專題6：立體幾何中點到面的距離求法基礎(chǔ)練習(xí)題

專題6：立體幾何中點到面的距離求法基礎(chǔ)練習(xí)題.如圖，在四棱錐P—A3C。中，AB//CD> CD=2AB^PAJL平面ABCD，?為。。的中點.(I)證明：AE〃平面PBC：(II)若PA=CD=2,求點E以平面P8C的距離..棱長為1的正方體ABCQ—AB￡A中，E、尸分別是棱A4、中點，求點與到平面廠的距離..如圖，在三棱錐P—45c中，AC1BC,BC=6AP=CP,。是4C的中點，尸0=1,OB=2,1比=小.

（1）證明：8C_L平而PAC：（2）求點A到平而P8C的距離..如圖所示，在三棱錐尸一45C中，尸C_L平而48C,PC=3,D、E分別為線段A3、BC上的點,且CD=DE=6，CE=2EB=2.（I）求證：平面PC。；（II）求點3到平而PZ）E的距離..如圖所示，在梯形CQEF中，四邊形A3CQ為正方形，且Af=8/=A5=1,將△ATE沿著線段A。折起，同時將ABC尸沿著線段BC折起.使得E,尸兩點重合為點（1）求證：平而平面A8CD：（2）求點。到平面P8C的距離兒.如圖所示在長方體45GA中，AA=2,43=4,AD=6,M,N分別是。G，4c的中點.

(1)求證：MN〃平而ADDA(2)求C到平而AMN的距離..直三棱柱ABC—A'8'C'中，底面ABC為等腰直角三角形，AC=BC=2,AAf=yfb,E為AB中點.(1)證明：AC'〃而CE*：(2)求大到面CE面的距離..如圖，在長方體ABCD-AMGA中，43=2，3c=1,A&=3,M為AA1的中點，N為CR的中點.AL VB(1)證明：MN〃平而A8CQ：(2)求點2到平面CDW的距離.所以8C_L平而所以BCLPB.1 11 2所以匕?:枝維p-scD=]xSABCDxPA=-x-x2xBCx2=-BC.在RMR45中，AB=\,PB=JPA?+ABi=E1=B所以$△pe=；xBCx逐=，8C.設(shè)點D到平面PBC的距離為d,則」xdx立bc=2bc，解得,/=拽.3 2 3 5所以點E到平面PBC的距離是”.【點睛】本題主要考查證明線面平行，考查等體積法求點到而的距離，屬于?？碱}型.在5【分析】利用等體積法列方程，解方程求得點B1到平而戶的距離.【詳解】依題意。流=Jr+(2_1=正，V⑶ 2?:A'BJ/EF=>A瓦〃平而D】EF,點Bi到平而D】EF的距離即為點兒到平面D.EF的距離，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知EF1Dfi,設(shè)點B1到平而D.EF的距離為〃，即gx3*EFxO]Ex〃=；xgxA[。[xA]ExEFA{D}xA}E~~D^E即點Bi到平面D\EF的距離為4.5【點睛】要求點到平面的距離，可利用等體枳法列方程，通過解方程來求得點面距.（1）證明見解析：（2）【分析】（1）證明OP_L平面ABC得出QP_L8C,結(jié)合AC_LBC得出8C_L平而PAC：（2）根據(jù)匕-/耽=%..?計算點A到平而P8C的距離.【詳解】解：（1）證明：?.?AP=CP，。是AC中點，.?.R9_L4C,由已知得 =08?，:.PO1OB，又AC，no8=o,08u平面ABC，「.PO,平面ABC，POYBC,/ACIBC.POC\AC=O,POu平面PAC,8C_L平面尸AC.（2）解：設(shè)點A到平而P8C的距離為/z,?.?在RtAOCB中，OC=ylOB2-BC2=1>則尸2+。。2=叵3C_L平面P4C,8C_L尸。，S.卡-Dy8r -'**'匕-P8C=^P-ABC?Kpt8c=-SMBCPO=f?；S"比.力=曰一h=呢,即點A到平面PBC的距離為V2.【點睛】本題考查了線面垂直的判定，棱錐體積與點到平面的距離計算，屬于基礎(chǔ)題.（1）見解析；（2）點3到平面PQE的距離為之匡.22【解析】試題分析：（1）PC上DE,CDLOE,所以O(shè)EJL平面尸CQ；（2）利用等體積法,V*PDE=ViDE，所以點B到平而PDE的距離為大史.22試題解析:（【）證明：由PC,平面48C,。石u平面48C,故PC_LO￡由CE=2,CD=DE=e,得△（?￡>￡為等腰直角三角形，故CDLDE.又PCcCD=C,故。石，平面尸8.（，，）由⑴知‘A。七為等腰直角三角形,"CE=g過。作。尸垂直CE于尸，易知DF=CF=EF=L又。石，平面PCD,所以￡）E_LP￡），PD=^PC?+CD?=47.設(shè)點B到平面P￡陀的距離為力，即為三棱錐B-PDE的高,(IlVb-PD￡=''p_BDE得%Sy[)E.卜=1S油de，P。即1.2..尸0.0七./?=1.2_.8石。尸尸。，32 32即ViTx-Jix/?=1x1x3?所以。=—，所以點B到平而PDE的距離為空2.22（1）見解析；（2）”2【分析】（1）由底而A8CO為正方形，可得AQ_L平面P48,由平面與平而垂直的判定定理即可證明.（2）作PO_LA3交A8于。，易得尸。_L平而ABCD.可求得匕，由％-比?/）=匕）_W即可求得點D到平而PBC的距離h【詳解】（1）證明：?.?四邊形A8CO為正方形，：-AD±AB.又???A。_LAE.即AO_L帖,且弘ClAS=A,，AQ_L平面248,又〈ADu平面ABCD，平而PAB_L平而ABCD：（2）過點尸作PO_L/W交AB于0,如下圖所示：由（1）知平面248_L平而ABC。???PO_L平而ABCD.v_1 _161_Q,?Vp_BCD一寸P°XS甌D -又???Vp_bcd=Vd_pbc.1cTOC\o"1-5"\h\z3 ? 12冏1 1I」632 12解得力=正2所以點D到平而PBC的距離h=正2【點睛】本題考查了平而與平面垂直的判定，等體枳法求點到平而的距離,屬于基礎(chǔ)題.12（1）證明見解析：（2）—.【分析】（1）分別取和A0的中點及/，連接￡M.RV,利用中位線定理可證四邊形EMNf是平行四邊形，所以EF//MN，再根據(jù)線而平行的判定定理，即可證明結(jié)果：（2）以。為原點，。4。。,?？诜謩e為乂），逐，建立空間直角坐標(biāo)系。一沖2，根據(jù)題意可求出a,c,r,ua-M.n點的坐標(biāo)，進而求出平面AMN的法向量，再根據(jù)空間向量中點到平面的距離公式即可求出結(jié)果.【詳解】分別取。A和的中點瓦尸，連接B則AW〃DC且EW=，OC；FNHDC&FN,DC2 2所以EM"FN,且EM=FN,所以四邊形EA/A"是平行四邊形，所以EF//MN,又EEu平面AO24，MN（Z平面AO24,所以MN〃平面AORA：（2）以。為原點，。4。。,。2分別為乂乂2,建立空間直角坐標(biāo)系。一不z,如圖所示:由題意，則A(6,0.0),C(0.4.0).R(0.0,2),C(0,4.0)，A(6,0.2),又M,N分別是。G，AC的中點,所以M(0,2,I),N(320),所以m=(-3,2,-2),硒=(-6.2.T),萌=(0.-2」)；設(shè)平面4MN的法向量為/；=(x,)，,z),則n-AM=0 [-3x+2y-2z=0 9, —77 =<，c八，令Z=3，則x=l,y=7：n-A}N=0 [-6x+2y-z=0 2所以〃=[1,5,3),I? |-9+3|12設(shè)。到平面4MN的距離為/?,則'=邛「=-^『=71.【點睛】本題主要考查了線而平行的判定定理的應(yīng)用，以及空間向量的在求點到平面距離中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.（1）證明見解析：（2）卡.【分析】（1）利用線而平行的判定定理證明即可.（2）利用面而垂直的判定定理證出而。七&_1_而433/‘，過A'作A'G_LE?,A'G的長即為A'到面CE*的距離，根據(jù)△A'B'G=^EB即可求解.【詳解】(1)證明：連接3C',設(shè)8C'n&C=O,連OE，則。上是三角形ABC的中位線，AC//OEACaCEB，=AC//而CEB'.OEuCEB'CE1AB](2)= 而ABB'A'A而CE4上面ABB'A，CEA.AA過H作AG_LEB',垂足為G,易知AG_LifiiCE3',則AG的長即為A'到面CE19的距離，aA'B'G與aB'BE中,A3'=20=B'E，A?=2>/2=B'E,NA'8'G=/B'EB,ZAfGB'=ZB'EB，可知△AB'GvaB'EB,所以46=3'8=后.【點睛】本題考考查了線而平行的判定定理、而而垂直的性質(zhì)定理、求點到面的距離，考察了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.（1）證明見解析：（2）也二13【分析】（D構(gòu)造平行四邊形AENM,通過線線平行即可證明線而平行：（2）利用等體枳法，結(jié)合棱錐體枳的計算公式，即可求得點而距離.【詳解】(1)證明：如圖，取CO的中點￡,連接AE，EN.A^~ ,:DE=EC,CN=D\N、NE//DD、且NE=>DD].2VM=2AM,AAJIDD\,：,AMMNE,AM=NE,：.四邊形AENM為平行四邊形，...MNIIAE.又???AEu平而A8CQ，腸Vz平面A8CQ,；?MN〃平面ABCD.(2