《微積分》各章習(xí)題及詳細(xì)答案

《微積分》各章習(xí)題及解答《微積分》各章習(xí)題及解答第第#頁(yè)第一章函數(shù)極限與連續(xù)、填空題TOC\o"1-5"\h\z1、已知f(sinx-)=1+cosx,貝Uf(cosx)= 。2 r (4+3x)22、lim- 二 。x年6X(1-X2)3、xf0時(shí)，tanx-sinx是x的階無(wú)窮小。4、limxksin-=0成立的k為。xf0 x5、limexarctanx=。xf-6“、\ex+1,x>0八 ，6、f(x)=| 在x=0處連續(xù)，則b= .[x+b,x<0「ln(3x+1)7、lim = 。xf0 6x8、設(shè)f(x)的定義域是[0,1],則f(lnx)的定義域是9、函數(shù)y=1+ln(x+2)的反函數(shù)為。x+a、10、設(shè)a是非零常數(shù)，則lim( )10、設(shè)a是非零常數(shù)，xf6x-a11、已知當(dāng)xf0時(shí)，(1+ax2)3-1與cosx-1是等價(jià)無(wú)窮小，則常數(shù)a=3x12、函數(shù)f(x)=arcsin-——的定乂域是 。+x13、14、1513、14、15、lim(■7x2+2-Jx2-2)=xf+6x+2a設(shè)lim( )x=8，則Ua=xf6x-alim(1n+\：n+1)(%n+2一nn)=nf+6、選擇題1、設(shè)f(x),g(x)是[-1,l]上的偶函數(shù)，h(x)是[-1,l]上的奇函數(shù)，則中所給的函數(shù)必為奇函數(shù)。(A)f(x)+g(x)；(B)f(x)+h(x)；(C)f(x)[g(x)+h(x)]；(D)f(x)g(x)h(x)。,、1一x2、a(x)=-——,P(x)=1-3x,則當(dāng)xf1時(shí)有 。+x(A)a是比P高階的無(wú)窮??； (B)a是比P低階的無(wú)窮小;11+x一13、函數(shù)f11+x一13、函數(shù)f(x)=|陋+x-1kx20(x--1)在x=0處連續(xù)，則k=x=0(A)—； (B)3； (C)1; (D)0。4、數(shù)列極限limn[ln(n-1)-lnn]4、5、nf6(A)1； (B)-1；sinxx+ xf(x)=< 01xcos—^xx<0x=0x>0(C)6；，則x=0是f(x)的⑻不存在但非8。(A)連續(xù)點(diǎn);(B)可去間斷點(diǎn)；(C)跳躍間斷點(diǎn)；(D)振蕩間斷點(diǎn)。6、以下各項(xiàng)中f(x)和g(x)相同的是()(B)f(x)=x,g(x)=?<x2；(A)(B)f(x)=x,g(x)=?<x2；f(x)=1,g(x)=sec2x-tan2x。(C)f(x)=f(x)=1,g(x)=sec2x-tan2x。sinxlim=x-0|xsinxlim=x-0|x|(A) 1；1lim(1-x)x(B)-1;(C) 0；(D)不存在。x-01；-1；e； (D)e-1。9、f(x)在x的某一去心鄰域內(nèi)有界是limf(x)存在的()0x-x(A)充分必要條件；(B)充分條件；(0必0要條件；(D)既不充分也不必要條件.10、limx(%.x2+1-x)=10、x-81;2；(C)(D) 0。11、設(shè){1;2；(C)(D) 0。11、設(shè){a},,{c}均為非負(fù)數(shù)列nnn(A)a<b對(duì)任意n成立;nn(C)極限limac不存在；nnn-8(B)且lima=0,limb=1,limc=8，則必有( )n nnn-8 n-8 n-8b<c對(duì)任意n成立；nn(D)極限limbc不存在。nnn-8r x2-11-12、當(dāng)x-(8)lim—: 。xf2arctan34一x(8)lim—: 。xf2arctan34一x2(A)等于2; (B)等于0；三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列極限x(1)lim2nsin ；n-8 2n-11(3)limx(ex-1)；x-88cos2x-2cosx-1(5)lim ;正2cos2x+cosx-1x-3(C)為8; (D)不存在但不為8。(2)limx-0cscx-cotx(4)limx-8x2x+1)2x-1j3x「v1+xsinx-、.cosx(6)lim- x-0 xtanx(7)lim(7)limn-8\11 + + +1x22x3ln(1+3：2-x)3、試確定a,b之值，使lim—ax—bJ4、利用極限存在準(zhǔn)則求極限1+1+、.?/+」(1)limn-823nn+123n(2)設(shè)x>a>0,且x=；ax(n=1,2，…)1 n+1 nn證明limx存在，并求此極限值。nn-8nx-n-x5、討論函數(shù)f(x)=lim 的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)，指出其類(lèi)型。n-8nx+n-x6、設(shè)f(x)在［a,b］上連續(xù)，且a<f(x)<b，證明在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)自，使f也)=占。1、2、3、4、5、第一單元函數(shù)極限與連續(xù)習(xí)題解答、填空題2sin2x。f(sinx)=1+(1-2sin2x)=2-2sin2x^2 ^2 ^2二.f(x)=2-2x2 「.f(cosx)=2-2cos2x=2sin2x.lim(4+3x)2-limx—8x(1-x2)x—89x2+24x+16 八 =0o-x3+x,/limx—0tanx-sinxlimx—0tanx(1一cosx)―lim(1-cosx)—0,x—0「.tanx-sinx是x的高階無(wú)窮小。k>0ovsin1為有界函數(shù)，所以要使limxksin1=0，只要limxk=0,即k>0。limexarctanx=0x——8兀(vlimex—0,arctanxe(——,266、vlimf(x)=lim(x+b)=b,vlimf(x)=lim(ex+1)=2,x—0+x—0+7、8、9、y=ex-1-2f(0)=b，.二b=2o「ln(3x+1)「3x1vlim =lim————.x—0 6x x—06x 2根據(jù)題意要求0<lnx<1,所以1<x<eovy=1+ln(x+2),「.(y-1)=ln(x+2),x+2=ey-1,10、11、1由(1+ax2)3-1及l(fā)imx—01(1+ax2)3-1cosx-1=limx—01~—ax231—ax23~~L—-x22(利用教材P58(1+x)a-1~))與cosx-1--1x2,以可得12、由反三角函數(shù)的定義域要求可得解不等式組可得《-4<x<12、由反三角函數(shù)的定義域要求可得解不等式組可得《-4<x<2,nf(x)的定義域?yàn)橐?<x<1oxw-1 4 213、limxx2+2-xx2-2=limx—+8x—+8=limx—+8x2+2-(x2-2)14、ln2即：lim(x—8xi^)x=lim[(1+1)t]3a?(1+1)a=e3a=8x-a t—8 t3a=ln8na=-ln8=Jn_^3=ln2。

3 315、215、2lim(、n+vn+1)(*n+2—<n)=lim(%n+n++1)x2

(n+2+n)==limn—+g1 12(1+、：1+-)\n-2T+T+T-2n二、選擇題1、1、選(D)...F(—x)令F(x)=f(x)g(x)h(x)，由f(x),g(x)是[—l,l]上的偶函數(shù)，h(x)是[—l,l]上的奇函數(shù)，=f(—x)g(—x)h(—x)=一f(x)g(x)h(x)=一F(x)。2、選(C)=limx—1「a(x)???lim———二x-1P(x)1一x(1+x)?1(1—x)limx—132=limx—1(1+x)[1一31—(1一x)](利用教材P58(1+元)a一1?))3、(A)「limf(x)=lim31+x—11—xc3 3 3一=lim-2—二一(利用教材P58(1+x)a-1?))x—01 2-x34、(B)limn[ln(n-1)一lnn]=lim-ln(1一L)-n=—15、(C)n—gf(0一)=1,f(0+)=0nf(0)=06、選(C)在(A)中:f(x)=lnx2的定義域?yàn)閤中0，而g(x)=2lnx的定義域?yàn)閤>0,「.f(x)豐g(x)故不正確在(B);f(x)=x的值域?yàn)?-g,+g),g(x)=、；x2的值域?yàn)閤>0,故錯(cuò)在(D)中.?.f(x)=1的定義域?yàn)镽,g(x)=sec2x—tanx的定義域?yàn)椋?，兀、{xGR,x豐k兀+—}，.=f(x)豐g(x)，故錯(cuò)7、7、選(D)sinxsinx???lim =lim =1sinxsinx,lim=—lim =—1x—0-1x1 x—0-xsinx.二lim——x—0IxI8、選(D)9、選(C)?lim(1—x8、選(D)9、選(C)?lim(1—x)x=lim[1+(一x)]r(T)=e一1,x——0 x——0由函數(shù)極限的局部有界性定理知，limf(x)存在，則必有x0的某一去心鄰域使f(x)有界，而f(x)在x0的某一去心鄰域有界不在x=0點(diǎn)極限不存在10、選(C)x—x0 1 1定有l(wèi)imf(x)存在，例如limsin-,函數(shù)—1<sin—<1有界，但(\/x2+1-x)(\:x2+1+x)(?.?hmx(xx2+1—x)=11mx = x-g=limx-gx-g1 _1■ 1 2：1+—+1: x2=lim.x——x—g<x2+1+x11、選(D) (A)、(B)顯然不對(duì)，因?yàn)橛袛?shù)列極限的不等式性質(zhì)只能得出數(shù)列“當(dāng)〃充分大時(shí)”的情況，不可能得出“對(duì)任意〃成立”的性質(zhì)。(C)也明顯不對(duì)，因?yàn)椤盁o(wú)窮小?無(wú)窮大〃是未定型，極限可能存在也可能不存在。x2—11- /八-^-12、選(D)lim ex-1=lim(x+1)ex-1=2?0=12、TOC\o"1-5"\h\zx—1-x-1 x—1-x2-1」 Jlim ex-1=lim(x+1)ex-1=bx—1+x-1 x—1+當(dāng)x―1時(shí)函數(shù)沒(méi)有極限，也不是8。計(jì)算解答1、計(jì)算下列極限:xxTOC\o"1-5"\h\z(1)解：lim2nsin =lim2n? =2x。n—8 2n-1n—8 2n-11cosx x2cscx—cotx sinxsinx1—cosx21(2)解：lim 二limsnx__sinx=lim 二lim—二—x—0 x x—0 x x—0xsinx x—0x2 2((3)解：1limx(ex-1)x—8

limx?1=1x—8 x(4)解：lim(x—82 111=lim(1+ )3x=lim[(1+ j)x-2+2]3。x—8 2x-1 x—8x——2一,Y 1 、 1 -/Y[lim(1+——1廣2]3?[lim(1+x―8 x— x—821、—)2]3=e3x—2(5)解：8cos2x-2cosx-1 (2cosx-1)(4cosx+1)lim =lim 工2cos2x+cosx-1 a(2cosx-1)(cosx+1)x— x―334cosx+1二lim 工cosx+1x—34x1+121+121+xsinx—%cosx_ 1+xsinx—cosx(6)解：lim =lim . x—0 xtanx x—0xtanx(%1+xsinx+vcosx)xsinx+1-cosx xsinx1-cosx二lim =lim +lim x—0 2x2 x—02x2 x—0 2x2lim(X1+xsinx+<'cosx)二2x—0113=—+—=—244(7)解：lim[x—811 + ++ 1x22x3n(n+1)=lim[(1-f+(；-。+…+(--x—8 2 23n+1=lim(1-上)=1。x—8 n+1(8)解：limx—2ln(1+3：2-x)lim32-xarctan^4—x2 x—23/4—x2=lim(x—22+x)3=]I’4x2x2+1-ax2-(a+b)x-bx+1x2+13、解：:lim( ax-b)=limx—+8x+1 x—+8二limX-"4二limX-"4、(1)v1<1+1+1+…+1+」nn+11+1+…+1(1-a)X2-(a+b)X+(1-b)

x+11-a=0a=1(*14 3-(a+b)=— b=-_2 1 2而limX-y23(2)先證有界(數(shù)學(xué)歸納法)n=1時(shí)，X=、aix>act?a=a2 1 設(shè)n=k時(shí)x>a,貝|x=.cxx>、；a2=ak k+1%k數(shù)列｛X｝有下界，n再證｛X｝單調(diào)減，n..X aX aa/1且X>0

nlimX存在，nn-8設(shè)且X>0

nlimX存在，nn-8設(shè)limx=Ann-8X X ；Xn nnn???X<X即｛X｝單調(diào)減，n+1 nn則有A=：aAn則有A=：aAnA=0(舍)或A=a,5、解：先求極限得f(x)=limnn—8TOC\o"1-5"\h\zI1 X >0<0 x = 0-1 x < 0而limf(x)=1 limf(x)=-1 f(0)=0x—0+ x—0一??.f(X)的連續(xù)區(qū)間為(-8,0)U(0,+8)X=0為跳躍間斷點(diǎn)。.6、解:令F(X)=f(x)-x,則F(X)在［a,b］上連續(xù)而F(a)=f(a)-a>0F(b)=f(b)-b<0由零點(diǎn)定理，3^e(a,b)使F&)=0即f&)-”0，亦即f&)=4.第二章導(dǎo)數(shù)與微分、填空題TOC\o"1-5"\h\z已知f，⑶=2，則lim于-f(3)= .h.0 2hf'(0)存在，有f(0)=0,則limf(x)=。x.0x1 ,,y=kx+x兀+arctan—，貝|y = 。\o"CurrentDocument"兀 x=1f(x)二階可導(dǎo)，y=f(1+sinx)，則y，=；y"=。曲線y=ex在點(diǎn)處切線與連接曲線上兩點(diǎn)(0,1),(1,e)的弦平行。y=ln[arctan(1-x)]，則dy=.dy dyy=sin2x4，則丁= ，--= 。dx dx28、若f(t)=limt(1+-)2tx，則f()=.x.8 x9、曲線y=x2+1于點(diǎn)處的切線斜率為2。10、設(shè)y=xex，貝Uy"(0)=。11、設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程ex+y+cos(xy)=0確定，則華=dxTOC\o"1-5"\h\zIx=1+12 d2y12、設(shè)< 則/= [y=cost dx2二、單項(xiàng)選擇11、設(shè)曲線y=和y=x2在它們交點(diǎn)處兩切線的夾角為①，則tan3=( )。x(A)-1； (B)1； (C)-2； (D)3。八，、 c,兀 ，3、函數(shù)f(x)=etankx,且f(—)=e，則k=( )。1(A)1；(B)-1； (C) -; (D)2.4、已知f(x)為可導(dǎo)的偶函數(shù)，且limf(1+：)-f(1)=-2,則曲線y=f(x)在(-1,2)處切線的方程x.0 2x是。(A)y=4x+6；(B)y=-4x-2；(C)y=x+3；(D)y=-x+1.f2(x+Ax)-f2(x)5、設(shè)f(x)可導(dǎo)，則lim———:j= 。Ax.0 Ax(A) 0； (B) 2f(x)； (C) 2f'(x)； (D)2f(x).f'(x)。6、函數(shù)f(x)有任意階導(dǎo)數(shù)，且f(x)=[f(x)]2，則f(n)(x)=。(A)n[f(x)]n+1；(B)n![f(x)]n+1；(C)(n+1)[f(x)]n+1；(D)(n+1)![f(x)]2。f(x+2Ax)-f(x)TOC\o"1-5"\h\z7、若f(x)=x2，則lim —— ，0=( )Ax.0 Ax(A)2x； (B)x; (C)4x； (D)4x.0 008、設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處存在f'(x)和f(x)，則f'(x)=f(x)是導(dǎo)數(shù)f'(x)存在的()0 -0 +0 -0 +0 0(A)必要非充分條件； (B)充分非必要條件；(C)充分必要條件； (D)既非充分又非必要條件。9、設(shè)f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-99)則f'(0)=()(A)99； (B)-99； (C)99!； (D)-99!.TOC\o"1-5"\h\z10、若f(u)可導(dǎo)，且y=f(―x2)，則有dy=( )(A)xf'(—x2)dx；(B)一2xf'(-x2)dx；(C)2f'(—x2)dx；(D)2xf'(—x2)dx.11、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且f'(0)>0，則存在B>0,使得( )(A)f(x)在(0,8)內(nèi)單調(diào)增加； (B)f(x)在(-8,0)內(nèi)單調(diào)減少；(C)對(duì)任意的xe(0,8)有f(x)>f(0)；(D)對(duì)任意的xe(-5,0)有f(x)>f(0).f.1 -12、設(shè)f(x)=<x2S1nx x>在x=0處可導(dǎo)，則()ax+bx<0(A)a=1,b=0; (B)a=0,b為任意常數(shù)；(C)a=0,b=0； (C)a=1,b為任意常數(shù)。三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列各題2i fx=Intd2y(1)y=esinx，求dy； (2)\，求口一；[y=13 dx2t=1d2y(3)x+arctany=y, ； (4)y=sinxcosx，求y(50)；dx2xy=(-——)x，求y；+xf(x)=x(x+1)(x+2)…(x+2005),求f'(0)；f(x)=(x-a)叭x)，叭x)在x=a處有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，求f(a)、f"(a)；(8)設(shè)f(x)在x=1處有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù),且f'(1)=2，求limdf(cos,：x-1)。xf1+dxfb(1+sinx)+a+2x>02、試確定常數(shù)a,b之值,使函數(shù)f(x)二| 八處處可導(dǎo)。[eax—1x<03、證明曲線x2-y2=a與xy=b(a,b為常數(shù))在交點(diǎn)處切線相互垂直。4、一氣球從距離觀察員500米處離地勻速鉛直上升,其速率為140米/分,當(dāng)此氣球上升到500米空中時(shí),問(wèn)觀察員視角的傾角增加率為多少。5、若函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,x有f(x+x)=f(x)f(x)，且f'(0)=1,證明f'(x)=f(x)。12 1 2 1 26、求曲線y=x3+3x2-5上過(guò)點(diǎn)(-1,-3)處的切線方程和法線方程。第二章導(dǎo)數(shù)與微分習(xí)題解答一、填空題1、-1 limf(3一八)-〃3)-11mf(3一h….(」=-1八3)=-1TOC\o"1-5"\h\z一 h- 2h h- -h 2 2，2、「(0) limfx~=limf(x)-f(0)=1(0)x.0x x.0 x—03、兀Inx+兀9=兀x1n兀+兀x兀-1/.y'l=兀Inx+兀 x=14、f'(1+sinx)?cosx,f〃(1+sinx)?cos2x-f'(1+sinx)?sinxy'=f'(1+sinx)?cosx,y"=f〃(1+sinx)?cos2x-f'(1+sinx)?sinxe-1一5、(1n(e-1),e-1)弦的斜率k= =e-1 1—0/.y，=(ex)=ex=e-1nx=1n(e-1)，當(dāng)x=1n(e-1)時(shí)，y=e-1.dx6、- arctan(1-x)?[1+(1-x)2]dy=arctan(1-xdy=arctan(1-x)d[arctan(1-x)]=arctan(1-x)1+(1-x)-d(1-x)2dxdxarctan(1-x)?[1+(1-x)2]7、8、9、4x7、8、9、4x3sin2x4,2x2sin2x4 —y=2sinx4?cosx4?4x3=4x3sin2x4 dxdy=dy

dx22xdx=2x2sin2x4e21+2te21(1,2)f(t)=limt(1+—)2txx.9x,/yy=2x，由2x=2=te21:.f'(t)=e21+2te21nx=1，y=12+1=20 010、 2y=x210、 2y=x2+1在點(diǎn)(1,2)處的切線斜率為2:y==ex+xex，y"=ex+ex+xex二.y"(0)=e0+e0=2ex+y-ysin(xy)11、 ； 方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得ex+y(1+y)-sin(xy)(y+xy)=0ex+y-xsin(xy)解得ex+y-ysin(xy)ex+y-xsin(xy)12、sint-12、sint-tcost4t3再對(duì)x求導(dǎo)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法得由參數(shù)式求導(dǎo)公式得圻不=t-sint21d2y d (y) 1tcost-sint1sint-1costTOC\o"1-5"\h\z =—(y)=—x-t-= ■—= 。dx2 dxxx, 2 12 21 4t3t二、選擇題y=1 1,k-kt 『|=31+kk121、選(D)由1yxn交點(diǎn)為(1,1),k=(一)'|_=-1,k(x2)'|_=2yk-kt 『|=31+kk12「.tan①=|tan(①一①)|=|2 1

選(C) f(x)=etankx?ktank-1x?sec2xTOC\o"1-5"\h\z一,兀 1由f()=e得e?k-2=enk=-\o"CurrentDocument"I 乙f…f(1+x)-f(1)「 f(-1-x)-f(-1)選(A)由lim- =lim- ―-xf0 2x x.0 2x=lim"-1-：)-f(-1).(-：)=f，(-1).(-：)=-2nf，(-1)=4xf0 -x 2 2???切線方程為：y-2=4(x+1)即y=4x+65、選(D)limf2(x+>)-,2(x)=[f2(x)]'=2f(x)?f'(x)Axf0 鄧6、選(B) f〃(x)={[f(x)]2}'=2f(x)?f'(x)=2f3(x)f〃'(x)=[2f3(x)]'=2*3f2(x)-f'(x)=2*3f4(x)設(shè)f(n)(x)=n!fn+1(x)，則f(n+1)(x)=(n+1)!fn(x)?f(x)=(n+1)!fn+2(x)二.f(n)(x)=n!fn+1(x)f(x+2Ax)-f(x) f(x+2Ax)-f(x)、7、選(C)lim 0 0-=lim2- 0 0-=2f(x)TOC\o"1-5"\h\z20 Ax 20 2Ax 0又「f(x)=(x2)'=2x，.=2f(x)=4x0 08、選(C) vf(x)在x處可導(dǎo)的充分必要條件是f(x)在x點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)f(x)和右導(dǎo)數(shù)f'(x)都0 0 - 0 + 0存在且相等。9、選(D)vf(x)=(x-1)(x-2)-(x-99)+x(x-2)…(x-99)+x(x-1)(x-3)-(x-99)+?一+x(x—1)(x—2)?一(x-98)??.f(0)=(0-1)(0-2),…(0-99)=(-1)99.99!=-99!另解：由定義，f(0)=limf(x)-f(0)=lim(x-1)(x-2)…(x-99)xf0 x-0 xf0=(-1)99?99!=-99!10、選(B) v[f(-x2)]'=f(-x2)-(-x2)'=-2f(-x2)/.dy=-2xf'(-x2)dx11、由導(dǎo)數(shù)定義知f'(0)=limf(x)-f(0)>0,xf0 x再由極限的保號(hào)性知35>0,當(dāng)xe(-8,5)時(shí)f(x)-f(0)>0,x從而當(dāng)xe(-S,0)(xe(0,5))時(shí)，f(x)-f(0)<0(>0),因此C成立，應(yīng)選C。12、由函數(shù)f(x)在x=0處可導(dǎo)，知函數(shù)在x=0處連續(xù)limf(x)=limx2sin—=0,limf(x)=lim(ax+b)=b,所以b=0。xf0+ xf0+ xxf0- xf0一y2si/f(x)-f(0) y f(x)-f(0)ax又f(0)=lim —=-^=lim x=0,f(0)=lim^――-=一=a,+ xf0+ x-0 xf0+ x - xf0- x-0 x'所以a=0.應(yīng)選C。三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列各題1 1,?(—-)dx=-x x1 1,?(—-)dx=-x x21 2.21—sin—exdxx2 x(1)dy=exd(sin2_)=ex?2sincosxx

,dy 3t2 d2y912八d2y,八(2)-=—=3t3,--L= =913,a—Z|二9dx1 dx2 1 dx2t=1TOC\o"1-5"\h\zt t.?一一1(3)兩邊對(duì)x求導(dǎo)：1+- -y=yny=y-2+11+y2? , - 21y=-2y-3-y=-2y-3.(y-2+1)=--( +1)y3y2. 1?cy=sinxcosx=-srn2x， 一?一兀”ay=cos2x=sin(2x+—)y=2cos(2x+?)=2sin(2x+2??兀設(shè)y(n)=2n-1sin(2x+n?一)2兀 兀貝Uy(n+1)=2ncos(2x+n?一)=2nsin(2x+(n+1)一)22兀、c.cay(50)=249sin(2x+50?—)=-249sin2x(5)兩邊取對(duì)數(shù)：lny=x[lnx-ln(1+x)]1兩邊求導(dǎo)：一?y=lnx-ln(1+x)+1-yxy=( )x[Inx-ln(1+x)+1-+x(6)利用定義：TOC\o"1-5"\h\zf(0)=limf(x)-f(0)=lim(x+1)(x+2)(x+3)…(x+2005)=2005!x—0 x x-0f(x)=9(x)+(x-a和'(x)af(a)=9(a)又fW(a)=limf(x)-f(a)=lim叭x)+(x-a加(x)-^(a)xfa x-a x-a x-a=lim[叭x)-1⑷+中，(x)]=B(a)+①'(a)=2①'(a)x-a x-a[注：因中(x)在x=a處是否二階可導(dǎo)不知，故只能用定義求。]d .——- . .——- .——- 1lim—f(cosvx-1)=lim[f(cos、.x-1)?(-sin%,x-1),—. ]x-1+dx x-1+ 2Vx-1=limf'(cos%'x-1)?lim：2^1=f'(1)?(-2)=-1x—1+ x—1+2%x-1 22、易知當(dāng)x豐0時(shí)，f(x)均可導(dǎo)，要使f(x)在x=0處可導(dǎo)則f(0)=f(0),且f(x)在x=0處連續(xù)。即limf(x)=limf(x)=f(0)+ 一x—0- x—0+limf(x)=b+a+2而x—0.limf(x)=0尸a+b+2=0x—0+f(x)-f(0) (1+sinx)+a+2-b-a-2TOC\o"1-5"\h\z又f'(0)=lim——=lim =b+ x—0+ x—0 x—0+ xf'(0)=limeax—f'(0)=limeax—1—b—a—2=lim =lim—=ax—0- x x—0-x

3、證明：設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)，則％2—y2=axy=b0 0 0 0 00x對(duì)x2—y2=a兩邊求導(dǎo)：2x—2y,y—0=^y——yxTOC\o"1-5"\h\z???曲線x2—y2=a在(x,y)處切線斜率k=yI—-00 0 1 x=x0 y,0, 7b,b又由xy=bny=—ny=--x x2b「.曲線xy=b在(x,y)處切線斜率k=yI=-一00 2 x=x0 x20x,b、b,又,:kk=-9--(―——)=- ——12y x2 xy0 0 00二?兩切線相互垂直.4、設(shè)t分鐘后氣球上升了x米，則tana=壺da 1dx140 7兩邊對(duì)t求導(dǎo):sec2a?——= ?兩邊對(duì)t求導(dǎo):dt 500dt50025da7—————?cos2adt25兀當(dāng)x=500m時(shí)，a——4當(dāng)x=500m時(shí)，———--,————(弧度/分)dt252505、證明：f(x)=limhf0=limhf0f(x)?f(h)-f(x+0)=limhf0f(x)?f(h)-f(x)?f(0)=limf(x)hf0hf(h)-f(0)

h=f(x)?f(0)=f(x)6、解：由于y'=3x2+6x，于是所求切線斜率為k=3x2+6xI =-3，x=-1從而所求切線方程為y+3=-3(x+1)，即3x+y+6=011又法線斜率為 k=-——2k3

1所以所求法線方程為y+3=3(x+1)，即3y-x+8=0第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、填空題limxlnx=。x-^0函數(shù)fG)=2x一cosx在區(qū)間函數(shù)fQ)=4+8x3-3x4的極大值是單調(diào)增。4、曲線y=x4-6x2+3x在區(qū)間 是凸的。5、函數(shù)fQ)=cosx在x=0處的2m+1階泰勒多項(xiàng)式是6、曲線y=xe-3x的拐點(diǎn)坐標(biāo)是 。7、若fQ)在含x0的狐b)(其中a<b)內(nèi)恒有二階負(fù)的導(dǎo)數(shù)，且——最大值.8、y=x3g,內(nèi))內(nèi)有 個(gè)零點(diǎn)。，則fQ)是fQ)在Q,b)上的09、limcotx(-1)x.0 sinxx10、lim(--x.0x2-^)=xtanx11、曲線y=e-x2的上凸區(qū)間是.12、函數(shù)y=ex-x-1的單調(diào)增區(qū)間是.二、單項(xiàng)選擇TOC\o"1-5"\h\z1、函數(shù)f(x)有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)且f(0)=0,f'(0)=1,f〃(0)=-2,則limf(x)-x=()x.0 x2(A)不存在；(B)0； (C)-1； (D)-2。2、設(shè)f'(x)=(x-1)(2x+1),xe(-g,+g),則在(1,1)內(nèi)曲線f(x)( )(A)單調(diào)增凹的； (B)單調(diào)減凹的；(C)單調(diào)增凸的； (D)單調(diào)減凸的。3、f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)，xe(a,b),f'(x)=f"(x)=0，則f(x)在x=x處()0 00 0(A)取得極大值； (B)取得極小值；(C)一定有拐點(diǎn)(x0,f(x0))； (D)可能取得極值，也可能有拐點(diǎn)。4、設(shè)f(x)在a,b］上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則I：在(a,b)內(nèi)f(x)三0與n：在(a,b)上f(x)三f(a)之間關(guān)系是()(a)i是n的充分但非必要條件； (b)i是n的必要但非充分條件；(C)i是n的充分必要條件； (d)i不是n的充分條件，也不是必要條件。5、設(shè)f(x)、g(x)在a,b」連續(xù)可導(dǎo)，f(x)g(x)中0,且f'(x)g(x)<f(x)g'(x)，則當(dāng)a<x<b時(shí)，則有()(A)f(x)g(x)<f(a)g(a)； (B)f(x)g(x)<f(b)g(b);g(x)>g(a)

fg(x)>g(a)

f(x)f(a)TOC\o"1-5"\h\zC) < ；g(x) g(a)6、方程x3-3x+1=0在區(qū)間(-g,+g)內(nèi)( )(A)無(wú)實(shí)根； (B)有唯一實(shí)根；(C)有兩個(gè)實(shí)根； (D)有三個(gè)實(shí)根。7、已知f(x)在x=0的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且f(0)=0,limf(x)=2，則在點(diǎn)x=0處f(x)( )x.01-cosx(A)不可導(dǎo)； (B)可導(dǎo)，且f'(0)中0；(C)取得極大值； (D)取得極小值。f"(x)8、設(shè)f(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f'(0)=0,lim=1，則( )x.0|x|

(A)f(0)是f(x)的極大值； (B)f(0)是f(x)的極小值；(C)(0,f(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)； (D)f(0)不是f(x)的極值點(diǎn)。9、設(shè)a,b為方程f(x)=0的二根，f(x)在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則f'(x)在(a,b)內(nèi)()(A)只有一實(shí)根； (B)至少有一實(shí)根；(C)沒(méi)有實(shí)根；(D)至少有2個(gè)實(shí)根.10、在區(qū)間［-1,1］上滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù)是( )(A)f(x)=—; (B)f(x)=|x|;x2f(f(x)=1-x2；f(x)=x2-2x-1。11、函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a,b)內(nèi)f'(x)>0是函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加的( )(A)必要但非充分條件； (B)充分但非必要條件;(C)充分必要條件； (C)無(wú)關(guān)條件.12、設(shè)y=f(x)是滿(mǎn)足微分方程y"+y'-esinx=0的解，且f'(x0)=0，則f(x)在((A)x(A)x的某個(gè)鄰域單調(diào)增加；0(C)x處取得極小值；0三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列極限limx--1+”-varccosx<x+1(B)x的某個(gè)鄰域單調(diào)減少;0(D)x處取得極大值.0lncotxlim——；x.0+lnxex-eex-esinx(3)lim一八、x.0x2ln(1+x)(4)limx.011+—ln(1-x)x x2x-arctanx lntan(ax)(5)lim——：—； (6)lim —TT^ox.0 x3 x.0+lntan(bx)2、證明以下不等式(1)、設(shè)b>a>e，證明ab>b“。八 兀 .(2)、當(dāng)0<x〈一時(shí)，有不等式tanx+2sinx>3x。23、已知y=x3sinx，利用泰勒公式求y⑹(0).4、試確定常數(shù)a與n的一組數(shù)，使得當(dāng)x-0時(shí)，axn與ln(1-x3)+x3為等價(jià)無(wú)窮小。5、設(shè)f(x)在la,b］上可導(dǎo)，試證存在白(。<^<b)，使—b3 a3=12bf也)十丁《Jb-af(a)f(b)6、作半徑為r的球的外切正圓錐，問(wèn)此圓錐的高為何值時(shí)，其體積V最小，并求出該體積最小值.7、若f(x)在［0,1］上有三階導(dǎo)數(shù)，且f(0)=f(1)=0,設(shè)F(x)=x3f(x)，試證：在(0,1)內(nèi)至少存在一個(gè)白，使F"'&)=0.

一、填空題1、2、3、4、5、6、7、8、9、第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用習(xí)題解答lnx0limxlnx=lim=lim1x—0 x—0_ x—0x—=lim(-x)=01 X—0x2(-8,+8) ?「f(x)=2+sinX>0「.f(一、填空題1、2、3、4、5、6、7、8、9、第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用習(xí)題解答lnx0limxlnx=lim=lim1x—0 x—0_ x—0x—=lim(-x)=01 X—0x2(-8,+8) ?「f(x)=2+sinX>0「.f(X)在(-8,+8)上單調(diào)增20 ???f(x)=24x2-12x3=-12x2(x-2)令f'(x)=0nx=0,x=2當(dāng)x<2時(shí)，f(X)>0:當(dāng)x>2時(shí)，f(x)<0「?極大值為f(2)=20(-1,1)y'=4x3-12x+3，y〃=12x2-12=12(x+1)(x-1)當(dāng)x<-1時(shí)，y〃>0.當(dāng)Xe(-1,1)時(shí)，???曲線在(-1,1)上是凸的11 11--X2+—X4+ +(-1)m X2m2! 4! (2m)!y"<0;當(dāng)xe(1,+8)時(shí)，y〃>0(見(jiàn)教材P13頁(yè)，泰勒公式)22(3,3e-2)?/y=e-3x-3xe-3x=e-3x(1-3x)，2y=-3e-3x(1-3x)-3e-3x=e-3x(9x-6)=9e-3x(x-3)22 2令y=0nx=3，當(dāng)x<-時(shí)，y<0;當(dāng)x>3時(shí)y>02 ,,22xy=3e-2」.拐點(diǎn)為(3,3e-2)f(X)-f(X)「f"(x)=lim_ 0=lim0 X—XX—X0 人人0 X—X0當(dāng)X<X時(shí)，f'(X)>0,f(X)單調(diào)增加；當(dāng)X>X時(shí)，f(x)<0,f(x)單調(diào)減少0???y在(-8,+8)上單調(diào)增加又limy=-8limy=+8.「.在(-8,+s)內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)。10、1613X--8原式=limx-0X-+8cosx(x-sinx) x-sinx =limcosxlim Xsin2xtanx-x原式:二lim x2tanx二limX—0x-0tanx-xx—0 x3=limx—01-cosX1「sec2x-1 1「 tan2x=lim =一lim——x—0 3X2 3x—0X211、(-卓號(hào)時(shí),y"<0,上凸，2v2其它區(qū)間y">0，上凹，故應(yīng)填入(-^―A-)。12、(0,+8)函數(shù)y=ex-X-1的定義區(qū)間為(-8,+8)，在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)、可導(dǎo)，且y'=ex-1,因?yàn)樵?0,+8)內(nèi)y'>0，所以函數(shù)y=ex-x-1在(0,+8)上單調(diào)增加。二、選擇題f(x)-x f(x)-1 f(x)1、選(C)lim =lim =lim x—0 X2 x—0 2X x—02

2、選(B)當(dāng)xe(1,1)時(shí)，f'(x)<0，又f"(X)=4x—1=4(X一J)>0xeI???f(X)在(：,1)上單調(diào)減且為凹的。3、則f'(0)=f"(0)=0,X=0是f(X)=X3的拐點(diǎn)；設(shè)f(X)=X4,3、f,(0)=f"(0)=0,而X=0是f(x)=x4的極值點(diǎn)。4、選(C)由f(x)在(a,b)內(nèi)f'(x)三0的充分必要條件是在(a,b)內(nèi)f'(x)三C(C為常數(shù))，又因?yàn)閒(X)在［a,b］內(nèi)連續(xù)，所以C=f(a)，即在(a,b)上f(x)三f(a)。5、選(C)由f'(x)g(x)<f(x)g'(x)nf'(x)g(x)—f(x)g'(x)<0n［當(dāng))］'<0nf^)單調(diào)減少，xe(a,b)g(x) g(x).f(x)f(a)? << .g(X)f(b)6、選(D) 令f(x)=x3—3x+1，貝Uf(x)=3x2—3=3(x—1)(x+1)；當(dāng)x<—1時(shí)，f'(x)>0,f(x)單調(diào)增加，當(dāng)xe(—1,1)時(shí)，f'(x)<0,f(x)單調(diào)減少當(dāng)xe(1,+8)時(shí)，f'(x)>0,f(x)單調(diào)增加。而f(f=3,f(1)=Tlimf(x)=一8,limf(x)=+8X―—8 X—+8f(X)在(—8,—1)上有一實(shí)根，在［—1,1］上有一實(shí)根，在(1,+8)上有一實(shí)根。7、選(D)利用極限的保號(hào)性可以判定f(X)的正負(fù)號(hào)：(在X=0的某空心鄰域);即f(X)在X=0取極小值.(在X=0的某空心鄰域);即f(X)在X=0取極小值.X—01一cosX 1一cosX由1一cosx>0,有f(x)>0=f(0)8、選(B) 由極限的保號(hào)性：limX—0|limX—0|X||X|>0(在X=0的某空心鄰域)；由此f"(X)>0(在X=0的某空心鄰域)，f'(x)單調(diào)增，又由f'(0)=0,f'(x)在x=0由負(fù)變正，由極值第一充分條件，X=0是f(x)的極小點(diǎn).9、選(B)由羅爾定理保證至少存在一點(diǎn)白￡(a,b)使f'&)=0。10、11、12、選(10、11、12、選(C)選(B)選(C),A選項(xiàng)f(X)在X=0不連續(xù)，B選項(xiàng)f(X)在X=0處不可導(dǎo)，D選項(xiàng)f(1)中f(—1)。如y=X3在(—8,+8)單增，但f'(0)=0，故非必要條件。由f(X)=0有y"(X)=esinX0一y'(x)=esinx0>0所以f(X)在X0處取得極小值。、計(jì)算解答1、計(jì)算極限(1)解：lim

V,兀一varccosx=limX——1+ln⑵解：lim=limX——1+ln⑵解：limcotX =lim.(一csc2X)cotXx—0+lnXx—0+=lim一X—0+x?sinx

cosx?sin2x12Jarccosx.vi一x2 1 1 二lim；1 X―t+%arccosx2工x+1

ex—esinx(3)解：lim————-=limx—0x2ln(1+x) x—0esinex—esinx(3)解：lim————-=limx—0x2ln(1+x) x—0esin%(ex—sinx—1)x3x—sinxlim x—0 x31—cosx=lim x—0 3x1231 1 x+ln(1—x)(4)解：lim[—+一ln(1—x)]=lim x—0xx2(5)解：limx—0x—arctanxx31—lim——x—0x211—lim一x—0=lim[—

x—02(1—x)]二-2(6)解：limx—0+lntan(ax) =limlntan(bx)x—0+tan(ax)

-1-tan(bx)=limx—0x23x2(1+x2)?sec2(ax)?a 二lim?sec2(bx)?bx—0+tan(bx)?sec2(ax)?atan(ax)?sec2(bx)?b=limx—0+bx?cos2(bx)=limx—0+ax?cos2(ax)?b2、(1)證明：ab>baoblna>aln2、令f(x)=xlna—alnx，則f(x)在[a,b]上連續(xù)???f(x)=lna—a>0xg[a,b]xf(x)在[a,b]上單調(diào)增加，f(b)>f(a)得blna—alnb>alna—alna=0，即ab>ba八/ 八. 八 /八兀、(2)令f(x)=tanx+2sinx—3x在xg(0,—)時(shí)2TOC\o"1-5"\h\z1 cc'?cosx?cosx—3=0COS2xf(x)=sec2x+2cosx—3= ?cosx?cosx—3=0COS2xcos2x. - -兀 一. —. _、 -f(x)>0，「.f(x)在(0,—)上單調(diào)增,又?.?hm/(x)=lim(tanx+2sinx—3x)=02 x—0+ x-0+小兀、「.Vxg(0,一)，f(x)>limf(x)=0， 即tanx+2smx>3x2 x—0+3、解：???麥克勞林公式f(x3、解：???麥克勞林公式f(x)=f(0)+f'(0)x+2!n!xn+o(xn)x3 x5 x2m—1而sinx=x— +— +(—1)m—1 +o(x2m)3! 5! (2m—1)!4、解：x6 x8x4、解：x6 x8x4———+——+—對(duì)比x6的系數(shù)有:3! 5!f(6)(0)_-6!1 6!——nf(6)(0)=— =—1203! 3!axn丁lim =limx—0ln(1—x3)+x3 x—0anxn—1an=lim[——x”6(1—x3)]=1x—0 35、即證：b3f(b)—a3f(a)b—ay2[3f化)+匕f汽)]令F(x)=x3f(x),則F(x)在［a,b］上滿(mǎn)足拉格朗日定理的條件???三白￡(a,b)，使F(b)—F9)=F)

b一a即b3fb-a3f⑷=3m2f化)+己3f也)b-a1 b3 a3 y- -,一即工—一、小、y2[3"IH丁&)]b-af(a)f(b)6、解： 設(shè)圓錐的高為h，底面圓半徑為R，則有比例關(guān)系h一rr hr2=一nR2二 hh2+R2 R h一2r1 1 h2r2=—兀R2h=—兀- 3 3 h一2rdV_12hr2(h-2r)-h2r2_3兀hr2(2h-4r-h)=兀=dh3 (h-2r)2 (h-2r)2dV令=0n唯一駐點(diǎn)h=4rdhTOC\o"1-5"\h\z1i.一.…1 16r2-r2 8所以，當(dāng)h—4r時(shí)，體積最小，此時(shí)V――^,— ——^r33 4r-2r 37、解：由題設(shè)可知F(x),F'(x),F"(x),F"'(x)在[0,1]上存在，又F(0)=F(1)，由羅爾定理,三彳e(0,1)使F,化)=0，又F'(0)=[3x2f(x)+x3f(x)]l=0,可知F'(x)在[0,5]上滿(mǎn)足羅爾定理，于是1 x—0 1北e(0,m)，使F"&)=0,又F"(0)=[6xf(x)+6x2f(x)+x3f"(x)]l=0，對(duì)F"(x)在[0,m]上2 1 2 x=0 2再次利用羅爾定理，故有1e(0,1)u(0,m)u(0,1)，使得F"'色)=0。21第四章不定積分一、填空題1、Jx個(gè)xdx=Jdxx2xJ(x2一3x+2)dx=cos2x,J dx二cosx一sinxJdx1+cos2xsinJt[J—=~~dt= 5xsinxdx=arctanxdx=9、Jsin2xdx二 1+sin2x10、Jxf”(x)dx=.11、12、J 1.dx=(x+3)%：x+1Jdxx2+2x+5(A)d二、單項(xiàng)選擇1、對(duì)于不定積分(A)d二、單項(xiàng)選擇1、對(duì)于不定積分(C)FQ)-GQ)=C(常數(shù))；(D)FQ%GQ)4、若Jf(x3)dx=x3+c，則f(x)=()=C(常數(shù))。下列等式中()是正確的。(B) JfQ)7x=f(x)；(C)JdfQ)=fQ); (D)d~]f(xd=f(x)。2、函數(shù)f(x)在Q8,+W)上連續(xù)，則djf(x^dx■等于()(A)f(x);(B)f(x)dx;(C)fQ)+C;(D)f()dx.TOC\o"1-5"\h\z3、若FQ)和GQ)都是fQ)的原函數(shù)，則( )(A)FQ)—GQ)=0； (B)FQ)+GQ)=0;(A)5x3+c；(B)5x3+c；(C)x3+c；(D)x+c。5、設(shè)f(x)的一個(gè)原函數(shù)為xInx，則Jxf(x)dx=()…z1.1i 、, /、z1,1i 、,(A) x2(—+—ln x)+c； (B)x2(—+—In x)+c ；11 11(C)x2(-—2Inx)+c；(D)x2(―——Inx)+c。6、設(shè)Jf(x)dx=x2+c，則Jxf(1-x2)dx=()(A)-2(1-x2)2+c；(B)2(1-x2)2+c；1(C)--(1-x2)2+c；(D)，(1-x2)2+c。27、J3dx=()ex+1(A)lnIex+11+c；(B)lnIex-11+c；(C)x-21nIex+11+c；(D)21nIex-11-x+c.8、若f(x)的導(dǎo)函數(shù)為sinx，則f(x)的一個(gè)原函數(shù)是( )(A)1+sinx； (B)1—sinx；9、F'(x)=f(x),f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，(A)—2x—1； (B)—x2+1；(C)1+cosx； (D)1—cosx。且f(0)=1,又F(x)=xf(x)+x2，則f(x)=()(C)—2x+1； (D)—x2—1。10、3-2x—2-3x,

J dx=(2x(A)3x—21n3.(3)x+C；3(B)3x—2x,(—)xt+C；2(C)3—11、21n3—1n22(D)3x— (ln3—ln23xexdx=( )1(A)——3xex+C；(B)1n31+1n33xex+C；(C)—3xex； (D)；1n3 ；10 3xex。1+1n312、J1 1sec2—dx=(x2 x11(A)tan—+C； (B)—tan—+C；x三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列各題1(C)cot—+C；

x1(D)—cot—+C。

x(1)J(3)(5)xdx；工a2—x2xarccosxJ—. dx；*：1—x2Jxsin2xdx；(2)Jx2+4x+13dx；(4)Jxexdx；ex—1、InI+ex，(6)J dx。2、設(shè)f(in2x)=cos2x+tan2x,ex當(dāng)0<x<1時(shí)求f(x).3、4、設(shè)F(x)為f(x)的原函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)有f(x)F(x)=sin22x，且F(0)=1,F(x)>0，求f(x)。確定A、B使下式成立JdxAsinx+bJdx5、U+2cosx力 1+2cosx 1+2cosx設(shè)fQ)的導(dǎo)數(shù)f，Q)的圖像為過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)(2,0)的拋物線，開(kāi)口向下，且fQ)的極小值為2,極大值為6,求fQ)。1、、填空題25〃—x2+C52、2_3——x2+C3、31x3—34、5、6、7、第四章Jdxx2、.x不定積分習(xí)題解答sinx—cosx+CItanx+C2J(x2—3x+2)dx=3x3—|x2+2x+C.JJJ-cos2xcosx—sinxcos2x—sin2x7dx_J dxcosx—sinx(cosx+sinx)dx=sinx—cosx+C。dx_Jdx1+cos2x 1+2cos2x—12=1Jsec2xdx二，tanx+C。2—xcosx+sinx+CJs'n，tdt_2Jsinttd-tt_—2cosJt+C。vtJxsinxdx_—Jxdcosx_—xcosx+Jcosxdx8、8、xarctanx—arctanx+CJcosx+sinx+C。arctanxdx=xarctanx—Jdarctanx9、ln(1+sin2x)+C_xarctanx—arctanx+C。sin2x 2sinxcosx,J dx_J dx10、xf'(x)—f(x)+C1+sin2x_Jdsin2x1+sin2xJxf"(x)dx_J1+sin2x-=ln(1+sin2x)+C.xdf'(x)=xf'(x)—Jf'(x)dx=xf(x)—Jdf(x)=xf，(x)—f(x)+C11、,；x+1、八 . -V2arctan( )+C令\x+1_t，貝|x_12—1k2 …原式_J-一1--d(t2—1)_J2dt(12+2),t 12+2_、；2J」_42arctan(-t=)+C_J2arctan(.xil)+C.v;2 V212、1x+1 dx dx1x+1人arctan +CJ =J 二—arctan +C.2 2 x2+2x+5 (x+1)2+42 2二、選擇題1、選(D)。由dJfQ)7x_fQ)dx,Jf晨)7x_fQ)+C,JdfQ)=fQ)+C知(A)、(B)、(C)選項(xiàng)是錯(cuò)的，故應(yīng)選D。2、3、4、(B)。由微分的定義知磯f(x)dx]=f(x)dx。(C)。函數(shù)f(x)的任意兩個(gè)原函數(shù)之間相差一個(gè)常數(shù).(B)兩邊對(duì)Jf(x3)dx=x3+C微分得2f(x3)=3x2,f(t)=3t3/.f(x)=Jf'(x)dx=J5、選（B）I5、選（B）xd(xInx)=x2Inx-JxInxdxx2 x 1 1、 「=x2———lnx+J—dx=x2(Inx+—)+C2 2 2 46、選（C）Jxf(1-x2Mx=-2Jf(1-x2M(1-x2)=-2(1-x2)6、選（C）7、選（D）J上ex+1ex+1-2 2 7dx=J dx=J1 dx=x-2Jex(ex+1)exex+11dx=x-2 dexex(ex+1)ex+1ex+1)dex=x-2x+2lnIex+ex+1=-x+2ln|ex+11+C8、選(B)由題意知f(x)=sinx，.二f(x)=-cosx+q,/.f(x)的原函數(shù)為Jf(x)dx=-sinx+Cx+C,2 1取C=0,C=1,故選B。9、選(C)由F(x)=xf(x)+x2兩邊求導(dǎo)得F'(x)=f(x)+xf'(x)+2x，又F'(x)=f(x)，所以f'(x)=-2,所以f(x)=J-2dx=-2x+C,又因?yàn)閒(0)=1，所以C=1,f(x)=-2x+1。10、(D)dx=J[3-2-(3)x10、(D)dx=J[3-2-(3)x]dx=3x-2.-4t2 ln323-)x+C11、(B)12、(B)-- 1 3一=3x-2? ?(—)x+C。ln3-ln22J3xexdx=J(3e)xdx=--—(3e)x=——3——3xex。ln3e1+ln3J1 1J1 1J11 1sec2—dx=-J(-一)sec2—dx=-Jsec2—d—=-tan—+C。x2xxx、計(jì)算解答1、計(jì)算下列各題xT1 1T/ 、 : (1)解：J dx=- (a2-x2)2d(a2-x2)=-、a2-x2+C；a2-x2 2（2）解：Jx（2）解：Jx+1 1J2x+4-2 1Jd(x2+4x+13)Jd(x+2) dx=—J dx=—J —J x2+4x+13 2x2+4x+13 2 x2+4x+13(x+2)2+321 1 ，x+2-=]ln(x2+4x+13)-3arctan_3+C；xarccosx,(3)解：J—, dx=-JarccosxdQ1-x2)1-x2=-、1-x2arccosx+JV1-x2?(- )dx11—x2i-\.1-x2arccosx-x+C；

xex. 一，一、(4)解：J.dx令弋ex-1=t，則x=ln(t2+1)kex—1得Jln(t2+D.(t2+D.工dtt 12+1=2Jln(12+1)dt=21ln(12+1)-2J dt12+1=21ln(12+1)-4(t-arctant)+C=2%,ex-1?x-4\：ex-1+4arctan、&-1+C；…5J/J 1-cos2x, 1J』1J(5)解：Jxsin2xdx=Jx? ———dx=xdx- xcos2xdxTOC\o"1-5"\h\z2 2 211 11 1=—x2- xdsin2x=—x2——xsin2x--cos2x+C；4 4 4 4 8 ;(6)解:J1n"+ex)dx=-Jln(1+ex)d(e-x)=-e-xln(1+ex)+Je".exdxex 1+ex1+ex-ex,=-e-xln(1+ex)+J —dx1+ex=-e-xln(1+ex)+x-ln(1+ex)+