6-7 均值與方差在生活中的運(yùn)用（精練）（基礎(chǔ)版）（原卷版）

6.7均值與方差在生活中的運(yùn)用（精練）（基礎(chǔ)版）題組一題組一均值與方差的性質(zhì)1．（2020·浙江·磐安縣第二中學(xué)）已知隨機(jī)變量的分布列如下表所示：012若，則（

）A．>，> B．<，>C．>，< D．<，<【答案】A【解析】，，由于，所以.，同理可得.，所以.故選：A2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，隨機(jī)變量的分布列為X012Pb則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)（

）A．增大 B．減小 C．先減小后增大 D．先增大后減小【答案】A【解析】根據(jù)隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可知，，，因?yàn)椋詥握{(diào)遞增，故選：A3．（2022·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，隨機(jī)變量X的分布列是（

）X01Pb則當(dāng)a在內(nèi)增大時(shí)，（

）A．增大 B．減小 C．先增大再減小 D．先減小再增大【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以所以?dāng)時(shí)，增大增大，當(dāng)時(shí)，減小減小.故選：C.4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）從裝有個(gè)白球和個(gè)黑球的袋中無放回任取個(gè)球，每個(gè)球取到的概率相同，規(guī)定：（1）取出白球得分，取出黑球得分，取出個(gè)球所得分?jǐn)?shù)和記為隨機(jī)變量（2）取出白球得分，取出黑球得分，取出個(gè)球所得分?jǐn)?shù)和記為隨機(jī)變量則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】根據(jù)題意，，，，分布列如下：根據(jù)題意，，，，分布列如下：，，，，可得，故選：C.5．（2022·浙江·三模）隨機(jī)變量的分布列如下所示，其中，則下列說法中正確的是（

）01PA． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)分布列可得：，則，因?yàn)?，故，即．令（）則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減又因?yàn)樗耘c大小無法確定故選：D．6．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，隨機(jī)變量的分布列分別如下，則(

)012P012PA．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】A【解析】設(shè)隨機(jī)變量為X，其可能的取值是，對(duì)應(yīng)概率為，則其數(shù)學(xué)期望(均值)為，其方差為：，則，，；，，；∴，若，則，，故，即，故A正確，B錯(cuò)誤；若，則，但無法判斷與1的大小，故無法判斷的大小，故CD錯(cuò)誤．故選：A．7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）已知某商場(chǎng)銷售一種商品的單件銷售利潤(rùn)為，a，2，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗(yàn)可得，隨機(jī)變量X的分布列為X0a2Pb其中結(jié)論正確的是（

）A．B．若該商場(chǎng)銷售該商品5件，其中3件銷售利潤(rùn)為0的概率為C．D．當(dāng)最小時(shí)，【答案】ABC【解析】由題意，，，故選項(xiàng)A正確；該商場(chǎng)銷售該商品5件，其中3件銷售利潤(rùn)為0的概率為，故選項(xiàng)B正確；隨機(jī)變量X的期望值，可知方差，當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)C正確；當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC.題組二題組二利用均值做決策1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某學(xué)校組織“紀(jì)念共青團(tuán)成立100周年”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B，C三類問題，每位參加比賽的同學(xué)需要先選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，只有答對(duì)當(dāng)前的問題才有資格從下一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答．A類問題中的每個(gè)問題回答正確得10分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分，C類問題中的每個(gè)問題回答正確得30分，否則得0分．已知小康同學(xué)能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，能正確回答C類問題的概率為0.4，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．(1)若小康按照的順序答題，記X為小康的累計(jì)得分，求X的分布列；(2)相比較小康自選的的答題順序，小康的朋友小樂認(rèn)為按照的順序答題累計(jì)得分期望更大，小樂的判斷正確嗎？并說明理由．【答案】(1)答案見解析;(2)小樂的判斷正確；理由見解析【解析】（1）由題可知，X的所有可能取值為0，30，50，60所以X的分布列為X0305060P0.60.160.0480.192（2）由（1）知，．若小康按照順序答題，記Y為小康答題的累計(jì)得分，則Y的所有可能取值為0，10，30，60,所以故小樂的判斷正確.2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲、乙去某公司應(yīng)聘面試.該公司的面試方案為：應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3道題，按照答對(duì)題目的個(gè)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行篩選.已知6道備選題中應(yīng)聘者甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；應(yīng)聘者乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響.(1)分別求甲、乙兩人正確完成面試題數(shù)的分布列；(2)請(qǐng)分析比較甲、乙兩人誰的面試通過的可能性較大？【答案】(1)答案見解析(2)甲通過面試的概率較大【解析】(1)設(shè)為甲正確完成面試題的數(shù)量，為乙正確完成面試題的數(shù)量，由題意可得的可能取值為：，，所以，，，所以的分布列為：123由題意可得，所以，，，，所以的分布列為：0123(2)，.，，因?yàn)椋约装l(fā)揮的穩(wěn)定性更強(qiáng)，則甲通過面試的概率較大.3．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））污水處理廠同時(shí)對(duì)兩套污水處理系統(tǒng)進(jìn)行改造升級(jí)，現(xiàn)進(jìn)入到系統(tǒng)調(diào)試階段，受各種因素影響，經(jīng)測(cè)算，污水處理量變化情況的分布如下．系統(tǒng)甲：日污水處理量增加保持不變降低系統(tǒng)乙：日污水處理量增加保持不變降低(1)若至少有一套系統(tǒng)的日污水處理量增加的概率大于，求的取值范圍．(2)已知改造前甲、乙兩套系統(tǒng)的日污水處理量分別為萬噸和萬噸．若，你認(rèn)為改造后哪套系統(tǒng)的日污水處理量的期望更大？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)乙系統(tǒng)的日污水處理量的期望更大，理由見解析【解析】(1)若至少有一套系統(tǒng)的日污水處理量增加的概率大于，則兩套系統(tǒng)的日污水處理量都不增加的概率小于，，解得：，又，，；的取值范圍為.(2)記為改造后甲系統(tǒng)的日污水處理量；為改造后乙系統(tǒng)的日污水處理量；則所有可能的取值為，，；所有可能的取值為，，；，，；，，；，，，乙系統(tǒng)的日污水處理量的期望更大.4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到以上（含）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)．為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立．(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)0.4(2)(3)丙【解析】(1)由頻率估計(jì)概率可得甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4，乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，故答案為0.4(2)設(shè)甲獲得優(yōu)秀為事件A1,乙獲得優(yōu)秀為事件A2，丙獲得優(yōu)秀為事件A3，，，.∴X的分布列為X0123P∴(3)丙奪冠概率估計(jì)值最大.因?yàn)殂U球比賽無論比賽幾次就取最高成績(jī).比賽一次，丙獲得9.85的概率為，甲獲得9.80的概率為，乙獲得9.78的概率為.并且丙的最高成績(jī)是所有成績(jī)中最高的，比賽次數(shù)越多，對(duì)丙越有利.5．（2022·內(nèi)蒙古·海拉爾）甲，乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球比賽，已知甲隊(duì)每局贏的概率為，乙隊(duì)每局贏的概率為．每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．有以下兩種方案供甲隊(duì)選擇：方案一：共比賽三局，甲隊(duì)至少贏兩局算甲隊(duì)最終獲勝；方案二：共比賽兩局，甲隊(duì)至少贏一局算甲隊(duì)最終獲勝．(1)當(dāng)時(shí)，若甲隊(duì)選擇方案一，求甲隊(duì)最終獲勝的概率；(2)設(shè)方案一、方案二甲隊(duì)最終獲勝的概率分別為，討論的大小關(guān)系；(3)根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實(shí)際含義．【答案】(1)(2)(3)答案見解析【解析】(1)設(shè)甲隊(duì)選擇方案一最終獲勝為事件A.(2)若甲隊(duì)選擇方案一，則甲隊(duì)最終獲勝的概率為若甲隊(duì)選擇方案二，則甲隊(duì)最終獲勝的概率為因?yàn)樗?(3)在方案一中，若甲隊(duì)第一局贏，則甲隊(duì)最終獲勝概率會(huì)變大，此時(shí)繼續(xù)比賽即為方案二，故方案二甲最終獲勝的概率會(huì)變大．題組三題組三均值與其他知識(shí)綜合1．（2022·江蘇·蘇州市第六中學(xué)校三模）2022年冬奧會(huì)剛剛結(jié)束，比賽涉及到的各項(xiàng)運(yùn)動(dòng)讓人們津津樂道．高山滑雪（Alpine

Skiing）是以滑雪板、雪鞋、固定器和滑雪杖為主要用具，從山上向山下，沿著旗門設(shè)定的賽道滑下的雪上競(jìng)速運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，冬季奧運(yùn)會(huì)高山滑雪設(shè)男子項(xiàng)目、女子項(xiàng)目、混合項(xiàng)目．其中，男子項(xiàng)目設(shè)滑降、回轉(zhuǎn)、大回轉(zhuǎn)、超級(jí)大回轉(zhuǎn)、全能5個(gè)小項(xiàng)，其中回轉(zhuǎn)和大回轉(zhuǎn)屬技術(shù)項(xiàng)目，現(xiàn)有90名運(yùn)動(dòng)員參加該項(xiàng)目的比賽，組委會(huì)根據(jù)報(bào)名人數(shù)制定如下比賽規(guī)則：根據(jù)第一輪比賽的成績(jī)，排名在前30位的運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入勝者組，直接進(jìn)入第二輪比賽，排名在后60位的運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入敗者組進(jìn)行一場(chǎng)加賽，加賽排名在前10位的運(yùn)動(dòng)員從敗者組復(fù)活，進(jìn)入第二輪比賽，現(xiàn)已知每位參賽運(yùn)動(dòng)員水平相當(dāng)．(1)從所有參賽的運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取5人，設(shè)這5人中進(jìn)入勝者組的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)從敗者組中選取10人，其中最有可能有多少人能復(fù)活？試用你所學(xué)過的數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)理論進(jìn)行分析．【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為;(2)最有可能有1人能復(fù)活．【解析】(1)每位運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入勝者組的概率為，且，所以，其中．所以，，，所以X的分布列為X012345P其數(shù)學(xué)期望為．(2)設(shè)從敗者組選取的10人中有k人復(fù)活．因?yàn)槊课粩≌呓M運(yùn)動(dòng)員復(fù)活的概率為，所以，所以．當(dāng)最大時(shí)，應(yīng)滿足即解得，又因?yàn)?，所以，即最有可能?人能復(fù)活．2．（2022·湖北·鄂南高中模擬預(yù)測(cè)）已知兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤(rùn)率分別為隨機(jī)變量和，根據(jù)市場(chǎng)分析，和的分布列如下：(1)在兩個(gè)項(xiàng)目上各投資200萬元，和（單位：萬元）表示投資項(xiàng)目和所獲得的利潤(rùn)，求和；(2)將萬元投資項(xiàng)目，萬元投資項(xiàng)目，表示投資項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差與投資項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差之和.則當(dāng)為何值時(shí)，取得最小值？【答案】(1)=24，=36；(2).【解析】(1)依題意得：102041624，.(2)設(shè)投資項(xiàng)目所獲利潤(rùn)為，投資項(xiàng)目所獲利潤(rùn)為.，故當(dāng)時(shí)，取得最小值.3．（2022·安徽·蚌埠二中模擬預(yù)測(cè)（理））某從事智能教育技術(shù)研發(fā)的科技公司開發(fā)了一個(gè)“AI作業(yè)”項(xiàng)目，并且在甲、乙兩個(gè)學(xué)校的高一學(xué)生中做用戶測(cè)試．經(jīng)過一個(gè)階段的試用，為了解“AI作業(yè)”對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的促進(jìn)情況，該公司隨機(jī)抽取了200名學(xué)生，對(duì)他們“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)掌握情況進(jìn)行調(diào)查，樣本調(diào)查結(jié)果如下表：甲校乙校使用AI作業(yè)不使用AI作業(yè)使用AI作業(yè)不使用AI作業(yè)基本掌握32285030沒有掌握8141226用樣本頻率估計(jì)概率，并假設(shè)每位學(xué)生是否掌據(jù)“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)相互獨(dú)立．(1)從兩校高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生對(duì)“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)基本掌握的概率；(2)從樣本中沒有掌握“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，以表示這2人中使用AI作業(yè)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)從甲校高一學(xué)生中抽取一名使用“Al作業(yè)”的學(xué)生和一名不使用“AI作業(yè)”的學(xué)生，用“”表示該使用“AI作業(yè)”的學(xué)生基本掌握了“向量數(shù)量積”，用“”表示該使用“AI作業(yè)”的學(xué)生沒有掌握“向量數(shù)量積”，用“”表示該不使用“AI作業(yè)”的學(xué)生基本掌握了“向量數(shù)量積”，用“”表示該不使用“AI作業(yè)”的學(xué)生沒有掌握“向量數(shù)量積”．直接寫出方差DX和DY的大小關(guān)系．（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)；(2)分布列見解析，期望為；(3)；【解析】(1)在兩所學(xué)校被調(diào)查的200名學(xué)生中，對(duì)“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)基本掌握的學(xué)生有140人，所以估計(jì)從兩校高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1人．該學(xué)生對(duì)“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)基本掌握的概率為(2)依題意，，1，2，且，，，所以的分布列為：012P故(3)由題意，易知服從二項(xiàng)分布，，服從二項(xiàng)分布，，故.4．（2022·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行一輪籃球比賽，比賽采用“5局3勝制”（即有一支球隊(duì)先勝3局即獲勝，比賽結(jié)束）．在每一局比賽中，都不會(huì)出現(xiàn)平局，甲每局獲勝的概率都為．(1)若，比賽結(jié)束時(shí)，設(shè)甲獲勝局?jǐn)?shù)為X，求其分布列和期望；(2)若整輪比賽下來，甲隊(duì)只勝一場(chǎng)的概率為，求的最大值．【答案】(1)分布列見解析；期望為(2)【解析】(1)由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值為0、1、2、3，則，，，隨機(jī)變量X的分布列如下：X0123P則(2)甲隊(duì)只勝一場(chǎng)的概率為，則．故當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞增；則5．（2022·江蘇·南京市江寧高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）2022年2月6日，中國(guó)女足在兩球落后的情況下，以3比2逆轉(zhuǎn)擊敗韓國(guó)女足，成功奪得亞洲杯冠軍，在之前的半決賽中，中國(guó)女足通過點(diǎn)球大戰(zhàn)驚險(xiǎn)戰(zhàn)勝日本女足，其中門將朱鈺兩度撲出日本隊(duì)員的點(diǎn)球，表現(xiàn)神勇．(1)撲點(diǎn)球的難度一般比較大，假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向射門，門將也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向來撲點(diǎn)球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點(diǎn)球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的分布列和期望；(2)好成績(jī)的取得離不開平時(shí)的努力訓(xùn)練，甲、乙、丙、丁4名女足隊(duì)員在某次傳接球的訓(xùn)練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接?。浀趎次傳球之前球在甲腳下的概率為，易知．①試證明為等比數(shù)列；②設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為，比較與的大小．【答案】(1)分布列見解析，(2)①證明見解析；②【解析】(1)解析1：分布列與期望依題意可得，門將每次可以撲出點(diǎn)球的概率為，門將在前三次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X可能的取值為0，1，2，3，，，，，X的分布列為：X0123P期望．（1）解析2：二項(xiàng)分布依題意可得，門將每次可以撲出點(diǎn)球的概率為，門將在前三次撲出點(diǎn)球的個(gè)