數(shù)學分析第二十二章曲面積分

數(shù)學分析第二十二章曲面積分第1頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五一、概念的引入實例

所謂曲面光滑即曲面上各點處都有切平面,且當點在曲面上連續(xù)移動時,切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動.§1第一型曲面積分第2頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五分割取近似求和取極限勻質(zhì)之質(zhì)量非勻質(zhì)之質(zhì)量，用元素法解決第3頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五定義1設(shè)S為可求面積的曲面,為定義在S上的函數(shù).對曲面S作分割T,將S分成

n個小曲面塊Si(i=1,2,...,n),Si的面積記為在Si任取一點若極限存在,則稱此極限為f(x,

y,z)在S上的第一型曲面積分,記作第4頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五面積元素被積函數(shù)積分曲面積分和式即第5頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五2.對面積的曲面積分的性質(zhì)特別，第6頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五3.用曲面積分表示與物質(zhì)曲面有關(guān)的物理量第7頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五按照曲面的不同情況分為以下三種：記憶口訣：“一投，二換，三代”.

二第一型曲面積分的計算第8頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五,則三代：二換：一投：第9頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五,則三代：二換：一投：第10頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五注：（1）這里積分曲面的方程必須是單值顯函數(shù)，否則可利用可加性，分塊計算，結(jié)果相加（2）把曲面投影到哪一個坐標面，取決于曲面方程即方程的表達形式（3）將曲面的方程代入被積函數(shù)的目的和意義是把被積函數(shù)化為二元函數(shù)（4）切記任何時候都要換面積元（5）若曲面為參數(shù)方程,只要求出在參數(shù)意義下dS的表達式,也可將對面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對參數(shù)的二重積分.第11頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五定理22.1

設(shè)有光滑曲面

f(x,y,z)在S上連續(xù),則第一型曲面積分的計算的證明第12頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五證明

由定義知

而第13頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五(光滑)第14頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五例1解第15頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第16頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第17頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五思考:若是球面被平行平面z=±h截出的上下兩部分,則第18頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五例2解第19頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第20頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五所以，第21頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第22頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第23頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第24頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五例3解第25頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第26頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第27頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第28頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五例4解第29頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第30頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五例5第31頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五解第32頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五（左右兩片投影相同）第33頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第34頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五例6

計算曲面積分

其中S為立體的邊界曲面.解設(shè)第35頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五所以第36頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五例7

計算

其中

是介于平面

之間的圓柱面

分析若將曲面分為前后(或左右)則解取曲面面積元素兩片,則計算較繁.第37頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五例8計算

解

取球面坐標系,則第38頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第39頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第40頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五四、小結(jié)2、對面積的曲面積分的解法是將其化為投影域上的二重積分計算.1、對面積的曲面積分的概念;（按照曲面的不同情況分為三種）作業(yè)：P282:1(1)~(4)，2，3.第41頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五思考題在對面積的曲面積分化為二重積分的公式中,有因子,試說明這個因子的幾何意義.第42頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五思考題解答是曲面元的面積,故是曲面法線與軸夾角的余弦的倒數(shù).第43頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五習題二(P193)作業(yè)1；2；4；5；6.第44頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五練習題第45頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第46頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五練習題答案第47頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第二十二章曲面積分§2第二型曲面積分第48頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五?曲面分類

雙側(cè)曲面單側(cè)曲面莫比烏斯帶曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分左側(cè)和右側(cè)(單側(cè)曲面的典型)一、基本概念第49頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五設(shè)連通曲面S上處處有連續(xù)設(shè)M0為曲面S上一點，確定方向為正方向，另一個方向為負方向.

L為S上任一經(jīng)過點M0且不超出S邊界的閉曲線.設(shè)點M從M0出發(fā)，沿L連續(xù)移動，M在M0點與M0變動的切平面（或法線）曲面在M0點的一個法線有相同的法線方向，當點M連續(xù)移動時，其法線方向也連續(xù)變動，最后當M沿L回到M0時，若這時M的法線方向仍與M0點的法線方向一致，則稱此曲面S為雙側(cè)曲面；若與M0的法線方向相反，則稱S為單側(cè)曲面第50頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五曲面的分類:1.雙側(cè)曲面;2.單側(cè)曲面.典型雙側(cè)曲面第51頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:播放第52頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五曲面法向量的指向決定曲面的側(cè).決定了側(cè)的曲面稱為有向曲面.上側(cè)下側(cè)第53頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五方向余弦>0為前側(cè)<0為后側(cè)封閉曲面>0為右側(cè)<0為左側(cè)>0為上側(cè)<0為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)側(cè)的規(guī)定第54頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五曲面的投影問題:類似地可定義第55頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五二、概念的引入實例:流向曲面一側(cè)的流量.第56頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第57頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五1.分割則該點流速為.法向量為.第58頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五2.求和第59頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五3.取極限第60頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五三、概念及性質(zhì)第61頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五積分曲面被積函數(shù)有向面積元類似可定義第62頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五存在條件:組合形式:物理意義:第63頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五性質(zhì):第64頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五四、計算法第65頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第66頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五注意:對坐標的曲面積分,必須注意曲面所取的側(cè).第67頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五這就是把對坐標的曲面積分化成二重積分的計算公式概括為：代：將曲面的方程表示為二元顯函數(shù)，然后代入被積函數(shù)，將其化成二元函數(shù)投：將積分曲面投影到與有向面積元素（如dxdy）中兩個變量同名的坐標面上（如xoy面）定號：由曲面的方向，即曲面的側(cè)確定二重積分的正負號一代、二投、三定號、四換域第68頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五換域：改變積分域，曲面變投影域注積分曲面的方程必須表示為單值顯函數(shù)否則分片計算，結(jié)果相加②確定正負號的原則：曲面取上側(cè)、前側(cè)、右側(cè)時為正曲面取下側(cè)、后側(cè)、左側(cè)時為負第69頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五解例1

計算曲面積分

其中S為球面外側(cè)在第一和第五卦限部分.把S分為上下兩部分第70頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第71頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五思考第72頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五例2

計算平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所圍成的空間區(qū)域的整個邊界曲面的外側(cè)oxyz解分成四個部分左側(cè)下側(cè)后側(cè)上側(cè)第73頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五同理第74頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五同理注:對坐標的曲面積分的對稱性被積表達式具有輪換對稱性，即將被積表達式中的所有字母按xyz順序代換后原式不變積分曲面及其側(cè)具有對稱性，這是指曲面在各坐標面上的投影區(qū)域均相同，且配給的符號也相同第75頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五例3

計算

其中S是以原點為中心,邊長為

2

的正立方體的整個表面的外側(cè).解其中S1是S的頂部取上側(cè)

S2是S的底部取下側(cè)第76頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五由對稱性，有第77頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五例4

計算

其中S是球面取外側(cè)為正向.解設(shè)S1是上半球面取上側(cè)

S2是下半球面取下側(cè)在xy坐標面上的投影區(qū)域先計算積分第78頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第79頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五同理可得所以第80頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五設(shè)光滑曲面S，其指定一側(cè)的法方向余弦為：則沿曲面S指定一側(cè)的曲面積分五、兩類曲面積分的聯(lián)系第81頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第82頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五一般地有其中為曲面S指定一側(cè)的法方向余弦.第83頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五向量形式第84頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五解第85頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第86頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五1.定義六、小結(jié)第87頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五2.性質(zhì)3.計算設(shè)上正下負第88頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五兩類曲面積分的聯(lián)系:4、物理意義5、計算時應(yīng)注意以下兩點曲面的側(cè)“一投,二代,三定號”第89頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五思考題第90頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五思考題解答此時的左側(cè)為負側(cè)，而的左側(cè)為正側(cè).第91頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五練習題第92頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第93頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五練習題答案第94頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第二十二章曲面積分§3高斯(Gauss)公式與

斯托克斯(stokes)公式第95頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五一問題的提出前面我們將Newton-Lebniz公式推廣到了平面區(qū)域的情況，得到了Green公式。此公式表達了平面閉區(qū)域上的二重積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系。下面我們再把Green公式做進一步推廣，這就是下面將要介紹的Gauss公式，Gauss公式表達了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系，同時Gauss公式也是計算曲面積分的一有效方法。第96頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五二、高斯公式1.定理:第97頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五證明第98頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五根據(jù)三重積分的計算法根據(jù)曲面積分的計算法投影法（先一后二法）第99頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第100頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五同理------------------高斯公式和并以上三式得：第101頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五Gauss公式的實質(zhì)表達了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系.由兩類曲面積分之間的關(guān)系知第102頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五注不滿足上述條件，可以引進若干張輔助曲面分成幾個有限的小區(qū)域使之都滿足上述條件注意到沿輔助曲面相反兩側(cè)的兩個曲面積分絕對值相等，而符號相反，相加時正好抵消，因此上述公式對這樣的區(qū)域也成立，故一般地1.若第103頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五2.公式成立的條件根據(jù)Gauss公式，用三重積分來計算曲面積分是比較方便的，但Gauss公式同時也說明，可用曲面積分來計算三重積分第104頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第105頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五三高斯公式的簡單應(yīng)用解第106頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五(利用柱面坐標得)思考:

若改為內(nèi)側(cè),結(jié)果有何變化?若為圓柱側(cè)面(取外側(cè)),又如何計算?第107頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第108頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五解空間曲面在面上的投影域為曲面不是封閉曲面,為利用高斯公式第109頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第110頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五故所求積分為第111頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五例3計算其中S是由x=y=z=0,x=y=z=a六個平面所圍的正立方體表面并取外側(cè)為正向.解第112頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五例1計算所圍的空間區(qū)域的表面，方向取外側(cè).解其中S為錐面與平面課堂練習第113頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第114頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五設(shè)S1為上半球體的底面，例3計算的外側(cè).解其中S是上半球面取下側(cè).于是第115頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五(1).通量的定義:3.物理意義:第116頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五(2).散度的定義:第117頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五散度在直角坐標系下的形式積分中值定理,兩邊取極限,第118頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五高斯公式可寫成第119頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五高斯(1777–1855)德國數(shù)學家、天文學家和物理學家,是與阿基米德,牛頓并列的偉大數(shù)學家,他的數(shù)學成就遍及各個領(lǐng)域,在數(shù)論、級數(shù)、復變函數(shù)及橢圓函數(shù)論等方面均有一系列開創(chuàng)性的貢獻,他還十分重視數(shù)學的應(yīng)用,地測量學和磁學的研究中發(fā)明和發(fā)展了最小二乘法、曲面論和位勢論等.他在學術(shù)上十分謹慎,原則:代數(shù)、非歐幾何、微分幾何、超幾何在對天文學、大恪守這樣的“問題在思想上沒有弄通之前決不動筆”.第120頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五斯托克斯公式建立了沿曲面S的曲面積分與沿S

的邊界曲線L的曲線積分之間的聯(lián)系.對曲面S的側(cè)與其邊界曲線L的方向作如下規(guī)定：設(shè)人站在曲面S上的指定一側(cè)，沿邊界曲線L行走，指定的側(cè)總在人的左方，則人前進的方向為邊界曲線

L的正向.這個規(guī)定方法也稱為右手法則.第121頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五二斯托克斯(stokes)公式斯托克斯公式第122頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五右手法則是有向曲面的正向邊界曲線證明如圖第123頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五思路曲面積分1二重積分2曲線積分第124頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五1第125頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五根椐格林公式平面有向曲線2空間有向曲線第126頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五同理可證故有結(jié)論成立.第127頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五情形2則可通過作輔助線把

分成與z軸只交于一點的幾部分,在每一部分上應(yīng)用斯托克斯公式,然后相加,由于沿輔助曲線方向相反的兩個曲線積分相加剛好抵消,所以對這類曲面斯托克斯公式仍成立.證畢曲面與平行z軸的直線交點多于一個,第128頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五便于記憶形式另一種形式第129頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五

斯托克斯公式的實質(zhì)：第130頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五例1

利用斯托克斯公式計算積分

其中

L

為平面x+y+z=1與各坐標面的交線，解取逆時針方向為正向如圖所示.記三角形ABC為S,取上側(cè),則第131頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第132頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五解則第133頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五即第134頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五例3利用斯托克斯公式計算積分

其中

L

為y2+z2

=1,x=y所交的橢圓正向.解記以L為邊界的橢圓面為S,其方向按右手法則確定，于是有第135頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第136頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件定理22.5

設(shè)Ω是空間單連通區(qū)域,函數(shù)P,Q,R

在Ω上具有連續(xù)一階偏導數(shù),則下列四個條件相互等價:(1)對Ω內(nèi)任一按段光滑閉曲線L,有(2)對Ω內(nèi)任一按段光滑曲線L,與路徑無關(guān)第137頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五(4)在Ω內(nèi)處處有(3)在Ω內(nèi)存在某一函數(shù)u,使第138頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五與路徑無關(guān),解:令積分與路徑無關(guān),因此例4.

驗證曲線積分并求函數(shù)第139頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五五、物理意義---環(huán)流量與旋度1.環(huán)流量的定義:第140頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五利用stokes公式,有2.旋度的定義:第141頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第142頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五斯托克斯公式的又一種形式其中第143頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五斯托克斯公式的向量形式其中第144頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五Stokes公式的物理解釋:第145頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五三、小結(jié)3、應(yīng)用的條件4、物理意義2、高斯公式的實質(zhì)1、高斯公式第146頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五6,斯托克斯公式成立的條件5,斯托克斯公式作業(yè):P295:1,2,3,4,5.第147頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五思考題解答曲面應(yīng)是分片光滑的閉曲面.思考題曲面應(yīng)滿足什么條件才能使高斯公式成立？第148頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五練習題第149頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第150頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第151頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五練習題答案第152頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五斯托克斯(1819-1903)英國數(shù)學物理學家.他是19世紀英國數(shù)學物理學派的重要代表人物之一,其主要興趣在于尋求解重要數(shù)學物理問題的有效且一般的新方法,在1845年他導出了著名的粘性流體運動方程(后稱之為納維–斯托克斯方程),1847年先于柯西提出了一致收斂的概念.他提出的斯托克斯公式是向量分析的基本公式.他一生的工作先后分五卷出版.第153頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五曲線積分與曲面積分習題課第154頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五（一）曲線積分與曲面積分（二）各種積分之間的聯(lián)系（三）場論初步

一、主要內(nèi)容第155頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五曲線積分曲面積分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分定義計算定義計算聯(lián)系聯(lián)系（一）曲線積分與曲面積分第156頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五曲線積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分定義聯(lián)系計算三代一定二代一定(與方向有關(guān))第157頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五與路徑無關(guān)的四個等價命題條件等價命題第158頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五曲面積分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分定義聯(lián)系計算一代,二換,三投(與側(cè)無關(guān))一代,二投,三定向(與側(cè)有關(guān))第159頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五定積分曲線積分重積分曲面積分計算計算計算Green公式Stokes公式Guass公式（二）各種積分之間的聯(lián)系第160頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五積分概念的聯(lián)系定積分二重積分第161頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五曲面積分曲線積分三重積分曲線積分第162頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五計算上的聯(lián)系第163頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五其中第164頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五理論上的聯(lián)系1.定積分與不定積分的聯(lián)系牛頓--萊布尼茨公式2.二重積分與曲線積分