠ABC＝45°，BE＝12cm時，求連接桿DE的長度；(結(jié)果保留根號)(2)現(xiàn)將壓柄BC從圖1的位置旋轉(zhuǎn)到與底座AB垂直，如圖2所示，請直接寫出此過程中，點E滑動的距離．(結(jié)果保根號)【答案】(1)連接桿SKIPIF1<0的長度為SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．【解析】【分析】(1)過點D作DM⊥AB交AB與點M，在Rt△BDM中，通過解直角三角形可求出DM、BM的長度，在Rt△DEM中，利用勾股定理可求出DE的長；(2)在Rt△DBE中，利用勾股定理可求出BE的長度，結(jié)合(1)中BE的長度即可求出點E滑動的距離．【詳解】解(1)在圖1中，過點D作DM⊥AB交AB與點M，在Rt△BDM中，DM=BD?sin45°=SKIPIF1<0，BM=BD?cos45°=SKIPIF1<0，在Rt△DEM中，∠DME=90°，DM=4，EM=BE-BM=8，∴DE=SKIPIF1<0∴連接桿DE的長度為SKIPIF1<0；(2)在Rt△DBE中，∠DBE=90°，BD=SKIPIF1<0，DE=SKIPIF1<0，∴BE=SKIPIF1<0

∴在此過程中點E滑動的距離為SKIPIF1<0cm．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用以及勾股定理，熟練掌握解直角三角形以及靈活使用勾股定理是解決問題的關鍵．【專題訓練】選擇題1．(2022·山東歷下·九年級期末)如圖，河壩橫斷面迎水坡SKIPIF1<0的坡比為SKIPIF1<0，壩高SKIPIF1<0為4m，則SKIPIF1<0的長度為()A．8m B．SKIPIF1<0m C．SKIPIF1<0m D．SKIPIF1<0m【答案】B【解析】【分析】根據(jù)坡比的概念求出AC即可．【詳解】根據(jù)題意可知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0m，故選B．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用坡度坡比問題，掌握坡比的概念是解題的關鍵．2．(2022·山東歷下·九年級期末)我國航天事業(yè)捷報頻傳，天舟二號于2021年5月29日成功發(fā)射，震撼人心．當天舟二號從地面到達點A處時，在P處測得A點的仰角∠DPA為30°，A與P兩點的距離為10千米；它沿鉛垂線上升到達B處時，此時在P處測得B點的仰角∠DPB為45°，則天舟二號從A處到B處的距離AB的長為()(參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)A．2.0千米 B．1.5千米 C．2.5千米 D．3.5千米【答案】D【解析】【分析】由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得AD=5(千米)，再由銳角三角函數(shù)定義求出PD、BD的長，即可得出答案．【詳解】解：在Rt△APD中，∠DPA=30°，AP=10千米，∠ADP=90°，cos∠DPA=cos30°=SKIPIF1<0，∴AD=SKIPIF1<0AP=SKIPIF1<0×10=5(千米)，PD=AP?cos30°=10×SKIPIF1<0=5SKIPIF1<0(千米)，在Rt△BPD中，tan∠DPB=tan45°=SKIPIF1<0，∴BD=PD?tan45°=5SKIPIF1<0×1=5SKIPIF1<0(千米)，∴AB=BD-AD=5SKIPIF1<0-5≈8.5-5=3.5(千米)，故選：D．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用—仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解題的關鍵．3．(2022·江蘇通州·九年級期末)如圖，要測量山高SKIPIF1<0，可以把山坡“化整為零”地劃分為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0兩段，每一段上的山坡近似是“直”的．若量得坡長SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，測得坡角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則山高SKIPIF1<0為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】在Rt△ABF中根據(jù)∠BAF=30°得出BF的長，從而得到DE的長，再在Rt△CBE中利用∠CBE的正弦計算出CE，然后計算CE和DE的和即可．【詳解】解：∵BE⊥CD，BF⊥AD，∠D=90°，∴四邊形BEDF是矩形，∴BF=DE，∵AB=600，∠BAF=30°，∴DE=BF=SKIPIF1<0AB=300米，在Rt△BCE中，∵BC=200米，∠CBE=45°，∴CE=BC·sin∠CBE=800×SKIPIF1<0=400SKIPIF1<0(米)，∴CD=300+400SKIPIF1<0(米),故選C．【點睛】本題考查解直角三角形的應用-坡度坡角問題，解題的關鍵是明確題意，利用銳角三角函數(shù)和數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．4．(2022·山東歷城·九年級期末)如圖，某建筑物的頂部有一塊宣傳牌CD．小明在山坡的坡腳A處測得宣傳牌底部D的仰角為60°，沿山坡向上走到B處測得宣傳牌頂部C的仰角為45°，已知斜坡AB的坡角為30°，SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0米，則宣傳牌CD的高度是(

)米A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】過點B分別作AE、DE的垂線，垂足分別為G、F，在Rt△ABG中，由已知可求得BG、AG的長，從而可易得EF及EG、BF的長度，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得CF的長度，在Rt△DAE中，由正切函數(shù)關系可求得DE的長度，從而可求得CD的長度．【詳解】過點B分別作AE、DE的垂線，垂足分別為G、F，如圖在Rt△ABG中，∠BAG=30゜∴SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0(米)∴SKIPIF1<0米∵BG⊥AE，BF⊥ED，AE⊥ED

∴四邊形BGEF是矩形∴EF=BG=5米，SKIPIF1<0米∵∠CBF=45゜，BF⊥ED∴∠BCF=∠CBF=45゜∴SKIPIF1<0米在Rt△DAE中，∠DAE=60゜，AE=15米∴SKIPIF1<0(米)∴SKIPIF1<0米故選：A【點睛】本題考查了解直角三角形的實際應用，理解坡角、仰角的含義，構造輔助線得到直角三角形是解題的關鍵．二、填空題5．(2022·江蘇海門·九年級期末)如圖，某校數(shù)學興趣小組要測量樓房DC的高度．在點A處測得樓頂D的仰角為30°，再往樓房的方向前進30m至B處，測得樓頂D的仰角為45°，則樓房DC的高度為______m．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】由題意知SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0計算求解即可．【詳解】解：由題意知SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用．解題的關鍵在于確定線段的數(shù)量關系．6．(2022·北京房山·九年級期末)如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為60，看這棟高樓底部的俯角為30，熱氣球與高樓的水平距離為60m，這棟樓的高度是___________m．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】求這棟樓的高度，即BC的長度，根據(jù)SKIPIF1<0，在Rt△ABD和Rt△ACD中分別求出BD，CD就可以．【詳解】解：在Rt△ABD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，AD=60m，∴SKIPIF1<0．在Rt△ACD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0．【點睛】此題主要考查了仰角俯角問題，利用三角函數(shù)關系解直角三角形是解題的關鍵．7．(2022·河北·石家莊二十三中九年級期末)第6號臺風“煙花”于2021年7月25日12時30分前后登陸舟山普陀區(qū)，登陸時強度為臺風級，中心最大風速38米/秒．此時一艘船以27nmile/h的速度向正北航行，在A處看煙花S在船的北偏東15°方向，航行40分鐘后到達B處，在B處看煙花S在船的北偏東45°方向．(1)此時A到B的距離是_____；(2)該船航行過程中距離煙花S中心的最近距離為_____．(提示：sin15°SKIPIF1<0)．【答案】

18nmile

SKIPIF1<0nmile##SKIPIF1<0nmile【解析】【分析】如圖，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0先由路程等于速度乘以時間求解SKIPIF1<0再利用sin15°SKIPIF1<0求解SKIPIF1<0再設SKIPIF1<0而SKIPIF1<0SKIPIF1<0再利用SKIPIF1<0建立方程，再解方程，從而可得答案.【詳解】解：如圖，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0由題意可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0設SKIPIF1<0則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0設SKIPIF1<0而SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0經(jīng)檢驗符合題意；所以：該船航行過程中距離煙花S中心的最近距離為：SKIPIF1<0nmile.故答案為：18nmile，SKIPIF1<0nmile.【點睛】本題考查的是解直角三角形的實際應用，熟練的利用SKIPIF1<0的值求解SKIPIF1<0是解本題的關鍵.8．(2022·浙江婺城·九年級期末)圖1是一款折疊式跑步機，其側(cè)面結(jié)構示意圖如圖2(忽略跑步機的厚度)．該跑步機由支桿AB(點A固定)，點E在滑槽AC上滑動．已知AB＝60cm，AC＝125cm．收納時，滑動端點E向右滑至點C，點F與點A重合；打開時，若滑動桿EF與AD夾角的正切值為2，則察看點F處的儀表盤視角為最佳．(1)BE＝_____cm；(2)當滑動端點E與點A的距離EA＝_____cm時，察看儀表盤視角最佳．【答案】

65

SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)根據(jù)收納時，滑動端點E向右滑至點C，點F與點A重合；可得AB＝FB，EF＝AC，利用已知數(shù)據(jù)計算即可；(2)過點B作BM⊥AC，垂足為M，解直角三角形即可．【詳解】解：(1)∵收納時，滑動端點E向右滑至點C，點F與點A重合，∴AB＝FB＝60cm，EF＝AC＝125cm，∴BE＝EF-FB＝65cm，故答案為：65；(2)過點B作BM⊥AC，垂足為M，∵察看儀表盤視角最佳，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得，SKIPIF1<0cm；SKIPIF1<0cm；SKIPIF1<0cm；EA＝SKIPIF1<0cm；故答案為：SKIPIF1<0【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，解題關鍵是恰當構建直角三角形，準確解直角三角形．三、解答題9．(2021·浙江諸暨·九年級期末)為有效預防新型冠狀病毒的傳播，如圖1為醫(yī)院里常見的“測溫門”，圖2為該“測溫門”截面示意圖．小聰做了如下實驗：當他在地面M處時“測溫門”開始顯示額頭溫度，此時在額頭B處測得A的仰角為30°；當他在地面N處時，“測溫門”停止顯示額頭溫度，此時在額頭C處測得A的仰角為60°．經(jīng)測量該測溫門的高度AD為2.5米，小聰?shù)挠行y溫區(qū)間MN的長度是1米，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求小聰?shù)纳砀逤N為多少？(注：額頭到地面的距離以身高計)(參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，結(jié)果精確到0.01米)【答案】1.63米【解析】【分析】延長BC交AD于點E，設AE=x米，通過解直角三角形分別表示出BE、CE的長度，根據(jù)SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，解得即可求出AE進而即可求出CN．【詳解】解：延長BC交AD于點E，設AE=x米，SKIPIF1<0SKIPIF1<0(米)SKIPIF1<0(米)SKIPIF1<0(米)解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0(米)SKIPIF1<0(米)答：小聰?shù)纳砀逤N為1.63m．【點睛】此題考查了直角三角形的應用——仰角俯角問題，解題的關鍵是能借助仰角構造直角三角形．10．(2022·重慶榮昌·九年級期末)如圖，某大樓的頂部樹有一塊廣告牌CD，李明在山坡的坡腳A處測得廣告牌底部D的仰角為53°．沿坡面AB向上走到B處測得廣告牌頂部C的仰角為45°，已知山坡SKIPIF1<0的坡度SKIPIF1<0，AB＝12米，AE＝24米．(測角器的高度忽略不計，結(jié)果精確到0.1米，SKIPIF1<0≈1.414，SKIPIF1<0≈1.732，sin53°≈SKIPIF1<0，cos53°≈SKIPIF1<0，tan53°≈SKIPIF1<0)(1)求點B距水平地面AE的高度；(2)求廣告牌CD的高度．【答案】(1)6米(2)約為SKIPIF1<0米【解析】【分析】(1)過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，先根據(jù)坡度的定義可得SKIPIF1<0，從而可得SKIPIF1<0，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得；(2)過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，先根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)可得SKIPIF1<0米，再根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得SKIPIF1<0米，從而可得SKIPIF1<0的長，然后在SKIPIF1<0中，解直角三角形可得SKIPIF1<0的長，最后根據(jù)SKIPIF1<0即可得．(1)解：如圖，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0山坡SKIPIF1<0的坡度SKIPIF1<0，SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0米，故點SKIPIF1<0距水平地面SKIPIF1<0的高度為6米．(2)解：如圖，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0(米)，SKIPIF1<0(米)，答：廣告牌SKIPIF1<0的高度約為SKIPIF1<0米．【點睛】本題考查了解直角三角形、坡度等知識點，通過作輔助線，構造直角三角形是解題關鍵．11．(2022·山東泰山·九年級期末)如圖，1號樓在2號樓的南側(cè)，兩樓高度均為SKIPIF1<0，樓間距為SKIPIF1<0．冬至日正午，太陽光線與水平面所成的角為30°，1號樓在2號樓墻面上的影高為SKIPIF1<0；春分日正午，太陽光線與水平面所成的角為60°，1號樓在2號樓墻面上的影高為SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0．(1)求樓間距SKIPIF1<0；(2)若2號樓共30層，層高均為SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0位于第幾層？【答案】(1)SKIPIF1<0(2)點SKIPIF1<0位于21層【解析】【分析】(1)構造出兩個直角三角形，利用兩個角的正切值即可求出答案．(2)只需計算出CA的高度即可求出樓層數(shù)．(1)過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0由題意可知：設SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，

同理可得：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0樓間距SKIPIF1<0，(2)由(1)可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由于2號樓每層3米，可知點SKIPIF1<0位于21層．【點睛】本題考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是正確運用銳角三角函數(shù)來求出相應的線段．12．(2022·浙江鄞州·九年級期末)如圖，某漁船向正東方向以14海里/時的速度航行，在SKIPIF1<0處測得小島SKIPIF1<0在北偏東SKIPIF1<0方向，2小時后漁船到達SKIPIF1<0處，測得小島SKIPIF1<0在北偏東SKIPIF1<0方向，已知該島周圍20海里范圍內(nèi)有暗礁．(參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0)(1)求SKIPIF1<0處距離小島SKIPIF1<0的距離(精確到SKIPIF1<0海里)；(2)為安全起見，漁船在SKIPIF1<0處向東偏南轉(zhuǎn)了SKIPIF1<0繼續(xù)航行，通過計算說明船是否安全？【答案】(1)22.6海里(2)能安全通過．【解析】【分析】(1)根據(jù)方向角的定義得出∠CAD＝90°﹣70°＝20°，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，在兩個直角三角形中，由直角三角形的邊角關系可求出CM，進而求出BC；(2)求出點C到BE的距離CN的值，比較得出答案．(1)解：如圖，過點C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，由題意得，∠CAD＝90°﹣70°＝20°，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，AB＝14×2＝28海里，∵∠CBD＝45°，∴CM＝BM，在Rt△CAM中，∵tan∠ACM＝SKIPIF1<0，∴tan70°＝SKIPIF1<0，解得CM≈16，在Rt△BCM中，BC＝SKIPIF1<0CM＝16SKIPIF1<0≈22.6(海里)，答：B處距離小島C的距離約為22.6海里；(2)解：在Rt△BCN中，∠CBN＝45°+25°＝70°，BC＝16SKIPIF1<0海里，∴CN＝BC?sin∠CBN≈16SKIPIF1<0×0.94≈21.2(海里)，∵21.2＞20，∴能安全通過，答：能安全通過．【點睛】本題考查直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關系是解決問題的前提，作垂線構造直角三角形是解決問題的關鍵．13．(2022·山東商河·九年級期末)一種竹制躺椅如圖①所示，其側(cè)面示意圖如圖②③所示，這種躺椅可以通過改變支撐桿CD的位置來調(diào)節(jié)躺椅舒適度，假設AB所在的直線為地面，已知SKIPIF1<0，當把圖②中的支撐桿CD調(diào)節(jié)至圖③中的SKIPIF1<0的位置時，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0變?yōu)镾KIPIF1<0．(1)你能求出調(diào)節(jié)后該躺椅的枕部E到地面的高度增加了多少嗎？(參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)(2)已知點O為AE的一個三等分點，根據(jù)人體工程學，當點O到地面的距離為26cm時，人體感覺最舒適．請你求出此時枕部E到地面的高度．【答案】(1)調(diào)節(jié)后該躺椅的枕部E到地面的高度增加了約SKIPIF1<0；(2)枕部E到地面的高度為SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)過點E作SKIPIF1<0，交AB的延長線于點F．利用銳角三角函數(shù)，即可求解；(2)通過解直角三角形AEF可得結(jié)論．(1)如圖，過點E作SKIPIF1<0，交AB的延長線于點F．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0．所以調(diào)節(jié)后該躺椅的枕部E到地面的高度增加了約SKIPIF1<0．(2)因為點O為AE的一個三等分點，所以SKIPIF1<0．如圖，過點O作SKIPIF1<0，垂足為P．設當人體感覺最舒適時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以當人體感覺最舒適時，枕部E到地面的高度為78cm．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，解決本題的關鍵是掌握解直角三角形的過程，正確構造直角三角形．14．(2021·山東張店·九年級期中)在日常生活中，我們經(jīng)?？吹揭恍┐皯羯习惭b著遮陽篷，如圖①．現(xiàn)在要為一個面向正南的窗戶設計安裝一個遮陽篷，如圖②所示，已知該地區(qū)冬天正午太陽最低時，光線與水平線的夾角為34°；夏天正午太陽最高時，光線與水平線的夾角為76°．圖②中SKIPIF1<0表示窗戶的高，SKIPIF1<0表示直角形遮陽篷．(1)怎樣設計遮陽篷SKIPIF1<0，才能正好在冬天正午太陽最低時使光線最大限度地射入室內(nèi)而夏天正午太陽最高時使光線剛好不射入室內(nèi)？請在圖③中畫圖表示；(2)已知SKIPIF1<0，在(1)的條件下，求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的長度．(精確到1cm)(參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)【答案】(1)見解析(2)BC、CD的長度分別約為30cm、45cm．【解析】【分析】(1)夏天，光線最高經(jīng)過點A，冬天，光線最低經(jīng)過點B．應過點A作與水平線成76°的角，過B作∠CBD＝56°與76°的角交于點D，過D向AB引垂線，垂足為C即可；(2)應利用直角三角函數(shù)表示出AC，BC長，利用相關的關系即可求得所求線段長度．(1)解：過點A作與水平線成76°的角，過B作∠CBD＝56°與76°的角交于點D，過D向AB引垂線，垂足為C；如圖：遮陽篷SKIPIF1<0即為所求；(2)解：如圖，設BC＝x，CD＝y(tǒng)．在Rt△ADC和Rt△DBC中，由題意，得SKIPIF1<0∴150+y?tan34°＝y(tǒng)?tan76°∴SKIPIF1<0(cm)x＝y(tǒng)?tan34°≈30(cm)．答：BC、CD的長度分別約為30cm、45cm．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，解題關鍵是恰當設未知數(shù)，利用三角函數(shù)建立線段之間的關系，列方程求解．15．(2022·重慶南開中學九年級期末)如圖，在集美景與科技于一體的重慶融創(chuàng)渝樂小鎮(zhèn)，有一座號稱“山城之光”的摩天輪建在山體上．如圖2，小北在山體底部A處測得摩天輪頂端D的仰角為52°，然后乘坐扶梯到達山體平臺B處，已知AB坡度SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0于點C，(A，B，C，D，E，F(xiàn)均在同一平面內(nèi)，SKIPIF1<0)．(1)求平臺上點B到山體底部底面AE的距離；(2)求摩天輪頂端D到山體平臺BF的距離CD的長．(精確到1米，參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)【答案】(1)SKIPIF1<0米(2)100米【解析】【分析】(1)過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，根據(jù)AB坡度SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0米，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，進而求得SKIPIF1<0，即可求得SKIPIF1<0，進而求得SKIPIF1<0；(2)延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，解直角三角形SKIPIF1<0,進而即可求得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0(1)解：如圖，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0AB坡度SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0米SKIPIF1<0米即平臺上點B到山體底部底面AE的距離為48米(2)解：如圖，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是矩形則SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0SKIPIF1<0在山體底部A處測得摩天輪頂端D的仰角為52°，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0米SKIPIF1<0SKIPIF1<0米即摩天輪頂端D到山體平臺BF的距離CD的長為SKIPIF1<0米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，掌握三角函數(shù)是解題的關鍵．16．(2022·江蘇·蘇州市振華中學校九年級期末)圖①是某小區(qū)折疊道閘的實景圖，圖②是其工作示意圖，道閘由垂直于地面的立柱AB，CD和折疊桿“AE﹣EF”組成，其中AB＝CD＝1.2m，AB，CD之間的水平距離BD＝2.5m，AE＝1.5m．道閘工作時，折疊桿“AE﹣EF”可繞點A在一定范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動，張角為∠BAE(90°≤∠BAE≤150°)，同時桿EF始終與地面BD保持平行．(參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0≈1.414，SKIPIF1<0≈1.732)(1)當張角∠BAE為135°時，求桿EF與地面BD之間的距離(結(jié)果精確到0.01m)；(2)試通過計算判斷寬度為1.8m，高度為2.45m的小型廂式貨車能否正常通過此道閘？【答案】(1)2.26米；(2)不能，理由見解析．【解析】【分析】(1)作SKIPIF1<0，交BD于點M，AC于點N．根據(jù)題意結(jié)合作圖可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．再由∠BAE為SKIPIF1<0時，可求出SKIPIF1<0，即可判斷SKIPIF1<0為等腰直角三角形，在根據(jù)勾股定理即可求出EN的值，從而可求出EM的值，即桿EF與地面BD之間的距離；(2)當張角∠BAE最大，為SKIPIF1<0時，可通過車輛的寬度和高度都是最大的，如圖，在BD上截取DP=1.8m，再過點P作SKIPIF1<0，交AC于點Q，PQ延長線交AE于點G．由作圖可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．再根據(jù)SKIPIF1<0，可求出SKIPIF1<0，根據(jù)含SKIPIF1<0角的直角三角形的性質(zhì)可求出SKIPIF1<0，即符合G點在AE上．最后根據(jù)銳角三角函數(shù)解直角三角形可求出SKIPIF1<0的大小，從而求出GP的大小，與該小型廂式貨車的高度作比較即可．(1)如圖，作SKIPIF1<0，交BD于點M，AC于點N．根據(jù)題意可知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0為矩形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．當張角∠BAE為SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為等腰直角三角形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0故桿EF與地面BD之間的距離為2.26米．(2)當張角∠BAE最大，為SKIPIF1<0時，可通過車輛的寬度和高度都是最大的，如圖，在BD上截取DP=1.8m，再過點P作SKIPIF1<0，交AC于點Q，PQ延長線交AE于點G．同理由作圖可知SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．∵DP=1.8m，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，符合G點在AE上．∴在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0故該小型廂式貨車不能正常通過此道閘．【點睛】本題考查矩形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形的實際應用等知識．理解題意，作出合適的輔助線是解答本題的關鍵．17．(2022·重慶南開中學九年級期末)如圖1，在集美景與科技于一體的重慶融創(chuàng)渝樂小鎮(zhèn)，有一座號稱“山城之光”的摩天輪建在山體上．如圖2，小北在山體底部A處測得摩天輪頂端D的仰角為52°，然后乘坐扶梯到達山體平臺B處，已知AB坡度i＝3：4，且SKIPIF1<0米，BC＝50米，CD⊥BF于點C(A，B，C，D，E，F(xiàn)均在同一平面內(nèi)，AE∥BF)．(1)求平臺上點B到山體底部地面AE的距離；(2)求摩天輪頂端D到山體平臺BF的距離CD的長．(精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin52°≈0.8，cos52°≈0.6，tan52°≈1.3)【答案】(1)SKIPIF1<0米(2)100米【解析】【分析】(1)過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，根據(jù)AB坡度SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0米，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，進而求得SKIPIF1<0，即可求得SKIPIF1<0，進而求得SKIPIF1<0；(2)延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，解直角三角形SKIPIF1<0,進而即可求得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0(1)解：如圖，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0AB坡度SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0米SKIPIF1<0米即平臺上點B到山體底部底面AE的距離為48米；(2)解：如圖，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是矩形則SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0SKIPIF1<0在山體底部A處測得摩天輪頂端D的仰角為52°，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0米SKIPIF1<0SKIPIF1<0米即摩天輪頂端D到山體平臺BF的距離CD的長為SKIPIF1<0米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，掌握三角函數(shù)是解題的關鍵．18．(2022·重慶·西南大學附中九年級期末)重慶移動為了提升網(wǎng)絡信號，在坡度為SKIPIF1<0的山坡AD上加裝了信號塔PQ(如圖所示)，信號塔底端Q到坡底A的距離為3.9米．同時為了提醒市民，在距高斜坡底A點4.4米的水平地面上立了一塊警示牌MN．當太陽光線與水平線成53°角時，測得信號塔PQ落在警示牌上的影子EN長為3米．(1)求點Q所在位置的鉛直高度；(2)請計算信號塔PQ的高度大約為多少米．(參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結(jié)果精確到0.1米)【答案】(1)點Q所在位置的鉛直高度為1.5米(2)信號塔PQ的高度大約為12.1米【解析】【分析】(1)直接根據(jù)已知構造直角三角形利用坡度的定義得出QG的長；(2)利用銳角三角函數(shù)關系得出PF的長，進而得出答案．(1)解：過點E作EF⊥PQ于點F，延長PQ交BA于點G，可得QG⊥BA，∵QA=3.9m，QG：AG=1：2.4，∴設QG=x，則AG=2.4x，∴x2+(2.4x)2=3.92，解得：x=1.5，∴點Q所在位置的鉛直高度為1.5米；(2)解：由(1)知：QG=1.5，∴AG=2.4x=3.6，∴EF=NG=3.6+4.4=8(m)，故tan53°=SKIPIF1<0≈1.33，解得：PF≈10.6(m)，∵FQ=EN-QG=3-1.5=1.5(m)，∴信號塔PQ的高約為：PQ=10.6+1.5=12.1(m)．∴信號塔PQ的高度大約為12.1米．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用，正確得出EF的長是解題關鍵．19．(2022·重慶八中九年級期末)小明家的新建房子從正面看為一軸對稱圖形(圖1)，圖2是它的正面示意圖，為測量房子的高度，小明在地面P處測得房頂B的仰角為30°，且此時地面P、房檐C、房頂B恰好在一條直線上，繼續(xù)向前走13米到達點Q，又測得房頂B的仰角為22°．已知M，N，P，Q在同一水平線上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)(1)求房頂B到橫梁AC的距離(結(jié)果保留根號)；(2)求房頂B到地面MN的距離(結(jié)果精確到0.1m)．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)16.9m【解析】【分析】(1)作SKIPIF1<0，交AC于點E，交MN于點F，先證明SKIPIF1<0，根據(jù)對稱性及SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中利用銳角三角函數(shù)知識進行求解；(2)設SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，求出SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，根據(jù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用三角函數(shù)知識解求解SKIPIF1<0即可．(1)解：作SKIPIF1<0，交AC于點E，交MN于點F，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．由對稱性知，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴房頂B到橫梁AC的距離是SKIPIF1<0．(2)解：設SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴房頂B到地面MN的距離是16.9m．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的應用，平行線的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握銳角三角函數(shù)的知識．20．(2021·江蘇·開明中學九年級期末)圖1、圖2分別是某型號拉桿箱的實物圖與示意圖，小張獲得了如下信息：滑桿DE，箱長BC，拉桿AB的長度都相等，B，F(xiàn)在AC上，C在DE上，支桿DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°，請根據(jù)以上信息，解決下列問題．(1)求AC的長度：(2)直接寫出拉桿端點A到水平滑桿ED所在直線的距離cm．【答案】(1)(40+40SKIPIF1<0)cm；(2)(20SKIPIF1<0)cm．【解析】【分析】(1)過點F作FG⊥DE于點G，分別利用三角函數(shù)求出FG和DG，然后求出CD，進而求出CE，即可求出DE，最后根據(jù)AC＝2DE即可求出AC；(2)作AH⊥ED延長線于H，根據(jù)AH＝AC·sin45°求出AH即可．【詳解】解：(1)過點F作FG⊥DE于點G，∴∠FGD＝∠FGC＝90°，在Rt△DGF中，∵∠CDF＝30°，∴FG＝FD?sin30°＝30×SKIPIF1<0＝15(cm)，∴DG＝FD?cos30°＝30×SKIPIF1<0＝15SKIPIF1<0(cm)，在Rt△CGF中，∵∠DCF＝45°，∴CG＝FG＝15(cm)，∴CD＝CG+DG＝15+15SKIPIF1<0(cm)，∵CE：CD＝1：3，∴CE＝SKIPIF1<0CD＝SKIPIF1<0×(15+15SKIPIF1<0)＝5+5SKIPIF1<0(cm)，∴DE＝EC+CD＝5+5SKIPIF1<0+15+15SKIPIF1<0＝20+20SKIPIF1<0(cm)，∵DE＝BC＝AB，∴AC＝AB+BC＝2DE＝2×(20+20SKIPIF1<0)＝40+40SKIPIF1<0(cm)，即AC的長度為(40+40SKIPIF1<0)cm．(2)作AH⊥ED延長線于H，在Rt△AHC中，∵∠ACH＝45°，∴AH＝AC?sin45°＝(40+40SKIPIF1<0)×SKIPIF1<0＝20SKIPIF1<0+20SKIPIF1<0(cm)，故答案為：(20SKIPIF1<0)．【點睛】本題考查了解直角三角形應用題，一般步驟為(1)弄清題中的名詞、術語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學模型(2)將實際問題中的數(shù)量關系歸結(jié)為解直角三角形的問題．當有些圖形不是直角三角形時，可適當添加輔助線，把它們分割成直角三角形或矩形．(3)尋找直角三角形，并解這個三角形．21．(2021·遼寧皇姑·九年級期末)如圖①是某中型挖掘機，該挖掘機是由基座、主臂和伸展臂構成，圖②是共側(cè)面結(jié)構示意圖(MN是基座，AB是主臂，BC是伸展臂)，若主臂AB長為4米，主臂伸展角∠MAB的范圍是：30°≤∠MAB≤60°，伸展臂伸展角∠ABC的范圍是：45°≤∠ABC≤105°．(1)如圖③，當∠MAB＝45°，伸展臂BC恰好垂直并接觸地面時，求伸展臂BC的長(結(jié)果保留根號)；(2)若(1)中BC長度不變，求該挖掘機最遠能挖掘到距A水平正前方多少米的土石．(結(jié)果保留根號)【答案】(1)2SKIPIF1<0米(2)(2＋2SKIPIF1<0)米【解析】【分析】(1)根據(jù)題意畫出圖形，可得△ABC是等腰直角三角形，即可得出BC的長；(2)根據(jù)主臂伸展角∠MAB和伸展臂伸展角∠ABC的范圍求出伸展到最遠時AC的長度即可得出結(jié)果．【詳解】解：(1)如圖：由題意得：∠MAB＝45°，∠C＝90°，AB＝4m，∴BC＝AB?sin45°＝4×SKIPIF1<0＝2SKIPIF1<0(m)，答：伸展臂BC的長為2SKIPIF1<0米；(2)如圖：由題意得，∠MAB＝30°，∠ABC＝105°時，伸展臂伸展的最遠，過點B作BD⊥MN交NM的延長線于D，在Rt△ABD中，∠MAB＝30°，AB＝4m，∴AD＝AB?cos30°＝4×SKIPIF1<0＝2SKIPIF1<0(m)，∵∠MAB＝30°，BD⊥MN，∴∠ABD＝60°，∵∠ABC＝105°，∴∠CBD＝45°，在Rt△CBD中，∠CBD＝30°，BC＝2SKIPIF1<0m，∴CD＝BC?cos45°＝2SKIPIF1<0×SKIPIF1<0＝2(m)，∴AC＝CD＋AD＝2＋2SKIPIF1<0，∴該挖掘機最遠能挖掘到距A水平正前方(2＋2SKIPIF1<0)米的土石．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識；正確解直角三角形是解題的關鍵．22．(2021·甘肅·九年級專題練習)如圖①，太極揉推器是一種常見的健身器材，基本結(jié)構包括支架和轉(zhuǎn)盤．如圖②是該太極揉推器的左視圖，立柱AB的長為125cm，支架OC的長為40cm，支點C到立柱頂點B的距離為25cm，支架OC與立柱AB的夾角∠OCA＝120°，轉(zhuǎn)盤的直徑DE、PQ為60cm，點O是DE的中點，支架OC與轉(zhuǎn)盤直徑DE垂直．(1)求直徑DE與直徑PQ所在直線的夾角；(2)求轉(zhuǎn)盤的最低點E距離地面的距離．【答案】(1)60°或120°；(2)(120﹣15)cm．【解析】【分析】(1)設直線DE、PQ相較于點G，由軸對稱得∠OCA＝∠FCA=120°，OC⊥DE，F(xiàn)C⊥PQ，根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°即可求出∠OGF=60°，即可求出兩直徑夾角為60°或120°；(2)過點E作EG垂直地面于點G，EH⊥AB于點H，過點O作OM⊥EH于點M，過點C作CN⊥OM于點N，通過解Rt△OCN和Rt△OEM求得CH的長度，結(jié)合圖中相關線段間的和差關系求得EG的長度．【詳解】解：(1)解：如圖，設直線DE、PQ相較于點G，由軸對稱得∠OCA＝∠FCA=120°，OC⊥DE，F(xiàn)C⊥PQ，∴∠OCF=120°，∠GOC=∠GFC=90°，∴∠OGF=360°-∠OCF-∠GOC-∠GFC=60°，∴直徑DE與直徑PQ所在直線的夾角為60°或120°；(2)：由題意知，AB＝125cm，OC＝40cm，CB＝25cm，∠OCA＝120°，DE＝60cm．∴OESKIPIF1<0DE＝30cm．如圖，過點E作EG垂直地面于點G，EH⊥AB于點H，過點O作OM⊥EH于點M，過點C作CN⊥OM于點N，∴NM＝CH，EG＝AH，∠OCN＝∠OCA﹣90°＝30°，∴∠CON＝60°，∴∠EOM＝30°．在Rt△OCN中，ONSKIPIF1<0OCSKIPIF1<040＝20(cm)．在Rt△OEM中，OM＝OE?cos∠EOM＝30×cos30°＝15SKIPIF1<0(cm)．∴MN＝OM﹣ON＝(15SKIPIF1<020)cm．∴CH＝15SKIPIF1<020(cm)，∴AH＝AB﹣BC﹣CH＝125﹣25﹣(15SKIPIF1<020)＝(120﹣15SKIPIF1<0)(cm)，∴EG＝(120﹣15SKIPIF1<0)(cm)．因此，轉(zhuǎn)盤最低點E離地面的高度為(120﹣15SKIPIF1<0)cm．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，利用數(shù)學知識解決實際問題是中學數(shù)學的重要內(nèi)容．解決此問題的關鍵在于正確理解題意的基礎上添加輔助線，構造直角三角形，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題．23．(2022·上海徐匯·九年級期末)如圖1是一種自卸貨車，圖2是該貨車的示意圖，貨箱側(cè)面是一個矩形，長SKIPIF1<0米，寬SKIPIF1<0米，初始時點A、B、F在同一水平線上，車廂底部AB離地面的高度為1.3米．卸貨時貨箱在千斤頂?shù)淖饔孟吕@著點A旋轉(zhuǎn)，箱體底部AB形成不同角度的斜坡．(1)當斜坡AB的坡角為37°時，求車廂最高點C離地面的距離；(2)點A處的轉(zhuǎn)軸與后車輪轉(zhuǎn)軸(點E處)的水平距離叫做安全軸距，已知該車的安全軸距為0.7m．貨廂對角線AC、BD的交點G是貨廂側(cè)面的重心，卸貨時如果A、G兩點的水平距離小于安全軸距時，會發(fā)生車輛傾覆安全事故．當斜坡AB的坡角為45°時，根據(jù)上述車輛設計技術參數(shù)，該貨車會發(fā)生車輛傾覆安全事故嗎？試說明你的理由．(精確到0.1米，參考值：SKIPIF1<0