七級數(shù)學資料培優(yōu)匯總精華

第一講數(shù)系擴張--有理數(shù)（一）一、【問題引入與歸納】1、正負數(shù)，數(shù)軸，相反數(shù)，有理數(shù)等概念。2、有理數(shù)的兩種分類：3、有理數(shù)的本質(zhì)定義，能表成（互質(zhì)）。4、性質(zhì)：①順序性（可比較大小）；②四則運算的封閉性（0不作除數(shù)）；③稠密性：任意兩個有理數(shù)間都存在無數(shù)個有理數(shù)。5、絕對值的意義與性質(zhì)：①②非負性③非負數(shù)的性質(zhì)：i）非負數(shù)的和仍為非負數(shù)。ii）幾個非負數(shù)的和為0，則他們都為0。二、【典型例題解析】：1、若的值等于多少？2．如果是大于1的有理數(shù)，那么一定小于它的（）A.相反數(shù)B.倒數(shù)C.絕對值D.平方3、已知兩數(shù)、互為相反數(shù)，、互為倒數(shù)，的絕對值是2，求的值。4、如果在數(shù)軸上表示、兩上實數(shù)點的位置，如下圖所示，那么化簡的結(jié)果等于（A.B.C.0D.5、已知，求的值是（）A.2B.36、有3個有理數(shù)a,b,c，兩兩不等，那么中有幾個負數(shù)？7、設(shè)三個互不相等的有理數(shù)，既可表示為1，的形式式，又可表示為0，，的形式，求。8、三個有理數(shù)的積為負數(shù)，和為正數(shù)，且則的值是多少？9、若為整數(shù)，且，試求的值。三、課堂備用練習題。1、計算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+20062、計算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)3、計算：4、已知為非負整數(shù)，且滿足，求的所有可能值。5、若三個有理數(shù)滿足，求的值。第二講數(shù)系擴張--有理數(shù)（二）一、【能力訓練點】：1、絕對值的幾何意義①表示數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離。②表示數(shù)、對應(yīng)的兩點間的距離。2、利用絕對值的代數(shù)、幾何意義化簡絕對值。二、【典型例題解析】：1、（1）若，化簡（2）若，化簡2、設(shè)，且，試化簡3、、是有理數(shù)，下列各式對嗎？若不對，應(yīng)附加什么條件？（1）（2）（3）（4）若則（5）若，則（6）若，則4、若，求的取值范圍。5、不相等的有理數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點分別為A、B、C，如果，那么B點在A、C的什么位置？6、設(shè)，求的最小值。7、是一個五位數(shù)，，求的最大值。8、設(shè)都是有理數(shù)，令,,試比較M、N的大小。三、【課堂備用練習題】：1、已知求的最小值。2、若與互為相反數(shù)，求的值。3、如果，求的值。4、是什么樣的有理數(shù)時，下列等式成立？（1）（2）5、化簡下式：第三講數(shù)系擴張--有理數(shù)（三）一、【能力訓練點】：1、運算的分級與運算順序；2、有理數(shù)的加、減、乘、除及乘方運算的法則。（1）加法法則：同號相加取同號，并把絕對值相加；異號相加取絕對值較大數(shù)的符號，并用較大絕對值減較小絕對值；一個數(shù)同零相加得原數(shù)。（2）減法法則：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。（3）乘法法則：幾個有理數(shù)相乘，奇負得負，偶負得正，并把絕對值相乘。（4）除法法則：除以一個數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。3、準確運用各種法則及運算順序解題，養(yǎng)成良好思維習慣及解題習慣。二、【典型例題解析】：1、計算：2、計算：（1）、（2）、（-18.75）+（+6.25）+（-3.25）+18.25（3）、（-4）+3、計算：①②4、化簡：計算：（1）（2）（3）（4）（5）-4.035×12＋7.535×12-36×（）5、計算：（1）（2）（3）6、計算：7、計算：：第四講數(shù)系擴張--有理數(shù)（四）一、【能力訓練點】：1、運算的分級與運算順序；2、有理數(shù)的加、減、乘、除及乘方運算的法則。3、巧算的一般性技巧：①湊整（湊0）；②巧用分配律③去、添括號法則；④裂項法4、綜合運用有理數(shù)的知識解有關(guān)問題。二、【典型例題解析】：1、計算：2、3、計算：①②4、化簡：并求當時的值。5、計算：6、比較與2的大小。7、計算：8、已知、是有理數(shù)，且，含，，，請將按從小到大的順序排列。三、【備用練習題】：1、計算（1）（2）2、計算：3、計算：4、如果，求代數(shù)式的值。5、若、互為相反數(shù)，、互為倒數(shù)，的絕對值為2，求的值。第五講代數(shù)式（一）一、【能力訓練點】：（1）列代數(shù)式；（2）代數(shù)式的意義；（3）代數(shù)式的求值（整體代入法）二、【典型例題解析】：1、用代數(shù)式表示：（1）比的和的平方小的數(shù)。（2）比的積的2倍大5的數(shù)。（3）甲乙兩數(shù)平方的和（差）。（4）甲數(shù)與乙數(shù)的差的平方。（5）甲、乙兩數(shù)和的平方與甲乙兩數(shù)平方和的商。（6）甲、乙兩數(shù)和的2倍與甲乙兩數(shù)積的一半的差。（7）比的平方的2倍小1的數(shù)。（8）任意一個偶數(shù)（奇數(shù)）（9）能被5整除的數(shù)。（10）任意一個三位數(shù)。2、代數(shù)式的求值：（1）已知，求代數(shù)式的值。（2）已知的值是7，求代數(shù)式的值。（3）已知；，求的值（4）已知，求的值。（5）已知：當時，代數(shù)式的值為2007，求當時，代數(shù)式的值。（6）已知等式對一切都成立，求A、B的值。（7）已知，求的值。（8）當多項式時，求多項式的值。3、找規(guī)律：Ⅰ.（1）；（2）（3）（4）第N個式子呢？Ⅱ.已知；；；若（、為正整數(shù)），求Ⅲ.猜想：三、【備用練習題】：1、若個人完成一項工程需要天，則個人完成這項工程需要多少天？2、已知代數(shù)式的值為8，求代數(shù)式的值。3、某同學到集貿(mào)市場買蘋果，買每千克3元的蘋果用去所帶錢數(shù)的一半，而余下的錢都買了每千克2元的蘋果，則該同學所買的蘋果的平均價格是每千克多少元？4、已知求當時，第六講代數(shù)式（二）一、【能力訓練點】：（1）同類項的合并法則；（2）代數(shù)式的整體代入求值。二、【典型例題解析】：1、已知多項式經(jīng)合并后，不含有的項，求的值。2、當達到最大值時，求的值。3、已知多項式與多項式N的2倍之和是，求N？4、若互異，且，求的值。5、已知，求的值。6、已知，求的值。7、已知均為正整數(shù)，且，求的值。8、求證等于兩個連續(xù)自然數(shù)的積。9、已知，求的值。10、一堆蘋果，若干個人分，每人分4個，剩下9個，若每人分6個，最后一個人分到的少于3個，問多少人分蘋果？三、【備用練習題】：1、已知，比較M、N的大小。，。2、已知，求的值。3、已知，求K的值。4、，比較的大小。5、已知，求的值。第七講發(fā)現(xiàn)規(guī)律一、【問題引入與歸納】我國著名數(shù)學家華羅庚先生曾經(jīng)說過：“先從少數(shù)的事例中摸索出規(guī)律來，再從理論上來證明這一規(guī)律的一般性，這是人們認識客觀法則的方法之一”。這種以退為進，尋找規(guī)律的方法，對我們解某些數(shù)學問題有重要指導作用，下面舉例說明。能力訓練點：觀察、分析、猜想、歸納、抽象、驗證的思維能力。二、【典型例題解析】1、觀察算式：按規(guī)律填空：1+3+5+…+99=？，1+3+5+7+…+？2、如圖是某同學在沙灘上用石子擺成的小房子。觀察圖形的變化規(guī)律，寫出第個小房子用了多少塊石子？3、用黑、白兩種顏色的正六邊形地面磚（如圖所示）的規(guī)律，拼成若干個圖案：（1）第3個圖案中有白色地面磚多少塊？（2）第個圖案中有白色地面磚多少塊？4、觀察下列一組圖形，如圖，根據(jù)其變化規(guī)律，可得第10個圖形中三角形的個數(shù)為多少？第個圖形中三角形的個數(shù)為多少？5、觀察右圖，回答下列問題：（1）圖中的點被線段隔開分成四層，則第一層有1個點，第二層有3個點，第三層有多少個點，第四層有多少個點？（2）如果要你繼續(xù)畫下去，那第五層應(yīng)該畫多少個點，第n層有多少個點？（3）某一層上有77個點，這是第幾層？（4）第一層與第二層的和是多少？前三層的和呢？前4層的和呢？你有沒有發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？根據(jù)你的推測，前12層的和是多少？6、讀一讀：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示從1開始的100個連續(xù)自然數(shù)的和，由于上述式子比較長，書寫也不方便，為了簡便起見，我們可將“1+2+3+4+5+…+100”表示為，這里“”是求和符號，例如“1+3+5+7+9+…+99”（即從1開始的100以內(nèi)的連續(xù)奇數(shù)的和）可表示為又如“”可表示為，同學們，通過以上材料的閱讀，請解答下列問題：（1）2+4+6+8+10+…+100（即從2開始的100以內(nèi)的連續(xù)偶數(shù)的和）用求和符號可表示為；（2）計算：=（填寫最后的計算結(jié)果）。7、觀察下列各式，你會發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？3×5=15，而15=42-15×7=35，而35=62-1……11×13=143，而143=122-1……將你猜想的規(guī)律用只含一個字母的式子表示出來。8、請你從右表歸納出計算13+23+33+…+n3的分式，并算出13+23+33+…+1003的值。三、【跟蹤訓練題】11、有一列數(shù)其中：=6×2+1，=6×3+2，=6×4+3，=6×5+4；…則第個數(shù)=，當=2001時，=。2、將正偶數(shù)按下表排成5列第1列第2列第3列第4列第5列第一行2468第二行16141210第三行18202224…………2826根據(jù)上面的規(guī)律，則2006應(yīng)在行列。3、已知一個數(shù)列2，5，9，14，20，，35…則的值應(yīng)為：（）4、在以下兩個數(shù)串中：1，3，5，7，…，1991，1993，1995，1997，1999和1，4，7，10，…，1990，1993，1996，1999，同時出現(xiàn)在這兩個數(shù)串中的數(shù)的個數(shù)共有（）個。A.333B.334C.335D.3365、學校閱覽室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2張方桌拼成一行能坐6人（如右圖所示）按照這種規(guī)定填寫下表的空格：拼成一行的桌子數(shù)123…n人數(shù)46…6、給出下列算式：觀察上面的算式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，用代數(shù)式表示這個規(guī)律：7、通過計算探索規(guī)律：152=225可寫成100×1×（1+1）+25252=625可寫成100×2×（2+1）+25352=1225可寫成100×3×（3+1）+25452=2025可寫成100×4×（4+1）+25…………752=5625可寫成歸納、猜想得：（10n+5）2=根據(jù)猜想計算：19952=8、已知，計算：112+122+132+…+192=；9、從古到今，所有數(shù)學家總希望找到一個能表示所有質(zhì)數(shù)的公式，有位學者提出：當n是自然數(shù)時，代數(shù)式n2+n+41所表示的是質(zhì)數(shù)。請驗證一下，當n=40時，n2+n+41的值是什么？這位學者結(jié)論正確嗎？第八講綜合練習（一）1、若，求的值。2、已知與互為相反數(shù)，求。3、已知，求的范圍。4、判斷代數(shù)式的正負。5、若，求的值。6、若，求7、已知，化簡8、已知互為相反數(shù)，互為倒數(shù)，的絕對值等于2，P是數(shù)軸上的表示原點的數(shù)，求的值。9、問□中應(yīng)填入什么數(shù)時，才能使10、在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：11、若，求使成立的的取值范圍。12、計算：13、已知，，，求。14、已知，求、的大小關(guān)系。15、有理數(shù)均不為0，且。設(shè)，求代數(shù)式的值。第九講一元一次方程（一）一、知識點歸納：1、等式的性質(zhì)。2、一元一次方程的定義及求解步驟。3、一元一次方程的解的理解與應(yīng)用。4、一元一次方程解的情況討論。二、典型例題解析：1、解下列方程：（1）（2）；（3）2、能否從；得到，為什么？反之，能否從得到，為什么？3、若關(guān)于的方程，無論K為何值時，它的解總是，求、的值。4、若。求的值。5、已知是方程的解，求代數(shù)式的值。6、關(guān)于的方程的解是正整數(shù)，求整數(shù)K的值。7、若方程與方程同解，求的值。8、關(guān)于的一元一次方程求代數(shù)式的值。9、解方程10、已知方程的解為，求方程的解。11、當滿足什么條件時，關(guān)于的方程，①有一解；②有無數(shù)解；③無解。第十講一元一次方程（2）一、能力訓練點：1、列方程應(yīng)用題的一般步驟。2、利用一元一次方程解決社會關(guān)注的熱點問題（如經(jīng)濟問題、利潤問題、增長率問題）二、典型例題解析。1、要配制濃度為20%的硫酸溶液100千克，今有98%的濃硫酸和10%的硫酸，問這兩種硫酸分別應(yīng)各取多少千克？2、一項工程由師傅來做需8天完成，由徒弟做需16天完成，現(xiàn)由師徒同時做了4天，后因師傅有事離開，余下的全由徒弟來做，問徒弟做這項工程共花了幾天？3、某市場雞蛋買賣按個數(shù)計價，一商販以每個0.24元購進一批雞蛋，但在販運途中不慎碰壞了12個，剩下的蛋以每個0.28元售出，結(jié)果仍獲利11.2元，問該商販當初買進多少個雞蛋？：4、某商店將彩電按原價提高40%，然后在廣告上寫“大酬賓，八折優(yōu)惠”，結(jié)果每臺彩電仍可獲利270元，那么每臺彩電原價是多少？5、一個三位數(shù)，十位上的數(shù)比個位上的數(shù)大4，個位上的數(shù)比百位上的數(shù)小2，若將此三位數(shù)的個位與百位對調(diào)，所得的新數(shù)與原數(shù)之比為7:4，求原來的三位數(shù)？6、初一年級三個班，完成甲、乙兩項任務(wù)，（一）班有45人，（二）班有50人，（三）班有43人，現(xiàn)因任務(wù)的需要，需將（三）班人數(shù)分配至（一）、（二）兩個班，且使得分配后（二）班的總?cè)藬?shù)是（一）班的總?cè)藬?shù)的2倍少36人，問：應(yīng)將（三）班各分配多少名學生到（一）、（二）兩班？7、一個容器內(nèi)盛滿酒精溶液，第一次倒出它的后，用水加滿，第二次倒出它的后用水加滿，這時容器中的酒精濃度為25%，求原來酒精溶液的濃度。8、某中學組織初一同學春游，如果租用45座的客車，則有15個人沒有座位；如果租用同數(shù)量的60座的客車，則除多出一輛外，其余車恰好坐滿，已知租用45座的客車日租金為每輛車250元，60座的客車日租金為每輛300元，問租用哪種客車更合算？租幾輛車？9、1994年底，張先生的年齡是其祖母的一半，他們出生的年之和是3838，問到2006年底張先生多大？10、有一滿池水，池底有泉總能均勻地向外涌流，已知用24部A型抽水機，6天可抽干池水，若用21部A型抽水機13天也可抽干池水，設(shè)每部抽水機單位時間的抽水量相同，要使這一池水永抽不干，則至多只能用多少部A型抽水機抽水？11、狗跑5步的時間，馬能跑6步，馬跑4步的距離，狗要跑7步，現(xiàn)在狗已跑出55米，馬開始追它，問狗再跑多遠馬可以追到它？12、一名落水小孩抱著木頭在河中漂流，在A處遇到逆水而上的快艇和輪船，因霧大而未被發(fā)現(xiàn)，1小時快艇和輪船獲悉此事，隨即掉頭追救，求快艇和輪船從獲悉到追及小孩各需多少時間？數(shù)形結(jié)合談數(shù)軸一、閱讀與思考數(shù)學是研究數(shù)和形的學科，在數(shù)學里數(shù)和形是有密切聯(lián)系的。我們常用代數(shù)的方法來處理幾何問題；反過來，也借助于幾何圖形來處理代數(shù)問題，尋找解題思路，這種數(shù)與形之間的相互作用叫數(shù)形結(jié)合，是一種重要的數(shù)學思想。運用數(shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵是建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，現(xiàn)階段數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的有力工具，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：1、利用數(shù)軸能形象地表示有理數(shù)；2、利用數(shù)軸能直觀地解釋相反數(shù)；3、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大?。?、利用數(shù)軸解決與絕對值相關(guān)的問題。二、知識點反饋1、利用數(shù)軸能形象地表示有理數(shù)；例1：已知有理數(shù)在數(shù)軸上原點的右方，有理數(shù)在原點的左方，那么（）A．B．C．D．拓廣訓練：1、如圖為數(shù)軸上的兩點表示的有理數(shù)，在中，負數(shù)的個數(shù)有（）（“祖沖之杯”邀請賽試題）A．1B．2C．3D．43、把滿足中的整數(shù)表示在數(shù)軸上，并用不等號連接。2、利用數(shù)軸能直觀地解釋相反數(shù)；例2：如果數(shù)軸上點A到原點的距離為3，點B到原點的距離為5，那么A、B兩點的距離為。拓廣訓練：1、在數(shù)軸上表示數(shù)的點到原點的距離為3，則2、已知數(shù)軸上有A、B兩點，A、B之間的距離為1，點A與原點O的距離為3，那么所有滿足條件的點B與原點O的距離之和等于。（北京市“迎春杯”競賽題）3、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大??；例3：已知且，那么有理數(shù)的大小關(guān)系是。（用“”號連接）（北京市“迎春杯”競賽題）拓廣訓練：若且，比較的大小，并用“”號連接。例4：已知比較與4的大小拓廣訓練：1、已知，試討論與3的大小2、已知兩數(shù)，如果比大，試判斷與的大小4、利用數(shù)軸解決與絕對值相關(guān)的問題。例5：有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，式子化簡結(jié)果為（）A．B．C．D．拓廣訓練：1、有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡的結(jié)果為。2、已知，在數(shù)軸上給出關(guān)于的四種情況如圖所示，則成立的是。①②③④3、已知有理數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)的位置如下圖：則化簡后的結(jié)果是（）（湖北省初中數(shù)學競賽選撥賽試題）A．B．C．D．三、培優(yōu)訓練1、已知是有理數(shù)，且，那以的值是（）A．B．C．或D．或10A2B5C2、（07樂山）如圖，數(shù)軸上一動點向左移動2個單位長度到達點，再向右移動5個單位長度到達點．若點表示的數(shù)為1，則點10A2B5CＡ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．3、如圖，數(shù)軸上標出若干個點，每相鄰兩點相距1個單位，點A、B、C、D對應(yīng)的數(shù)分別是整數(shù)且，那么數(shù)軸的原點應(yīng)是（）A．A點B．B點C．C點D．D點4、數(shù)所對應(yīng)的點A，B，C，D在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么與的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．不確定的5、不相等的有理數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)點分別為A，B，C，若，那么點B（）A．在A、C點右邊B．在A、C點左邊C．在A、C點之間D．以上均有可能6、設(shè)，則下面四個結(jié)論中正確的是（）（全國初中數(shù)學聯(lián)賽題）A．沒有最小值B．只一個使取最小值C．有限個（不止一個）使取最小值D．有無窮多個使取最小值7、在數(shù)軸上，點A，B分別表示和，則線段AB的中點所表示的數(shù)是。8、若，則使成立的的取值范圍是。9、是有理數(shù)，則的最小值是。10、已知為有理數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示：且求的值。11、（南京市中考題）(1)閱讀下面材料：點A、B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)，A、B兩點這間的距離表示為，當A、B兩點中有一點在原點時，不妨設(shè)點A在原點，如圖1，；當A、B兩點都不在原點時，①如圖2，點A、B都在原點的右邊；②如圖3，點A、B都在原點的左邊；③如圖4，點A、B在原點的兩邊。綜上，數(shù)軸上A、B兩點之間的距離。（2）回答下列問題：①數(shù)軸上表示2和5兩點之間的距離是，數(shù)軸上表示-2和-5的兩點之間的距離是，數(shù)軸上表示1和-3的兩點之間的距離是；②數(shù)軸上表示和-1的兩點A和B之間的距離是，如果，那么為；③當代數(shù)式取最小值時，相應(yīng)的的取值范圍是；④求的最小值。聚焦絕對值一、閱讀與思考絕對值是初中代數(shù)中的一個重要概念，引入絕對值概念之后，對有理數(shù)、相反數(shù)以及后續(xù)要學習的算術(shù)根可以有進一步的理解；絕對值又是初中代數(shù)中一個基本概念，在求代數(shù)式的值、代數(shù)式的化簡、解方程與解不等式時，常常遇到含有絕對值符號的問題，理解、掌握絕對值概念應(yīng)注意以下幾個方面：1、脫去絕值符號是解絕對值問題的切入點。脫去絕對值符號常用到相關(guān)法則、分類討論、數(shù)形結(jié)合等知識方法。去絕對值符號法則：2、恰當?shù)剡\用絕對值的幾何意義從數(shù)軸上看表示數(shù)的點到原點的距離；表示數(shù)、數(shù)的兩點間的距離。3、靈活運用絕對值的基本性質(zhì)①②③④⑤⑥二、知識點反饋1、去絕對值符號法則例1：已知且那么。拓廣訓練：1、已知且，那么。（北京市“迎春杯”競賽題）2、若，且，那么的值是（）A．3或13B．13或-13C．3或-3D．-3或-132、恰當?shù)剡\用絕對值的幾何意義例2：的最小值是（）A．2B．0C．1D．-1解法1、分類討論當時，；當時，；當時。比較可知，的最小值是2，故選A。解法2、由絕對值的幾何意義知表示數(shù)所對應(yīng)的點與數(shù)1所對應(yīng)的點之間的距離；表示數(shù)所對應(yīng)的點與數(shù)-1所對應(yīng)的點之間的距離；的最小值是指點到1與-1兩點距離和的最小值。如圖易知當時，的值最小，最小值是2故選A。拓廣訓練：已知的最小值是，的最大值為，求的值。三、培優(yōu)訓練1、如圖，有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示：則在中，負數(shù)共有（）（湖北省荊州市競賽題）A．3個B．1個C．4個D．2個2、若是有理數(shù)，則一定是（）A．零B．非負數(shù)C．正數(shù)D．負數(shù)3、如果，那么的取值范圍是（）A．B．C．D．4、是有理數(shù)，如果，那么對于結(jié)論（1）一定不是負數(shù)；（2）可能是負數(shù)，其中（）（第15屆江蘇省競賽題）A．只有（1）正確B．只有（2）正確C．（1）（2）都正確D．（1）（2）都不正確5、已知，則化簡所得的結(jié)果為（）A．B．C．D．6、已知，那么的最大值等于（）A．1B．5C．8D．97、已知都不等于零，且，根據(jù)的不同取值，有（）A．唯一確定的值B．3種不同的值C．4種不同的值D．8種不同的值8、滿足成立的條件是（）（湖北省黃岡市競賽題）A．B．C．D．9、若，則代數(shù)式的值為。10、若，則的值等于。11、已知是非零有理數(shù)，且，求的值。12、已知是有理數(shù)，，且，求的值。13、閱讀下列材料并解決有關(guān)問題：我們知道，現(xiàn)在我們可以用這一個結(jié)論來化簡含有絕對值的代數(shù)式，如化簡代數(shù)式時，可令和，分別求得（稱分別為與的零點值）。在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點值和可將全體有理數(shù)分成不重復且不遺漏的如下3種情況：（1）當時，原式=;（2）當時，原式=；（3）當時，原式=。綜上討論，原式=通過以上閱讀，請你解決以下問題：分別求出和的零點值；（2）化簡代數(shù)式14、（1）當取何值時，有最小值？這個最小值是多少？（2）當取何值時，有最大值？這個最大值是多少？（3）求的最小值。（4）求的最小值。15、某公共汽車運營線路AB段上有A、D、C、B四個汽車站，如圖，現(xiàn)在要在AB段上修建一個加油站M，為了使加油站選址合理，要求A，B，C，D四個汽車站到加油站M的路程總和最小，試分析加油站M在何處選址最好？16、先閱讀下面的材料，然后解答問題：在一條直線上有依次排列的臺機床在工作，我們要設(shè)置一個零件供應(yīng)站P，使這臺機床到供應(yīng)站P的距離總和最小，要解決這個問題，先“退”到比較簡單的情形：①②如圖①，如果直線上有2臺機床（甲、乙）時,很明顯P設(shè)在和之間的任何地方都行,因為甲和乙分別到P的距離之和等于到的距離.如圖②,如果直線上有3臺機床(甲、乙、丙)時，不難判斷，P設(shè)在中間一臺機床處最合適，因為如果P放在處，甲和丙分別到P的距離之和恰好為到的距離；而如果P放在別處，例如D處，那么甲和丙分別到P的距離之和仍是到的距離，可是乙還得走從到D近段距離，這是多出來的，因此P放在處是最佳選擇。不難知道，如果直線上有4臺機床，P應(yīng)設(shè)在第2臺與第3臺之間的任何地方；有5臺機床，P應(yīng)設(shè)在第3臺位置。問題（1）：有機床時，P應(yīng)設(shè)在何處？問題（2）根據(jù)問題（1）的結(jié)論，求的最小值。有理數(shù)的運算一、閱讀與思考在小學里我們已學會根據(jù)四則運算法則對整數(shù)和分數(shù)進行計算，當引進負數(shù)概念后，數(shù)集擴大到了有理數(shù)范圍，我們又學習了有理數(shù)的計算，有理數(shù)的計算與算術(shù)數(shù)的計算有很大的不同：首先，有理數(shù)計算每一步要確定符號；其次，代數(shù)與算術(shù)不同的是“字母代數(shù)”，所以有理數(shù)的計算很多是字母運算，也就是通常說的符號演算。數(shù)學競賽中的計算通常與推理相結(jié)合，這不但要求我們能正確地算出結(jié)果，而且要善于觀察問題的結(jié)構(gòu)特點，將推理與計算相結(jié)合，靈活選用算法和技巧，提高計算的速成度，有理數(shù)的計算常用的技巧與方法有：1、利用運算律；2、以符代數(shù)；3、裂項相消；4、分解相約；5、巧用公式等。二、知識點反饋1、利用運算律：加法運算律乘法運算律例1：計算：解：原式=拓廣訓練：1、計算（1）（2）例2：計算：解：原式=拓廣訓練：計算：2、裂項相消（1）；（2）；（3）（4）例3、計算解：原式===拓廣訓練：1、計算：3、以符代數(shù)例4：計算：解：分析：令=，則原式=拓廣訓練：1、計算：4、分解相約例5：計算：解：原式===三、培優(yōu)訓練1、是最大的負整數(shù)，是絕對值最小的有理數(shù)，則=。2、計算：（1）=；（2）=。3、若與互為相反數(shù)，則=。4、計算：=。5、計算：=。6、這四個數(shù)由小到大的排列順序是。7、（2007“五羊杯”）計算：=（）A．3140B．628C．1000D．12008、（2005“希望杯”）等于（）A．B．C．D．9、（2006“五羊杯”）計算：=（）A．B．C．D．10、（2009鄂州中考）為了求的值，可令S＝，則2S＝，因此2S-S＝，所以＝仿照以上推理計算出的值是（）A、B、C、D、11、都是正數(shù)，如果，，那么的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．不確定12、設(shè)三個互不相等的有理數(shù)，既可表示為的形式，又可表示為的形式，求的值（“希望杯”邀請賽試題）13、計算（1）（2009年第二十屆“五羊杯”競賽題）（2）（北京市“迎春杯”競賽題）14、已知互為相反數(shù)，互為負倒數(shù)，的絕對值等于，求的值15、已知，求的值（2006，香港競賽）16、（2007，無錫中考）圖1是由若干個小圓圈堆成的一個形如正三角形的圖案，最上面一層有一個圓圈，以下各層均比上一層多一個圓圈，一共堆了層．將圖1倒置后與原圖1拼成圖2的形狀，這樣我們可以算出圖1中所有圓圈的個數(shù)為．第第2層第1層……第n層圖１圖2圖3圖4如果圖1中的圓圈共有12層，（1）我們自上往下，在每個圓圈中都按圖3的方式填上一串連續(xù)的正整數(shù)，則最底層最左邊這個圓圈中的數(shù)是 ；（2）我們自上往下，在每個圓圈中都按圖4的方式填上一串連續(xù)的整數(shù)，，，，求圖4中所有圓圈中各數(shù)的絕對值之和．第一講和絕對值有關(guān)的問題知識結(jié)構(gòu)框圖：數(shù)絕對值的意義：(1)幾何意義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a|。(2)代數(shù)意義：①正數(shù)的絕對值是它的本身；②負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；③零的絕對值是零。也可以寫成：說明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一個非負數(shù)；（Ⅱ）|a|概念中蘊含分類討論思想。典型例題例1．（數(shù)形結(jié)合思想）已知a、b、c在數(shù)軸上位置如圖：則代數(shù)式|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|的值等于（A）A．-3aB．2c－aC．2a－2bD．b解：|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解絕對值的問題時，往往需要脫去絕對值符號，化成一般的有理數(shù)計算。脫去絕對值的符號時，必須先確定絕對值符號內(nèi)各個數(shù)的正負性，再根據(jù)絕對值的代數(shù)意義脫去絕對值符號。這道例題運用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，由a、b、c在數(shù)軸上的對應(yīng)位置判斷絕對值符號內(nèi)數(shù)的符號，從而去掉絕對值符號，完成化簡。例2．已知：，，且，那么的值（C）A．是正數(shù)B．是負數(shù)C．是零D．不能確定符號解：由題意，x、y、z在數(shù)軸上的位置如圖所示：所以分析：數(shù)與代數(shù)這一領(lǐng)域中數(shù)形結(jié)合的重要載體是數(shù)軸。這道例題中三個看似復雜的不等關(guān)系借助數(shù)軸直觀、輕松的找到了x、y、z三個數(shù)的大小關(guān)系，為我們順利化簡鋪平了道路。雖然例題中沒有給出數(shù)軸，但我們應(yīng)該有數(shù)形結(jié)合解決問題的意識。例3．（分類討論的思想）已知甲數(shù)的絕對值是乙數(shù)絕對值的3倍，且在數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點的兩側(cè)，兩點之間的距離為8，求這兩個數(shù)；若數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點同側(cè)呢？分析：從題目中尋找關(guān)鍵的解題信息，“數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點的兩側(cè)”意味著甲乙兩數(shù)符號相反，即一正一負。那么究竟誰是正數(shù)誰是負數(shù)，我們應(yīng)該用分類討論的數(shù)學思想解決這一問題。解：設(shè)甲數(shù)為x，乙數(shù)為y由題意得：，（1）數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點兩側(cè)：若x在原點左側(cè)，y在原點右側(cè)，即x<0，y>0，則4y=8，所以y=2,x=-6若x在原點右側(cè)，y在原點左側(cè)，即x>0，y<0，則-4y=8，所以y=-2,x=6（2）數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點同側(cè)：若x、y在原點左側(cè)，即x<0，y<0，則-2y=8，所以y=-4,x=-12若x、y在原點右側(cè)，即x>0，y>0，則2y=8，所以y=4,x=12例4．（整體的思想）方程的解的個數(shù)是（D）A．1個B．2個C．3個D．無窮多個分析：這道題我們用整體的思想解決。將x-2008看成一個整體，問題即轉(zhuǎn)化為求方程的解，利用絕對值的代數(shù)意義我們不難得到，負數(shù)和零的絕對值等于它的相反數(shù)，所以零和任意負數(shù)都是方程的解，即本題的答案為D。例5．（非負性）已知|ab－2|與|a－1|互為相互數(shù)，試求下式的值．分析：利用絕對值的非負性，我們可以得到：|ab－2|=|a－1|=0，解得：a=1,b=2于是在上述分數(shù)連加求和的過程中，我們采用了裂項的方法，巧妙得出了最終的結(jié)果．同學們可以再深入思考，如果題目變成求值，你有辦法求解嗎？有興趣的同學可以在課下繼續(xù)探究。例6．（距離問題）觀察下列每對數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點間的距離4與，3與5，與，與3.并回答下列各題：（1）你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個數(shù)的差的絕對值有什么關(guān)系嗎？答：____相等.（2）若數(shù)軸上的點A表示的數(shù)為x，點B表示的數(shù)為―1，則A與B兩點間的距離可以表示為．分析：點B表示的數(shù)為―1，所以我們可以在數(shù)軸上找到點B所在的位置。那么點A呢？因為x可以表示任意有理數(shù)，所以點A可以位于數(shù)軸上的任意位置。那么，如何求出A與B兩點間的距離呢？結(jié)合數(shù)軸，我們發(fā)現(xiàn)應(yīng)分以下三種情況進行討論。當x<-1時，距離為-x-1,當-1<x<0時，距離為x+1，當x>0，距離為x+1綜上，我們得到A與B兩點間的距離可以表示為（3）結(jié)合數(shù)軸求得的最小值為5，取得最小值時x的取值范圍為-3≤x_≤2______.分析：即x與2的差的絕對值，它可以表示數(shù)軸上x與2之間的距離。即x與-3的差的絕對值，它也可以表示數(shù)軸上x與-3之間的距離。如圖，x在數(shù)軸上的位置有三種可能：圖1圖2圖3圖2符合題意（4）滿足的的取值范圍為x<-4或x>-1分析：同理表示數(shù)軸上x與-1之間的距離，表示數(shù)軸上x與-4之間的距離。本題即求，當x是什么數(shù)時x與-1之間的距離加上x與-4之間的距離會大于3。借助數(shù)軸，我們可以得到正確答案：x<-4或x>-1。說明：借助數(shù)軸可以使有關(guān)絕對值的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上有關(guān)距離的問題，反之，有關(guān)數(shù)軸上的距離問題也可以轉(zhuǎn)化為絕對值問題。這種相互轉(zhuǎn)化在解決某些問題時可以帶來方便。事實上，表示的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù)A與數(shù)B的點之間的距離。這是一個很有用的結(jié)論，我們正是利用這一結(jié)論并結(jié)合數(shù)軸的知識解決了（3）、（4）這兩道難題。小結(jié)1．理解絕對值的代數(shù)意義和幾何意義以及絕對值的非負性2．體會數(shù)形結(jié)合、分類討論等重要的數(shù)學思想在解題中的應(yīng)用第二講：代數(shù)式的化簡求值問題一、知識鏈接1．“代數(shù)式”是用運算符號把數(shù)字或表示數(shù)字的字母連結(jié)而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等內(nèi)容，是初中階段同學們應(yīng)該重點掌握的內(nèi)容之一。2．用具體的數(shù)值代替代數(shù)式中的字母所得的數(shù)值，叫做這個代數(shù)式的值。注：一般來說，代數(shù)式的值隨著字母的取值的變化而變化3．求代數(shù)式的值可以讓我們從中體會簡單的數(shù)學建模的好處，為以后學習方程、函數(shù)等知識打下基礎(chǔ)。二、典型例題例1．若多項式的值與x無關(guān)，求的值.分析：多項式的值與x無關(guān)，即含x的項系數(shù)均為零因為所以m=4將m=4代人，利用“整體思想”求代數(shù)式的值例2．x=-2時，代數(shù)式的值為8，求當x=2時，代數(shù)式的值。分析：因為當x=-2時，得到，所以當x=2時，=例3．當代數(shù)式的值為7時,求代數(shù)式的值.分析：觀察兩個代數(shù)式的系數(shù)由得，利用方程同解原理，得整體代人，代數(shù)式的求值問題是中考中的熱點問題，它的運算技巧、解決問題的方法需要我們靈活掌握，整體代人的方法就是其中之一。例4．已知，求的值.分析：解法一（整體代人）：由得所以：解法二（降次）：方程作為刻畫現(xiàn)實世界相等關(guān)系的數(shù)學模型，還具有降次的功能。由，得，所以：解法三（降次、消元）：（消元、、減項）例5．（實際應(yīng)用）A和B兩家公司都準備向社會招聘人才，兩家公司招聘條件基本相同，只有工資待遇有如下差異：A公司，年薪一萬元，每年加工齡工資200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工齡工資50元。從收入的角度考慮，選擇哪家公司有利？分析：分別列出第一年、第二年、第n年的實際收入（元）第一年：A公司10000；B公司5000+5050=10050第二年：A公司10200；B公司5100+5150=10250第n年：A公司10000+200(n-1）；B公司：[5000+100(n-1)]+[5000+100(n-1)+50]=10050+200(n-1)由上可以看出B公司的年收入永遠比A公司多50元，如不細心考察很可能選錯。例6．三個數(shù)a、b、c的積為負數(shù)，和為正數(shù)，且，則的值是_______。解：因為abc<0，所以a、b、c中只有一個是負數(shù)，或三個都是負數(shù)又因為a+b+c>0，所以a、b、c中只有一個是負數(shù)。不妨設(shè)a<0，b>0，c>0則ab<0，ac<0，bc>0所以x=-1+1+1-1-1+1=0將x=0代入要求的代數(shù)式，得到結(jié)果為1。同理，當b<0，c<0時，x=0。另：觀察代數(shù)式，交換a、b、c的位置，我們發(fā)現(xiàn)代數(shù)式不改變，這樣的代數(shù)式成為輪換式，我們不用對a、b、c再討論。有興趣的同學可以在課下查閱資料，看看輪換式有哪些重要的性質(zhì)。規(guī)律探索問題：1728394105116172839410511612（1）“17”在射線____“2008”在射線___________上（2）若n為正整數(shù)，則射線OA上數(shù)字的排列規(guī)律可以用含n的代數(shù)式表示為__________________________．分析：OA上排列的數(shù)為：1，7，13，19，…觀察得出，這列數(shù)的后一項總比前一項多6，歸納得到，這列數(shù)可以表示為6n-5因為17=3×6-1，所以17在射線OE上。因為2008=334×6+4=335×6-2，所以2008在射線OD上例8．將正奇數(shù)按下表排成5列:第一列第二列第三列第四列第五列第一行1357第二行1513119第三行17192123第四行31292725根據(jù)上面規(guī)律，2007應(yīng)在A．125行,3列B.125行,2列C.251行,2列D.251行,5列分析：觀察第二、三、四列的數(shù)的排列規(guī)律，發(fā)現(xiàn)第三列數(shù)規(guī)律容易尋找第三列數(shù)：3，11，19，27，規(guī)律為8n-5因為2007=250×8+7=251×8-1所以，2007應(yīng)該出現(xiàn)在第一列或第五列又因為第251行的排列規(guī)律是奇數(shù)行，數(shù)是從第二列開始從小到大排列，所以2007應(yīng)該在第251行第5列例9．（2006年嘉興市）定義一種對正整數(shù)n的“F”運算：①當n為奇數(shù)時，結(jié)果為3n＋5；②當n為偶數(shù)時，結(jié)果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運算重復進行．例如，取n＝26，則：2626134411第一次F②第二次F①第三次F②…若n＝449，則第449次“F運算”的結(jié)果是__________．分析：問題的難點和解題關(guān)鍵是真正理解“F”的第二種運算，即當n為偶數(shù)時，結(jié)果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），要使所得的商為奇數(shù)，這個運算才能結(jié)束。449奇數(shù)，經(jīng)過“F①”變?yōu)?352；1352是偶數(shù)，經(jīng)過“F②”變?yōu)?69，169是奇數(shù)，經(jīng)過“F①”變?yōu)?12，512是偶數(shù)，經(jīng)過“F②”變?yōu)?，1是奇數(shù)，經(jīng)過“F①”變?yōu)?，8是偶數(shù)，經(jīng)過“F②”變?yōu)?，我們發(fā)現(xiàn)之后的規(guī)律了，經(jīng)過多次運算，它的結(jié)果將出現(xiàn)1、8的交替循環(huán)。再看運算的次數(shù)是449，奇數(shù)次。因為第四次運算后都是奇數(shù)次運算得到8，偶數(shù)次運算得到1，所以，結(jié)果是8。三、小結(jié)用字母代數(shù)實現(xiàn)了我們對數(shù)認識的又一次飛躍。希望同學們能體會用字母代替數(shù)后思維的擴展，體會一些簡單的數(shù)學模型。體會由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。第三講：與一元一次方程有關(guān)的問題一、知識回顧一元一次方程是我們認識的第一種方程，使我們學會用代數(shù)解法解決一些用算術(shù)解法不容易解決的問題。一元一次方程是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，它既是對前面所學知識——有理數(shù)部分的鞏固和深化，又為以后的一元二次方程、不等式、函數(shù)等內(nèi)容打下堅實的基礎(chǔ)。典型例題：二、典型例題例1．若關(guān)于x的一元一次方程=1的解是x=-1，則k的值是（）A．B．1C．-分析：本題考查基本概念“方程的解”因為x=-1是關(guān)于x的一元一次方程=1的解，所以，解得k=-例2．若方程3x-5=4和方程的解相同，則a的值為多少？分析：題中出現(xiàn)了兩個方程，第一個方程中只有一個未知數(shù)x，所以可以解這個方程求得x的值；第二個方程中有a與x兩個未知數(shù)，所以在沒有其他條件的情況下，根本沒有辦法求得a與x的值，因此必須分析清楚題中的條件。因為兩個方程的解相同，所以可以把第一個方程中解得x代入第二個方程，第二個方程也就轉(zhuǎn)化為一元一次方程了。解：3x-5=4，3x=9，x=3因為3x-5=4與方程的解相同所以把x=3代人中即得3-3a+3=0，-3a=-6，a=2例3.（方程與代數(shù)式聯(lián)系）a、b、c、d為實數(shù)，現(xiàn)規(guī)定一種新的運算.（1）則的值為；（2）當時，=.分析：（1）即a=1，b=2，c=-1，d=2，因為，所以=2-（-2）=4（2）由得：10-4（1-x）=18所以10-4+4x=18，解得x=3例4．（方程的思想）如圖，一個瓶身為圓柱體的玻璃瓶內(nèi)裝有高厘米的墨水，將瓶蓋蓋好后倒置，墨水水面高為h厘米，則瓶內(nèi)的墨水的體積約占玻璃瓶容積的（）不考慮瓶子的厚度.不考慮瓶子的厚度.A．B．C．D．分析：左右兩個圖中墨水的體積應(yīng)該相等，所以這是個等積變換問題，我們可以用方程的思想解決問題解：設(shè)墨水瓶的底面積為S，則左圖中墨水的體積可以表示為Sa設(shè)墨水瓶的容積為V，則右圖中墨水的體積可以表示為V-Sb于是，Sa=V-Sb，V=S(a+b)由題意，瓶內(nèi)的墨水的體積約占玻璃瓶容積的比為例5．小杰到食堂買飯，看到A、B兩窗口前面排隊的人一樣多，就站在A窗口隊伍的里面，過了2分鐘，他發(fā)現(xiàn)A窗口每分鐘有4人買了飯離開隊伍，B窗口每分鐘有6人買了飯離開隊伍，且B窗口隊伍后面每分鐘增加5人。此時，若小李迅速從A窗口隊伍轉(zhuǎn)移到B窗口后面重新排隊，將比繼續(xù)在A窗口排隊提前30秒買到飯，求開始時，有多少人排隊。分析：“B窗口每分鐘有6人買了飯離開隊伍，且B窗口隊伍后面每分鐘增加5人”相當于B窗口前的隊伍每分鐘減少1人，題中的等量關(guān)系為：小李在A窗口排隊所需時間=轉(zhuǎn)移到B窗口排隊所需時間+解：設(shè)開始時，每隊有x人在排隊，2分鐘后，B窗口排隊的人數(shù)為：x-6×2+5×2=x-2根據(jù)題意，可列方程：去分母得3x=24+2(x-2)+6去括號得3x=24+2x-4+6移項得3x-2x=26解得x=26所以，開始時，有26人排隊。課外知識拓展：一、含字母系數(shù)方程的解法：思考：是什么方程？在一元一次方程的標準形式、最簡形式中都要求a≠0，所以不是一元一次方程我們把它稱為含字母系數(shù)的方程。例6．解方程解：（分類討論）當a≠0時，當a=0，b=0時，即0x=0，方程有任意解當a=0，b≠0時，即0x=b，方程無解即方程的解有三種情況。例7．問當a、b滿足什么條件時，方程2x+5-a=1-bx：（1）有唯一解；（2）有無數(shù)解；（3）無解。分析：先解關(guān)于x的方程，把x用a、b表示，最后再根據(jù)系數(shù)情況進行討論。解：將原方程移項得2x+bx=1+a-5，合并同類項得：(2+b)x=a-4當2+b0，即b-2時，方程有唯一解，當2+b=0且a-4=0時，即b=-2且a=4時，方程有無數(shù)個解，當2+b=0且a-4≠0時，即b=-2且a≠4時，方程無解，例8．解方程分析：根據(jù)題意，ab≠0，所以方程兩邊可以同乘ab去分母，得b(x-1)-a(1-x)=a+b去括號，得bx-b-a+ax=a+b移項，并項得(a+b)x=2a+2b當a+b≠0時，=2當a+b=0時，方程有任意解說明：本題中沒有出現(xiàn)方程中的系數(shù)a=0，b≠0的情況，所以解的情況只有兩種。二、含絕對值的方程解法例9．解下列方程解法1：（分類討論）當5x-2>0時，即x>，5x-2=3，5x=5，x=1因為x=1符合大前提x>，所以此時方程的解是x=1當5x-2=0時，即x=，得到矛盾等式0=3，所以此時方程無解當5x-2<0時，即x<，5x-2=-3，x=因為x=符合大前提x<，所以此時方程的解是x=綜上，方程的解為x=1或x=注：求出x的值后應(yīng)注意檢驗x是否符合條件解法2：（整體思想）聯(lián)想：時，a=±3類比：，則5x-2=3或5x-2=-3解兩個一元一次方程，方程的解為x=1或x=例10．解方程解：去分母2|x-1|-5=3移項2|x-1|=8|x-1|=4所以x-1=4或x-1=-4解得x=5或x=-3例11．解方程分析：此題適合用解法2當x-1>0時，即x>1，x-1=-2x+1，3x=2，x=因為x=不符合大前提x>1，所以此時方程無解當x-1=0時，即x=1，0=-2+1，0=-1，此時方程無解當x-1<0時，即x<1，1-x=-2x+1，x=0因為x=0符合大前提x<1，所以此時方程的解為x=0綜上，方程的解為x=0三、小結(jié)1、體會方程思想在實際中的應(yīng)用2、體會轉(zhuǎn)化的方法，提升數(shù)學能力第四講：圖形的初步認識一、相關(guān)知識鏈接：1．認識立體圖形和平面圖形我們常見的立體圖形有長方體、正方體、球、圓柱、圓錐，此外，棱柱，棱錐也是常見的幾何體。我們常見的平面圖形有正方形、長方形、三角形、圓立體圖形和平面圖形關(guān)系立體圖形問題常常轉(zhuǎn)化為平面圖形來研究，常常會采用下面的作法（1）畫出立體圖形的三視圖立體圖形的的三視圖是指正視圖（從正面看）、左視圖（從左面看）、俯視圖（從上面看）得到的三個平面圖形。（2）立體圖形的平面展開圖常見立體圖形的平面展開圖圓柱、圓錐、三棱柱、三棱錐、正方體（共十一種）二、典型問題：（一）正方體的側(cè)面展開圖（共十一種）分類記憶：第一類，中間四連方，兩側(cè)各一個，共六種。第二類，中間三連方，兩側(cè)各有一、二個，共三種。第三類，中間二連方，兩側(cè)各有二個，只有一種。第四類，兩排各三個，只有一種?；疽螅?.在右面的圖形中是正方體的展開圖的有（C）（A）3種（B）4種（C）5種（D）6種2．下圖中,是正方體的展開圖是(B)ABCD3．如圖四個圖形都是由6個大小相同的正方形組成，其中是正方體展開圖的是（D??）A．①②③???????B．②③④???????C．①③④???????D．①②④121236454．下圖可以沿線折疊成一個帶數(shù)字的正方體，每三個帶數(shù)字的面交于正方體的一個頂點，則相交于一個頂點的三個面上的數(shù)字之和最小是(A)A．7B．8C．9D．105．一個正方體的展開圖如右圖所示，每一個面上都寫有一個自然數(shù)并且相對兩個面所寫的兩個數(shù)之和相等，那么a+b-2c=（B）A．40B.38C.36D.分析：由題意8+a=b+4=c+25所以b=4+ac=a-17所以a+b-2c=a+(4+a)-2(a-17)=4+34=386．將如圖所示的正方體沿某些棱展開后，能得到的圖形是（C）A．B．C．D．7．下圖是某一立方體的側(cè)面展開圖，則該立方體是（D）A．B．A．B．C．D．還原正方體，正確識別正方體的相對面。（二）常見立體圖形的平面展開圖8．下列圖形是四棱錐的展開圖的是（C）（A）（B）（C）（D）9．下面是四個立體圖形的展開圖，則相應(yīng)的立體圖形依次是(A)A．正方體、圓柱、三棱柱、圓錐B.正方體、圓錐、三棱柱、圓柱C．正方體、圓柱、三棱錐、圓錐D.正方體、圓柱、四棱柱、圓錐10．下列幾何體中是棱錐的是（B）A.B.C.D.11．如圖是一個長方體的表面展開圖，每個面上都標注了字母，請根據(jù)要求回答問題：（1）如果A面在長方體的底部，那么哪一個面會在上面？（2）若F面在前面，B面在左面，則哪一個面會在上面？（字母朝外）（3）若C面在右面，D面在后面，則哪一個面會在上面？（字母朝外）答案：（1）F；（2）C，A（三）立體圖形的三視圖12．如圖，從正面看可看到△的是(C)13．對右面物體的視圖描繪錯誤的是（C）14．如圖的幾何體，左視圖是（B）15．如圖，是由幾個相同的小正方體搭成的幾何體的三種視圖，則搭成這個俯視圖左視圖主視圖俯視圖左視圖主視圖A．3B．4C．5D．6（四）新穎題型16.正方體每一面不同的顏色對應(yīng)著不同的數(shù)字，將四個這樣的正方體如圖拼成一個水平放置的長方體，那么長方體的下底面數(shù)字和為.分析：正面—黃，右面—紅，上面—藍，后面—紫，下面—白，左面—綠所以，從右到左，底面依次為：白、綠、黃、紫數(shù)字和為：4+6+2+5=1717．觀察下列由棱長為1的小正方體擺成的圖形，尋找規(guī)律，如圖⑴所示共有1個小立方體，其中1個看得見，0個看不見；如圖⑵所示：共有8個小立方體，其中7個看得見，1個看不見；如圖⑶所示：共有27個小立方體，其中19個看得見，8個看不見……（1）寫出第⑹個圖中看不見的小立方體有125個；（2）猜想并寫出第(n)個圖形中看不見的小立方體的個數(shù)為____(n-1)3______個.分析：11=10=0328=231=13327=338=23464=4327=33nn3(n-1)3第五講：線段和角一、知識結(jié)構(gòu)圖二、典型問題：（一）數(shù)線段——數(shù)角——數(shù)三角形問題1、直線上有n個點，可以得到多少條線段？分析：點線段2133=1+246=1+2+3510=1+2+3+4615=1+2+3+4+5……n1+2+3+…+(n-1)=問題2．如圖，在∠AOB內(nèi)部從O點引出兩條射線OC、OD，則圖中小于平角的角共有（D）個(A)3(B)4(C)5(D)6拓展：1、在∠AOB內(nèi)部從O點引出n條射線圖中小于平角的角共有多少個？射線角13=1+226=1+2+3310=1+2+3+4……n1+2+3+…+(n+1)=類比：從O點引出n條射線圖中小于平角的角共有多少個？射線角2133=1+246=1+2+3510=1+2+3+4……n1+2+3+…+(n-1)=類比聯(lián)想：如圖，可以得到多少三角形？（二）與線段中點有關(guān)的問題線段的中點定義：文字語言：若一個點把線段分成相等的兩部分，那么這個點叫做線段的中點圖形語言：幾何語言：∵M是線段AB的中點∴，典型例題：1．由下列條件一定能得到“P是線段AB的中點”的是（D）（A）AP=AB（B）AB＝2PB（C）AP＝PB（D）AP＝PB=AB2．若點B在直線AC上，下列表達式：①；②AB=BC；③AC=2AB；④AB+BC=AC．其中能表示B是線段AC的中點的有（A??）A．1個?????????B．2個?????????C．3個???????D．4個3.如果點C在線段AB上,下列表達式①AC=AB;②AB=2BC;③AC=BC;④AC+BC=AB中,能表示C是AB中點的有(C)A.1個B.2個C.3個D.4個4．已知線段MN，P是MN的中點，Q是PN的中點，R是MQ的中點，那么MR=______MN．分析：據(jù)題意畫出圖形設(shè)QN=x，則PQ=x，MP=2x，MQ=3x，所以，MR=x，則5．如圖所示，B、C是線段AD上任意兩點，M是AB的中點，N是CD中點，若MN=a，BC=b，則線段AD的長是（）A2（a-b）B2a-bCa+bDa-b分析：不妨設(shè)CN=ND=x，AM=MB=y因為MN=MB+BC+CN所以a=x+y+b因為AD=AM+MN+ND所以AD=y+a+x=a-b+a=2a-b（三）與角有關(guān)的問題1．已知：一條射線OA，若從點O再引兩條射線OB、OC，使∠AOB=600，∠BOC=200，則∠AOC=____80°或40°________度（分類討論）2．A、O、B共線，OM、ON分別為∠AOC、∠BOC的平分線，猜想∠MON的度數(shù)，試證明你的結(jié)論．猜想：_90°______證明：因為OM、ON分別為∠AOC、∠BOC的平分線所以∠MOC=∠AOC，∠CON=∠COB因為∠MON=∠MOC+∠CON所以∠MON=∠AOC+∠COB=∠AOB=90°3．如圖，已知直線和相交于點，是直角，平分，，求的度數(shù)．分析：因為是直角，，所以∠EOF=56°因為平分所以∠AOF=56°因為∠AOF=∠AOC+∠COF所以∠AOC=22°因為直線和相交于點所以=∠AOC=22°4．如圖，BO、CO分別平分∠ABC和∠ACB，（1）若∠A=60°，求∠O；（2）若∠A=100°，∠O是多少？若∠A=120°，∠O又是多少？（3）由（1）、（2）你又發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？當∠A的度數(shù)發(fā)生變化后，你的結(jié)論仍成立嗎？（提示：三角形的內(nèi)角和等于180°）答案：（1）120°；（2）140°、150°（3）∠O=90°+∠A5．如圖，O是直線AB上一點,OC、OD、OE是三條射線,則圖中互補的角共有（B）對(A)2(B)3(C)4(D)56．互為余角的兩個角???（B）（A）只和位置有關(guān)（B）只和數(shù)量有關(guān)（C）和位置、數(shù)量都有關(guān)（D）和位置、數(shù)量都無關(guān)7．已知∠1、∠2互為補角，且∠1＞∠2，則∠2的余角是（C）A.（∠1＋∠2）B.∠1C.（∠1－∠2）D.∠2分析：因為∠1＋∠2=180°，所以（∠1＋∠2）=90°90°-∠2=（∠1＋∠2）-∠2=（∠1－∠2）第六講：相交線與平行線一、知識框架二、典型例題1.下列說法正確的有(B)①對頂角相等;②相等的角是對頂角;③若兩個角不相等,則這兩個角一定不是對頂角;④若兩個角不是對頂角,則這兩個角不相等.A.1個B.2個C.3個D.4個2.如圖所示,下列說法不正確的是(D)A.點B到AC的垂線段是線段AB;B.點C到AB的垂線段是線段ACC.線段AD是點D到BC的垂線段;D.線段BD是點B到AD的垂線段3.下列說法正確的有(C)①在平面內(nèi),過直線上一點有且只有一條直線垂直于已知直線;②在平面內(nèi),過直線外一點有且只有一條直線垂直于已知直線;③在平面內(nèi),過一點可以任意畫一條直線垂直于已知直線;④在平面內(nèi),有且只有一條直線垂直于已知直線.A.1個B.2個C.3個D.4個4．一學員駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相同，這兩次拐彎的角度可能是（A）A.第一次向左拐30°第二次向右拐30°B.第一次向右拐50°第二次向左拐130°C.第一次向右拐50°第二次向右拐130°D.第一次向左拐50°第二次向左拐130°5．如圖，若AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，則下列結(jié)論必定成立的是（C）A.CD>ADB.AC<BCC.BC>BDD.CD<BD分析：考察垂線段的性質(zhì)、基本圖形——“雙垂直”圖形6．如圖,已知AB∥CD,直線EF分別交AB,CD于E,F,EG平分∠BEF,若∠1=72°,則∠2=____54°___.7．如圖,AB∥EF∥CD,EG∥BD,則圖中與∠1相等的角(∠1除外)共有(C)A.6個B.5個C.4個D.3個8．如圖，直線l1、l2、l3交于O點，圖中出現(xiàn)了幾對對頂角，若n條直線相交呢？答案：3對，n(n+1)9.如圖，在的正方形網(wǎng)格中，的大小關(guān)系是_________．1123答案：∠1=∠2>∠310.如圖所示,L1,L2,L3交于點O,∠1=∠2,∠3:∠1=8:1,求∠4的度數(shù).(方程思想)答案：36°11．如圖所示,已知AB∥CD,分別探索下列四個圖形中∠P與∠A,∠C的關(guān)系,請你從所得的四個關(guān)系中任選一個加以說明.(1)(2)(3)(4)（1）分析：過點P作PE//AB∠APE+∠A+∠C=360°（2）∠P=∠A+∠C（3）∠P=∠C-∠A,（4）∠P=∠A-∠C12．如圖，若AB//EF，∠C=90°，求x+y-z度數(shù)。分析：如圖，添加輔助線證出：x+y-z=90°13．已知：如圖，求證：分析：法一法二：由AB//CD證明PAB=APC，所以EAP=APF所以AE//FP所以第七講：平面直角坐標系一、知識要點：1、特殊位置的點的特征（1）各個象限的點的橫、縱坐標符號（2）坐標軸上的點的坐標：軸上的點的坐標為,即縱坐標為0;軸上的點的坐標為，即橫坐標為0;2、具有特殊位置的點的坐標特征設(shè)、、兩點關(guān)于軸對稱，且;、兩點關(guān)于軸對稱，且;、兩點關(guān)于原點軸對稱，且。3、距離（1）點A到軸的距離：點A到軸的距離為||；點A到軸的距離為||；（2）同一坐標軸上兩點之間的距離：A、B，則；A、B，則；二、典型例題1、已知點M的坐標為（x，y），如果xy<0,則點M的位置()(A)第二、第三象限(B)第三、第四象限(C)第二、第四象限(D)第一、第四象限2．點P（m，1）在第二象限內(nèi)，則點Q（-m，0）在（）A．x軸正半軸上B．x軸負半軸上C．y軸正半軸上D．y軸負半軸上3．已知點A（a，b）在第四象限，那么點B（b，a）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限4．點P（1，-2）關(guān)于y軸的對稱點的坐標是（）A．（-1，-2）B．（1，2）C．（-1，2）D．（-2，1）5．如果點M（1-x，1-y）在第二象限，那么點N（1-x，y-1）在第象限，點Q（x-1，1-y）在第象限。6．如圖是中國象棋的一盤殘局，如果用(4，o)表示帥的位置，用(3，9)表示將的位置，那么炮的位置應(yīng)表示為A．(8，7)B．(7，8)C．(8，9)D．(8，8) 7．在平面直角坐標系中，平行四邊形ABCD的頂點A、B、D的坐標分別為（0，0），（5，0），（2，3）則頂點C的坐標為（）A．（3，7）B．（5，3）C．（7，3）D．（8，2）8．已知點P（x,），則點P一定（）A．在第一象限B．在第一或第四象限C．在x軸上方D．不在x軸下方9．已知長方形ABCD中，AB=5，BC=8，并且AB∥x軸，若點A的坐標為（－2，4），則點C的坐標為___(3,-4)(-7,-4)(3,12)(-7,12)______。10．三角形ABC三個頂點的坐標分別是A（-4，-1），B（1，1），C（-1，4），將三角形ABC向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，則平移后三個頂點的坐標是（C）A．（2，2），（3，4），（1，7）B．（-2，2），（4，3），（1，7）C．（-2，2），（3，4），（1，7）D．（2，-2），（3，3），（1，7）11．“若點P、Q的坐標是（x1，y1）、（x2，y2），則線段PQ中點的坐標為（，）．”已知點A、B、C的坐標分別為（-5，0）、（3，0）、（1，4），利用上述結(jié)論求線段AC、BC的中點D、E的坐標，并判斷DE與AB的位置關(guān)系．解：由“中點公式”得D（-2，2），E（2，2），DE∥AB．12．如圖，在平面直角坐標系中，點坐標為，將繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則點的坐標是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．分析：13．如圖，三角形AOB中，A、B兩點的坐標分別為（-4，-6），（-6，-3），求三角形AOB的面積解：做輔助線如圖．S△AOB=S梯形BCDO-（S△ABC+S△OAD）=×（3+6）×6-（×2×3+×4×6）=27-（3+12）=12．14．如圖，四邊形ABCD各個頂點的坐標分別為（–2，8），（–11，6），（–14，0），（0，0）。（1）確定這個四邊形的面積，你是怎么做的?（2）如果把原來ABCD各個頂點縱坐標保持不變，橫坐標增加2，所得的四邊形面積又是多少？分析：（2）面積不變15．如圖，已知A1(1,0)、A2（1，1）、A3（-1，1）、A4（-1，-1）、A5（2，-1），…，則點A2007的坐標為______________________.答案：(-502,502)第八講：與三角形有關(guān)的線段一、相關(guān)知識點1．三角形的邊三角形三邊定理：三角形兩邊之和大于第三邊即：△ABC中，a+b>c,b+c>a,c+a>b（兩點之間線段最短）由上式可變形得到：a>c－b，b>a－c，c>b－a即有：三角形的兩邊之差小于第三邊高由三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高。中線：連接三角形的頂點和它對邊的中點的線段，稱為三角形的中線角平分線三角形一個內(nèi)角的角平分線與這個角對邊的交點和這個角的頂點之間線段稱為三角形的角平分線二、典型例題（一）三邊關(guān)系1．已知三角形三邊分別為2,a-1,4,那么a的取值范圍是()A.1<a<5B.2<a<6C.3<a<7D.4<a<62．小穎要制作一個三角形木架，現(xiàn)有兩根長度為8m和5m的木棒。如果要求第三根木棒的長度是整數(shù)小穎有幾種選法？可以是多少？分析：設(shè)第三根木棒的長度為x，則3<x<13所以x=4,5,6,7,8,9,10,11,123：已知：△ABC中，AD是BC邊上的中線求證：AD+BD>（AB+AC）分析：因為BD+AD>AB、CD+AD>AC所以BD+AD+CD+AD>AB+AC因為AD是BC邊上的中線，BD=CD所以AD+BD>（AB+AC）（二）三角形的高、中線與角平分線問題：（1）觀察圖形，指出圖中出現(xiàn)了哪些高線？（2）圖中存在哪些相等角？注意基本圖形：雙垂直圖形4．如圖，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜邊上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E、F，則圖中與∠C（∠C除外）相等的角的個數(shù)是（）A．5B．4C．3D．2分析：