固體物理 第三章 晶格振動與晶體的熱力學函數(shù)

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一、填空體

1.若在三維空間中，晶體由N個原胞組成,每個原胞有一個原子,則共有_3N_個獨立的振動,_N__個波矢,3N_支格波。

2.體積為V的ZnS晶體，假使晶胞的體積為?，則晶格振動的模式書為24N/?。3.三維絕緣體晶體的低溫比熱Cv與溫度T的關(guān)系為Cv~T3。

4.某三維晶體由N個原胞組成，每個原胞內(nèi)有3個原子?？紤]晶體的晶格振動，其色散關(guān)系共有9N支，其中3N支聲學波，包括2N支橫聲學波，1N支縱聲學波；另有6N支光學波。

5.二維絕緣體晶體的低溫比熱Cv與溫度T的關(guān)系為Cv~T2。6.一維絕緣體晶體的低溫比熱Cv與溫度T的關(guān)系為Cv~T。7.三維絕緣體晶體的低溫平均內(nèi)能與溫度T的關(guān)系為U~T4。8.二維絕緣體晶體的低溫平均內(nèi)能與溫度T的關(guān)系為U~T3。9.一維絕緣體晶體的低溫平均內(nèi)能溫度T的關(guān)系為U~T2。10.絕緣體中與溫度有關(guān)的內(nèi)能來源于晶格振動能。

11.導體中與溫度有關(guān)的內(nèi)能來源于晶格振動能和價電子熱運動動能。

12.某二維晶體由N個原胞組成，每個原胞內(nèi)有2個原子。考慮晶體的晶格振動，其色散關(guān)系共有4N支，其中2N支聲學波，包括N支橫聲學波，N支縱聲學波；另有2N支光學波。

13.某一維晶體由N個原胞組成，每個原胞內(nèi)有3個原子?？紤]晶體的晶格振動，其色散關(guān)系共有3N支，其中N支聲學波，包括N支橫聲學波，0支縱聲學波；另有2N支光學波。

14.晶格振動的元激發(fā)為聲子，其能量為??，準動量為?q。15德拜模型的基本假設(shè)為：格波作為彈性波、介質(zhì)是各向同性介質(zhì)。16.對三維體積為V的晶體，波矢空間中的波矢密度為：

?

V；對二維面積為S的晶體，3(2?)波矢空間中的波矢密度為：

S(2?)2；對一維長度為L的晶體，波矢空間中的波矢密度為：

L。2?

二、基本概念1.聲子

晶格振動的能量量子。

2.波恩-卡門條件

1

即周期性邊界條件，設(shè)想在實際晶體外，依舊有無限多個一致的晶體相連接，各晶體中相對應的原子的運動狀況都一樣。3.波矢密度

波矢空間單位體積內(nèi)的波矢數(shù)目，三維時為

Vc，Vc為晶體體積。(2?)34.模式密度

單位頻率間隔內(nèi)模式數(shù)目。5.晶格振動。

答：由于晶體內(nèi)原子間存在著相互作用，原子的振動就不是孤立的，而要以波的形式在晶體中傳播，形成所謂格波，因此晶體可視為一個相互耦合的振動系統(tǒng)，這個系統(tǒng)的運動就叫晶格振動。6.簡諧近似答：當原子在平衡位置附近作微小振動時，原子間的相互作用可以視為與位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近做簡諧振動。這個近似即稱為簡諧近似。7.格波

答：晶格中的原子振動是以角頻率為ω的平面波形式存在的，這種波就叫格波。三、簡答題

1.試分析愛因斯坦模型和德拜模型的特點及局限性.特點：

1）愛因斯坦模型假設(shè)晶體中所有原子都以一致的頻率作振動；2）德拜模型的基本思想是把格波作為彈性波來處理。局限性：

1）在愛因斯坦的假設(shè)下，解釋了在甚低溫時溫度的變化趨勢，但是不能解釋為什么晶體熱

熔隨溫度T3的速度變化，這是由于，愛因斯坦模型只考慮了光學支格波，忽略了聲學支格波，而在甚低溫決定晶體熱容的主要是長聲學波。愛因斯坦模型過于簡化。

2）德拜模型不僅能夠很好解釋在甚低溫時晶體熱容隨溫度的變化趨勢，同時得出了在甚低

溫下，熱容與T3成正比的規(guī)律。但是德拜模型忽略了晶體的各向異性，即光學波和高頻聲學波對熱容的貢獻。

2.長光學支格波與長聲學支格波本質(zhì)上有何區(qū)別?

答：長光學支格波的特征是每個原胞內(nèi)的不同原子做相對振動,振動頻率較高,它包含了晶格振動頻率最高的振動模式.長聲學支格波的特征是原胞內(nèi)的不同原子沒有相對位移,原胞做整體運動,振動頻率較低,它包含了晶格振動頻率最低的振動模式,波速是一常數(shù).任何晶體都存在聲學支格波,但簡單晶格(非復式格子)晶體不存在光學支格波.

3.晶體中聲子數(shù)目是否守恒?答：頻率為

的格波的(平均)聲子數(shù)為

,

即每一個格波的聲子數(shù)都與溫度有關(guān),因此,晶體中聲子數(shù)目不守恒,它是溫度的變量.

2

4.溫度一定，一個光學波的聲子數(shù)目多呢,還是聲學波的聲子數(shù)目多?答：頻率為的格波的(平均)聲子數(shù)為

.

由于光學波的頻率

比聲學波的頻率

高,(

)大于(

),所以在

溫度一定狀況下,一個光學波的聲子數(shù)目少于一個聲學波的聲子數(shù)目.

5.對同一個振動模式,溫度高時的聲子數(shù)目多呢,還是溫度低時的聲子數(shù)目多?答：設(shè)溫度TH>TL,由于(

)小于(

),所以溫度高時的聲子數(shù)目多

于溫度低時的聲子數(shù)目.

6.高溫時,頻率為的格波的聲子數(shù)目與溫度有何關(guān)系?答：溫度很高時,

,頻率為

的格波的(平均)聲子數(shù)為

.

可見高溫時,格波的聲子數(shù)目與溫度近似成正比.

7.長聲學格波能否導致離子晶體的宏觀極化?答：長光學格波所以能導致離子晶體的宏觀極化,其根源是長光學格波使得原胞內(nèi)不同的原子(正負離子)產(chǎn)生了相對位移.長聲學格波的特點是,原胞內(nèi)所有的原子沒有相對位移.因此,長聲學格波不能導致離子晶體的宏觀極化.

8.試定性給出一維單原子鏈中振動格波的相速度和群速度。答：由一維單原子鏈的色散關(guān)系??2?msinqa2可求得一維單原子鏈中振動格波的相速度為?p?群速度為

?q?a?msinqaqa/22?g?d??qa?qacosdqm2

9.周期性邊界條件的物理含義是什么？引入這個條件后導致什么結(jié)果？假使晶體是無限大，q的取值將會怎樣？

答：由于實際晶體的大小總是有限的，總存在邊界，而顯然邊界上原子所處的環(huán)境與體內(nèi)原子的不同，從而造成邊界處原子的振動狀態(tài)應當和內(nèi)部原子有所區(qū)別?？紤]到邊界對內(nèi)部原子振動狀態(tài)的影響，波恩和卡門引入了周期性邊界條件。其具體含義是設(shè)想在一長為Na的

3

有限晶體邊界之外，依舊有無窮多個一致的晶體，并且各塊晶體內(nèi)相對應的原子的運動狀況一樣，即第j個原子和第Nt+j個原子的運動狀況一樣，其中t＝1，2，3…。

引入這個條件后，導致描寫晶格振動狀態(tài)的波矢q只能取一些分立的不同值。假使晶體是無限大，波矢q的取值將趨于連續(xù)。

10.下圖表示一維雙原子復式晶格振動的兩支格波的色散關(guān)系。請簡要分析并判斷：在長波極限下，圖中哪一條曲線反映了初基元胞內(nèi)兩個原子的質(zhì)心振動？圖中哪一條曲線反映了初基元胞內(nèi)兩個原子的相對振動？

答:

上半部分曲線表示光學支，光學支格波反映了晶體中分子內(nèi)兩個原子的相對振動；下半部分曲線表示聲學支，聲學支格波反映了晶體中分子的質(zhì)心振動。

由N個原胞所組成的復式三維晶格，每個原胞內(nèi)有r個原子，試問晶格振動時能得到多少支色散關(guān)系？其波矢的取值數(shù)和模式的取值數(shù)各為多少？

答：共有3r支色散關(guān)系，波矢取值數(shù)=原胞數(shù)N，模式取值數(shù)=晶體的總自由度數(shù)。

11.對于初基晶胞數(shù)為N的二維晶體，基元含有四個原子，聲學支震動模式和光學支震動模式的數(shù)目各為多少？答：2N，6N。

12.在三維晶體中，格波獨立的點數(shù)N，格波個數(shù)，格波總支數(shù)，聲學波支數(shù)分別等于多少？答：在三維晶格中，格波獨立的點數(shù)是，格波個數(shù)有3Nn，格波總支數(shù)是3nN，對每個波矢q，有3支聲學波，（3n-3）支光學波。13.試述長光學波與長聲學波的本質(zhì)區(qū)別?

答：長光學支格波的特征是每個原胞內(nèi)的不同原子做相對振動,振動頻率較高,它包含了晶格振動頻率最高的振動模式。長聲學支格波的特征是原胞內(nèi)的不同原子沒有相對位移,原胞做整體運動,振動頻率較低,它包含了晶格振動頻率最低的振動模式,波速是一常數(shù)。任何晶體都存在聲學支格波,但簡單晶格(非復式格子)晶體不存在光學支格波。14.長聲學格波能否導致離子晶體的宏觀極化?答：長光學格波所以能導致離子晶體的宏觀極化，其根源是長光學格波使得原胞內(nèi)不同的原子(正負離子)產(chǎn)生了相對位移。長聲學格波的特點是,原胞內(nèi)所有的原子沒有相對位移.因此，長聲學格波不能導致離子晶體的宏觀極化。

15.愛因斯坦模型在低溫下與試驗存在偏差的根源是什么?

13答:依照愛因斯坦溫度的定義,愛因斯坦模型的格波的頻率大約為10Hz,屬于

光學支頻率.但光學格波在低溫時對熱容的貢獻十分小,低溫下對熱容貢獻

4

大的主要是長聲學格波.也就是說愛因斯坦沒考慮聲學波對熱容的貢獻是愛因斯坦模型在低溫下與試驗存在偏差的根源。

16.在甚低溫下,德拜模型為什么與試驗相符?答：在甚低溫下,不僅光學波得不到激發(fā),而且聲子能量較大的短聲學格波也未被激發(fā),得到激發(fā)的只是聲子能量較小的長聲學格波.長聲學格波即彈性波.德拜模型只考慮彈性波對熱容的貢獻.因此,在甚低溫下,德拜模型與事實相符,自然與試驗相符。

四、證明計算

1.證明一維單原子鏈的運動方程，在長波近似下，可以化成彈性波方程，

2?2u2?u?v2?t?x2

證明：

第n個原子的運動方程為

由于

?2unm2??(un?1?un?1?2un)?t

un?1?eiqaunun?1?e?iqa

所以第n個原子的運動方程化為

un在長波近似下，

?2unm2??(eiqa?e?iqa?2)un?t

運動方程又化為

1qa?0,e?iqa?1?iqa?(iqa)22

?2unm2??a2(?q)2un(1)?t在長波近似下，當l為有限整數(shù)時，

ulimn?l?lime?iqla?1q?0uq?0n

上式說明，在長波近似下，鄰近（在半波長范圍內(nèi)）的若干原子以一致的振幅、一致的位相做集體運動．因此（l）式可統(tǒng)一寫成

?2un?lm??a2(?q)2un?l2?t(2)

觀上的質(zhì)點位移u，從宏觀上看，原子的位置可視為準連續(xù)的，原子的分開(n?l)a可視為準連續(xù)坐標x，即

un?l?Aei[q(n?l)??t]?Aei[qx??t]?u于是（2）化成

2?2u2?u?v2?x2?t

其中

5

D(?)?L22N?2?1?2a?m??221???2m2

7.已知一個頻率為?i的簡諧振動在溫度T下的平均能量?i???1??i???i/kBTi2e?1試用愛因斯坦模型求出由N個原子組成的單原子晶體晶格振動的總能量，并求其

在高溫柔低溫極限狀況下的表達式。

解:由N個原子組成的單原子晶體共有3N個自由度，獨立晶格振動方式數(shù)也等于3N，晶體振動的總能量便等于晶體振動的總能量便等于這3N個諧振動的能量之和，即

??1E??(??i???i/kBTi)

e?1i?123N依照愛因斯坦模型，?1??2????3N??，于是上式變?yōu)?/p>

1??E?3N(?????/kBT)

2e?1?3NkBT(1?????/kBT)2kBTe?1??kBT設(shè)x?????E，?E為愛因斯坦溫度kBTT1xE?3NkBT(x?x)(1)

2e?1在高溫極限下，x>1，ex?1?ex，從(1)式得

13NE?3NkBT(x?xe?x)?kB?E?3NkB?Ee??E/T

22

??8.設(shè)晶格中每個振子的零點振動能為2，試用德拜模型求三維晶格的零點振

動能

11

3V?2?????g???V?232?v解：狀態(tài)密度

E0???0????d???0?D?D則

013V?2??d?22?2v3

?3?V1?D33?V4D??d???23?2304?v16?v0

3?V4?D2316?v

?V????D??6?2?vN??3?V92N3?E0??6?v???N?DD2316?vV8

9.設(shè)有三維間立方晶格，在德拜近似下計算比熱，并論述在低溫極限聲子數(shù)目與3

T。

解：依照德拜模型,晶體中的聲子數(shù)目N’為

1/3.

作變量代換

，

.

其中

是德拜溫度.高溫時,

,

即高溫時,晶體中的聲子數(shù)目與溫度成正比.低溫時,

,

,

即低溫時,晶體中的聲子數(shù)目與T3成正比.

10.有N個一致原子組成的面積為S的二維晶格，在德拜近似下計算比熱，并論述在低溫極限比熱正比與T。

證明：在k到k?dk間的獨立振動模式對應于平面中半徑n到n?dn間圓環(huán)的面積

12

2

2?ndn，且

3sE?2?v?2L253s?2?ndn?kdk?kdk即?????d?22?2?2?v?2則

??m?2d?e?/kBT03s?kBT??E0??12?v?223??DD??????3??d??3skTkTkT??B?B??B???/kBTe?12?v?22?xDDx2dxex?1T?0時，E?T3,?Cv?(

11.有三維簡單晶格，在德拜近似下計算比熱，并論述在低溫極限聲子數(shù)目與T3。依照德拜模型,晶體中的聲子數(shù)目N?為

?E)s?T2?T

.

作變量代換

，

.

其中

是德拜溫度.高溫時,

,

即高溫時,晶體中的聲子數(shù)目與溫度成正比.低溫時,

,

,

即低溫時,晶體中的聲子數(shù)目與T3成正比.

12.有N個一致原子組成的體積為L的一維晶格，在德拜近似下計算比熱，并論述在低溫極限比熱正比與T。.

13.在一維無限長的簡單晶格中，原子質(zhì)量為M，若只考慮近鄰原子之間的相互作用，恢復力系數(shù)為?，試求格波的色散關(guān)系。

解：設(shè)原子的質(zhì)量為M，第n個原子對平衡位置的位移為un第n+1和n-1個原子對平衡位置的位移分別為un+1與un-1，則第n+m和n-m個原子對第n個原子的作用力為

13

f??(un?1?un)??(un?un?1)??(un?1?un?4?2un)因此第n個原子的運動方程為

d2unM2??(un?1?un?1?2un)dt

將格波的試解

un?Aei(qna??t)

代入運動方程，得

2iqa?iqa?M???(e?e?2)

?2?(cosqa?1)

??2?sin2(由此得格波的色散關(guān)系為

qa)2

4?qasin2()M2

214.計算色散關(guān)系為??cq的模式密度二維的模式密度。

?2?解：q空間也約化為二維空間，其等頻面實際為一個圓，圓半徑為：

q??c2二維狀況下的q空間中的密度為：A/(2π)，（這里A為二維晶格的面積），而且有：

?q?(q)?d???2Cq?2CdqC?dL?2?q所以對于ω=cq，二維狀況的模式密度為：

2g(?)?dnA?d?(2?)2?dLA2?qA??2(2?)2Cq4?C?q?(q)2計算色散關(guān)系為??cq的模式密度一維的模式密度。

解：一維狀況下的q空間中的等頻面退化為兩個等頻的點，因此有q空間有兩個等頻點+q和-q。仿上面的方法可以得到：

g(?)?dnLdqL1L???2??d?(2?)?q?(q)(2?)2Cq2?C?

15對三維單原子點陣，計算德拜模型下的模式密度。解：（解