人教版高中數(shù)學必修二考點練習：幾何體的表面積和體積

幾何體的表面積和體積一、表面積.現(xiàn)有一個底面是菱形的直四棱柱，它的體對角線長為9和15,高是5,求該直四棱柱的側面積..已知一個圓柱的側面展開圖是一個正方形，這個圓柱的表面積與側面積的比是（）1+2n 1+4n 1+2n 1+4nA.~B.-1 C. D.~2n 4nn2n.若圓臺的高是12,母線長為13,兩底面半徑之比為8：3,則該圓臺的表面積為.圓臺的上、下底面半徑分別是10cm和20cm,它的側面展開圖的扇環(huán)的圓心角是180°,求圓臺的表面積..如圖，正方形ABCD的邊長為1,CE所對的圓心角/CDE=90°,將圖形ABCE繞AE所在直線旋轉一周，形成的幾何體的表面積為 ..如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為）A.20nB.24nC.28nD.32n.用一張正方形的紙把一個棱長為1的正方體禮品盒完全包住，不將紙撕開，則所需紙的最小面積是二、體積.已知某圓臺的上、下底面面積分別是n,4n,側面積是6n,則這個圓臺的體積是.圓錐的軸截面是等腰直角三角形，側面積是16%：3n,則圓錐的體積是（）128n 64nA,^—B,-C.64nD.128\；2n.如圖所示，已知三棱柱ABC—A1B1cl的所有棱長均為1,且AAJ底面ABC,則三棱錐B1-ABC1的體積為（ ）A-UB.乎C巖D.苧.如圖，已知ABCD-A1B1clD1是棱長為a的正方體，E為AA1的中點，F(xiàn)為CC1上一點，求三棱錐A1-D1EF的體積.

.如圖，已知ABCD—A1B1clD1是棱長為a的正方體，E為AA1的中點，F(xiàn)為CC1的中點，求三棱錐A1—EBFD1的體積.口. C..正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2,側棱長為［3,D為BC中點，則三棱錐A-B1DC1的體積為（）3A.3 B.21 D?2-.如圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1,E為線段B1C上的一點，則三棱錐A—DED1的體積為.n.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積為36,點E,F分別為棱B1B,C1C上的點（異于端點），且EF〃BC,則四棱錐A1-AEFD的體積為.

.如圖，在三棱柱A1B1C1—ABC中，已知D,E,F分別為AB,AC,AA1的中點，設三棱錐A—FED的體積為匕，三棱柱A1B1C1—ABC的體積為V2,則匕：丫2的值為.DB.一個水平放置的圓柱形儲油桶（如圖所示），桶內有油部分所在圓弧占底面圓周長的4,則油桶直立時，油的高度與桶的高度的比值是 ..如圖，在上、下底面對應邊的比為1：2的三棱臺中，過上底面一邊作一個平行于棱CC1的平面A1B1EF,這個平面分三棱臺成兩部分，這兩部分的體積之比為.兒 cB.《算數(shù)書》竹簡于上世紀八十年代在湖北省張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學典籍，其中記載有求，禾蓋，，的術：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一.該

術相當于給出了由圓錐的底面周長L與高h,計算其體積V的近似公式V=1LL2h.它實際上是36將圓錐體積公式中的圓周率n近似取為3.那么，近似公式V另L2h相當于將圓錐體積公式中的圓周率n近似取為（）TOC\o"1-5"\h\z人157 「25A.而 B.T八23 「22C.亍 D.y.如圖，在多面體ABCDEF中，已知平面ABCD是邊長為4的正方形，EF〃AB,EF=2,EF上任意一點到平面ABCD的距離均為3,求該多面體的體積.B舁均為正三角形，EF〃B舁均為正三角形，EF〃AB,EF=2,則該多面體的體積為（）15.如圖，一個底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長母線長分別.如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且^ADE,△BCFAWC.|D.2C.|乙C.C.20n.如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=16,BC=10,AA1=8,點E,F分別在A1B1,D1C1上，A1E=D1F=4.過點E,F的平面a與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形.(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由)；(2)求平面a把該長方體分成的兩部分體積的比值..如圖所示，在邊長為4的正三角形ABC中，E,F依次是AB,AC的中點，AD±BC,EH±BC,FG±BC,D,H,G為垂足，若將A1BC繞AD旋轉180°,求陰影部分形成的幾何體的表面積與體積.三、其他量的計算.若圓錐的側面積是底面積的2倍，則其母線與軸所成角的大小是 ..如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，求點A到平面A1BD的距離d.參考答案幾何體的表面積和體積一、表面積.解如圖，設底面對角線AC=a,BD=b，交點為O,對角線A1C=15,B1D=9,，a2+52=152,b2+52=92,Aa2=200,b2=56.CaCX,/BD\a2+b2200+56?該直四樓柱的底面是菱形，??AB2=(2)+(2y2=4= 4 =64,，AB=8.，直四棱柱的側面積S=4x8x5=160..答案A解析設圓柱底面半徑、母線長分別為r解析設圓柱底面半徑、母線長分別為r,1，由題意知L,S側=12=軌2r.S.2nr2S.2nr2(2n+1)1+2n^表= , =~二S 4n2r2 2n側S表=8側+2nr2=4欣r+2nr2=2nr2(2n+1)3.答案216n解析設圓臺上底與下底的半徑分別為r,R,由勾股定理可得R—L”32—122=5.解析???r：R=3:8,，r=3,R=8.S側=n(R+r)l=n(3+8)x13=143n,則表面積為143n+九義32+九義82=216兀同理可得SB=40cm.所以AB=SB—SA=20cm.所以S表=S側+S上+S下=九義(10+20)乂20+九義102+九義202=1100n(cm2)..答案5n解析由題意知，形成的幾何體是組合體：上面是半球、下面是圓柱，???正方形ABCD的邊長為1,ZCDE=90°,，球的半徑是1,圓柱的底面半徑是1,母線長是1,，形成的幾何體的表面積S=九義12+2九義1*1+2義4加義12=5兀.答案C解析由三視圖可知，組合體的底面圓的面積和周長均為4n，圓錐的母線長l=\；'（2\：3）2+22=4,所以圓錐的側面積為S銖,=1x4nx4=8n,圓柱的側面積S =4nx4=16n,錐側2 柱側所以組合體的表面積S=8n+16n+4n=28n,故選C..答案8解析如圖①是棱長為1的正方體禮品盒，先把正方體的表面按圖所示方式展開成平面圖形，再把平面圖形盡可能拼成面積較小的正方形，如圖②所示，由圖知正方形的邊長為24±其面積為8.圖① 圖②二、體積1.解析設圓臺的上、下底面半徑分別為廠和凡母線長為l，高為h,貝US上=nr2=n,S下=nR2=4n./.r=1,R=2,S側=n(廠+R)l=6n. Al=2,Ah=聒,1 7x'3n..V=3n(12+22+1x2)x\3=3..答案B解析 設圓錐的底面半徑為r，母線長為l,由題意知2r=\；l2+12,即l=\：2r,AS=nrl=\,；2nr2=16\；2n,解得r=4.側Al=4%&圓錐的高h=---ll2—r=4,TOC\o"1-5"\h\z、，， . 1 1 64nA圓錐的體積為V=1Sh=3042x4=61n.答案A解析V =V -V -V =g-*—2=艱.三棱錐B—ABC1 三棱柱ABC—A14cl 三棱錐A—A14cl 三棱錐Q—ABC 4 12 12 12.解由V -V ，:S =3EA-AD=7a2,三棱錐A1一D1EF 三棱錐F—A1D1E AA1DjE2 1114又三棱錐F—ADE的高為CD=a,AV "xax1a2=aa3,11 三棱錐F—A1D1E3 4 12AV =1aa3.三棱錐4—D1EF 12

.解因為EB=BF=FD1=D1E=、J42+1)2=當a,D1F//EB，所以四邊形EBFD1是菱形.連接EF,則△EFB/△FED1.因為三棱錐A1—EFB與三棱錐A1—FED1的高相等，所以V =2V =2V .四棱錐A1—EBFD1 三棱錐A1—EFB 三棱錐F—EBA1又因為S =1EA.-AB=1a2,所以V =1aa3，△EBA121 4 三棱錐F—EBA112所以V =2V =1a3.四棱錐A1—EBFD1 三棱錐F—EBA16.解析：選C由題意可知AD±BC,由面面垂直的性質定理可得AD，平面DB1C1,又AD=2sin60°=\；3,所以VA-B1DC1=|AD?S△B1DC1=1x\''3x|x2x\'3=1..答案6解析V =V解析三棱錐A—DED1 三棱錐E—DD1A8.解析：設正四棱柱的底面邊長為a,高為h,則a2h=36.又四棱錐A1-AEFD可分割為兩個三棱錐A1-AED,A1-DEF且這兩個三棱錐體積相等,則UVA1-AEFD=2VA1-AED=2VE-ADA1=2x|S^ADA1xa=2x1x2axhxa=3a2h=1x36=12.答案：129.答案9.答案124h解析設三棱柱的高為h，?/F是AA1的中點，，三棱錐F—ADE的高為^,:D,E分別是AB,AC的中點，，S△ADE=4S△ABC，h V 6S△ade'h 1??V=-S .V=S .h，二—= -=—,V13S△ade2，V2S△ABCh V2 S△ABC-h24..答案1c解析設圓柱桶的底面半徑為尺，高為h，油桶直立時油面的高度為％,由題意知，油部分所在圓弧對應的扇形的圓心角為90°，

則(；nR2—1R2)h=nR2x，所以h=4~2n..答案3：4(或4：3)解析設三棱臺的上底面面積為S0,則下底面面積為4S0,高為h，則一 1 . . 7一L臺施-A4「3(So+4So+2S0)h=3S0h，L柱fec—A1B￡=S°h7 4設剩余的幾何體的體積為丫，則丫=3S0h—S0h=3S0h,所以體積之比為3：4或4：3..答案D解析設圓錐的底面半徑為廠，Li1 L2h則圓錐的底面周長L=2nr,..r=加，??丫=3加底h=丘添人L2h 7 22令12n=264L2h，得n=丁，故選D..解如圖，連接EB，EC,AC.V =1x42x3=16.四棱錐E—ABCD3^AB=2EF，EF〃AB，,SAeab=2S△bef.1 =V1 =V =TV三棱錐F—EBC 三棱錐C—EFB2三棱錐C—ABE=2V三棱錐E—ABC~=2x2V=4.四棱錐E—ABCD???多面體的體積V=V四棱錐e―ABCD+V三棱錐F—EBC=16+4=20.14.解析：選A如圖，分別過點A，B作EF的垂線，垂足分別為G，氏連接DG，CH，1 、.巧 2容易求得EG=HF=2，AG=GD=BH=HC=甘，則△BHC中BC邊的高h=^._1=3,S=S =」J^v1二工2一,V=V -4-V -4-V =2V _1=3??q△AGD△bBHC2X2 4， VE-ADG^VF-BHC^VAGD-BHC2VE-ADG^VAGD-BHC<23X4十X21-2X應4X解析用一個完全相同的幾何體把題中幾何體補成一個圓柱，如圖，則圓柱的體積為16.解：（1）交線圍成的正方形EHGF如圖所示.（2）如圖，作EM±AB，垂足為M,則AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8,因為四邊形EHGF為正方形，所以EH=EF=BC=10.于是MH=\：EH2—EM2=6,AH=10,HB=6.故S四邊形A1EHA=2x(4+10)x8=56,S四邊形EB1BH=|x(12+6)x8=72.因為長方體被平面a分成兩個高為10的直棱柱，所以其體積的比值為76也正確）.17.解所得幾何體是一個圓錐挖去一個圓柱后形成的，二S錐表=nR2+nRl1=4n+8n=12n,S柱側=2n'l2=2n-DG-FG=21\/3n,??所求幾何體的表面積S=S錐表+S柱側=12n+2、.,=2(6+也)兀由V =nn-BD2XAD=nnx22x2\,r3=駕二,圓錐3 3